高中数学第三章导数及其应用 3_3 第3课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修1-1

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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.3.3

数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
数学选修1-1
第三章导数及其应用
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值，所以 f(0)＝b＝－29.
数学选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大值4
极小极大值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5

高中数学第三章导数及其应用3.3-3.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修1-1

1．求函数的最值时，应注意以下几点． (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值，开区间(a， b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
第三章导数及其应用
[知识提炼·梳理]
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不端点处或极值点处取得．
类型 1 利用导数求最值(自主研析) [典例 1] 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]．解：(1)因为 f(x)＝2x3－12x，所以 f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，

高中数学第三章导数及其应用3_3第3课时函数的最大小值与导数课件新人教A版选修1_1

所以当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0) ＝0；当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
讲一讲 2 3 2 3 2．设 <a<1，函数 f(x)＝x － ax ＋b 在区间[－1，1]上的 3 2 6 最大值为 1，最小值为－，求该函数的解析式． 2 [尝试解答] 令 f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)＝0，得 x＝0 或 x＝a. 当 x 变化时， f ′ (x) 与 f(x) 的变化情况如下表：
函数 f(x)在[a，b]上是单调的，此时 f(x)在[a，b]上无极值；
如果 f(x)在[a，b]上不是单调函数，则 f(x) 在[a，b]上有极
值．当 f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有
极值 .
[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)如何求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值？
(4)通过以上观察，你认为函数 f(x) 在[a， b]上的最大(小) 值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值．
(5)怎样确定函数 f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
最大(小)的是最提示：比较极值与区间端点处的函数值，
大(小)值．
2．归纳总结，核心必记 (1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续
(2)函数 f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？
讲一讲 1．(链接教材 P97－例 5)求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ 3，3]； 54 (2)f(x)＝x － (x<0)． x
2
[尝试解答]

高考数学一轮总复习教学课件第三章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+

sin 2x,则f(x)的最小值是
.

解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.

高考数学复习第三章导数及其应用3-3导数与函数的极值最值文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课

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4．函数 y＝xlnx 有极________(填大或小)值为________． [解析] y′＝lnx＋1，当 x>1e时，y′>0,0<x<1e时，y′<0，∴ x＝1e时 y 有极小值为 y＝1eln1e＝－1e. [答案] 小－1e
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5．若函数 f(x)＝xx2＋＋1a在 x＝1 处取得极值，则 a 等于________． [解析] 由题意可得 f′(x)＝2xx＋x1＋－1x2 2＋a ＝x2＋x＋2x1－2 a，因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，所以 f′(1)＝3－4 a＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点． [答案] 3
极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
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[解析] 因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1 ＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1) ＝－1，选择 A.
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当 a＝－1 时，f(x)＝－x(1＋e－x)，所以 f′(x)＝－1＋1－ex x<0，所以函数在 R 上单调递减，所以函数 f(x)没有极值点，不符合题意，所以 a≠－1，排除 B，故选 D.

高中数学人教版选修1-1 第三章导数及其应用函数的最大(小)值与导数

3．3.3函数的最大(小)值与导数[教材研读]，思考以下问题预习课本P96～98如图为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象1．由图找出f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的取值位置．2．根据图象找出在闭区间[a，b]上，函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系．[要点梳理]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数y＝f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值．()2．函数的最小值至多有一个，但函数的极小值可能有多个．()3．若函数在开区间只有一个极大值，则该极大值就是最大值．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一利用导数求最值思考：最值与极值的联系与区别？提示：最值是函数在整个定义域上的最大最小值，而极值是局部最大最小值．求下列各函数的最值：(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值，再比较大小． [解] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2，令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；(2)若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．[跟踪训练]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．[解] 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x －1＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12ln e 316>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln2，最小值为f (1)＝0.题型二含参数的函数最值问题思考：怎样求解析式中的参数？提示：利用极值与导数的关系，即在某点有极值，则在某点的导数为0.已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．[思路导引] 因为在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0，则求出参数k .[解] (1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ，∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[跟踪训练]若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．[解]f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.①若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.②若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3， ∴a ＝－2.综上：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.题型三与函数最值有关的恒成立问题思考：有关恒成立问题怎样解决？提示：与恒成立有关的问题，就是转化为求最值问题．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)．(1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．[思路导引]恒成立问题，即y＝h(t)＋2t，若t∈(0,2)的最大值小于m，所以恒成立问题即求函数的最值问题．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不符合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . [跟踪训练]设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为在[a ，b ]有最大值时函数可以是单调函数，所以有最大值不一定有极大值，反之亦不成立，所以选D.[答案] D2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[解析] 因为f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，当x ＝－2时，f ′(x )＝0，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－2时，f (x )有极大值即最大值，所以选A.[答案] A3．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值[解析] 由极值与最值的定义知选D. [答案] D4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12[解析] 由f ′(x )＝1x－1x 2＝＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.[答案] B5．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3]的值域为__________．[解析] f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1346．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值__________，极小值__________．[解析] f ′(x )＝x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2，且(－∞，－1)和(2，＋∞)时f ′(x )>0，在(－1,2)，f ′(x )<0，所以f (－1)＝76是极大值，f (2)＝－103是极小值．[答案] 76 －1037．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得： f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a 3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x＝0时，函数有最大值2.。

高中数学人教A版选修1-1第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数课件(共13张PPT)

3
x
(0,2)
f'(x)
—
f(x) 递减
2 0 极小
（2,3） + 递增
2
o
3
x
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b)内的极值；
（2）求函数y=f(x)在x=a,x=b端点处的函数值f(a),f(b)；（3）将函数y=f(x)各极值与f(a),f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
二、所涉及的思想方法
（1）从特殊到一般（2）数形结合
教材：P99，A组6. 同步解析与测评：P85，自主小测 1,2,3，4及P86训练2
若f/(x0)=0, 并且在x0附近的左右两侧导数f/(x)异号, 则f(x0)为函数的极值。
函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质
观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图像，你能找出它的
极大值、极小值吗？
y
o a x1 x2 x3
x4 x5
y=f(x)
x6
bx
y
y=f(x)
例1：求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在[0,3]上的最大值与最小值.
3
分析：函数的最值为函数的极值或者端点的函数值，故先求出各极值以及端点函数
值，再作比较即可.
解： f (x) 1 x3 4x 4， 3
函数有极小值，无极大值，
并且极小值 f 2 4
f ' (x) x2 4 (x 2)(x 2) 令f ' (x) 0, 得x 2或x 2(舍）
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M); (2)存在x0∈I，使得f(x0)= M

高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数a11a高二11数学

12/12/2021
第二十七页，共三十五页。
从而 f′(x)＝48x3ln x(x>0)．令 f′(x)＝0，解得 x＝1.(6 分) 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数；当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数．(7 分) 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝3－c，并且此极小值也是最小值．(8 分) 第二步：求函数的最值
第十七页，共三十五页。
题型三与函数最值有关的不等式恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值； (2)若f(x)≥1恒成立，求k的值．【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x) ＝0，得x＝ln 2，所以当x<ln 2时，f′(x)<0，可得f(x)在(－∞，ln 2)上单调 (dāndiào)递减，当x>ln 2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
所以2k－2kln 2k≥1，
构造函数 g(x)＝x－xln x(x>0)，则有 g2k≥1.
因为 g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
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所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)≤g(1)＝1，当且仅当 x＝1 时取得最大值，
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像(tú xiànɡ)是一条连续不断的曲线，则该函数在 [a ， b] 上最大一值定有 _最_小__值___ 和 _______ ，函数极的值(j最ízhí)值点必区间在端__点____ 或 __________处取得．

2017学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函

第三步：列出关于 x，f(x)，f
第四步：求极值、端点值，确定最值．
1．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1 2 ＝0，若 x＝3时，y＝f(x)有极值． (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
求函数的最值 )
(1)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( B．－1 D． 0
(2)求 f(x)＝x3－3x2－9x＋5 在[－4,4]上的最大值和最小值． 1－x 1 [解析] (1)∵f ′(x)＝x－1＝ x .
由f
′(x)＝0，∴x＝1.
故 f(x)在(0,1)上单调递增， (1，e]上单调递减． ∴x＝1 是 f(x)的极大值点，且 f(x)极大值＝－1. 又 f(e)＝1－e<－1， ∴f(x)大＝－1，选 B. (2)f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令 f ′(x)＝0 得 x1＝－1，x2＝3，所以
解析：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f 斜率为 3，可得 2a＋b＝0，① 2 当 x＝3时，y＝f(x)有极值，则 f
′(x)＝3x2＋2ax＋b.当 x＝1 时，切线 l 的
2 ′3＝0，可得
4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得 a＝2，b＝－4，由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)＝4. 所以 1＋a＋b＋c＝4.所以 c＝5.
03 课后巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b] 上一定有最大值和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．二、求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数

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故 f(x)在(0,1)上单调递增， (1，e]上单调递减． ∴x＝1 是 f(x)的极大值点，且 f(x)极大值＝－1. 又 f(e)＝1－e<－1， ∴f(x)大＝－1，选 B. (2)f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令 f ′(x)＝0 得 x1＝－1，x2＝3，所以 f(x)在 x＝－1 处有极大值 f(－1)＝10， f(x)在 x＝3 处有极小值 f(3)＝－22，在区间端点处 f(－4)＝－71，f(4)＝－15，比较上述结果得，f(x)在[－4,4]上的最大值为 f(－1)＝10，最小值为 f(－4)＝－71. [答1案2/13]/2021(1)B
x＝1 处分别取得最小值和最大值 8 分
②当 0＜a＜4 时，x2＜1，由(1)知，
f(1x2)/1在3/20[201 ，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减．
所以 f(x)在 x＝x2＝－1＋ 3 4＋3a处取得最大值.10 分又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以当 0＜a＜1 时，f(x)在 x＝1 处取得最小值；当 a＝1 时，f(x)在 x＝0 和 x＝1 处同时取得最小值；当 1＜a＜4 时，f(x)在 x＝0 处取得最小值.12 分
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含参数的最值问题关键是判断函数在给定区间上的单调性，在判断单调性时多用分类讨论思想．
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2．若 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是 3，最小值是－29，求 a，b 的值．解析：f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令 f ′(x)＝0，得 x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
求函数最值的方法第一步：求函数的定义域．第二步：求 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0. 第三步：列出关于 x，f(x)，f ′(x)的变化表．第四步：求极值、端点值，确定最值．

高中数学第三章导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(小)值与导数

3.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值．梳理函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的函数图象，显然f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)为极大值，f (x 2)，f (x 4)，f (x 6)为极小值．最大值y ＝M ＝f (x 3)＝f (b )分别在x ＝x 3及x ＝b 处取得，最小值y ＝m ＝f (x 4)在x ＝x 4处取得．1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × ) 2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )3．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )类型一求函数的最值命题角度1 不含参数的函数求最值例1 求下列各函数的最值．(1)f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5，x ∈[－2，＋∞)； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解 (1)f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) 0 －0 ＋f (x )57－1154由于当x >32时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1 求函数f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2，5]的最值．考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解 ∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2，5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2，5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 命题角度2 含参数的函数求最值例2 已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．题点含参数的函数求最值解 (1)由f (x )＝(x －k )e x，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减．所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1<k <2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ln xx－x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值．题点含参数的函数求最值解 (1)f ′(x )＝1－ln xx2－1，令f ′(x )＝0，得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝2x ＋1x>0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解．∵当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ①当0<2m ≤1，即0<m ≤12时，f (x )在[m,2m ]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2m )＝ln2m 2m－2m .②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (m )＝ln mm－m .③当m <1<2m ，即12<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1.类型二由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也是函数f (x )在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：b －a 32＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1. 类型三与最值有关的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若对任意x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．反思与感悟不等式恒成立问题常用的解题方法跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ln x ．若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．题点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，所以当x ＝1e 时f (x )取得最小值－1e.(2)由题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x在x ∈[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1，故a 的取值范围为(－∞，1].1．函数f (x )＝e x－x 在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e －1D ．e ＋1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案 C解析由题意得f ′(x )＝e x－1. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0,1]时，f ′(x )>0.所以f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．又因为f (－1)＝1e ＋1，f (1)＝e －1，所以f (－1)－f (1)＝2＋1e －e<0，所以f (－1)<f (1)．所以f (x )max ＝f (1)＝e －1.2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．2C.52D ．1考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12.又因为f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1，由f ′(x )＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c )2－12>0， ∴c >32或c <－32. 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，当x ＝－2时，f (x )有极值13. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[－3,0]上的最值．考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵y ＝f (x )在x ＝－2处取得极值13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －2＝－8＋4a －2b ＋5＝13，f ′－2＝12－4a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－4. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )在[－3，－2)上单调递增，在(－2,0]上单调递减，∴f (x )的最大值是f (－2)，最小值是f (－3)或f (0)，而f (－2)＝－8＋8＋8＋5＝13，f (0)＝5，f (－3)＝－27＋18＋12＋5＝8，∴f (x )在[－3,0]上的最大值为13，最小值为5.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1B.π2－1C ．πD．π＋1 考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案 C解析 y ′＝1－cos x ≥0，故y ＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以当x ＝π时，y max ＝π. 2．函数y ＝ln x x的最大值为( ) A ．10B ．e －1C ．e 2D ．e考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案 B解析令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x2＝0⇒x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝y |x ＝e ＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点利用导数求函数的最值题点抽象函数的最值答案 A解析令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立，即3m －272≥－9，∴m ≥32.5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案 C解析当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (a )，即－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围为() A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案 D 解析由题意得函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导函数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点，且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且3－6b >0，∴0<b <12，故选D.7．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案 A解析由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，则f (x )min ＝f (－3)＝－19， f (x )max ＝f (－1)＝f (2)＝1，由题意知|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|－19－1|＝20，∴t ≥20，故t min ＝20.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22考点函数最值的应用题点距离的最值问题答案 D解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)，则y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22内单调递减；当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞内单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值．二、填空题9．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案 2 －2解析 f ′(x )＝4x 2＋1－4x ×2x x 2＋12 ＝41－x 2x 2＋12＝41＋x 1－x x 2＋12，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85，得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.10．若函数f (x )＝xx 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________．考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案 3－1解析 f ′(x )＝x 2＋a －x ·2x x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2 ＝a －x a ＋x x 2＋a 2，当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，由f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，得a ＝3－1；若a >1，即a >1时，f (x )在[1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，a ＝34(舍去)．故a ＝3－1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案 (－∞，2ln2－2]解析 f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )<0， x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )min ＝f (ln2)＝2－2ln2＋a .由题意知，2－2ln2＋a ≤0，可得a ≤2ln2－2.三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值．考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，∵当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝3(当且仅当x ＝1时取等号)， ∴a ≤3，即实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，即当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝ln x ＋1x，所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)因为g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－4x ＋1，直线l ：x ＋y ＋2k －1＝0，当x ∈[－3,3]时，直线l 恒在函数f (x )图象的下方，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－34B ．k <－34C ．k <92D ．k >92考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案 D解析命题等价于当x ∈[－3,3]时， ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2－4x ＋1－(－x －2k ＋1)>0恒成立，即k >－16x 3＋12x 2＋32x . 设g (x )＝－16x 3＋12x 2＋32x ，则 g ′(x )＝－12x 2＋x ＋32＝12(3－x )(1＋x )．由g ′(x )>0，得－1<x <3；由g ′(x )<0，得－3<x <－1.∴g (x )在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值，又g (－3)＝92，g (3)＝92，∴y max ＝92，∴k >92. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e>2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a 的值为 e.。

高中数学 第三章 导数及其应用 3_3 第3课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1

(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3