河北省唐山一中2018届高三教学质量监测理科数学试卷

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2018届河北省唐山市高三第一次模拟考试(唐山一模)理科数学

唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•A . -2 2iC. -2-2i.MUN 二 R13.已知 tan，且亡：•; （0,二），则 sin 2 =（2.二246.已知 a = 3 3， b=23， c = ln3，则(7.如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A .求 1 3 5 ... (2n -1).2 2i .2-2i2.设集合M-x 0｝，N = x |1 < 1 ，则、x4.两个单位向量a ，b 的夹角为120，则 2a +b =5.用两个一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是A . 18.16.12A . a :： c :: b.a ：： b ：： c C .b ： c ：：aB .求 1 3 5 ... (2 n 1)2222C. 求 12 2 2 32- -- n 2D.求 12 22 32—--(n 1)28.为了得到函数y =sin - x 的图象，可以将函数 y =sinx 的图象()16丿 A. 向左平移二个单位长度6TTB. 向右平移—个单位长度3TTC. 向右平移一个单位长度6■JTD. 向左平移—个单位长度39.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A . 5 4,2B . 92 2务去 =1 (a - 0,b 0)的右焦点，过点a b垂线，垂足为 A ，交另一条渐近线于点B .若OF = FB ，则C 的离心率是()A .七B .3C . . 2D . 2 2311.已知函数f(x)二x -2xcosx ，则下列关于f (x)的表述正确的是( ) A . f (x)的图象关于y 轴对称 B. X 。

- R , f (x)的最小值为-1 C. f (x)有4个零点D. f (x)有无数个极值点10.已知F 为双曲线C :F 向C 的一条渐近线引12.已知P , A , B , C 是半径为2的球面上的点，PA = PB = PC =2 , . ABC =90 ,x - y _ 0I y设x ， y 满足约束条件 x • 2y -3乞0，贝U z =2x • 3y 的最小值是x -2y -1_ 0占八B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P _ ABD 体积的最大值是（）A .3；343/3 8 C..3 4、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13. 14. （2x -1）6的展开式中, 二项式系数最大的项的系数是•（用数字作答）15. 已知P 为抛物线y 2 -x 上异于原点O 的点，PQ _ x 轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQ NO16.在ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若c = 2h ，a b则的取值范围是 ____________ •b a三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.217.已知数列｛a n ｝为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2&' n .（1 ）求的通项公式;(2)若 ba n 2 苗，T n 为数列｛b n ｝的前n 项和，证明：T n J .2 -a n a n 1218.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售•如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元•根据以往的销售情况，按［50,150），［150,250），［250,350），［350,450），［450,550］进行分（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于 350公斤，而另一天日销售量低于 350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值（i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货 300公斤或400公斤，以每日利润 Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货 300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱 ABC - AB 1C 1 中，平面 ABQ _ 平面 AA 1C 1C ，■ BAC =90；.AB = 2AC = 2，求二面角 A , - AB - C 的大小.（2）若=A 1B 1C 是正三角形, 组，得到如图所示的频率分布直方图2 220. 已知椭圆丨：笃•爲=1 (a b ■ 0)的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为2、、6 , Ba b为直线I : x 二-3上的动点,M (m,0) , AM _ BM •当AB _ I 时，M 与F 重合• (1) 若椭圆-的方程；(2) 若直线BM 交椭圆丨于P ，Q 两点，若AP _ AQ ，求m 的值. 21. 已知函数 f(x)二e x 」，g(x)=lnx a . (1 )设 F(x)=xf(x)，求 F(x)的最小值；(2)证明：当a ：：： 1时，总存在两条直线与曲线 y = f (x)与y = g(x)都相切.(二)选考题：共10分.请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1 : (x-1)2，y 2=1，圆C 2 ： (x - 3)2 • y 2 = 9 .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1 )求C 1，C 2的极坐标方程；l x =tcos ：(2)设曲线C 3:( t 为参数且t=0), C 3与圆C 1, C 2分别交于A ，B ，求S ABC 2y =tsi n 。

唐山市2018-2019学年第一学期高三年级一模考试理科数学含答案

x y （10）已知双曲线 C：－ 2＝1（b＞0），F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交 C 的 16 b 左、右支分别于 A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝ A．4 B．8 C．16 D．32 （11）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A． 2e4 C． 2e2
A
（20）（12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位 40 10 50 100 50 150 个体经营户 140 60 200 合计（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值．附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
π π π － 4 － π 2
B． 2e
D． 2e
（12）一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3

河北省唐山一中2018高三数学试卷

河北省唐山一中2018届高三教学质量监测数学（理）试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1-10 17 181、已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 .A 2i .B 2i - .C 2i + .D 2i -+2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q ,那么Q P -等于{}{}{}{}32211010<≤<≤<<≤<x x D.x x C.x x B.x x A. 3、下列命题是真命题的是.A 若sin cos x y =，则2x y π+=.B 1,20x x R -∀∈> .C 若向量,//+=0a b a b a b满足，则 .D 若x y <,则 22x y <4、已知向量为单位向量，且21-=⋅b a ，向量与+的最小值为...A B C D 131245、若函数)12(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是2211-==-== D. x C. x B. xA. x 6、设等比数列{}n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“{}n a 是递减数列”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件7、已知函数x x g x x f lg )(,)(2==，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围是.A [0，＋∞） .B （0，＋∞） .C [1，＋∞） .D （1，＋∞）8、如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与BA ,不重合．．．的一个动点，且y x +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为.A )3,1( .B )3,31( .C )1,21( .D )2,21(9、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 .A ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ .B ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,012π⎛⎫⎪⎝⎭10、已知数列{}n a 满足：*)(2,111N n a a a a n n n ∈+==+,若,),11)((11λλ-=+-=+b a n b nn 且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是3232<<>>λλλλ D. C. B. A. 11、已知函数()cos xf x x πλ=，存在()f x 的零点)0(,00≠x x ，满足[]222200'()()f x x πλ<-，则λ的取值范围是A．( B．(C.(,)-∞+∞ D．(,)-∞+∞ 12、已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13、已知向量b为单位向量，向量(1,1)a = ，且||a = ，则向量,a b 的夹角为 .14、若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .15、已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________．16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 .三．解答题（共6小题，计70分）17、（本题12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2coscos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（Ⅰ）求ω的值；(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.18、（本题12分）已知数列}{},{n n b a 分别是等差数列与等比数列，满足11=a ，公差0>d ，且22b a =，36b a =，422b a =. (Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n c 对任意正整数n 均有12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b c b c 成立，设}{n c 的前n项和为n S ，求证：20172017e S ≥（e 是自然对数的底）.19、（本题12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程； (Ⅱ)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．21、（本题12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin:2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．河北省唐山一中2018届高三教学质量监测数学（理）答案一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

2018年河北省唐山市高考数学三模试卷(理科)

2018年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合A. B.C. D.2. 复数满足（为虚数单位），则A. B. C. D.3. 已知，则A. B.C. D.4. 已知命题：在中，若，则；命题，．则下列命题为真命题的是（）A. B.￢C.￢￢D.￢5. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若的一个焦点关于的对称点在上，则的离心率为（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 已知函数的图象与轴相切，则A. B.C. D.8. 已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.9. 利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值，为此设计如图所示的程序框图，其中表示产生区间上的均匀随机数（实数），若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.10. 在中，点满足．若存在点，使得，且，则（）A. B. C. D.11. 若异面直线，所成的角是，则以下三个命题：①存在直线，满足与，的夹角都是；②存在平面，满足，与所成角为；③存在平面，，满足，，与所成锐二面角为．其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.12. 已知，若的最小值为，则A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量，满足约束条件，则的最大值为________．14. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为________．15. 设函数则使得成立的得取值范围是________．16. 的内角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于点，若，，则的取值范围是________三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列是等差数列，是等比数列，，，，．（1）求和的通项公式；（2）若为奇数为偶数，求数列的前项和．18. 某球迷为了解，两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了场与这两支球队有关的比赛．两队所得分数分别如下：球队：球队：（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件：“球队的攻击能力等级高于球队的攻击能力等级”．假设两支球队的攻击能力相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，．（1）求证：平面平面；（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值．20. 已知点，点，点，动圆与轴相切于点，过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点，均不同于点，且与交于点，设点的轨迹为曲线Γ．（1）证明：为定值，并求Γ的方程；（2）设直线与Γ的另一个交点为，直线与Γ交于，两点，当，，三点共线时，求四边形的面积．21. 已知，函数．（1）记，求的最小值；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 已知点在椭圆上，将射线绕原点逆时针旋转，所得射线交直线于点．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求椭圆和直线的极坐标方程；（2）证明：：中，斜边上的高为定值，并求该定值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设，求的最大值．参考答案与试题解析2018年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出，从而得到集合．【解答】∵集合，，∴，∴集合．2.【答案】A【考点】复数的模【解析】根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可．【解答】，则，3.【答案】D【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用两角和差的正切公式求得的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值．【解答】∵已知，∴，则，4.【答案】B【考点】复合命题的真假复合命题【解析】命题：在中，因为，根据正弦函数的性质可判断，若，则为证明题；命题，根据正弦函数的性质，可判断等号成立的条件满足，故为假命题．【解答】命题：在中，因为，若，则，故为真命题；命题，当时，等号成立，故为假命题．5.【答案】B【考点】双曲线的特性【解析】不妨设为，为，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出与的关系，再根据离心率公式即可求出．【解答】，分别为双曲线的两条渐近线，不妨设为，为，若右焦点关于的对称点在上，设右焦点关于的对称点为，右焦点坐标为，中点坐标为，可得，解得，即有，可得的斜率为，即有，可得，即，则，可得，6.B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】由题意可知几何体是以正视图为底面，底面是正方形截去一个三角形的边形，高为的棱柱，所以几何体的体积为：．7.【答案】B【考点】三角函数的最值【解析】根据的最大值为计算，得出的解析式，再计算．【解答】∵，且的图象与轴相切，∴．即．∴，∴．8.【答案】D【考点】抛物线的求解【解析】设点的坐标为，圆的圆心坐标，求出的最小值，即可得到的最小值．【解答】设点的坐标为，圆圆的圆心坐标，∴，∴，∵是圆上任意一点，∴的最小值为，9.【答案】C【考点】程序框图由试验结果知在以边长为的正方形中随机取点次，所取之点在以正方形中心为圆心，为半径的圆中的次数为次，得出所取的点在圆内的概率是什么，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计的值．【解答】根据题意，共产生了对内的随机数，其中能使的有对；即在以边长为的正方形中随机取点次，所取之点在以正方形中心为圆心，为半径的圆中的次数为次；设在以边长为的正方形中随机取点所取之点在以正方形中心为圆心为半径的圆中，；则圆正方形又∵试验结果，∴；∴．10.【答案】D【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴，可得，∴，，．故选．11.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在①中，在上任取一点，过作，在空间中过点能作出直线，使得与，的夹角均为；在②中，在上取一点，过作，以，确定的平面，满足，与所成角为；在③中，在上取一点，过作，，确定一个平面平面，过能作出一个平面，满足，，与所成锐二面角为．【解答】异面直线，所成的角是，知：在①中，由异面直线，所成的角是，在上任取一点，过作，在空间中过点能作出直线，使得与，的夹角均为，∴存在直线，满足与，的夹角都是，故①正确；在②中，在上取一点，过作，则以，确定的平面，满足，与所成角为，故②正确；在③中，在上取一点，过作，，确定一个平面平面，过能作出一个平面，满足，，与所成锐二面角为．故③正确．12.【答案】A【考点】函数的最值及其几何意义【解析】求出原函数的导函数，设出导函数的零点，即原函数的极值点，可得，结合的最小值为求得，则值可求．【解答】由，得．令，则，则在上为增函数，又，∴存在，使，即．∴．①函数在上为减函数，在上为增函数，则的最小值为，即，②联立①②可得（舍）或．把代入①，可得．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可求出的最大值．【解答】作出变量，满足约束条件，对应的平面区域如图：变形，得平移此直线，由图象可知当直线经过时，直线在轴的截距最大，得到最大，由，解得所以的最大值为．14.【答案】【考点】正态分布的密度曲线【解析】由已知求得，值，可知质量在之间，满足，由求解．【解答】由服从正态分布，得，，则，质量在之间，满足．15.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】根据分段函数的表达式，分别讨论，和时不等式的解集即可．【解答】当时，不等式不成立，若，则等价为，得，即，得，此时，若，则等价为，得，即，得，此时，综上不等式的解为或，即不等式的解集为，16.【答案】【考点】三角形求面积【解析】先根据基本不等式可得，求出的范围，再根据三角形的面积，可得，即可求出．【解答】设，由可得，又，，∴，∴，由得，∴，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】数列是等差数列，是等比数列，设公差为，公比为．由于：，，，．则：，解得：，．故：．由于：为奇数为偶数，则：为奇数为偶数．故：，，．【考点】数列的求和等差数列与等比数列的综合【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，直接利用分组法求出数列的和．【解答】数列是等差数列，是等比数列，设公差为，公比为．由于：，，，．则：，解得：，．故：．由于：为奇数为偶数，则：为奇数为偶数．故：，，．18.【答案】两队所得分数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散．记表示事件：“球队攻击能力等级为较强”，表示事件：“球队攻击能力等级为很强”；表示事件：“球队攻击能力等级为较弱”，表示事件：“球队攻击能力等级为较弱或较强”，则与独立，与独立，与互斥，．．由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，，故，，，，．【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】（1）先作出两队所得分数的茎叶图，通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值，从而球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散．（2）记表示事件：“球队攻击能力等级为较强”，表示事件：“球队攻击能力等级为很强”；表示事件：“球队攻击能力等级为较弱”，表示事件：“球队攻击能力等级为较弱或较强”，则与独立，与独立，与互斥，．．由此能求出的概率．【解答】两队所得分数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散．记表示事件：“球队攻击能力等级为较强”，表示事件：“球队攻击能力等级为很强”；表示事件：“球队攻击能力等级为较弱”，表示事件：“球队攻击能力等级为较弱或较强”，则与独立，与独立，与互斥，．．由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，，故，，，，．19.【答案】证明：∵，，∴，∵，，∴平面，∴，又∵，，∴平面，平面，∴平面平面；连接交于点，连接，∵为的中点，，∴，∵平面，平面，平面平面，∴，∴，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，∵，，∵，，由，得取．〈，，∵二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）证明，平面，即可得平面，平面，即可证明平面平面．（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面与面所成二面角的余弦值．【解答】证明：∵，，∴，∵，，∴平面，∴，又∵，，∴平面，平面，∴平面平面；连接交于点，连接，∵为的中点，，∴，∵平面，平面，平面平面，∴，∴，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，∵，，∵，，由，得取．〈，，∵二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为．20.【答案】由圆外一点作圆的切线，可得，，，所以，所以点的轨迹Γ是以，为焦点的椭圆（去掉与轴的交点），可得，，，可求Γ的方程为；由，，三点共线及圆的几何性质，可知，又由直线，为圆的切线，可知，，所以，进而有，所以，又由椭圆的定义，，得，所以为等边三角形，即点在轴上，点的坐标为当点的坐标为时，，，此时直线的方程为，直线的方程为，由整理得，得，所以；由整理得，设，，，，，所以四边形的面积．当点的坐标为时，由椭圆的对称性，四边形的面积为．综上，四边形的面积为．【考点】待定系数法求直线方程【解析】（1）由圆的切线的性质，可得切线长相等，求得为定值，结合椭圆的定义，即可得到所求方程；（2）由，，三点共线及圆的几何性质，可知，推得为等边三角形，即点在轴上，点的坐标为，分别讨论，或，求得两直线的方程，联立椭圆方程，求得，，运用四边形的面积，计算可得所求值．【解答】由圆外一点作圆的切线，可得，，，所以，所以点的轨迹Γ是以，为焦点的椭圆（去掉与轴的交点），可得，，，可求Γ的方程为；由，，三点共线及圆的几何性质，可知，又由直线，为圆的切线，可知，，所以，进而有，所以，又由椭圆的定义，，得，所以为等边三角形，即点在轴上，点的坐标为当点的坐标为时，，，此时直线的方程为，直线的方程为，由整理得，得，所以；由整理得，设，，，，，所以四边形的面积．当点的坐标为时，由椭圆的对称性，四边形的面积为．综上，四边形的面积为．21.【答案】，，所以时，，单调递减；时，，单调递增，所以的最小值为．，．因为有三个不同的零点，所以至少有三个单调区间，而方程至多有两个不同正根，所以，有解得，．由（1）得，当时，，即，所以，则，令，得，因为，，，，所以在（，，内各有一个零点，故所求的范围是．【考点】函数的最值及其几何意义利用导数研究函数的极值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调性，结合函数的零点的个数确定的范围即可．【解答】，，所以时，，单调递减；时，，单调递增，所以的最小值为．，．因为有三个不同的零点，所以至少有三个单调区间，而方程至多有两个不同正根，所以，有解得，．由（1）得，当时，，即，所以，则，令，得，因为，，，，所以在（，，内各有一个零点，故所求的范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】由，得椭圆极坐标方程为，即；直线，转换为极坐标方程为，即．证明：设，，．由（1）得，，由可得，．故为定值，且．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角形的面积公式建立等量关系求出．【解答】由，得椭圆极坐标方程为，即；直线，转换为极坐标方程为，即．证明：设，，．由（1）得，，由可得，．故为定值，且．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】由题意得，所以整理可得，解得，故原不等式的解集为．显然为偶函数，所以只研究时的最大值．，所以时，，所以当时，取得最大值，故时，取得最大值．【考点】函数的最值及其几何意义绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式的等价形式，转化求解即可．（2）通过函数的奇偶性，化简函数的解析式为分段函数的形式，然后求解函数的最大值即可．【解答】由题意得，所以整理可得，解得，故原不等式的解集为．显然为偶函数，所以只研究时的最大值．，所以时，，所以当时，取得最大值，故时，取得最大值．。

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河北省唐山市2018—2018学年度高三年级模拟考试数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设全集U={1，2，3，4，5},集合A={1，2，3},集合B={3，4，5},则（C U A ）∪（C U B ）= （） A ．{1，2，3，4，5} B ．{3} C ．{1，2，4，5} D ．{1，5} 2．抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|= （）A ．2B ．22C ．2D ．4 3．已知|a |=1，|b |=2，a =λb （λ∈R ），则|a －b |=（） A ．1 B ．3 C ．1或3D ．|λ| 4．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，α//β的充分条件是（）A ．a //b ，βα⊥⊥b a ,B ．b a b a //,,βα⊂⊂C ．αββα//,//,,b a b a ⊂⊂D ．αβ⊥⊥⊥b a b a ,,5．设x ，y 满足约束条件：y x z y y x y x y +=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤则2,2,1的最大值与最小值分别为（）A ．27，3 B ．5，27 C ．5，3 D ．4，3 6．函数),(,cos sin ππ-∈+=x x x x y 的单调增区间是（）A ．)2,0()2,(πππ和-- B ．（－2π，0）和（0，2π）C ．),2()2,(ππππ和-- D ．（－2π，0）和（2π，π）7．关于函数)2|sin(|)(π+=x x f 有下列判断：①是偶函数；②是奇函数；③是周期函数；④不是周期函数，其中正确的是（）A ．①与④B ．①与③C ．②与④D ．②与③8．从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有（） A ．140种 B ．80种 C ．70种 D ．35种 9．过坐标原点且与点（1,3）的距离都等于1的两条直线的夹角为（）A ．90°B ．45°C ．30°D ．60°10．已知函数)(x f 是区间[－1，+∞]上的连续函数，当1111)(,03-+-+=≠x x x f x 时，则f (0)=（）A ．23B ．1C ．32 D ．0 11．设y x y x y x +≥-->>则且,2)1)(1(0,0的取值范围是（）A ．),222[+∞+B ．]12,0(+C ．)12,0(+D ．),222(+∞+12．若]),[(||b a x e y x ∈=的值域为[1，e 2]，则点（a ，b ）的轨迹是图中的（） A ．线段AB 和OA B ．线段AB 和BC C ．线段AB 和DCD ．点A 和点C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．62)(a x xa -展开式的第三项为14．在正三棱锥S —ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱SC=32，则此正三棱锥的外接球的表面积为15．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b=16．定义运算bc ad d c b a-=，若复数x 满足==x x ixi 则,22322三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=的定义域，值域和最小正周期.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F.（Ⅰ）指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由；（Ⅱ）求直线A 1C 与DE 所成的角；（Ⅲ）设P 为侧面BCC 1B 1上的动点，且,332 AP 试指出动点P 的轨迹，并求出其轨迹所表示曲线的长度.19．（本小题满分12分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这次枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.（Ⅰ）分别求ξ和η的期望；（Ⅱ）规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.20．（本小题满分12分）过椭圆1422=+y x 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M 、N 两点，设.23||= （Ⅰ）求直线l 的斜率k ；（Ⅱ）设M 、N 在椭圆右准线上的射影分别为M 1、N 1，求11N M ⋅的值.21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且)3(21n n S n a +=对一切正整数n 恒成立. （Ⅰ）证明数列}3{n a +是等比数列；（Ⅱ）数列}{n a 中是否存在成等差数列的四项？若存在，请求出一组；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）函数1)(23+--=x x x x f 的图象上有两点A （0，1）和B （1，0）（Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a 使得函数)(x f 的图象在x =a 处的切线平行于直线AB ；（Ⅱ）设m>0，记M （m ，)(m f ），求证在区间（0，m ）内至少有一实数b ，使得函数图象在x =b 处的切线平行于直线AM.高三数学参考答案及评分标准（理科）一、每小题5分，共60分.CBCAC ABDCA AB 二、每小题4分，共16分. 13．x 15 14．π36 15．4或4116． i 22±- 三、解答题 17．解：)sin )(cos sin (cos 2)cos 2cos sin 2)(cos sin 1()(2x x x x x x x xxx f +-=+-= x x x 2cos 2)sin (cos 222=-= ………………6分函数的定义域为},2,|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ 22cos 222-≠⇔+≠x k x ππ∴函数)(x f 的值域为]2,2(- …………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………12分 18．解：（Ⅰ）F 为A 1D 1的中点证明：由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 面ABCD//面A 1B 1C 1D 1 面B 1EDF ∩面ABCD=DE 面B 1EDF ∩面A 1B 1C 1D 1=B 1F ∴B 1F//DE ，同理：B 1E//DF ∴四边形DEB 1F 为平行四边形 ∴B 1F=DE ，又A 1B 1=CD Rt △A 1B 1F ≌Rt △CDE∴A 1F=CE=112121D A =∴F 为A 1D 1的中点 …………4分（Ⅱ）过点C 作CH//DE 交AD 的延长线于H ，连结A 1H则A 1C 与DE 所成的角就等于A 1C 与CH 所成的锐角即∠A 1CH （或其补角）由于正方体的棱长为1，E 为BC 中点 ∴可求得A 1C=25,213,31==CH H A 在△A 1CH 中，由余弦定理得： 151525324134532cos 1212211=⋅-+=⋅⋅-+=∠CH C A H A CH C A CH A ∴1515arccos1=∠CH A ，即直线A 1C 与DE 所成的角为1515arccos …………8分（Ⅲ）由于点A 到侧面BCC 1B 1的距离等于AB=1∴A 、P 、B 构成直角三角形的三个顶点 ∴B AB AP BP ,3322=-=为定点 ∴点P 的轨迹是以B 为圆心，33为半径的四分之一的圆 ∴它的长度等于：ππ6333241=⋅ …………12分 19．解：（Ⅰ）依题意ζ~B （3，0.5），η~B （2，0.5），所以E ζ=3×0.5=1.5, E η=2×0.5=1 ………………4分（Ⅱ）P （ζ=0）=83)21()1(,81)21(331303====C P C ζ81)21()3(,83)21()2(333323======C P C P ζζ21)21()1(,41)21()0(212202======C P C P ηη41)21()2(222===C P η …………7分甲获胜有以下情形：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2 则甲获胜的概率为 21)412141(81)2141(8341831=++⨯++⨯+⨯=P乙获胜有以下情形：η=1，ζ=0，η=2，ζ=0，1则乙获胜的概率为 163)8381(4181212=+⨯+⨯=P …………12分 20．解：（Ⅰ）F （0,3） l ：)3(-=x k y …………2分由041238)41(,)3(44222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧-==+k x k x k x k y y x 得 …………4分设M 222122114138),,(),,(kk x x y x N y x +=+则 ① 222141412k k x x +-=⋅ ② 2122122124)(1||1||23x x x x k x x k -++=-+== ③ 把①②代入③，并整理，得2241)1(423kk ++= 解得 25±=k …………6分（Ⅱ）设11N M 与的夹角为20,πθθ<< 则由（Ⅰ）知52tan 25)2tan(=∴=-θθπ∴35cos =θ ∴4595)23(cos ||cos ||||2221111=⨯===⋅θθMN N M MN N M MN ……12分 21．解：（Ⅰ）由已知，得)(32+∈-=N n n a S n n ∴)1(3211+-=++n a S n n 两式相减得 32211--=++n n n a a a∴321+=+n n a a ………………2分即)3(231+=++n n a a ∴2331=+++n n a a 又32111-==a S a ∴63311=+=a a故数列}3{+n a 是首项为6，公比为2的等比数列 …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）1263-⋅=+n n a ∴3233261-⋅=-⋅=-n n n a假设}{n a 中存在四项依次为)(,,,,43214321m m m m a a a a m m m m <<<，它们可以构成等差数列，则)323()323()323()323(3241-⋅+-⋅=-⋅+-⋅m m m m 即32412222m m m m +=+⋅ ………………9分上式两边同除以12m ，得1+131214222m m m m m m ---+= ①∵m 1，m 2，m 3，m 4∈N +，且m 1<m 2<m 3<m 4∴①式的左边是奇数，右边是偶数 ∴①式不能成立∴数列}{n a 中不存在构成等差数列的四项 …………12分22．（Ⅰ）解：直线AB 斜率k AB =－1 123)(2--='x x x f令1123)10(1)(2-=--<<-='a a a a f 即解得 32=a …………………………4分（Ⅱ）证明：直线AM 斜率 101)1(223--=--+--=m m m m m m k AM 考察关于b 的方程1)(2--='m m b f即3b 2－2b －m 2+m=0 ………………7分在区间（0，m ）内的根的情况令g(b)= 3b 2－2b －m 2+m ，则此二次函数图象的对称轴为31=b 而0121)21(31)31(22<---=-+-=m m m g g(0)=－m 2+m=m(1－m)g(m)=2m 2－m －m(2m －1) ………………10分∴（1）当),0(0)(,0)(,0)0(,210m b g m g g m 在区间方程时=<><<内有一实根（2）当)31,0(0)(,0)31(,0)0(,121在区间方程时=<><≤b g g g m 内有一实根（3）当),31(0)(,0)(,0)31(,1m b g m g g m 在区间方程时=><≥内有一实根综上，方程g(b)=0在区间（0，m）内至少有一实根，故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM…………14分。

河北省唐山市第一中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。

3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。

卷Ⅰ（选择题共60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1. 若全集U=R,集合M ＝错误！未找到引用源。

，N ＝错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是（） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3. 若直线60x ay ++=与直线(2)320a x y a -++=平行，则a = （） A ．1a =- B ． 13a a =-=或 C ．3a = D. 13a a =-=且 4．已知 “命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（） A ．17m m ><-或 B ．17m m ≥≤-或 C ．71m -<< D ．71m -≤≤ 5．右图是函数()2f x x ax b =++的部分图像，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（）A. 1142（，）B. （1,2）C. 12（，1）D. （2,3）6．已知错误！未找到引用源。

，若直线错误！未找到引用源。

与线段错误！未找到引用源。

有一个公共点，则错误！未找到引用源。

（）A ．最小值为错误！未找到引用源。

2018届河北省唐山一中高三上学期调研考试理科数学试题及答案

2018届高三调研考试理科数学试卷（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N = ( )A ．1[0,)2B ．1(,1]2- C ．1[1,)2- D ．1(,0]2-2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3．设向量11(1,0),(,)22a b == ，则下列结论中正确的是( )A ．||||a b =B．2a b = C ．//a b D ．()a b b -⊥4．下列关于命题的说法错误的是( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝：,21000n n N ∀∈≤；D ．命题“(,0),23x x x ∃∈-∞< ”是真命题．5．右图是一容量为100则由图可估计样本的重量的中位数为( ) A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.56．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④③②B ．①④②③C ．④①②③D ．③④②①7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ== 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα8．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )xA ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-= 9．已知函数00x a e ,x f (x )ln x,x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程0f (f (x ))=，有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,-∞B ．()()001,,-∞C ．()01,D ．()()011,,+∞ 10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A ．3πB ．π4C ．π2D ．π2511．已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中的常数项是( ) A ．-20 B ．20 C ．-540 D ．54012．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( )A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷与参考答案

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高三理科数学参考答案第 4 页
当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ． 2 2 （2）∵a ＋b ≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b) 2＝4， ∴a2＋b2≥2， ∴(a＋b3)(a3＋b)＝a4＋b4＋a3b3＋ab≥a4＋b4＋2a2b2＝(a2＋b2) 2≥4，当且仅当 a＝b＝1 时，取“＝” ．
唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题： A 卷：CDBAA B 卷：二．填空题：（13）－4 （14）7 （15）2π 3 3 （16） 2 CDBAC BC
三．解答题：（17）解：（1）令 n＝1，得 a1＋ a1＝2，( a1＋2)( a1－1)＝0，得 a1＝1，所以 Sn＝n，即 Sn＝n2．当 n≥2 时，an＝Sn－Sn-1＝2n－1，当 n＝1 时，a1＝1 适合上式，所以 an＝2n－1． an＋1 2n＋1 1 1 －－－（2）bn＝(－1)n 1• ＝(－1)n 1• 2 ＝(－1)n 1• ＋ n n＋1 Sn＋n n ＋n 当 n 为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝＋－＋＋＋－＋＋…－＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋1 1 n ＝1－＝， n＋1 n＋1 当 n 为奇数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝＋－＋＋＋－＋＋…＋＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋1 n＋2 1 ＝1＋＝， n＋1 n＋1 n ，(n为偶数)， n＋1 综上所述，Tn＝ n＋2 ，(n为奇数)． n＋1 另解： Tn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 －＝＋－＋＋＋－＋＋…＋(－1)n 1• ＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 n n＋ 1 1 －＝1＋(－1)n 1• n＋1 － n＋1＋(－1)n 1 ＝ . n＋1 （18）解：

2018年高三最新河北唐山2018年上学期高三数学(理)期

河北唐山18-18年上学期高三数学(理)期末考试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）设集合A={x | x=m21，m ∈N}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有（A ）x 1+x 2∈A （B ）x 1x 2∈A （C ）x 1-x 2∈A （D ）21x x ∈A （2）函数f （x ）=cos2xcos （x+3π）-sin2xsin （x+3π），若f （x ）=0，则x 可以是（A ）34π （B ）65π （C ）92π （D ）18π （3）曲线ρ=cos θ截直线θ=6π所得线段长为（A ）21 （B ）1 （C ）23 （D ）3 （4）已知复数z 1=1-i ，z 2=3+i ，则z=21z z 在复平面内对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（5）已知0＜x ＜21，则下列不等式成立的是（A ）log x （1-x ）＞1 （B ）0＜log x （1-x ）＜1（C ）-1＜log x （1-x ）＜0 （D ）log x （1-x ）＜-1（6）将一个半圆卷成一个圆锥的侧面，则圆的侧面积与底面积之比为（A ）3 （B ）1 （C ）4 （D ）2（7）已知实数a ，b 满足，2a +2b =4，则（A ）a+b 有最大值2 （B ）a+b 有最小值2（C ）ab 有最大值2 （D ）ab 有最小值2（8）棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D ，则四面体A 1C 1BD 的体积为（A ）31 （B ）61 （C ）63 （D ）123 （9）生产商品m 件，其中有2件是次品，现在抽取2件进行检验，若有次品的抽法共有197种，则m 的值为（A ）197 （B ）97 （C ）100 （D ）200（10）已知数列{a n }的通项公式a n =log 221++n n （n ∈N ），设其前n 项和为S n ，则使S n ＜-5成立的自然数n（A ）有最小值63 （B ）有最大值63 （C ）有最小值31 （D ）有最大值31 （11）在双曲线2222by a x -=1上有一个点P ，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°，且△F 1PF 2三条边成等差数列，则此双曲线的离心率是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（12）某地2018年人均GDP （国内生产总值）为8000元，预计以后年增长率为10%，欲使该地区人均GDP 超过16000元，至少要经过（A ）4年（B ）5年（C ）8年（D ）10年第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

河北省唐山一中2018届高三下学期开学数学试卷理科含解析

2018-2018学年河北省唐山一中高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题．1．复数z=的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．x2﹣y2=14．若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．45．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）A．B．C．D．7．已知α∈（0，π），若tan（﹣α）=，则sin2α=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．8．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ． 9．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8﹣2πB ．8﹣πC ．8﹣D ．8﹣10．若函数y 1=x 1lnx 1，函数y 2=x 2﹣3，则的最小值为（）A ．B ．1C ．D ．211．若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t ∈R ）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=（b ∈R ）．若存在x ∈[，2]，使得f （x ）+xf ′（x ）＞0，则实数 b 的取值范围是（）A ．（﹣∞，）B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，3）D ．（﹣∞，）二、填空题13．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．14．在正三棱锥S ﹣ABC 中，AB=，M 是SC 的中点，AM ⊥SB ，则正三棱锥S ﹣ABC外接球的球心到平面ABC 的距离为．15．△ABC 中，tanA 是以﹣4为第三项，﹣1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为． 16．已知函数f （x ）=xcosx ，有下列4个结论：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②存在常数T ＞0，对任意的实数x ，恒有f （x +T ）=f （x ）成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数x 0，使得|f （x 0）|≥M ；④函数f （x ）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行．其中，所有正确结论的序号为．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为Aa ，b ，c ，且满足=（1）若4sinC=c 2sinB ，求△ABC 的面积；（2）若+=4，求a 的最小值．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3+S 5=50，a 1，a 4，a 13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．20．设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程，（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．22．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．2018-2018学年河北省唐山一中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．1．复数z=的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先化简复数为最简形式，然后求出共轭复数，根据对应点坐标找到位置．【解答】解：复数z====i（1+i）=﹣1+i；其共轭复数为：﹣1﹣i，对应点为（﹣1，﹣1），在第三象限；故选C．【点评】本题考查了复数的运算、共轭复数以及复数的几何意义；属于基础题．2．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．x2﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴e==，即c=a，则b2=c2﹣a2=a2﹣a2=a2，则双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线过点（2，），∴=1，即=1，得a2=2，b2=3，则双曲线C的标准方程为，故选：A【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系进行求解是解决本题的关键．4．若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】定积分．【分析】利用定积分公式得到关于a 的方程解之．【解答】解：由，，所以，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确运用定积分公式．5．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】条件p：由于|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即可得出m的取值范围；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，可得0＜7﹣3m＜1，解得m范围即可得出．【解答】解：条件p：∵|x﹣1|+|x﹣3|≥|3﹣1|=2，而关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m 有解，∴m＞2；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，∴0＜7﹣3m＜1，解得．则p成立是q成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了含绝对值不等式的性质、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．7．已知α∈（0，π），若tan（﹣α）=，则sin2α=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得tan α的值，可得sin2α=的值．【解答】解：∵α∈（0，π），tan （﹣α）==，∴tan α=，∴sin2α====，故选：B ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，属于基础题．8．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n ；求出展开式的项数；令通项中x 的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：展开式的通项为∴展开式的前三项系数分别为∵前三项的系数成等差数列∴解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为=当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率P=．故选D【点评】解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空．9．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣，柱体的高h=2，故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．10．若函数y1=x1lnx1，函数y2=x2﹣3，则的最小值为（）A．B．1 C．D．2【考点】对数的运算性质．【分析】利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：令f（x）=xlnx，g（x）=x﹣3，f′（x）=lnx+1，令lnx0+1=1，解得x0=1，∴可得y=x与曲线f（x）=xlnx相切于点P（1，0），与g（x）=x﹣3平行，∴点P到直线g（x）=x﹣3的距离d的平方即为所求，d==，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出示意图，寻找在何时取得最小值，计算出向量与向量的夹角及||，由可知的终点在一个圆周上，结合图象，找出当取最大值时C 的位置，进行几何计算即可求出．【解答】解：设=， =， =，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B 作BD ⊥AM 交AM 延长线于D ，则BD=，∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．∵，∴（）=0，∴||||cos120°+||2=0， ∴||=2，即MA=2，∵，∴的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，∵O 是AB 中点，∴=2，∴当M ，O ，C 三点共线时，取最大值，∵AB==2，∴OB=0C==，∵MA=MB=2，O 是AB 中点，∴MO ⊥AB ， ∴∠BOC=∠MOA=90°，∴||=BC=OB=．故选：A ．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目作出符合条件的图形是关键．12．已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）【考点】导数的运算．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：B．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．二、填空题13．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480=1290，解得x=390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为=78．故答案为：78．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键．14．在正三棱锥S﹣ABC中，AB=，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S﹣ABC外接球的球心到平面ABC的距离为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】利用正三棱锥S﹣ABC和M是SC的中点，AM⊥SB，找到SB，SA，SC之间的关系．在求正三棱锥S﹣ABC外接球的球心与平面ABC的距离．【解答】解：取AC的中点N，连接BN，因为SA=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN．故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC故得到SB，SA，SC是三条两两垂直的．可以看成是一个正方体切下来的一个正三棱锥．故外接圆直径2R=∵AB=，∴SA=1．那么：外接球的球心与平面ABC的距离为正方体对角线的，即d=．故答案为：．【点评】本题考查了正三棱锥外接球的球心与和棱长的关系，才能求出球心与平面的距离问题．属于中档题．15．△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，﹣1为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为锐角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质，可求出tanA和tanB，代入两角和的正切公式，结合诱导公式，可得tanC的值，判断出三个角的大小，进而判断出三角形的形状．【解答】解：设以﹣4为第三项，﹣1为第七项的等差数列的公差为d则d=，即tanA=；设以为第三项，4为第六项的等比数列的公比为q，则q=，即tanB=2．则tan（A+B）=﹣tanC=．即tanC=．∴A，B，C均为锐角，则△ABC为锐角三角形．故答案为：锐角三角形．【点评】本题考查的知识点是等差数列及等比数列，其中根据已知分别求出三个角的正切值是解答的关键，是中档题．16．已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M；④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行．其中，所有正确结论的序号为③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分析函数的奇偶性，周期性，值域，极值点个数，可得答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx为奇函数，故函数f（x）的图象关于原点对称，故①错误；函数不是周期函数，故不存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立，故②错误；函数f（x）=xcosx的值域为R，故对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M，故③正确；函数有无数个极值点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行，故④正确；故答案为：③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了函数的图象和性质，难度中档．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）运用正弦定理和同角的商数关系，即可得到角A，再由三角形的面积公式，计算即可得到；（2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，由余弦定理和基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：（1）由正弦定理，可得==1，即有tanA=，由0＜A＜π，可得A=，由正弦定理可得4c=bc2，即有bc=4，△ABC的面积为S=bcsinA=×4×=；（2）+=4，可得c2﹣accosB=4，由余弦定理，可得2c2﹣（a2+c2﹣b2）=8，即b2+c2﹣a2=8，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即有bc=8，由a2=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，当且仅当b=c时，a取得最小值，且为2．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查向量的数量积的定义和性质，以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n3n﹣1=（2n+1）3n﹣1T n=3+53+732+…+（2n+1）3n﹣13T n=33+532+733+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n﹣2T n=3+23+232+…+23n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n3n．【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．19．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，从而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能证明AC ⊥FB．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小．【解答】解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4∴，，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（1）知平面FCB的法向量为，∴，…设平面EFB的法向量为，则有：令z=1则，…设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，，∵，∴．…【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区域U的整点的个数N，平面区域V的整点个数为n，这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；（2）依题可得：平面区域U的面积为：π22=4π，平面区域V的面积为：，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为，易知：X的可能取值为0，1，2，3，则X∽B（3，），代入概率公式即可求得求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，∴（2）依题可得：平面区域U的面积为：π22=4π，平面区域V的面积为：，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为，易知：X的可能取值为0，1，2，3，且，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴X的数学期望：（或者：，故．【点评】此题是个中档题．考查古典概型和几何概型以及二项分布的期望求法，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程，（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，可得d═=b，解得a=4，b=2，c=2，故椭圆C的方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，得（4+3m2）y2+18my﹣21=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由A，P，M三点共线可知，=，即y M=；同理可得y N=．所以k1k2==．因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，所以k1k2===﹣．即k1k2为定值﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．22．设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=﹣，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，∴方程xf（x）﹣=﹣没有实数根．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查构造函数方法的运用，有难度．。

河北省唐山一中2018届高三上学期期中数学试卷理科含解析

2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣14．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤15．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．28．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈10．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+311．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．15．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，n=1，2，3…，求和：．（2）若b n=log4a2n+118．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，∵全集U=R，∴∁U N={x|x≤﹣1或x≥3}则M∩（∁U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．故选：B．2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行可得1×3﹣a（a﹣2）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，∴1×3﹣a（a﹣2）=0，解得a=3或a=﹣1，经验证当a=3时，两直线重合，应舍去故选：A．4．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由p是q的必要不充分条件得到q能推出p，p 推不出q，即q是p的真子集，根据两解集列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可求出m的范围．【解答】解：由命题p中的不等式（x﹣m）2＞3（x﹣m），因式分解得：（x﹣m）（x﹣m﹣3）＞0，解得：x＞m+3或x＜m；由命题q中的不等式x2+3x﹣4＜0，因式分解得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以q⊊p，即m+3≤﹣4或m≥1，解得：m≤﹣7或m≥1．所以m的取值范围为：m≥1或m≤﹣7故选B5．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为【考点】简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by﹣1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d=，那么a2+b2的最小值为：d2=．故选A．7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．当且仅当||=|﹣|即时，．即可得出．【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．8．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM ，由此能求出结果．【解答】解：过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积：V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM=+S △EPQ •NQ +=++=5（立方丈）．故选：B ．10．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a +b=（）A ．B ．﹣C ．+3 D ．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a ，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）． ∴f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a ＜0，由f （2a ）=f （3b ）得f （2a ）=f （9），即2a 2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．11．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图还原实物图；异面直线及其所成的角．【分析】由题意还原出实物图形的直观图，如图从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，在此图形中根据所给的数据求异面直线DO和AB所成角的余弦值【解答】解：由题意得如图的直观图，从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，取AC中点E，连接OE，则OE=1，又可知AE=1，由于OE∥AB，，故角DOE即所求两异面直线所成的角在直角三角形DAE中，求得DE=由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO=在直角三角形DAO中可以求得DO=在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE==故选A12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为0．【考点】基本不等式．【分析】利用分离常数法化简解析式，并凑出积为定值，由x的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值．【解答】解：由题意得，y=+x===，∵﹣1＜x＜1，∴﹣2＜x﹣1＜0，则0＜﹣（x﹣1）＜2，∴=2，则，当且仅当时，此时x=0，取等号，∴函数的最大值是0，故答案为：0．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．【考点】数列的求和．【分析】由a n=n（cos2）=ncosπ可得数列是以3为周期的数列，且，代入可求【解答】解：∵a n=n（cos2）=ncosπS30=[]=故答案为1515．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】根据条件画出图象，由图求出底边上的高和sinA的值，由正弦定理求出sinC，设CE=x，CF=y，利用三角形的面积公式求出S1和S2=S﹣S1，由条件列出方程化简后，三角形ABC根据基本不等式求出xy的范围，代入化简后求出的最大值．【解答】解：设E、F分别在AC和BC上，如图所示：取AB的中点D，连接CD，∵AB=4，AC=BC=3，∴CD==，则sinA==，由得，sinC===，设CE=x，CF=y，所以S1=xysinC=，﹣S1=2﹣S1=，则S2=S三角形ABC由条件得x+y=3﹣x+4﹣y+3，化简得x+y=5，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，所以===≤=，当且仅当x=y=时取等号，则的最大值是，故答案为：．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为 ①②③④ ．（写出所有正确命题的序号）【考点】分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0， ∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1，即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x +T 也是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3=7，且a 1，a 2，a 3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =log 4a 2n +1，n=1，2，3…，求和：．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】（1）由已知得：，设数列{a n }的公比为q ，把等比数列的通项公式代入，求出q=2，a 1=1，由此得到数列 {a n }的通项公式．（2）先求出 b n =log 4 4n =n ，要求的式子即，用裂项法求出它的值．【解答】解：（1）由已知得：，解得 a 2=2．设数列{a n }的公比为q ，由 a 2=2，可得 a 1=，a 3=2q ，又S 3=7，可知+2+2q=7，即 2q 2﹣5q +2=0，解得 q=2，或q=．由题意得q＞1，∴q=2，a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）得a2n+1=22n=4n，由于b n=log4 a2n+1，∴b n=log4 4n=n．=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．18．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC 的形状；（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理可得：结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A∵a＞b，∴A＞B∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=∴△ABC是直角三角形；（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=∴AC=，BC=∴f（θ）==cosθ+=cos（θ﹣），∴θ=时，f（θ）的最大值为．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用三角恒等变换，可化简f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由已知=4，化简整理可得bc=8，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA 结合不等式即可求得a的最小值．【解答】解：（1）因此，最小正周期为T=π…，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…（2）由题知：=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为2…20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD ⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）先求出|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，由此能求出结果．（2）设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，从而求出x A，x B，由此能求出直线AB与直线PM垂直．【解答】解：（1）因为点P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以=．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值h=d+r=，最大面积，此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．（2）直线AB与直线PM垂直，理由如下：因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以x A=，同理，===1，又k PM=，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2018年12月15日。

唐山市2018-2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学答案

唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDBAA CDBAC BCB 卷：CDCAA CDBABBC二．填空题：（13）－4（14）7（15）2π（16）332三．解答题：（17）解：（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n －1． …6分（2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n＝(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)…8分当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1n ＋1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(1n ＋1n ＋1)＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1综上所述，T n ＝错误! …12分另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1 1＋ 1 2)－(1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(－1)n －1•(1n ＋1n ＋1)＝1＋(－1)n －1•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1…12分（18）解：（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ，因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ，又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ，所以BC ⊥平面PBE ． …5分（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ，因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE ． …7分分别以OB ，OP 所在直线为x ，z 轴，过O 且平行BC 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则P (0，0，3) ，C (1，4，0)， F (－1，2，0)．PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0，则m ＝(－1，1，3)，易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3) 2＝1 5＝55，所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值55．…12分（19）解：（1）当k ＝1 2时，直线l ：y ＝ 12(x ＋4)即x －2y ＋4＝0．此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0y 2＝2px得y 2－4py ＋8p ＝0，由∆＝0即16p 2－32p ＝0，得p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x ． …5分（2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，其中k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x得：ky 2－4y ＋16k ＝0，由∆＝16－64k 2＞0知：k 2＜14．根据韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4 k ，y 1y 2＝16， …① 又A 为PB 的中点，得：y 1＝12y 2，…②由①②得：k 2＝29，符合∆＞0，所以|AB |＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2＝211. …12分（20）解：（1）分层抽样.…2分（2）将列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)2140×60×50×150≈3.175＞2.706，所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 23．X 可取0，1，2，3，4．P (X ＝0)＝1 5×(1 3)3＝ 1135，P (X ＝1)＝4 5×(1 3)3＋1 5×C 13×2 3×(1 3)2＝ 10135， P (X ＝2)＝4 5×C 13× 2 3×(1 3)2＋1 5×C 23×(2 3)2×1 3＝ 36 135， P (X ＝3)＝4 5×C 23×( 2 3)2×1 3＋1 5×(2 3)3＝ 56 135， P (X ＝4)＝4 5×( 2 3)3＝ 32 135．X E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝145．…12分（21）解：（1）由f (x )≥0得ax －ln xx≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln xx2．…2分设g (x )＝ln xx 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e，故a 的取值范围是a ≥12e．…6分（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．因为f '(x )＝a －1－ln xx 2，所以⎩⎨⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln tt2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1t－2ln t －1，显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0，所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增； t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减，所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0．故a ＝1． …12分（22）解：（1）当α＝ π2时，l ：x ＝1；当α≠ π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρsin 2θ＝4cos θ得，ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …5分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α，因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－22，因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝ π4或3π4．…10分（23）解：（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”. …5分（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2＝4， ∴a 2＋b 2≥2，∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4，当且仅当⎩⎨⎧ a ＝b ，a 2b 2＝1，即a ＝b ＝1时，取“＝”.…10分。

河北省唐山市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案

河北省唐山市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题含答案唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð（） A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)- 2．复数1(iz i a i+=-是虚数单位，a R ∈）是纯虚数，则z 的虚部为（） A ．12B ．iC ．2D ．2i 3.设m R ∈，则“1m =”是“()22xf x m =⋅+ ”为偶函数的（）A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.若[0,]x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为（） A ．[0,]4πB ．[,]4ππC ．3[0,]4πD ．3[,]4ππ 5. 已知双曲线22:2C x y -=的左右焦点12,,F F O 分别为为坐标原点，点P 在双曲线C 上，且2OP =，则12PF F S ∆=（）A ．4B ．．2 D6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（）A ．2πB ．5πC ．8πD ．10π7. 设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（） A ．23X Z Y += B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （）A ．2 B 1 C 1 D ．129. 甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（） A ．29 B ．49 C ．23 D ．7910. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（）A ．15,120i S ==B ．13,98i S ==C ．11,88i S ==D ．11,81i S ==11. 已知函数()f x 满足()()f x f x '>，在下列不等关系中，一定成立的是（） A ．()()12ef f > B ．()()12ef f < C ．()()12f ef > D ．()()12f ef <12. 在ABC ∆中，090,6C AB ∠==，点P 满足2CP =，则PA PB ⋅uu r uu r的最大值为（）A ．9B ．16C ．18D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.261()x x+展开式的常数项为．（用数字作答） 14.曲线3y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为．15. 在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2SD AD ==，三棱柱111MNP M N P -的顶点都位于四棱锥S ABCD -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为．16.数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，02,90AB AC ADC CAB ==∠=∠=,设DAC θ∠=. （1）若060θ=，求BD 的长度；（2）若030ADB ∠=，求tan θ.18. 为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：0C ）与孵化天数y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：他们分别用两种模型①y bx a =+，②dxy ce =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经计算得21117,13.5,1297,1774nni ii i i x y x yx ======∑∑，（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程.（精确到0.1）121()()ˆˆ,()niii nii x x y y b ay bx x x =---==--∑∑ ，. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，0190ACB AA C ∠=∠=，平面11AA CC ⊥平面ABC .（1）求证：11CC A B ⊥；（2）若12BC AC AA ==，求11A BC A --.20. 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点. （1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值. 21.设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- . （1）证明：()f x 在(0,1)上单调递减；（2）若01a x <<<，证明：()1g x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:cos 3C ρθ=，点(1,)P π，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）过点P 的直线l 交1C 于点,A B ，交2C 于点Q ，若PA PB PQ λ+=，求λ的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲已知220,0,0,0,1,1a b c d a b ab cd >>>>+=+>. （1）求证：2a b +≤；（2c d =+ 能否成立，并说明理由.唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：BACDB CDBDC AB B 卷：BACDC CDBDB AB 二．填空题：（13）15（14）12（15）1 （16）[2，＋∞)三．解答题： 17．解：（1）由题意可知，AD ＝1．在△ABD 中，∠DAB ＝150°，AB ＝23，AD ＝1，由余弦定理可知，BD 2＝(23)2＋12－2×23×1×(－32)＝19,BD ＝19．（2）由题意可知，AD ＝2cos θ，∠ABD ＝60°－θ，在△ABD 中，由正弦定理可知，ADsin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB，即2cos θsin(60°－θ)＝43，整理得tan θ＝233．18．解：（1）应该选择模型①．（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数x －＝ 15(18×6－18)＝18；y －＝ 15(12.25×6－13.5)＝12．5i ＝1∑x i y i ＝1283.01－18×13.5＝1040.01；5i ＝1∑x 2i ＝1964.34－182＝1640.34．b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝1040.01－5×18×121640.34－5×182≈－1.97，a ˆ＝y -－b ˆx -＝12＋1.97×18≈47.5，所以y 关于x 的线性回归方程为：y ˆ＝－2.0x ＋47.5．19．解：（1）因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，因为C 1C 平面AA 1C 1C ，从而有BC ⊥C 1C ．因为∠A 1CC 1＝90°，所以A 1C ⊥C 1C ，又因为BC ∩A 1C ＝C ，所以C 1C ⊥平面A 1BC ，A 1B 平面A 1BC ，所以CC 1⊥A 1B ．（2）如图，以C 为坐标原点，分别以CB →，CA →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ．由∠A 1CC 1＝90°，AC ＝2AA 1得A 1C ＝AA 1．不妨设BC ＝AC ＝2AA 1＝2，则B (2，0，0)，C 1(0，－1，1)，A (0，2，0)，A 1(0，1，1)，所以A 1C 1→＝(0，－2，0)，BC 1→＝(－2，－1，1)，AB →＝(2，－2，0)，设平面A 1BC 1的一个法向量为m ，由A 1C 1→·m ＝0，BC 1→·m ＝0，可取m ＝(1，0，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ，由BC 1→·n ＝0，AB →·n ＝0，可取n ＝(1，1，3)．cosm ，n ＝m ·n |m ||n |＝75555，又因为二面角A 1-BC 1-A 为锐二面角，所以二面角A 1-BC 1-A 的余弦值为75555．20．解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝4y 1＋4y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝ 12·|NC |·|x D |＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝ 12·|FM |·|y D |＝ 12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)，则S △NDC S △FDM ＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 14m2＋1≥2，当且仅当m 2＝ 14m 2，即m 2＝ 1 2时取等号．所以，S △NDCS △FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分． 21．解：（1）f (x )＝1－ 1x－ln x(x －1)2．令h (x )＝1－1x－ln x ，则h(x )＝1x 2－ 1 x ＝1－xx2，x ＞0，所以0＜x ＜1时，h (x )＞0，h (x )单调递增，又h (1)＝0，所以h (x )＜0，即f (x )＜0，所以f (x )单调递减．（2）g(x )＝a x ln a ＋axa －1＝a (ax －1ln a ＋x a －1)，当0＜a ≤1 e时，ln a ≤－1，所以a x －1ln a ＋x a －1≤x a －1－a x －1．由（Ⅰ）得ln x x －1＜ln a a －1，所以(a －1)ln x ＜(x －1)ln a ，即x a －1＜a x －1，所以g(x )＜0，g (x )在(a ，1)上单调递减，即g (x )＞g (1)＝a ＋1＞1．当1e＜a ＜1时，－1＜ln a ＜0．令t (x )＝a x－x ln a －1，0＜a ＜x ＜1，则t (x )＝a x ln a －ln a ＝(a x－1)ln a ＞0，所以t (x )在(0，1)上单调递增，即t (x )＞t (0)＝0，所以a x＞x ln a ＋1．所以g (x )＝a x＋x a＞x a＋x ln a ＋1＝x (x a －1＋ln a )＋1＞x (1＋ln a )＋1＞1．综上，g (x )＞1．22．解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0；曲线C 2的直角坐标方程为：x ＝3．（2）P 的直角坐标为(－1，0)，设直线l 的倾斜角为α，(0＜α＜ π 2)，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，0＜α＜ π2)代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t ＋1＝0， t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)直线l 的参数方程与x ＝3联立解得，t 3＝4cos α，由t 的几何意义可知，|PA |＋|PB |＝2(sin α＋cos α)＝λ|PQ |＝4λcos α，整理得，4λ＝2(sin α＋cos α)cos α＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2sin (2α＋ π4)＋1，由0＜α＜ π 2， π 4＜2α＋ π 4＜5π4，所以，当2α＋ π 4＝ π 2，即α＝ π8时，λ有最大值 1 4(2＋1)．23．解：（1）由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3(a ＋b 2)2＋1，当且仅当a ＝b 时，取等号．解得(a ＋b )2≤4，又a ，b ＞0，所以，a ＋b ≤2．（2）不能成立．ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2，因为c ＞0，d ＞0，cd ＞1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d2＋cd ＞c ＋d2＋1，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．。

河北省唐山市2018届高三上学期期末数学试卷理科含解析

2018-2018学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．52．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C．D．53．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．26．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等+1差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A． B．10 C．8 D．510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C．D．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．14．已知{a n}是等比数列，，则a7=．15．设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．16．已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin （x1+x2）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A ﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式： K 2=，其中n=a +b +c +d19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA=2，求二面角A ﹣PD ﹣B 的余弦值．20．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），圆O ：x 2+y 2=1．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF |；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求|MN |的最小值及相应p 的值． 21．已知函数．（1）求y=f （x ）的最大值；（2）当时，函数y=g （x ），（x ∈（0，e ]）有最小值．记g （x ）的最小值为h （a ），求函数h（a）的值域．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=a|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．2018-2018学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．2．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C．D．5【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件求得，=的坐标，再根据cosθ=计算求得它的值．【解答】解：∵向量与的夹角为θ，且，∴==（2，1），则cosθ===﹣，故选：A．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等+1差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n =a n +1﹣a n +a n ﹣a n ﹣1=2d 为常数，则数列{b n }为等差数列，即充分性成立，若数列{b n }为等差数列，设公差为b ，则n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n =a n +1﹣a n ﹣1=d 为常数，则无法推出a n ﹣a n ﹣1为常数，即无法判断数列{a n }为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”充分不必要条件，故选：A7．执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（）A ．1B ．﹣1C ．﹣4D ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b ，a ，i 的值，观察a 的取值规律，可得当i=40时不满足条件i ＜40，退出循环，输出a 的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，a=﹣4满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3 满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4 满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5 …观察规律可知，a 的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A． B．10 C．8 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若|OE |=2|ON |，则 Γ的离心率为（）A ．3B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE 和BN 的方程，求出N ，E 的坐标，利用|OE |=2|ON |的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF ⊥x 轴，∴设M （﹣c ，0），则A （﹣a ，0），B （a ，0），AE 的斜率k=，则AE 的方程为y=（x +a ），令x=0，则y=，即E （0，），BN 的斜率k=﹣，则AE 的方程为y=﹣（x ﹣a ），令x=0，则y=，即N （0，），∵|OE |=2|ON |，∴2||=||，即=，则2（c ﹣a ）=a +c ，即c=3a ，则离心率e==3，故选：A12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．14．已知{a n}是等比数列，，则a7=1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．15．设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16．已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A ﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，结合sinB≠0，可求cosB=﹣，进而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…=acsinB=a2=2，得a=2．…由S△ABC18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式： K 2=，其中n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）列出表格根据公式计算出K 2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ～B （3，）．即可得出．【解答】解：（1）k==≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），E（X）=3×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD ﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB=PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD． (6)解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），则cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆O：x2+y2=1．（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p 的值．【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）求出F（1，0），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A的纵坐标，然后求解|AF|．（2）设M（x0，y0），求出切线l：y=（x﹣x0）+y0，通过|ON|=1，求出p=且﹣1＞0，求出|MN|2的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．【解答】解：（1）由题意得F（1，0），从而有C：x2=4y．解方程组，得y A=﹣2，所以|AF|=﹣1．…（2）设M（x0，y0），则切线l：y=（x﹣x0）+y0，整理得x0x﹣py﹣py0=0．…由|ON|=1得|py0|==，所以p=且﹣1＞0，…所以|MN|2=|OM|2﹣1=+﹣1=2py0+﹣1=+﹣1=4++（﹣1）≥8，当且仅当y0=时等号成立，所以|MN|的最小值为2，此时p=．…21．已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f′（x）=（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．（2）求出g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=时，②当a∈[0，），分别求解函数的单调性与最值即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=．…（2）g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]得：①当a=时，﹣a≤0，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x=e时，g（x）取得最小值g（e）=h（a）=﹣．…②当a∈[0，），f（1）=0≤a，f（e）=＞a，所以存在t∈[1，e），g′（t）=0且lnt=at，当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（t，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（t）=h（a）．…令h（a）=G（t）=﹣t，因为G′（t）=＜0，所以G（t）在[1，e）单调递减，此时G（t）∈（﹣，﹣1]．综上，h（a）∈[﹣，﹣1]．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：x+y=4可得曲线C1的极坐标方程；先将曲线C2化为普通方程，进而可得曲线C2的极坐标方程；（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，则=，进而得到答案．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=4，C2的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，所以曲线C2的极坐标方程为：ρ=2cosθ．…（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，…==×2cosα（cosα+sinα）=（cos2α+sin2α+1）= [cos（2α﹣）+1]，…当α=时，取得最大值（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=a|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（）=4利用解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=所以，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，又f（0）=f（）=4，故f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤}．…（2）①若a＞1，f（x）=（a﹣1）|x﹣1|+|x﹣1|+|x﹣a|≥a﹣1，当且仅当x=1时，取等号，故只需a﹣1≥1，得a≥2．…②若a=1，f（x）=2|x﹣1|，f（1）=0＜1，不合题意．…③若0＜a＜1，f（x）=a|x﹣1|+a|x﹣a|+（1﹣a）|x﹣a|≥a（1﹣a），当且仅当x=a时，取等号，故只需a（1﹣a）≥1，这与0＜a＜1矛盾．…综上所述，a的取值范围是[2，+∞）．…2018年1月25日。

2018届河北省唐山一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案 (2)

唐山一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合A ={x |y =x -2}， B ={y |y =x -2}，则A ∩B = （）A ．∅B ．RC ．(-∞，2]D ．[0，2]2．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，(1+2i )z 1=-1+3i ，z 2=1+10)1(i +，z 1、z2在复平面上对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则⋅= （）A ．33B ．-33C ．32D ．-324. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（） A.58 B.38 C.23 D.135．在各项均为正数的等比数列}{n a ，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列}{n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-，则点P 一定是△ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 7．对于函数f (x )=x 3cos3(x +6π)，下列说法正确的是（）A ．f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递减 B ． f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递增 C ． f (x )是偶函数且在（6π0，）上递减 D ．f (x )是偶函数且在（6π0，）上递增 8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为A ．532323++ππ＋1B ．523323++ππ＋1C ．53233++ππ D ．52333++ππ 9.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且NM ,316a >-63516a -<<-65a >-63516a -≤≤-关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（） A ．),2[+∞ B ．]2,(--∞ C ．]2,2[- D ．),2[]2,(+∞⋃--∞10．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．411.函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.12.已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b ba a f x dx g x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],ab 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++= . 14. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为．15. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是． 16. 已知函数),()(R b a xb ax x f ∈+=,有下列五个命题 ①不论,a b 为什么值,函数)(x f y =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数)(x f 的极小值是2a ,极大值是2a -; ③若0ab ≠,则函数)(x f y =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点; ④当0ab ≠时,函数)(x f y =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在数列}{n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈.(1)求证: }{n a n -是等比数列;(2)令n n nn S a b ,2=为数列}{n b 的前n 项和,求n S 的表达式.18.（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC AF ⊥；(2)若二面角D AF C --为045，求CE 的长．20. （本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a b y a x (a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()()2x f x ax x e =+其中e 是自然数的底数，a R ∈.(1)当0a <时，解不等式()0f x >；(2)若()[]11f x -在，上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0=a ，求使方程()[]2,1f x x k k =++在上有解的所有整数k 的值.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围：(2)设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.答案及解析：1-5 DAABB 6-10 BCADC 11-12 DC 13.1 14.π8 15.]3,1( 16. ①③④17.解：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n an --=-⨯=-,所以2n n a n =-,12n n n b =- 所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n n S b b b n =+++=-+-++-=+++- 令212222n n nT =+++,则2311122222n n nT +=+++, 两式相减得231111*********2222n n n n n n n T ++=+++-=--, 所以222n n n T +=-,即222n n n S n +=--18.解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． (6)分 ∴3502()12257P M ==．答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分（3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10．依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， (8)分 2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===． (11)分∴ξ的分布列为： … 12分19.20.所以，整数k 的所有值为{-3，1}．22.解析： (I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，。

河北省唐山市2018届高三第一次模拟(一模)考试数学试题(理)

河北省唐山市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2(1-i)=i（） A ．-2+2i B ．2+2i C ．-2-2iD ．2-2i2.设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N ØB ．N M ØC ．M N =D ．R M N =3.已知1tan 2α=-，且(0,π)α∈，则sin 2α=（） A ．45B ．45-C ．35D ．35-4.两个单位向量a ，b 的夹角为120，则2a b +=（）A ．2B ．3C D5.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是（）A ．18B ．16C ．12D ．9 6.已知233a -=，432b -=，ln3c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c << 7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A ．求135...(21)n ++++-B ．求135...(21)n +++++C ．求2222123n +++⋅⋅⋅+ D ．求2222123(1)n +++⋅⋅⋅++8.为了得到函数5πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（） A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A ．5+．9C ．6+．5310.已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若OF FB =，则C 的离心率是（）A ．2B ．3C D ．2 11. 已知函数2()2cos f x x x x =-，则下列关于()f x 的表述正确的是（） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．0R x ∃∈，()f x 的最小值为1- C ．()f x 有4个零点 D ．()f x 有无数个极值点12.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是（）A BC ．12D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设x ，y 满足约束条件0230210x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则23z x y =+的最小值是．14.6(21)x -的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15. 已知P 为抛物线2y x =上异于原点O 的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则PQNO=． 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，若2c h =，则a bb a+的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，22n n S a n =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2112n n n n n a b a a +++=⋅⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12nT <.18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （i ）求日需求量X 的分布列；（ii ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AAC C ，90BAC ∠=.（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C ∆是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为，B为直线l ：3x =-上的动点，(,0)M m ，AM BM ⊥.当AB l ⊥时，M 与F 重合. （1）若椭圆Γ的方程；（2）若直线BM 交椭圆Γ于P ，Q 两点，若AP AQ ⊥，求m 的值.21.已知函数1()ex f x -=，()ln g x x a =+.（1）设()()F x xf x =，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(3)9x y -+=.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数且0t ≠），3C 与圆1C ，2C 分别交于A ，B ，求2ABC S ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x =+-的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.【参考答案】一．选择题： 1-5：DCBDA 6-10：DCCAB11-12：DB二．填空题： 13.－514.－16015.3216.[2，22]三．解答题：17.解：（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2 n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2 n ＋1－a 2n ＋1，整理得2a n ＋1＝a 2 n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜12．18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．（Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1；P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3；P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X 的分布列为：（ⅱ）当每日进货1此时Y 1的分布列为：此时利润的期望值E (Y 1)180；当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000，此时Y 2的分布列为：此时利润的期望值E (Y 20.4＝1200；因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤． 19.解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ，得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC ⊂平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ．又CA 1⊂平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ．由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)．设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．则cos <n ，m >＝n ·m |n ||m |＝12．又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角，所以二面角A 1-AB -C 的大小为π3．20.解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝b c · b －3＋c＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m 2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m 2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m 2．|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m 2，|AM |2＝2＋m 2，由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |，所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．21.解：（Ⅰ）F (x )＝(x ＋1)e x －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．（Ⅱ）因为f (x )＝e x －1，所以f (x )＝e x－1在点(t ，e t －1)处的切线为y ＝e t －1x ＋(1－t )e t －1；因为g (x )＝1x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝1m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．令h (t )＝(t －1)e t －1－t ＋a ，则ht )＝t e t －1－1由（Ⅰ）得t ＜－1时，h t )单调递减，且h t )＜0；当t ＞－1时，ht )单调递增，又h ＝0，t ＜1时，ht )＜0，所以，当t ＜1时，h t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，ht )＞0，h (t )单调递增．由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0，又h (3－a )＝(2－a )e 2－a ＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0，h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切． 22.解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－π2＜α＜π2，C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3．23.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13．。