中考数学复习二次函数的应用专题导学案
二次函数复习教案1-人教版正式版
课题；二次函数（1）教学目标：1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.教学重、难点：重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．】难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教法与学法指导：本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.课前准备：教师：导学案、课件.学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.教学过程：一、解读中考，弄清目标活动内容1：中考要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.}处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）活动内容1：导入新课导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
初三数学复习课二次函数的应用导学案
二次函数的应用（一）导学案学习目标知识与技能1.梳理本章节的基础知识点，进一步落实基础；2.进一步掌握割补法，特别是水平宽与铅锤高的一半求斜三角形面积的方法；3.掌握线段最值、三角形面积最值间的相互转化方法-化斜为直；4.理解借助平行线转化斜线段最值的方法；过程与方法通过学生课前独立总结与回顾，课堂上老师引导，学生自主进行问题的讨论探究，加强学生对线段最值及三角形面积最值的理解，以及体会数形结合、转化及建模等思想方法在解题中的应用. 情感、态度与价值观1.培养学生总结梳理知识的能力；2.培养学生的提问意识，并在解决自己所提问题的过程中体会到成就感；3.在研究解决问题的方法过程中，培养学生合作交流的意识与探究精神.【学习重点】培养利用二次函数知识解决线段最值、三角形面积最值的能力【学习难点】感受与熟练掌握知识之间的关联和转化.【核心素养】培养数学建模能力、直观想象能力、数学运算能力.一、自主探究（一）课前热身1.如图，根据二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象，你能获得哪些信息？ ①_________________; ②_________________;③_________________; ④_________________;……其他：____________________________________________________________________________2.如图，已知顶点A （1，-4），B （3,0），求出二次函数的解析式.（二）基础梳理二、合作探究探究1 如图，抛物线3-2-2x x y =与y 轴交于点D ，过B 、D 两点作直线BD ，与对称轴交于点E.你能解决图象上的哪些问题？y=x 2-2x -3探究2 连接AD 、AB ，得到△ABD ，你能找到与△ABD 有关的问题吗？探究3 若点P 为BD 下方抛物线3-2-2x x y =上的一个动点，连接PB 、PD ，过P 作y 轴的平行线交BD 于M.请以小组为单位进行合作，尽可能多地提出与动点P 相关的问题.问题1：问题2：问题3：其他：y=x 2-2x -3三、思考还有其他办法求出“当P 的坐标是多少时，BD 边上的高PN 的长度最大”吗？四、课堂小结这节课你有哪些收获？五、课后演练1、抛物线3-2-2x x y =与直线y=x -3交于BD 两点，点P 为BD 下方抛物线上的动点.过P 作PN ⊥BD 于N ，当P 的坐标是多少时，BD 边上的高PN 的长度最大？（至少用两种方法求解）2.（2019宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．。
【学习实践】中考数学复习二次函数的应用专题导学案
中考数学复习二次函数的应用专题导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．2．（XX•滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3B．2c．1D．0分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．3．（XX•济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端o沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面oc，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面oc共需秒．分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则o到对称轴的时间可以求得，进而即可求得oc之间的时间．点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．4．（XX•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…2030405060…每天销售量（y件）…50040030020000…（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？分析：（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出w=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．5．（XX•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．6．（XX•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．【备考真题过关】一、选择题2．（XX•湖州）如图，已知点A（4，0），o为坐标原点，P是线段oA上任意一点（不含端点o，A），过P、o 两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、c，射线oB与Ac相交于点D．当oD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．c．3D．4分析：过B作BF⊥oA于F，过D作DE⊥oA于E，过c 作cm⊥oA于m，则BF+cm是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥cm，求出AE=oE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出oF=PF=x，推出△oBF∽△oDE，△Acm∽△ADE，得出，，代入求出BF和cm，相加即可求出答案．点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．3．（XX•宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限B．第三象限c．第二象限D．第一象限考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．4．（XX•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5B．x＞5c．x＜-1且x＞5D．x＜-1或x＞55．（XX•义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为m；若y1=y2，记m=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时m=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，m值越小；③使得m大于2的x值不存在；④使得m=1的x值是或．其中正确的是（）A．①②B．①④c．②③D．③④分析：利用图象与坐标轴交点以及m值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．6．（XX•大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线c-D-E上移动，若点c、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1B．2c．3D．4分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B 横坐标取最小值时，函数的顶点在c点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的c、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．．（XX•镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0c．0＜m＜1D．m＞1点：抛物线与x轴的交点。
二次函数的应用的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(原卷版)
专题13二次函数的应用的核心知识点精讲1.会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．2.经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。
考点1：用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值考点2：用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【题型1：用二次函数解决抛物线型问题】【典例1】（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？1．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．3．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD 的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【题型2：用二次函数解决最优化问题】【典例2】（2023•丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？1．（2023•绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x （元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）2．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？3．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．【题型3：二次函数的综合应用】【典例3】（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．1．（2023•攀枝花）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．2．（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．一．选择题（共7小题）1．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米B．12米C．11米D．10米2．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③3．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x+125，则销售这款商品每天的最大利润为（）A．125元B．150元C．175元D．200元4．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度y的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒5．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（）A．y＝x（100﹣x）B．y＝x（100﹣6x）C．y＝（100﹣x）（15+x）D．y＝（100﹣6x）（15+x）6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s7．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m二．填空题（共3小题）8．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为xm，当x＝m时，养鸡场的面积最大．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为．三．解答题（共4小题）11．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？12．综合与实践问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．模型建立：（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．问题解决：（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．13．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．1．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．8B．16C．32D．642．竖直上抛的小球的高度h（m）与运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，若小球在上抛后第3s与第7s时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s3．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．该运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使投中，该运动员应该跳得比刚才投篮时（）A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m4．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．6.24米B．6.76米C．7米D．7.24米5．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～200元之间（含100元，200元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（）A．100元B．75元C．50元D．25元6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（）米．A．24B．36C．48D．547．如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC 与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m28．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y轴一点，则m ＝．9．如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN＝6dm，抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x 轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点．（1）求二次函数的表达式；的最大值；（2）如图1，连接PA，PC，AC，求S△P AC（3）如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，连接BC、BP，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）150160180月销售量y件14012080月销售利润w元420048004800注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）．（1）根据上述信息求：①y关于x的函数解析式；②当x是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求m值．1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．22．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．4．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．5．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．6．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝m时，羊圈的面积最大．7．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为．8．（2023•陕西）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC ＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′＝B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．9．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？10．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？11．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．12．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．。
中考数学复习二次函数教案
中考数学专题复习五二次函数【教学笔记】考点一：求二次函数的解析式1、用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.2、已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x-h)²+k.3、已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解；4、所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax²+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解.考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号1、二次函数图象与系数的关系.2、注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.3、二次函数与x、y轴的交点问题，根据题意得出抛物线对称轴.考点三：二次函数与实际问题1、如物体的运动规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等.2、最值问题3、函数与方程结合考点四：二次函数的综合应用1、动点问题2、数形结合3、分类讨论4、与几何图形结合、勾股定理等【典型例题】考点一：求二次函数的解析式【例1】例1：（2016•四川攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ C ）A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1【例2】（2016•资阳）已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．①当点F为M′O′的中点时，求t的值；②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．（2））①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），∴y=﹣x2+x+2．（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．②如图2中，∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大时，EH最大，∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2时，EG最大值=，∴EH最大值=．∴t=2时，EH最大值为．【例3】（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．考点：二次函数综合题分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，∴点C的坐标为（5，4），∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）连结BD交对称轴于G，在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，易证GH=HN，∴点G与点M重合，故直线BD的解析式y=﹣x+4根据抛物线可知对称轴方程为x=，则点M的坐标为（，），即GF=，BF=，∴BM==，又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴点N的坐标为（，0）；（3）过点M作直线交x轴于点P1，易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，由△MKQ1∽△MFP1，得=，易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，∴S2=（5a﹣10+7﹣a），根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣x+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．【课后练习】1、（2016•四川成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（A）A．y=（x+2）2﹣3 B． y=（x+2）2+3 C． y=（x﹣2）2+3 D． y=（x﹣2）2﹣32、(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B （0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．3、(2015年四川资阳)已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．解析：先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．4、(2014年四川成都)将二次函数322+-=xxy化为khxy+-=2)(的形式，结果为（）（A）4)1(2++=xy（B）2)1(2++=xy（C）4)1(2+-=xy（D）2)1(2+-=xy解：2)1(21232222+-=++-=+-=xxxxxy.故选D。
初中数学《二次函数的应用》导学案
二次函数的应用 第1课时
学习目标：
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系；
2、会用二次函数知识求出实际问题的最值。
一、创意引入
问题1：如图，现有一块直角三角形废料，要想在它内部截一个面积最大的矩形，应该怎样截才符合要求？
问题2：生活中经常遇到“最大面积”“成本最低”“最划算”等问题，怎样用数学知识加以解决？这将是本节课我们一起探讨的问题。
二、知识生成
问题：求二次函数2422++=x x y 的最值。
追问（1）在上题中，如果增加一个条件：12≤≤-x ，其最值又是多少？
（2）如果取值范围变为25-≤≤-x 呢？
（3）如果取值范围变为4
171≤
≤x ，且x 为整数呢？
三、知识应用
例1、如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园，墙长32米，这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大，
最大是多少？
变式训练：
1.引例
2.引例变式
四、反思感悟
五、当堂检测。
九年级数学下册二次函数的应用教案
课题：2.4二次函数的应用教学目标：1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系.教学重点与难点：重点：经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.难点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．课前准备：导学案,多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（利用导学案）探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相等时面积最大.设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容：（多媒体展示）问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上．（1）设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）∵BC ∥AD ， ∴△EBC ∽△EAF ．∴EB BCEA AF=． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴404030x BC-=．∴BC ＝34(40－x )． ∴AD ＝BC ＝34(40－x )＝30－34x ． （2）y ＝AB ·AD ＝x (30－34x )＝－34x 2＋30x ＝－34（x 2－40x ＋400－400） ＝－34（x 2－40x ＋400）＋300 ＝－34（x －20）2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师适时点评，并在多媒体上展示正确结果.设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中BC 在斜边上，,A D 在直角边上．如果设矩形的一边m AD x =，那么AB 边的长度如何表示？当x 取何值时，矩形面积y 的值最大？最大值是多少？解：设矩形的一边m AD x =，由GAD ∆GFD ∆，得AD GMEF GN=， 即5024x GM=， ∴1225GM x =．∴122425AB MN GN GM x ==-=-． 21212(24)242525ABCDS AD AB x x x x ==-=-+矩形．当24251222()25b x a =-=-=⨯-时，y 有最大值，最大值为224300124()25y -==⨯-最大值 处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真． 设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．三、例题解析,新知应用 活动内容：（多媒体出示例题）某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15， ∴y ＝1574x xπ--．设窗户的面积是S (m 2)，则S ＝12πx 2＋2xy＝12πx 2＋2x ·1574x x π-- ＝12πx 2＋(157)2x x x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x＝－3.5(x 2－157x ) ＝－3.5(x －1514)2＋1575392． ∴当x ＝1514≈1.07时， S 最大＝1575392≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多． 答案：.02.407.12m S m x =≈最大时，处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关．此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.方法提炼：我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．（学生讨论，教师多媒体展示）(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，达到举一反三的目的和效果．四、拓展提升,学以致用一养鸡专业户计划用116m 长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？解：设AB 长为x m ，则BC 长为(116－2x )m ，长方形面积为S m 2． 根据题意得S ＝x (116－2x )＝－2x 2＋116x＝－2(x 2－58x ＋292－292)＝－2(x －29)2＋1682．当x ＝29时，S 有最大值1682，这时116－2x ＝58．即设计成长为58m ，宽为29m 的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m 2．处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师利用多媒体展示答案. 活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的．五、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.六、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?2.如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向BQCAF E BG D C A点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?参考答案1.过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则AM=222012-=16cm. 设DE=x cm,S 矩形=y cm 2,则由△ADG∽△ABC,故AN DG AM BC =,即161624x DG-=,故DG=32(16-x ). ∴y =DG ·DE=32(16-x )x =-32(x 2-16x)=-32(x -8)2+96,从而当x =8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.2.设第t 秒时,△PBQ 的面积为y cm 2.则∵AP=t cm,∴PB=(6-t )cm;又BQ=2t.∴y =12PB ·BQ=12(6-t )·2t =(6-t )t =-t 2+6t =-(t -3)2+9,当t =3时,y 有最大值9.故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是9cm 2.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本47页，习题2.8第1、2、3题． 选做题：课本48页，习题2.8第4题． 结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）2.4.1二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排 1课时 三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题． 五、教学过程 （一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法： (1)最大值： (2)最小值： （二）讲授新课 活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.yx x ++π=由 157.4x x y --π=得2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积271522x x =-+ 2715225().21456x =--+2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时即当x ≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2. （四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】 1.12.52. 2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积302,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 60402m ,10221032210210m .=--⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为()2S3002002m.=-最大3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x2－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得y＝80（x－22．5）2＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，∴BF BECE CD=, ∴8y xx m-=即28x x ym-=⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m -=得关于x 的方程:28120x x -+=，得1226x x ==，∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ， 此时， Rt △BFE ≌Rt △CED ，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2. 即△DEF 为等腰三角形，m 的值应为6或2. 5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x ． ∴y=-2x 2+40x ．x 的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x 2+40x=210． 即x 2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105， ∴2(20)411050,--⨯⨯<∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究： 例题:“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性. 七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习八、教学反思课题：2.4.2二次函数的应用教学目标：知识与技能1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度与价值观1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
中考数学专题复习数学专题复习《二次函数的实际应用》导学案
《二次函数的实际应用》导学案一、知识梳理知识点5：二次函数的实际应用建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤：1.根据题意确定二次函数的表达式;2.根据已知条件确定自变量的取值范围;3.利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最值,注意二次函数的最值不一定是实际问题的最值,要结合自变量的取值范围确定最值.二、课前练习1.(2019通辽)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤.其中错误结论的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2.(2019宜宾)将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为___________________．3.(2019梧州) 我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围．三、例题精讲考点1：面积问题例1(2018荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 ，另外三边由36 长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝，面积为(如图)．(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 ，求的值；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）14 16 280.4 1 0.4考点2：建模问题例2(2018衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．考点3：与一次函数综合问题例3(2019辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？当堂检测1．(2018贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为______元．2.(2019毕节)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：15 20 30 …25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？3、（2019本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？4、（2019青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？5、（2019鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？。
中考数学一轮复习学案：第12讲 二次函数
第12讲 二次函数【考纲要求】1．理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【命题趋势】二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.【考点探究】考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b2a ＝－－62×(－3)＝－1，4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.(2)点(－1，y 1)，(2，y 2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3)，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴点(0，y 3)与点(2，y 2)关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3.∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k )，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－b 2a ，顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c ＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a ＋b ＋c ＝0；根据－b2a＝－1，推出b ＝2a ；根据图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a －2b ＋c ＝a －2b －a －b ＝－3b ＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( ) A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y ＝－2x 2的图象．答案：C方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2－2D ．y ＝(x ＋1)2－2 考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线的对称性可知AE ＝BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA ＝EB ＝EA .设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中， m 2＋(3)2＝(2m )2，解得m ＝1.∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标． 考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)． (2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．【经典考题】1．(乐山)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜12．(菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是()'3．(上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．4．(枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．(第4题图)5．(珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．6．(益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．(1)求原抛物线的解析式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P ′作x 轴的平行线交抛物线于C ，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD )的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)【模拟预测】1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(3，－4) B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( ) A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图)A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y 轴交于点C.(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【考点探究】触类旁通1．D触类旁通2．C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0； ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0. 由题图知当x ＝－1时，y ＞0， 即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13，∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎨⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0.又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3．A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4．解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0.∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3.∴m ＝6. (2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5．解：(1)(10＋7x ) (12＋6x ) (2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x . (3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4， ∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5. ∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．【经典考题】1．B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限， 且经过点(－1,0)，∴a －b ＋1＝0，a ＜0，b ＞0.由a ＝b －1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，∴0＜b ＜1①； 由b ＝a ＋1＞0得到a ＞－1，结合上面a ＜0， ∴－1＜a ＜0②.∴由①②得－1＜a ＋b ＜1，且c ＝1， 得到0＜a ＋b ＋1＜2， ∴0＜t ＜2.2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0.∵对称轴x ＝－b2a＜0，∴b ＜0.∵二次函数图象经过坐标原点，∴c ＝0.∴一次函数y ＝bx ＋c 过第二、四象限且经过原点，反比例函数y ＝ax 位于第二、四象限，故选C.3．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.4．－1＜x ＜3 因为二次函数的图象与x 轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)． ∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎨⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.6．解：(1)∵P 与P ′(1,3)关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)，∴⎩⎨⎧a (1－3－1)2＋c ＝0，a (1－1)2＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2. (2)∵CD 平行于x 轴，P ′(1,3)在CD 上， ∴C ，D 两点纵坐标为3，由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6， ∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)， ∴CD ＝26，∴“W ”图案的高与宽(CD )的比＝326＝64(或约等于0.612 4)． 【模拟预测】1．A 2．C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D. 4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧ 1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2，∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y取得最大值，②错误．7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b－2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎨⎧4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t .∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295.∴10－t＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2；都经过A(1,0)，B(3,0)两点．②线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，∴kx2－4kx＋3k＝8k，∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．11 / 11。
中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)
中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
2023年安徽省中考数学一轮复习讲义第9讲二次函数实际应用(中)(教案)
二次函数实际应用二次函数应用题型有哪些？知识点1：用函数解决抛物线形问题1．在实际问题中求抛物线的解析式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为________建立直角坐标系．2．用__________求出抛物线的解析式．3．用二次函数的__________去分析、解决问题．类型：1、抛物线形状：隧道类、拱桥类2、运动轨迹抛物线形：球类、喷泉【例1】如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．（1）请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；（2）问此篮球能否投中？（3）此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得，、O（0，0）、B（3，﹣1），设函数关系式为y＝ax2，代入A点坐标解得a＝﹣，∴二次函数的关系式为；（2）把x＝3代入得y＝﹣1，即C点在抛物线上，所以一定能投中；（3）由题意得y＝﹣4+3.19＝﹣0.81，将y，解得xx＝2.7（舍），4﹣2.7＝1.3，所以只能距甲身前1.3米以内盖帽才能成功．【例2】2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，解得：，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，当x＝7时，运动员到达坡顶，即﹣×72+7b+4＞3+，解得：b＞．【变式训练1】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为，抛物线的顶点坐标为，可求这条抛物线的解析式为．当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当取y＝时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为，解决了这个问题．【考点】二次函数的应用．【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6，故答案为：（12，0）；（6，8）；；；﹣2；6．【变式训练2】如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）b＝，c＝1．（2）由y＝＝，可知当x ＝时，y 有最大值， 故大棚最高处到地面的距离为米； （3）令y ＝，则有＝， 解得x 1＝，x 2＝， 又∵0≤x ≤6，∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣＝（米）， 又大棚的长为16米，∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），故共需要88×4＝352（根）竹竿，答：共需要准备352根竹竿．知识点2：利用二次函数求最大面积1．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在ab 2x -=处取得最小值a 442b ac -，无最大值；当0a <时，函数在ab 2x -=取得最大值a b ac 442-，无最小值． 2．二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值【例1】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）∵，∴NC＝2BH＝2NN，设EG＝b，则EF＝4b，∵S2＝S1，∴BE•b＝a•4b，∴BE＝4a（0＜a＜5）；（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5a+4a+4a+5a＝18a，∴BC＝＝45﹣9a，∴y＝5a（45﹣9a）＝﹣45a2+225a＝﹣45，∵﹣45＜0，∴当a＝时，y有最大值，此时最大值为m2．【例2】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若a＝30，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（200﹣2x）m，根据题意得：x（200﹣2x）＝1800，解得x1＝10，x2＝90，当x＝10时，200﹣2x＝180＞30，不符合题意舍去，当x＝90时，200﹣2x＝20，答：AD的长为20m；（2）设AD＝nm，∴S＝n（200﹣n）＝﹣（n﹣100）2+5000，当a≥100时，则n＝100时，S的最大值为5000，当0＜a＜100时，则当0＜n≤a时，S随n的增大而增大，∴当n＝a时，S的最大值为100n﹣a2，【变式训练1】如图，在边长为120cm的正方形铁皮ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点）．已知点M，N在CD边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设CM＝DN＝x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，求这个工艺盒的体积；（2）当x取何值时，工艺盒的四个侧面面积和S最大，最大值为多少？【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体．【解答】解：（1）根据题意，设CM＝DN＝x（cm），折成的工艺盒恰好是个正方体，知这个正方体的底面边长FG＝MH＝x，则GM＝GN＝x，故MN＝GM＝2x，∵正方形纸片ABCD边长为120cm，∴x+2x+x＝120，解得：x＝30，则正方体的底面边长a＝30，∴V＝a3＝＝5400（cm3）；答：这个工艺盒的体积是5400cm3；（2）设工艺盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝x，h＝＝（60﹣x），∴S＝4ah＝4x•（60﹣x）＝﹣8x2+480x＝﹣8（x﹣30）2+7200，∵0＜x＜60，∴当x＝30时，S最大，最大值为7200cm2．【变式训练2】如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．（1）若仓库的面积为150平米，求AB．（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，解得：x1＝15，x2＝5，当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），∴AB＝15；（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，∴当x＝10时，y最大值＝200，答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．知识点3：利用二次函数求最大利润1．利用二次函数求最大利润(或收益)的步骤：(1)引入自变量；(2)用含自变量的_______分别表示销售单价或销售收入及销售量；(3)用含自变量的_______表示销售的商品的单件利润；(4)用函数及含自变量的_______分别表示销售利润即可得到函数关系式；(5)根据函数关系式求出_______及取得_______时自变量的值．2. 等量关系利润=总售价总成本利润=单件利润×销售量=（售价成本）×销售量利润利润率=%100成本【例1】为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知：销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．请根据以上信息，解决问题：（1）当13≤x≤30时，写出y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？（3）若要保证第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨m元/斤，则整数m的最小值为．（直接写出结果）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得y＝500﹣10（x﹣12）＝﹣10x+620（13≤x≤30）；（2）由题意得，销售量为42+2（x﹣1）＝2x+40，当1≤x≤12时，则w＝500（2x+40）＝1000x+20000，当x＝12时，w取最大值为1000×12+20000＝32000，当13≤x≤30时，则w＝y（2x+40）＝（﹣10x+620）（2x+40）＝﹣20（x﹣21）2+33620，∵﹣20＜0，∴当x＝21时，w取最大值为33620，∵33620＞32000，∴当x＝21时，w取最大值为33620，答：当x为第21天时日销售额w最大，最大为33620元；（3）依题意w＝（y+m）⋅（2x+40）＝（﹣10x+620+m）（2x十40）＝﹣20x2+2（m+420）x+40（m+620），∵第13天到第22天的日销售额w随x增大而增大，∵对称轴，得m≥20，故m的最小值为20，故答案为：20．【例2】科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足函数关系y＝﹣x+80．（1）求销售利润w（元）关于x的函数表达式；当销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？（2）该科研公司不断创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，此时该产品的成本价格应低于多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得：w＝（y﹣40）x＝（﹣x+80）x＝﹣+40x＝﹣（x﹣100）2+2000，∵﹣＜0，∴当x＝100时，利润最大，最大利润为2000元，∴销售利润w关于x的函数表达式w＝﹣x2+40x，当销售量为100件时，销售利润最大，最大利润是2000元；（2）设该产品成本为m元时销售量在120件以上，销售利润最大，由题意得：w＝（y﹣m）x＝（﹣x+80﹣m）x＝﹣x2+（80﹣m）x，∵﹣＜0，∴w在对称轴处取得最大值，∴对称轴直线为x＝﹣＝﹣＞120，解得：m＜32，∴该产品的成本价格应低于32元．【变式训练1】砀山酥梨是安徽名优特产，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该梨的月销售量y（千克）与销售单价x（元）成一次函数关系，图象如图所示，已知该梨的销售成本为5元/千克．（1）求y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）求销售该梨每月可获得的最大利润；（3）在销售后期，该梨每千克的保鲜成本增加了1元，若月销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中的函数关系不变，当该梨的月销售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意得，，解得，即y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；（2）由题意可得，W＝（x﹣5）（﹣20000x+220000）＝﹣20000x2+3200000x﹣1100000＝﹣2（x﹣8）2+180000，∵﹣20000＜0，∴当x＝8时，W最大是180000，∴最大利润是180000元；（3）由题意得，（x﹣5﹣1）（﹣20000x+220000）＝105000，解得x1＝7.5，x2＝9.5．∵单价最低销量最大，∴在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．【变式训练2】某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在25～45人．已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）．（1）求y与x之间的关系式；（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人．请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费﹣固定成本﹣其他成本）【考点】一次函数的应用；二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意可得，当25≤x≤30时，y＝1000，当30＜x≤45时，y＝1000﹣（x﹣30）×10＝﹣10x+1300，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）由题意可得，当25≤x≤30时，w＝1000x﹣6000﹣600x＝400x﹣6000，∵k＝400＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝400×30﹣6000＝6000；当30＜x≤45时，w＝（﹣10x+1300）x﹣6000﹣600x＝﹣10x2+700x﹣6000＝﹣10（x﹣35）2+6250，∴当x＝35时，w取得最大值，此时W＝6250；由上可得，旅行社带团接待旅游人数35人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是6250元．1．A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于x的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w＝﹣（x﹣25）2+4360．则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40﹣x）吨．故答案为：（40﹣x），12（40﹣x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40﹣x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30﹣x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；则y＝15x+12（40﹣x）+10（30﹣x）+9（30+x）＝2x+1050；故y关于x的函数关系式为y＝2x+1050；（3）因为总运费y＝2x+1050，当x＝30时，有最大值2×30+1050＝1110元；当x＝0时，有最小值2×0+1050＝1050元；（4）w＝﹣（x﹣25）2+4360，因为二次项系数﹣1＜0，所以抛物线开口向下，当x＝25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．2．已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象经过点（﹣1，0）（3，0）．（1）求a，b的值；（2）求当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣2的图象与二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1﹣y2的最大值．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）将（﹣1，0）（3，0）代入y＝ax2﹣bx﹣3得：，解得．（2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，∵1﹣（﹣3）＞2﹣1，∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣3时，y取最大值12，∴y的最大值与最小值的差为12﹣（﹣4）＝16．（3）当x＝﹣1时y＝﹣（m﹣2）+m﹣2＝0，∴直线y＝（m﹣2）x+m﹣2经过定点（﹣1，0），∵x1＜0＜x2，∴x1＝﹣1，y1＝0，∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴y2≥﹣4，∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，∴w＝y1﹣y2的最大值为4．3．某水果批发商销售热带水果，其进价为8元/千克，当销售单价定为10元时，每天可售出300千克．根据市场行情，现决定增加销售价格．市场调查反映：销售单价每增加2元，则每天少售出100千克，若该热带水果的销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克）．（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天销售这种热带水果的利润最大，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）＝﹣50x+800，∴每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣50x+800；（2）设每天的销售利润为w元，则w＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800，∵a＝﹣50＜0，∴二次函数开口向下，∴w有最大值，∴x＝12时，w最大，此时w最大＝800元，答：当销售单价为12元时，每天的销售利润最大，最大利润为800元．4．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：y＝80﹣（x﹣24）×5＝﹣5x+200，∵物价部门规定，售价不得低于进价且不得高于进价的150%，∴20≤x≤20×150%，即20≤x≤30，答：超市销售该品牌猪肉y（斤）和每天售价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣5x+200（20≤x≤30）；（2）设利润为w元，由题意可得，w＝（x﹣20﹣a）（﹣5x+200）＝﹣5x2+5（60+a）x﹣4000﹣200a，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝30+，∵a＞0，∴30+＞30，∵﹣5＜0，∴该函数图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，∵20≤x≤30，销售该品牌猪肉平均需要缴纳卫生检疫费a元/斤，最终每天最大利润可达400元，∴当x＝30时，w＝400，即400＝﹣5×302+5（60+a）×30﹣4000﹣200a，解得a＝2，即a的值是2．6．把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；（2）当足球回到地面时；①直接写出此时h的值；②计算此时t的值．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当t＝1时，h＝20﹣5＝15，当t＝3时，h＝20×3﹣5×32＝60﹣45＝15；答：当t＝1和t＝3时，足球的高度都是15米；（2）①当足球回到地面时，h＝0；②当h＝0时，20t﹣5t2＝0，解得：t1＝0（舍），t2＝4．7．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．8．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，∵，∴BE＝10﹣x＞0，解得x＜，∴（0＜x＜）．9．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，同理S乙＝﹣2x2+40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．10．如图1，排球场长为18m，宽为9mm，队员站在底线O点处发球，球从点Om的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点Am，即BAm，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1mm），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．11．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EFm，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．一、这节课我们学了哪些知识？二、本节课我做的比较好的地方是：三、本节课我还需要努力的地方是：。
人教版中考数学考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问 题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶 点，抛出点为抛物线中的 c 值，落地点为抛物线与 x 轴的交点，落地点 到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2) 投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上； (3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方； (4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水 面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度 是否比人的身高高．
Ⅱ)为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的
最小值． 【分层分析】Ⅱ)设彩带长度为 Lm，则 L＝y2－y1＝x182x2－x－＋x4＋4，所以当
x＝44时，L 有最小值为 22 m. m
解：设彩带的长度为 L m，则 L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－－214x2＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2， ∴当 x＝4 时，L 最小值＝2， 答：彩带长度的最小值是 2 m.
【分层分析】(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，取表格 中任两组对应数据，用待定系数法解得 k＝－－22，b＝224400，因此 y 与 x 之间的函数解析式为 yy＝＝－－2x 2＋x＋240. 解：设 y 与 x 之间的函数24解0析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
将(56，128)和(65，110)分别代入，得 56k＋b＝128， k＝－2， 65k＋b＝110，解得b＝240， ∴y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－2x＋240.
★(2022·南充)如图，水池中心点 O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出 抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水 柱落点与点 O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 2.5 m 时，水 柱落点距 O 点 2.5 m；喷头高 4 m 时，水柱落点距 O 点 3 m．那么喷头高 8 8 m 时，水柱落点距 O 点 4 m.
2020年中考数学复习专题13 二次函数的应用 全面复习系列讲座 (2)
3． [2019·衢州]某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住 的房间数为 60 间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在 170～240 元之间(含 170 元，240 元)浮动时，每天入住的房间数 y(间)与每间标准房的价格 x(元)的数据 如下表：
x(元) … 190 200 210 220 … y(间) … 65 60 55 50 … (1)根据所给数据在如图 15－7 所示的坐标系中描出相应的点，并画出图象； (2)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
③小球抛出 3 秒时速度为 0；
④小球的高度 h＝30 m 时，t＝1.5 s.
其中正确的是( )
图 15－2
A．①④ D
B．①②
C．②③④
D．②③
【解析】 ①由图象知小球在空中达到的最大高度是 40 m，故①错误； ②小球抛出 3 秒后，速度越来越快，故②正确； ③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0，故③正确； ④设函数表达式为 h＝a(t－3)2＋40， 把 O(0，0)代入得 0＝a(0－3)2＋40，解得 a＝－490， ∴函数表达式为 h＝－490(t－3)2＋40， 把 h＝30 代入表达式得 30＝－490(t－3)2＋40， 解得 t＝4.5 或 t＝1.5， ∴小球的高度 h＝30 m 时，t＝1.5 s 或 4.5 s，故④错误．
方法
命题角度 1 二次函数的实际应用——类型1 抛物线型问题
例1
思路分析 (1)先根据题意设出抛物线的顶点式,再利用待定系数法求解即可.(2)令 y=1.8,求得x的值,再根据抛物线的对称性即可确定范围.(3)先根据题意设出新抛物 线的函数表达式,再利用待定系数法求解即可.
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。
解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。
2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。
3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。
练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
中考数学考点16二次函数实际应用总复习(解析版)
二次函数实际应用【命题趋势】在中考中.二次函数的实际应用是中考必考考点.常以解答题形式考查.往往会结合方程（组）与一次函数考查。
【中考考查重点】一、二次函数的实际应用-运动类型二、二次函数的实际应用-经济类型三、二次函数的实际应用-面积类型四、二次函数的实际应用-拱桥类型考点一：运动类型考向1 落地模型1.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球.如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+.那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．【答案】3【解答】解：由题意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3.故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．考向2 最值模型2.（2021秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝﹣＝6.∴从点火升空到引爆需要的时间为6s.故选：D．3.（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2.则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．【答案】15【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600.﹣＜0.抛物线开口向下.∴当t＝20时.s有最大值.此时s＝600.∴飞机从落地到停下来共需20秒.飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米）.∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣585＝15（米）.故答案为：15．考点二：经济类型4．（2021秋•克东县期末）某水果商场经销一种高档水果.原价每千克50元.连续两次降价后每千克32元.若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元.每天可售出500千克.经市场调查发现.在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施.若每千克涨价1元.日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元.且要尽快减少库存.那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值.则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？【答案】（1）20% （2）涨价5元（3）涨价7.5元.6125元【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a.根据题意.得：50（1﹣a）2＝32.解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2.答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元.由题意.得：（10+x）（500﹣20x）＝6000.整理.得x2﹣15x+50＝0.解得：x1＝5.x2＝10.因为要尽快减少库存.所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元.那么每千克应涨价5元；（3）设商场每天的盈利为y元.由（2）可知：y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000.∵﹣20＜0.∴当x＝﹣＝7.5时.y取最大值.∴当x＝7.5时.y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元）.答：应涨价7.5元.每天的盈利达到最大值.为6125元．5．（2021秋•郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研.预计进入夏季后的某一段时间.某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示.乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1.y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨.设乙种蔬菜的进货量为t吨．①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大.最大利润是多少元？②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？【答案】（1）y1＝0.6x .y2＝﹣0.2x2+2.2x（2）2≤t≤6【解答】解：（1）由题意得：5k＝3.解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；由.解得：.∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.当t＝4时.W有最大值9.2.答：甲种蔬菜进货量为6吨.乙种蔬菜进货量为4吨时.获得的销售利润之和最大.最大利润是9200元；②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.∴t1＝2.t2＝6.∵a＝﹣2＜0.∴当2≤t≤6时.W≥8.4.答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．考点三：面积类型6．（2021秋•西湖区校级期中）在校园嘉年华中.九年级同学将对一块长20m.宽10m的场地进行布置.设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形）.空白区域为活动区.且4个出口宽度相同.其宽度不小于4m.不大于8m．设出口长均为x（m）.活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时.活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2.绿化区布置成本为8元/m2.布置场地的预算不超过1850元.当x为整数时.请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【答案】（1）y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）（2）x取8m时.最大面积是176m2（3）x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x.∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225.∵﹣1＜0.∵当x＜15时.y随x的增大而增大.∵4≤x≤8.∴当x＝8时.y有最大值.最大值为176.∴当x取8m时.活动区面积最大.最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元.则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600.令w＝1850.﹣2x2+60x+1600＝1850.解得：x＝25或x＝5.∵4≤x≤8.∴4≤x≤5.∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x.﹣1＜0.对称轴为直线x＝15.∴当x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元．考点三：拱桥类型7．（2021秋•建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥.水面在l时.拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米.水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系.那么抛物线的解析式是．【答案】【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）.由图象可知该图象经过（﹣2.﹣3）点.故﹣3＝4a.a＝﹣.故y＝﹣x2.故答案为．8．（2021秋•绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系.其函数关系为.当水面的宽度AB为16米时.水面离桥拱顶的高度OC为m．【答案】4【解答】解：∵水面的宽度AB为16米∴B的横坐标为8.把x＝8代入y＝﹣x2.得y＝﹣4.∴B（8.﹣4）.∴OC＝4m．水面离桥拱顶的高度OC为4m．故答案为：4．9．（2021秋•营口期末）如图①.桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）不会碰到头【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵小船距O点0.4m.小船宽1.2m.工人直立在小船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头．1．（2021秋•房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是s时.小球最高；小球运动中的最大高度是m．【答案】3.45．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45.∵﹣5＜0.0≤t≤6.∴当t＝3时.h有最大值.最大值为45．故答案为：3.45．2．（2021秋•龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2.飞机着陆后滑行m才能停下来．【答案】200【解答】解：s＝20t﹣0.5t2＝﹣0.5（t﹣20）2+200当t＝20时.s有最大值为200．即飞机着陆后滑行200m才能停下来．故答案为200．3．（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大.精度最高的望远镜．根据有关资料显示.该望远镜的轴截面呈抛物线状.口径AB 为500米.最低点P到口径面AB的距离是100米.若按如图（2）所示建立平面直角坐标系.则抛物线的解析式是．【答案】y＝x2﹣100【解答】解：由题意可得：A（﹣250.0）.P（0.﹣100）.设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100.则0＝62500a﹣100.解得：a＝.故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故答案为：y＝x2﹣100．4．（2021秋•和平区期末）如图.小明父亲想用长为100m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m.设矩形ABCD的边AB＝xm.面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为.并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时.面积S为1050m2；（3）当AB.BC分别为多少米时.羊圈的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50 （2）x为35m时.面积S为1050m2（3）AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm.则BC＝（100﹣2x）m.∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x.∵0＜100﹣2x≤40.∴30≤x＜50.∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x.自变量x的取值范围是30≤x＜50.故答案安为：S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50；（2）令S＝1050.则﹣2x2+100x＝1050.解得：x1＝15.x2＝35.∵30≤x＜50.∴x＝35.∴当x为35m时.面积S为1050m2；（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250.∵﹣2＜0.∴当x＞25时.S随着x的增大而减小.∵30≤x＜50.∴当x＝30时.S有最大值为1200.∴当AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2．5．（2021秋•龙江县校级期末）某超市销售一种商品.每件成本为50元.销售人员经调查发现.销售单价为100元时.每月的销售量为50件.而销售单价每降低2元.则每月可多售出10件.且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元.并使顾客获得更多的实惠.销售单价应定为多少元？（3）为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为多少元？【答案】(1) y＝﹣5x+550 （2）70元（3）80元【解答】解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550.∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000.即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000.解得：x1＝70.x2＝90.∵70＜90.∴当该商品每月销售利润为4000.为使顾客获得更多实惠.销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w元.依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500.∵﹣5＜0.此图象开口向下.∴当x＝80时.w有最大值为4500元.∴为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为80元．6．（2021秋•宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品.经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系.其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）求w与x之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价.又不高于36元.当每件商品的售价定为多少元时.每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+120 （2）w＝﹣2x2+160x﹣2400（3）售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.由所给函数图象可知：.解得.故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120.∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400.即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800.∵﹣2＜0.20≤x≤36＜40.∴当x＝36时.w取得最大值.w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．答：当每件商品的售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．1．（2020•长沙）“闻起来臭.吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小.但制作流程却比较复杂.其中在进行加工煎炸臭豆腐时.我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下.“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0.a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据.可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3.0.8）、（4.0.9）、（5.0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c 中..解得.所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9.由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75.则当t＝3.75分钟时.可以得到最佳时间．故选：C．2．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时.他将足球从地面向上踢出.足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t.则足球距地面的最大高度是m．【答案】7.2【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t.a＝﹣5.b＝12.c＝0.∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m.故答案为：7.2．3．（2020•日照）如图.某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD.为美化环境.用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆.篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等.求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下.设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式.并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）AE＝3BE（2）（0＜x＜）【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等.∴ME＝BE.AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等.即S矩形AMND＝2S矩形MEFN.∴AM＝2ME.∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m.∴2AB+GH+3BC＝100.即.∴．设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.则.∵.∴BE＝10﹣x＞0.解得x＜.∴（0＜x＜）．4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具.若按每件50元销售.一个月可售出500件.销售价每涨1元.月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x ≥50）.月销量为y件.月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下.使月销售利润达到8000元.销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）y= ﹣10x2+1400x﹣40000 （2）8元（3）70元时会获得最大利润9000【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x.w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000.解得：x1＝60.x2＝80.当x＝60时.成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求.舍去.当x＝80时.成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求.∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000.又∵﹣10＜0．当x＝70时.w取最大值9000.故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．5．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①.甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③.桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）.该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度.平移后的函数图象在8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.求m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）工人不会碰到头（3）5≤m≤8【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵打捞船距O点0.4m.打捞船宽1.2m.工人直立在打捞船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75.∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头；（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如图所示.新函数图象的对称轴也是直线x＝4.此时.当0≤x≤4或x≥8时.y的值随x值的增大而减小.将新函数图象向右平移m个单位长度.可得平移后的函数图象.如图所示.∵平移不改变图形形状和大小.∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m.∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时.y的值随x值的增大而减小.∴当8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9.得5≤m≤8.②8+m≤8.得m≤0.由题意知m＞0.∴m≤0不符合题意.舍去.综上所述.m的取值范围是5≤m≤8．1．（2021•晋中模拟）在中考体育训练期间.小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析.发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+.由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米B．8米C．10米D．2米【答案】B【解答】解：当y＝0时.即y＝﹣x2+x+＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝8.所以小宇此次实心球训练的成绩为8米.故选：B．2．（2021•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝＝6（s）.故选：D．3．（2021秋•岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形.其示意图如图所示.其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时.水面宽度AB为m．【答案】20【解答】解：由题意得.﹣4＝﹣x2.解得x＝±10.即点A的坐标为（﹣10.﹣4）.点B的坐标为（10.﹣4）.这时水面宽度AB为20m.故答案为：20．4．（2021秋•朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球.铅球出手时离地面的高度为米.出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为.当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.则该运动员推铅球的成绩为米．【答案】12【解答】解：设铅球出手点为点A.根据题意建立平面直角坐标系.如图：∵当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.∴抛物线的对称轴为直线x＝5.∴﹣＝﹣＝＝5.则b＝.又∵抛物线经过（0.）.∴c＝.∴y＝﹣x2+x+.当y＝0时.﹣x2+x+＝0.整理得：x2﹣10x﹣24＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝12.故答案安为：12．5．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t.汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t.＝﹣3（t﹣）2+.∴当t＝秒时.s取得最大值.即汽车停下来．故答案为：．6．（2021•金堂县模拟）如图.有长为24m的篱笆.一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.并且预留两个各1m的门.设花圃的宽AB为xm.面积为Sm2．（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；（2）若4＜x＜7.则S的最大值是多少？请说明理由．【答案】（1）S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）（2）55m2【解答】解：（1）由题可知.花圃的宽AB为x米.则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米.则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x.∵BC＝26﹣3x≤11.3x＜24+2.∴5≤x.∴S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）；（2））解不等式组.解得：5≤x＜7.∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x﹣）2+.∵﹣3＜0.∴x＞时.S随x的增大而减小.∴x＝5时.S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．7．（2021•盐城二模）疫情期间.某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”.其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型400600200B型8001200400根据市场行情.该销售商对A型手写板降价销售.同时对B型手写板提高售价.此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个.B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变.设其中A型手写板每天多销售x个.每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式.并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元.求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板.就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生.若当30≤x≤40时.每天的最大利润为203400元.求a的值．【答案】（1）y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）（2）20≤x≤40 （3）a＝35【解答】解：（1）由题意得.y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）.即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）；（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000.∴当y＝212000时.﹣10（x﹣40）2+216000＝212000.解得：x1＝20.x2＝60.要使y≥212000.则20≤x≤60.∵0≤x≤40.∴20≤x≤40.即x的取值范围是：20≤x≤40；（3）设捐款后每天的利润为w元.则w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a.对称轴为.∵0＜a≤100.∴.∵抛物线开口向下.当30≤x≤40时.w随x的增大而增大.∴当x＝40时.w最大.∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400.解得.a＝35．8．（2021•即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分.上半部分为抛物线形状.下半部分为正方形（OMNE为正方形）.已知城门宽度为4米.最高处离地面6米.如图1所示.现以O点为原点.OM所在的直线为x轴.OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式.并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米.高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城.请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛.需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD.该“装饰门”关于抛物线对称轴对称.如图2所示.其中AB.AD.CD为三根承重钢支架.A、D在抛物线上.B.C 在地面上.已知钢支架每米50元.问搭建这样一个矩形“装饰门”.仅钢支架一项.最多需要花费多少元？【答案】（1）（0≤x≤4）（2）消防车能正常进入（3）650元【解答】解：（1）由题意知.抛物线的顶点为（2.6）.∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6.又∵抛物线经过点E（0.4）.∴4＝4a+6.∴a＝.∴抛物线的表达式为.即（0≤x≤4）；（2）由题意知.当消防车走最中间时.进入的可能性最大.即当x＝时.＝4.875＞4.5.∴消防车能正常进入；（3）设B点的横坐标为m.AB+AD+CD的长度为L.由题意知BC＝4﹣2m.即AD＝4﹣2m.CD＝AB＝.∴L＝2×（）+（4﹣2m）＝﹣m2+2m+12.∵0≤x≤4.当m＝＝1时.L最大.L最大＝﹣12+2×1+12＝13.∴费用为13×50＝650（元）.答：仅钢支架一项.最多需要花费650元．9．（2021•路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉.根据市场调查与预测.图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系.图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2.求利润y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉.其中投入x（x＞0）万元种植花卉.那么他至少获得多少利润？（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上.该园林专业户应怎样投资？【答案】（1）y＝x2（x≥0）（2）18万元（3）该园林专业户应投资花卉种植超过4万元【解答】解：（1）设l1：y＝kx.∵函数y＝kx的图象过（1.2）.∴2＝k⋅1.k＝2.故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0）.∵该抛物线的顶点是原点.∴设l2：y＝ax2.由图2.函数y＝ax2的图象过（2.2）.∴2＝a⋅22.解得：a＝.故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉.则投入（10﹣x）万元种植树木..∵a＝＞0.0＜x≤10.∴当x＝2时.w的最小值是18.他至少获得18万元的利润．（3）根据题意.当w＝20时..解得：x＝0（不合题意舍）.x＝4.∴至少获得20万元利润.则x＝4.∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大.∴w＞20.只需要x＞4.所以保证获利在20万元以上.该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．。
中考数学复习考点知识讲解与练习28 运用二次函数解决实际问题
中考数学复习考点知识讲解与练习专题28 运用二次函数解决实际问题（基础篇）数学来自于生活，存在于生活，应用于生活，因此用数学知识解决生活中的实际问题是我们学习数学的一个重要的目的，而用二次函数解决生活中的利润问题、距离问题、面积问题、拱桥问题等等，这就要求我们用二次函数的性质去解决生活中的这些生活中的问题，其中，最主要是建模，构建平面直角坐标系，运用二次函数解决实际问题看似简单，其实学生在解题过程中丢分相当严重，主要是建模和运算上。
本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题分为基础篇和提高篇，学生经过巩固练习后，将近一步拓展学生对数学的理解，尤其是了解数学来源于生活，又用于解决生活中的实际问题，具有十分重要的意义。
一、单选题1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度()h m 与水流时间()t s 之间的解析式为2305h t t =-，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（）A ．8sB ．6sC ．4sD ．2s2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米3．烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h ＝﹣2t 2+20t +1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．10s4．如图①，在等边三角形ABC 中，点P 为边BC 上的任意一点，且60,APD PD ∠=︒交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x CD ,的长度为,y 若y 与x 的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC 的面积为()A ．4B ．C ．D ．5．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式21424y n n =-+-，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月6．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒12个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（）A．B．C．D．8．如图，点M为平行四边形ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与平行四边形ABCD的另一边交于点N．当点M从A B→匀速运动时，设点M的运动时间为t，AMN∆的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y150=-(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为()m．A．12 B．25 C．13 D．1410．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是()A．2m B．4m C．D．11．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A ．33°B ．36°C ．42°D ．49°12．如图，抛物线2y x x =+交x 轴的负半轴于点A ，点B 是y 轴的正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ʹ恰好落在抛物线上．过点A ʹ作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，则点A ʹ的纵坐标为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．313．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ,Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒，设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm .已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）图（1）图（2）A ．:3:4AB AD =B ．当BPQ ∆是等边三角形时，5t =秒C ．当ABE QBP ∆∆时，7t =秒D ．当BPQ ∆的面积为24cm 时，t 或秒47514．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，关于代数式300（1+x ）2下列说法正确的是（ ）A ．2007年已有的绿化面积B ．2008年增加的绿化面积C ．2008年已有的绿化面积D ．2007、2008年共增加的绿化面积15．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t ﹣32t 2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是（ ）s ． A ．10 B ．20 C ．30 D ．10或3016．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1cm /s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2cm /s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数图象大致是（） 本号资料皆来源于微信公@众号：数学第六感A ．B ．C ．D ．17．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系大致满足二次函数21251233y x x =-++，则小明此次成绩为（）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米18．某飞行器着陆时减速后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式为2520s t t =-+，则减速后至停止时，滑行的距离为（）A ．10mB ．20mC ．30mD ．40m二、填空题19．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．甲在O 点正上方的A 处发出一球，以点O 为原点建立平面直角坐标系，羽毛球飞行的高度()m y 与水平距离()m x 之间满足函数解析式()2121455y x =--+，球网BC 离点O 的水平距离为5米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上(),0N n 处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则n 的取值范围是_______．20．为了庆祝2022年元旦，九年级(1)班举办了明信片设计活动，小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片，已知该明信片的宽为cm x ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm ，若1416x ≤≤，则右侧留言部分的面积最大为_________2cm ．21．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是______米．22．一个小球被抛出后，如果距离地面高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．23．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是_____m.24．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．25．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度增加___米（结果保留根号）．26．如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________2m．(中间横框所占的面积忽略不计)27．为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且2，当BE的长为________________m时，绿地AEFG的面积最大.# 本号资料DG BE皆来源于微信#公众号：数学第六感28．我市2017年平均房价为6500元/m2.若2022年和2022年房价平均增长率为x，则预计2022年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为_______________. 29．用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是_____2cm.(写出1个可能的值即可）.30．如图,某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图示为它在坐标系中的示意图，则它对应的解析式为：_________________．31．用一根长为20cm 的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间的关系式为_____．32．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m ），设AB 的长为xm ，所围的花圃面积为ym 2，则y 的最大值是__________．33．飞机着陆后滑行的距离y （m ）与滑行时间x （s ）的函数关系式为y=﹣32x 2+60x ，则飞机着陆后滑行_____m 才停下来．34．军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度()y m 与飞行时间()x s 的关系满足21y x 10x 5=-+．经过________秒时间，炮弹落到地上爆炸了． 35．已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是__________.36．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．37．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为______．38．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB 和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆ADEF 围成，篱笆总长40米，墙AB 长16米，若BF =x 米，花园面积是S 平方米，则S 关于x 的函数关系式是：____．三、解答题39．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边m AB x ，面积为2m y （如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）若矩形空地的面积为2160m ，求x 的值；（3）当矩形ABCD 空地的面积最大时，利用的墙长是多少m ；并求此时的最大面积．40．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，1BE=，F为BC的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点=，矩形PMDN F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM x的面积为S．（1）DM=__________（用含x的式子表示），x的取值范围是__________；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．41．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？42．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.。
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中考数学复习二次函数的应用专题导学案考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b 与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+=0有实数根可得到关于的不等式，求出的取值范围即可．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．2．（2012•滨州）抛物线=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 ．1 D．0分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的纵坐标，确定出抛物线与轴的交点坐标，令抛物线解析式中=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．3．（2012•济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需秒．分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则到对称轴的时间可以求得，进而即可求得之间的时间．点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．4．（2012•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/）…203040060…每天销售量（）…00400300200100…（1）把上表中x、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过3元/，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？分析：（1）利用表中x、的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出与x的函数关系式，求出即可；（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．分析：（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．6．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得30万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于30万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？分析：（1）根据每月的利润z=（x-18），再把=-2x+100代入即可求出z与x 之间的函数解析式，（2）把z=30代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+12，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当2≤x≤43时z≥30，再根据限价32元，得出2≤x≤32，最后根据一次函数=-2x+100中随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．【备考真题过关】一、选择题2．（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），为坐标原点，P是线段A上任意一点（不含端点，A），过P、两点的二次函数1和过P、A两点的二次函数2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、，射线B与A相交于点D．当D=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．．3 D．4分析：过B作BF⊥A于F，过D作DE⊥A于E，过作⊥A于，则BF+是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥，求出AE=E=2，DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出F=PF=x，推出△BF ∽△DE，△A∽△ADE，得出，，代入求出BF和，相加即可求出答案．点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．3．（2012•宜昌）已知抛物线=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限B．第三象限．第二象限D．第一象限考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即可求出答案．点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．4．（2012•资阳）如图是二次函数=ax2+bx+的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+＜0的解集是（）A．-1＜x＜B．x＞．x＜-1且x＞D．x＜-1或x＞．（2012•义乌市）如图，已知抛物线1=-2x2+2，直线2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为1、2．若1≠2，取1、2中的较小值记为；若1=2，记=1=2．例如：当x=1时，1=0，2=4，1＜2，此时=0．下列判断：①当x＞0时，1＞2；②当x＜0时，x值越大，值越小；③使得大于2的x值不存在；④使得=1的x值是或．其中正确的是（）A．①②B．①④．②③D．③④分析：利用图象与坐标轴交点以及值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．6．（2012•大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线-D-E上移动，若点、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 ．3 D．4分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A 横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．1．（2012•镇江）若二次函数=（x+1）（x﹣）的图象的对称轴在轴的右侧，则实数的取值范围是（）A．＜﹣1B．﹣1＜＜0．0＜＜1D．＞1点：抛物线与x轴的交点。
专题：探究型。
分析：先令（x+1）（x﹣）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在轴的右侧即可得到关于的不等式，求出的取值范围即可．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x轴的交点是解答此题的关键．2．（2012•泰安）二次函数=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，则的最大值为（）A．﹣3B．3．﹣6D．9考点：抛物线与x轴的交点。
专题：探究型。
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+=0有实数根可得到关于的不等式，求出的取值范围即可．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．3．（2012•杭州）已知抛物线=（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与轴交于点，则能使△AB为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2B．3．4D．考点：抛物线与x轴的交点。
810360专题：推理填空题。
分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和轴的交点，然后求出A的长度，再分①＞0 时，点B在x轴正半轴时，分A=B、A=AB、AB=B三种情况求解；②＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有A=AB一种情况列式计算即可．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．二、填空题7．（2012•深圳）二次函数=x2-2x+6的最小值是．分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．8．（2012•无锡）若抛物线=ax2+bx+的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为．三、解答题9．（2012•杭州）当分别取-1，1，2时，函数=（-1）x2-4x+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．考点：二次函数的最值．专题：分类讨论．分析：当分别取-1，1，2时，函数=（-1）x2-4x+-表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．10．（2012•徐州）二次函数=x2+bx+的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数=x2+bx+的图象．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、的二元一次方程组即可得解；（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；（3）采用列表、描点法画出图象即可．（3）列表如下：x…01234……30-103…描点作图如下：点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握．11．（2012•佛）（1）任选以下三个条中的一个，求二次函数=ax2+bx+的解析式；①随x变化的部分数值规律如下表：x-1012303430②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足=ax2+bx+；③已知函数=ax2+bx+的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数=ax2+bx+的三个性质．分析：（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．12．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、有如下关系：x1+x2= ，x1•x2= ．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数=ax2+bx+（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1-x2|= = = ；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数=ax2+bx+（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为，显然△AB为等腰三角形．（1）当△AB为直角三角形时，求b2-4a的值；（2）当△AB为等边三角形时，求b2-4a的值．考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．13．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分AB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点到ED 的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点的距离不大于米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？分析：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；（2）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．14．（2012•无锡）如图，在边长为24的正方形纸片ABD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，再利用AB=24，求出x即可得出这个包装盒的体积V；（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．1．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10时，每按3000元销售；若一次购买该种产品超过10时，每多购买一，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x，开发公司所获得的利润为元，求（元）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条不变）分析：（1）设数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；（2）由利润=销售单价×数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤0，x＞0三种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售数之间的函数关系式，会表达单的利润及总利润．16．（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：）在～0之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（）2030出厂价（元/张）070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：=ax2+bx+（a≠0）的顶点坐标为（）分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为x2元，由题意，得：p=-x2，进而得出的值，求出函数解析式即可；②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．17．（2012•资阳）抛物线= x2+x+的顶点在直线=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点、N两点（点在点N的左边），A ⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线N交x轴于点P，且PA•PB= ，求点的坐标．分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=N2+F2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；（3）求点的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出F=A，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．18．（2012•株洲）如图，一次函数=- x+2分别交轴、x轴于A、B两点，抛物线=-x2+bx+过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于，交这个抛物线于N．求当t取何值时，N有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．分析：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段N的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段N的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2的交点，利用直线解析式求得交点坐标．点评：本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．19．（2012•漳州）已知抛物线= x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x 轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条下，点在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形AN为菱形？若存在，直接写出所有满足条的点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关点的横坐标的方程，求得的横坐标后即可求得其纵坐标点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．。