高三直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
高三直线与圆锥曲线的位置关系
x2－y2＝1，
当 1－k2＝0 即 k＝±1 时，方程组有唯一解，满足题意；
当 1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即 k＝± 2时，方程组有唯一解，也满足题意. 例 2：设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是( )
率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1 C．e2－k2＞1
D．e2－k2＜1
分析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率
k
bb 只需满足－ ＜k＜ ，即
k2＜b2
aa
a2
＝c2－a2＝e2－1. a2
题型 2：圆锥曲线中的弦长、弦中点问题
线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)设弦的两端点为
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2x21－y21＝2， 2x22－y22＝2，
两式相减得到 2(x1－x2)(x1
＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率 k＝y1－y2＝4.故求得直线方程为 4x－y－7＝0. x1－x2
5
4 m2－1
x1x2＝
，y1－y2＝x1－x2，
5
∴PQ＝ (x12 x22 ) ( y12 y22 ) ＝
8
－m 5
2－16
m2－1
2
5
＝2，
解得 m2＝15，满足(*)，∴m＝±
30 .
8
4
例 3：直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
高三二轮复习：圆锥曲线(教师)
高三数学二轮复习——圆锥曲线的综合一、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．二、有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．三、圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]． ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]． ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]． ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |≥a . ②|PF 1|≥c －a . (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|PA |＋|PF |有最小值． 小题一览例1、(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 例2、 (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)．例3、 (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析 利用直线PA 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA 1斜率的边界值． 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38. 同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程， 消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.例4、 (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案 3解析 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.例5、(2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°， 故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3. 又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.综合题演练：题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围． 审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围；(3)寻找b 和k 的关系，利用(2)中k 的范围求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.所以当33<k <1时，直线l 与双曲线的左支有两个交点．(3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2，所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2，∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－22.∴b 的取值范围是(－∞，－22)．反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例7、(2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ， 证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解 依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， 所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 变式训练 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题例8、如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上． 解 (1)由e ＝c a＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论． 变式训练 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM→＋ON →)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，点D 的坐标为D (x 0，0)， 所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)， 又DQ →＝23DP →，故⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为P 在圆O 上，故有x 20＋y 20＝9， 所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 29＋y 24＝1，所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，故直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M ，N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.例9、抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． 规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.[2分] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[6分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2， y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455.[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4·－4＝410. 于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝82.[12分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分． 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值． 课后练习：1． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.2． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( ) A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 答案 A解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3． 设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为 ( ) A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4． 已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|PA |＝m |PB |，则m 的最大值为( ) A ．3B ．2C.3D.2答案 C解析 据已知设P (x ，y )， 则有m ＝|PA ||PB |＝x ＋12＋y 2x －12＋y 2＝x ＋12＋2x x －12＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝1＋4x ＋1x，据基本不等式有m ＝ 1＋4x ＋1x≤ 1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6． 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7． 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.8． 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝a 2＋c 2·2c 2－b 2c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c－c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1.9． 已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15解析 由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x ＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|PA |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，14解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|PA |最小．11． 斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析 如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥l ′， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交 A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32 解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值． 解 (1)设F (－c,0)，由c a＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3， 于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则d ＝x －02＋y －22＝x 2＋y －22＝3b 2－3y 2＋y －22＝－2y ＋12＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋n2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。
4直线与圆锥曲线的位置关系
题型2 题型2：弦长公式的应用 =4， 例2、已知△ABC的顶点A，B在椭圆上x2+3y2=4， 已知△ABC的顶点A 的顶点 在椭圆上x 在直线l:y=x+2 :y=x+2上 AB∥ 。 C在直线 :y=x+2上，且AB∥l。 （1） AB边通过坐标原点 边通过坐标原点O AB的长及 ABC的 的长及△ 当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ ABC的 面积； 面积； = |AB| 2 2 S=2 （2）当∠ABC=900，且斜边AC的长最大时，求 且斜边AC的长最大时， AC的长最大时 AB所在直线方程 (09北京高考 所在直线方程。 北京高考） AB所在直线方程。(09北京高考） y C y=xy=x-1 B AA
注：1）对称问题 (1)点关于直线的对称 (1)点关于直线的对称 (2)直线关于直线的对称 (2)直线关于直线的对称 (3)曲线关于直线的对称 (3)曲线关于直线的对称 利用两个条件： 利用两个条件： 垂直、 垂直、两对称点的中点在对称轴上
o x A M B y l
小结：直线与圆锥曲线位置关系问题有： 小结：直线与圆锥曲线位置关系问题有： 1）交点问题 2）弦长问题 3）对称问题 4）范围问题 5）弦中点问题
y x|x| =1 D ） （ 练习】直线y=x+3 y=x+3与曲线 【练习】直线y=x+3与曲线 − 9 4
3）代数方法求解后，最好用几何方法验证。 代数方法求解后，最好用几何方法验证。 2 B.只有一个交点 B.只有一个交点 D.有三个交点 D.有三个交点
A.没有交点 A.没有交点 C.有两个交点 C.有两个交点
y M
2
2
A B x
O
题型4 题型4：范围问题 (1)利用几何曲线的范围找不等式 (1)利用几何曲线的范围找不等式 (2)利用直线与圆锥曲线相交的 利用直线与圆锥曲线相交的△ (2)利用直线与圆锥曲线相交的△≥0 (3)把所求参数作为函数， (3)把所求参数作为函数，另一变量作为参 把所求参数作为函数 数，利用函数的值域求解 练习：已知中心在原点的椭圆经过（ 练习：已知中心在原点的椭圆经过（2，1）点， 则该椭圆的半长轴长的取值范围是 .
高中解析几何-直线与圆锥曲线的关系
答案：x2 y2 1。
25 75
练习一：已知椭圆C：x2 y2 1 的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C 2
于点B，若FA 3FB ，求 AF 。
答案：AF 2 。
练习二：已知动点P(x，y)在椭圆 x2 y2 1上，若A点坐标为(3,0)，AM＝1，
25 16
注意：1、因为圆锥曲线与直线存在两个交点，所以联立曲线和直线方程得到一元二次方 程时，△>0；
2、若中点在x轴（非原点），根据椭圆对称性可知直线斜率不存在。
例八：已知点P(4,2)是直线l被椭圆 x2 y2 1 所截得的线段的中点，求直线l的方程
36 9
答案：直线l的方程为x＋2y－8＝0.
例九：已知中心在原点，一个焦点为F(0，50 )的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中 点横坐标为1 ，求此椭圆的方程．
用第二种设法。
例三：已知斜率为2的直线经过椭圆 x2 y2 1 的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，
54
求弦AB的长．
答案：AB 5 5 3。
x2 y2 例四：椭圆 a2 b2 1(a b 0)的离心率为
3 ，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，
2
Q，且|PQ|＝ 10 ，求椭圆的方程。
圆锥曲线系列：直线与圆锥曲线的关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可以分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点。
(2)从代数角度看，我们可以将表示直线的方程代入椭圆的方程，经过消元后得到一元二 次方程，再判断解的情况来确定公共点的个数。
由直线和圆锥曲线联立后消元，消去y后得 ax2 bx c 0。 当a不等于0时，设 b2 4ac 。 ①Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，直线和圆锥曲线相交； ②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点，直线和圆锥曲线相切； ③Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点，直线和圆锥曲线相离。 当a等于0时，ax2 bx c 0为一元一次方程，直线和圆锥曲线相切于一点，直线和圆锥曲 线相交。曲线是双曲线时，直线斜率等于渐近线斜率；曲线是抛物线时，直线斜率为0。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知
|m| ＝ 1＋k2
23，得
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦
直线 l：f(x，y)＝0，曲线 r：F(x，y)＝0，l 与 r 的两个不同的交
点 A、B，A(x1，y1)、B(x2，y2)，则(x1，y1)、(x2，y2)是方程组
fx，y＝0，
Fx，y＝0
的两组解．方程组消元后化为关于 x(或 y)的一元二
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 Δ＝B2－4AC，应用 Δ>0，
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例 1】 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，短轴 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 距离为 23，求△AOB 面积的最大值．
则 P(－4,0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋4)， 如图设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中点 G(x0，y0)． 将 y＝k(x＋4)代入x82＋y42＝1， 整理得：(2k2＋1)x2＋16k2x＋32k2－8＝0. 由 Δ＝(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－8)>0，
拓展提升——开阔思路 提炼方法 圆锥曲线与探索型问题包含两类题型，一是无明确结论，探索结论问
题；二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．设置此类问题，旨在考 查创新意识和探究能力．
直线与圆锥曲线的位置关系(1)
(1 两曲线的交点坐标为( 解 : (1)两曲线的交点坐标为(x, y)满足方程组 x 2 sinθ + y 2 cosθ = 1 sinθ 2 2 x cosθ - y sinθ = 1 cosθ
2 2
x 2 = sinθ + cosθ sinθ 即 2 有4个不同的交点 有4 cosθ y = cosθ - sinθ
直线与圆锥曲线的位置关系（ 直线与圆锥曲线的位置关系（1）
直线与圆锥曲线交点个数的判定方法； 弦长公式；
一、直线与圆锥曲线位置关系的判定 的方程为： 圆锥曲线的方程为f(x,y)=0, 圆锥曲线的方程为 设直线L的方程为：y=kx+m,圆锥曲线的方程为
y = kx + m 2 消去y 消去y得 : (b2+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0 x y2 2 + 2 =1 a b 二次项系数不可能为0 二次项系数不可能为 y = kx + m 2 2 消去y 消去y得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y 2 - 2 =1 a b 二次项系数为0时 二次项系数为 时，L与双 与双 曲线的渐近线平行或重合。 曲线的渐近线平行或重合。 y = kx + m 消去y 消去y得 : K2x2+(2mk-2p)x+2m2=0 2 y = 2px 二次项系数为0时 二次项系数为 时，L与抛 物线的对称轴平行或重合。 物线的对称轴平行或重合。
∴ a ∈ (− 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 又设方程的两根为
2a −2 , x1 x 2 = ∴ x1 + x 2 = 2 3−a 3 − a2
直线与圆锥曲线的位置关系
基本计算
1. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2 ,y2)则弦长公式为：
| AB | 1 k x1 x2
2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2
2.在与弦中点、弦的斜率有关的题型中，用韦达 定理是常见思路。
例1 已知抛物线的方程为 y 4 x ，直线 l 过定点P（－2,1），斜率为 k ，k 为值时，直线 l 与抛物线 y 2 4 x ：只有一个公共点；有两个公 共点；没有公共点？
b|b 公共点，则b的取值范围为
2 若直线y=x+b与曲线
x 1y
2
恰好有一个
2或 - 1 b 1
3 在y轴上的截距为1的直线与焦点在x轴上的椭圆
x2 y2 1恒有公共，则m的取值范围是 [1,5)∪(5,+∞) 变2.是否存在实数m，使在y轴上的截距为1的直
基本方法
1 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情 况的讨论来研究，即方程消元后得到一个一元二次 方程，利用判别式 来讨论。 2 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解决。 3 特殊情形： （1）在双曲线中，当直线平行于其渐近线时，直 线与双曲线有且仅有一个公共点。 （2）在抛物线中，平行于其对称轴的的直线和抛 物线有且仅有一个公共点。
2 x2 y2 y 2 1 2x 1 )恒有公共 线与椭圆 (或 5 m m
点。若存在，则求出m；若不存在，请说明理由。
y2 x2 变3.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 1 9 4 总有公共点，则b的取值范围为 -3≤b≤3
高三直线和圆锥曲线的位置关系
辅导讲义 学员编号： 年 级： 高三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：授课主题 C （基本概念） T （综合分析） C （综合分析） 授课日期及时段教学内容知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|或P 1P 2＝1＋1k2|y 1－y 2|.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 已知定圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16，圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为曲线C 上一点，求证：直线l ：3x 0x ＋4y 0y －12＝0与曲线C 有且只有一个交点. 例1 (1)解 圆A 的圆心为A (－1,0)，半径r 1＝4，设动圆M 的圆心M 为(x ，y )，半径为r 2，依题意有r 2＝MB .由AB ＝2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故MA ＝r 1－r 2，即MA ＋MB ＝4，所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由2a ＝4,2c ＝2，可得a 2＝4，b 2＝3. 故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2. ①当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0).②当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点(－2,0).当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0， 联立方程组，得⎩⎨⎧ y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y 23＝1.消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.(*)由点P (x 0，y 0)为曲线C 上一点，得x 204＋y 203＝1. 于是方程(*)可化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，把x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x 4y 0，可得y ＝y 0. 故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P (x 0，y 0).综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0).总结 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.解：(1)⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)由方程①得，x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋2 2. ∵(OP →＋OQ →)⊥AB →，∴(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0，即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 21＋2k 2＋22＝0. 解得：k ＝－24，由(1)知k 2>12，与此相矛盾， 所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →垂直.题型二 圆锥曲线中的弦长问题例2 设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交曲线W 于A ，B 和C ，D .求四边形ACBD 面积的最小值.解 (1)过点P 作PN 垂直于直线y ＝－32于点N ，依题意得PF ＝PN ，所以动点P 的轨迹是以F ⎝⎛⎭⎫0，32为焦点，直线y ＝－32为准线的抛物线，即曲线W 的方程是x 2＝6y . ＝kx ＋32，(2)如图所示，依题意，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y 由l 1⊥l 2得l 2的方程为y ＝－1k x ＋32. 将y ＝kx ＋32代入x 2＝6y ， 化简得x 2－6kx －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－9，∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝6(k 2＋1)．同理可得CD ＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，∴四边形ACBD 的面积S ＝12AB ·CD。
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辅导讲义 学员编号： 年 级： 高三 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：
授课主题 C （基本概念） T （综合分析） C （综合分析） 授课日期及时段
教学内容
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.
①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．
②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .
a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|或P 1P 2＝1＋1k
2|y 1－y 2|.
(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知定圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16，圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为
C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)若点P (x 0，y 0)为曲线C 上一点，求证：直线l ：3x 0x ＋4y 0y －12＝0与曲线C 有且只有一个交点. 例1 (1)解 圆A 的圆心为A (－1,0)，半径r 1＝4，设动圆M 的圆心M 为(x ，y )，半径为r 2，依题意有r 2＝MB .由AB ＝2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故MA ＝r 1－r 2，即MA ＋MB ＝4，所以点M 的轨迹
是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，由2a ＝4,2
c ＝2，可得a 2＝4，b 2＝3. 故曲线C 的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)证明 当y 0＝0时，由x 204＋y 203
＝1，可得x 0＝±2. ①当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0).
②当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点(－2,0).
当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0
， 联立方程组，得⎩⎨⎧ y ＝12－
3x 0x 4y 0，x 24＋y 23＝1.消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.(*)
由点P (x 0，y 0)为曲线C 上一点，得x 204＋y 203
＝1. 于是方程(*)可化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，
把x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x 4y 0
，可得y ＝y 0. 故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P (x 0，y 0).
综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0).
总结 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解.
在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22
＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.
解：(1)⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭
⎫22，＋∞ (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
由方程①得，x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2
， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 2
1＋2k 2
＋2 2. ∵(OP →＋OQ →)⊥AB →，
∴(x 1＋x 2)·(－2)＋y 1＋y 2＝0，
即：－42k 1＋2k 2·(－2)－42k 2
1＋2k 2
＋22＝0. 解得：k ＝－24，由(1)知k 2>12
，与此相矛盾， 所以不存在常数k 使OP →＋OQ →与AB →
垂直.
题型二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32
相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程；
(2)过点F 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交曲线W 于A ，B 和C ，D .求四边形ACBD 面积的最小值.
解 (1)过点P 作PN 垂直于直线y ＝－32
于点N ，依题意得PF ＝PN ，所以动点P 的轨迹是以F ⎝⎛⎭⎫0，32为焦点，直线y ＝－32
为准线的抛物线，即曲线W 的方程是x 2＝6y . ＝kx ＋32
，(2)如图所示，依题意，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y 由l 1⊥l 2
得l 2的方程为y ＝－1k x ＋32
. 将y ＝kx ＋32
代入x 2＝6y ， 化简得x 2－6kx －9＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－9，
∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝6(k 2＋1)．
同理可得CD ＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，
∴四边形ACBD 的面积S ＝12AB ·CD。