24.2.2直线和圆的位置关系(3)
24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
直线和圆有两个 直线和圆有唯一
公共点时，叫做 公共点时，叫做 直线和圆相交． 直线和圆相切．
这条直线叫做 圆的割线，公 共点叫直线和 圆的交点．
这条直线叫做圆 的切线，这个点 叫做切点．
直线和圆没有公 共点时，叫做直 线和圆相离．
直线与圆的位置关系判定定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数 形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心 到直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线 和圆的位置关系之间的相互转化． (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等 法求出．
巩固练习2:
1.已知直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距 离为6，则r的取值范围是( )
0 d r 直线与O相交
d r 直线与O相切 d r 直线与O相离
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,BC＝4cm,
以点C为圆心,2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是
( B)
A.相离
B.相切
C.相交 D.相切或相交
例2.如图，四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,E为AB上 一点,且DE、CE分别平分∠ADC和∠BCD,判断以AB为直 径的圆与CD有怎样的位置关系？试证明你的结论．
直线与圆的位置关系性质定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
直线与O相交 0 d r
直线与O相切 d r 直线与O相离 d r
例3.在Rt△ABC中,AC＝3cm,BC＝4cm,∠ACB＝90°.若 以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值 范围．
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第3课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（第3课时）一、学习目标：1. 了解切线长的概念。
2. 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。
二、学习重点、难点：1. 重点：切线长定理及其运用。
2. 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。
三、学习过程：（一）温故知新1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？（口述）（二）自主学习自学教材P96---P98，思考下列问题：1.按探究要求，请同学们动手操作，你发现哪些等量关系？2.什么叫切线长？默写切线长定理，并加以证明。
3.依据“温故知新”第1题作的三角形的三条角平分线，思考一下交点到三边的距离相等吗？请以交点为圆心，以这一距离为半径作圆，你发现什么？4.什么叫三角形的内切圆、三角形的内心？（三）合作探究例1：如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．BA CE DOFE DOABCF 例2：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
（四）巩固练习3.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．（五）达标训练1.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为（ ）．A ．93B ．9（3-1）C ．9（5-1）D ．92.如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB= 30°，则∠ACB=（ ）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°BAC POB AC DPOBACBA CE D OF(1) (2) (3)(4) BAP O3．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．4．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．5．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______．6、如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，求证∠ABO=12∠APB.（六）拓展创新1．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ）A ．180°-aB ．90°-aC ．90°+aD ．180°-2a2.如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．OPACBBA CED OF。
王景磊24.2.2直线和圆的位置关系(3)
图 10
P
∠COD=_______度. (提示：连接 OA,OB)
形成定理．
（3）观察（1）中所画的图，验证猜想：PA=PB, ∠APO=∠BPO.
如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点．求证： PA=PB, ∠APO=∠BPO.
将上面数学语言转化成文字语言形成定理——切线长定理：
温馨提示：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 线平分 。 ，这一点和圆心的连
D F
A
E
C
3. △ABC 的内切圆半径为 r, △ABC 的周长为 L,则△ABC 的面积是 （ ） 。
4. a,b,c 分别是直角三角形 ABC 的三边，其中∠C=900 ，求此三角形内切圆半 径。
5. 如图 10，PA、PB、CD 是⊙O 的切线，A、B、E 为切点，
且 PA=8cm, CD 交 PA、PB 于点 C、D， ∠APB=400 ， 则△PCD 的周长=_______ cm ,
（4）切线长定理的基本图形进一步研究 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点．OP 交⊙O 于点 D， 连结 AB，交 AB 于点 C。 问：还能得到哪些结论？
（三）联系生活 1、如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且 使圆的面积尽可能大呢? 小组讨论交流试着画一画，完成下列问题。 A．圆与三角形的三边应都（ ） ）
（二）动手操作，自主探究 （1） 同学们在一张纸片上画一圆 O， 过圆 O 外一点 P 画圆 O 的一条切线， 切点为 A，画直线 PO，沿着直线 PO 将纸对折，设圆上于点 A 重合 的点为 B，这时，观察 OB 是圆 O 的一条半径吗？PB 是圆 O 的切线 吗？利用图形的轴对称性，猜想：PA___PB , ∠APO___∠BPO. （2） 以上点 P 到点 A,点 P 到点 B 之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线 长。 切线长定义： （ ）
24.2.2 第3课时切线长定理
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
A 1.到三边的距离相 等； 2.OA、OB、OC分 别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内 C 部．
B
O
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
O
典例精析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧
切线长定理: 从圆外一点引圆的两 条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线 O
A
P
平分两条切线的夹角.
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
B PA = PB
拓展结论
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D、 E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角； E
3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. F I
⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
D
B
┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
20 ° ,PB= 4 果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=
A O P A O
.
B C B 第2题 第1题 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)教学设计
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行小组合作学习。我会提出一些问题，如“如何运用直线和圆的位置关系解决实际问题？”让学生在小组内进行讨论和实验。学生可以通过观察、实验、思考，得出结论，并分享自己的心得和体会。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计一些有关直线和圆位置关系的练习题，让学生独立完成。这些练习题包括判断直线和圆的位置关系、求解圆的弦长、圆心角等。在学生解答过程中，我会给予及时的指导和鼓励，帮助学生巩固所学知识。
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课的主要目标是让学生掌握直线和圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况。学生能够运用这些知识解决实际问题，如求解圆的弦长、圆心角等。通过对直线和圆的位置关系的探究，学生能够理解圆的性质，如圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等。此外，学生还能够掌握圆的标准方程和一般方程，并能够进行相应的转化。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
本节课的重难点是让学生理解和掌握直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。具体来说，重难点包括：
1.直线和圆的位置关系的定义和判定。学生需要理解相交、相切和相离三种情况的含义，并能准确判断直线和圆的位置关系。
2.圆的性质的推导和应用。学生需要理解和掌握圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等，并能运用这些性质解决实际问题。
在教学过程中，我发现学生对于直观和实际操作的学习方式较为感兴趣。他们喜欢通过观察、实验来发现问题和解决问题。因此，在教学设计中，我将充分利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，以直观的方式展示直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)
做例题变式75、76页 做自主学习78、79页 做配套100、101页
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2
整理，得x=3 所以，半径OA的长为3cm.
四、当堂检测 巩固新知
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形 结合的思想．
• 学习重点：掌握切线的性质定理和判定定 理及其应用
• 学习难点：切线的性质定理和判定定理， 切线长定理的应用
自学指导
A D
P
·O
E
C B
思考 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
三角形的内切圆、三角形的内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心简称三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 到三边距离相等，都等于内切圆的半径。
三角形的外心与内心的比较
A
O 130°
B
P
50°
切线长概念
在经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比： 切线与切线长
A
O
24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P.探索圆外切四 边形边的关系. （ 1 ）找出图中所有相等的线段 N
D P C O M
拓展二：四边形的外接圆与内切圆
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
A
= （2）填空：AB+CD _____AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等.
切线长定理 拓展
回顾反思 1.切线长定理
· O ·
B
A
·
P
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
O B
E
F
C
例题解析
例2.已知如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°, 求：△PEF的周长和∠EOF的大小.
§24.2.2 直线和圆的位置关系
切线长定理
画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出 PA是⊙O的切线. 2、这样的切线能画出几条？
A
O
P
B
探究一
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的 长叫做切线长.
· O ·
B
A
·
P
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点,可以度量.
探究一
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线， 沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B. 问题： 1.OB是⊙O的一条半径吗？ 2.PB是⊙O的切线吗？ A
24.2.2+第3课时++切线长定理+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
∴AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴ID＝AD＝
2 2
AB＝5
2
.
13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直
径，CO 平分∠BCD.
(1)求证：直线 CD 与⊙O 相切； (1)证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴r＝3，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2.)
知识点 2 三角形的内切圆 5．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，若∠DFE＝50°， 则∠C 的度数为__8_0_°.
6．如图，△ABC 的周长为 24，其内切圆⊙O 分别切三边于 D，E，F 三点， AF＝3，FC＝4，则 BE 的长为__5__.
10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AB＝AC＝10，BC＝12.则⊙O 的半径 为_3___.
11．如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B，C 为切点，∠A＝50°，P 是⊙O 上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC＝ 65°或 115° .
12．(教材第 124 页第 13 题改)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：DA＝DI； 解：(1)连接 AI，∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵I 为△ABC 的内心，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD，BC 是⊙O 的切线，
由(1)得 CD 是⊙O 的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED＋EC＝3， ∴DF＝ CD2－CF2 ＝ 32－12 ＝2 2 ， ∴AB＝DF＝2 2 ， ∴⊙O 的半径为 2 .
∴∠BAI＝∠CAI，∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝45°， ∵∠DAI＝∠BAD＋∠BAI，∠DIA＝∠ACD＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DA＝DI；
人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系
P
4cm l
A
P 4cm
l A
O ．
直线和圆没有公共点，
O
叫做直线和圆相离 ．
l
我指你答
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
l
．O
l
．O
．O
l
l
小组合作探究
2．直线和圆的位置关系 — 数量特征
d：圆心到直线的距离 r ：半径
Or
d
l
直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相切
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相离
d=r d>r
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
我问你答
分别请三位同学提问以下1、2、3中的 其中一项内容，让 其他同学回答另两项内容。
1、直线和圆位置关系， 2、公共点个数， 3、d与r的关系，
挑战一：我会说，我来说
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为 3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_相__交__．直线a 与⊙O的公共点个数是_两__个_．
●
●
O
O
(地平线)
●
O
a(地平线)
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系24．2.2直线和圆的位置关系(3课时)第1课时直线和圆的三种位置关系(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念．(2)理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.重点理解直线和圆的三种位置关系．难点由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．一、复习引入(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；点P在圆内⇔d<r，如图(c)所示．二、探索新知前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？(老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．(老师板书)如图所示：如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图(b)，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图(c)，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到l的距离的三种情况．(学生分组活动)：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评：直线l和⊙O相交⇔d<r，如图(a)所示；直线l和⊙O相切⇔d＝r，如图(b)所示；直线l和⊙O相离⇔d>r，如图(c)所示．例1如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？解：(1)如图，过C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ABC中，BC＝82－42＝4 3.∴CD＝43×48＝23，因此，当半径为2 3 cm时，AB与⊙C相切．(2)由(1)可知，圆心C到直线AB的距离d＝2 3 cm，所以当r＝2时，d>r，⊙C与直线AB相离；当r＝4时，d<r，⊙C与直线AB相交．三、巩固练习教材第96页练习四、课堂小结(学生归纳，总结发言，老师点评)本节课应掌握：1．直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念．2．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d则有：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.五、作业布置教材第101页习题第2题．24.2.2直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为__332__cm . 3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P到O的距离等于圆的半径，而不是直线l到O的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？解：r＝125或3＜r≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系．解：⊙A与x轴相交，与y轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作圆．①当r满足__0＜r＜125__时，⊙C与直线AB相离．②当r满足__r＝125__时，⊙C与直线AB相切．③当r满足__r＞125__时，⊙C与直线AB相交．2．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相交．直线a与⊙O的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相离．4．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O的位置关系．解：相切．5．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，且直线l与⊙O相切，求m的值．解：m＝0或m＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第2课时圆的切线1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．重点探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．难点探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．活动1动手操作要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？活动2探索切线的判定定理1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O 到直线l的距离是多少？2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现此问题和上节课所学内容的联系吗？3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语言描述：文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．几何语言描述：如上图，∵OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C.引导学生观察下面两个图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．4．讲解教材第98页例1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本模式．活动3性质定理1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．假设半径OA与l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质有________＜________，∴直线l与⊙O________.这就与已知直线l与⊙O相切矛盾，∴假设不正确．因此，半径OA与直线l垂直．2．学生总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．3．教师引导学生辨别切线的判定定理与性质定理的区别与联系．切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用．活动4巩固练习1．(1)下列直线是圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线D．过圆的直径外端点的直线(2)如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和⊙O的位置关系是________．,第(2)题图),第(3)题图)(3)如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．2．教材第98页练习第1，2题．答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接OC，OD；2.略．活动5课堂小结与作业布置课堂小结1．知识总结：两个定理：切线的判定定理是________；切线的性质定理是________．2．方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法．(2)证明切线的方法：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．(3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件．作业布置教材第101页习题24.2第4～6题．24．2.2直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA ＝∠B ； ③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是__10__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP，BP，则OP＝OB.∴∠OBP＝∠OPB.∵AB为直径，∴BP⊥PC.在Rt△BCP中，E为斜边中点，∴PE＝12BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB.∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE为切线，∴AB⊥BC.∴OP⊥PE，∴PE是⊙O的切线．2．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O 于点E，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点； (2)CD 是⊙O 的切线． 证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等； (2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P 98的练习．2．如图，∠ACB ＝60°，半径为1 cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__3__cm .,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P 与直线CD 相切．4．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为__16__cm .,第4题图),第5题图) 5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O 于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)第3课时切线长定理了解切线长的概念．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重点切线长定理及其运用．难点切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？老师点评：(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．(2)(口述)点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l 和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB 是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．从上面的操作我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线．求证：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．(同刚才画的图)设交点为I，那么I到AB，AC，BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．例2如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就需添加辅助线，如果连接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．解：连接AO，BO，CO，∵⊙O是△ABC的内切圆且D，E，F是切点．∴AF＝AE＝2，BD＝BF＝3，CE＝CD＝1，∴AB＝5，BC＝4，AC＝3，又∵S△ABC＝6，∴12(4＋5＋3)r＝6，∴r＝1.答：所求的内切圆的半径为1.三、巩固练习教材第100页练习．四、课堂小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1．圆的切线长概念；2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．五、作业布置教材第102页综合运用11，1224．2.2直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟) 自学：阅读教材P 99～100. 归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆． 4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P ＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE ＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长． 解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C ＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c2.点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I是△ABC的内心，∠A＝70°，求∠BIC的度数．解：125°.点拨精讲：若I为内心，∠BIC＝90°＋12∠A；若I为外心，∠BIC＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC 的内切圆半径r＝__2__．,第1题图),第2题图)2．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC ＝__90°__．3．如图，AB，AC与⊙O相切于B，C两点，∠A＝50°，点P 是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC＝__65°__．,第3题图),第4题图) 4．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC ＝140°，则∠BIC＝__125°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．圆的切线长概念；2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
24.2.2直线和圆的位置关系
d
要点归合纳作探究 （用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
dr
r d
o r
d
∟
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 数形结合： 位置关系
d< r d= r d> r 数量关系
公共点 个数
练一练：
1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （1）若d=4cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有_2___个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有__1__个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
A．(－1，－2)
B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂 径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用 勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故 选A.
拓展提升：已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1 与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离 d=r:相切 d<r：相交
特别提醒：在图中没有d要先做出该垂线段
课后作业
见《学练优》本课时练习
B
当r=2.4cm或3cm≤r＜4cm时,⊙C与线
段AB有一个公共点.
5
4
D 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有
C 3 A 两公共点.
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.
(1) 以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
24.2.2直线和圆的位置关系(3)(17张)
C
A
B
I
D
M
N
r
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
．
o
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。
三角形外接圆
三角形内切圆
．
o
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
A
A
B
B
C
C
例3 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
A
O
P
P
A
B
A
O
P
P
A
切 线 长
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的 长叫做切线长.
A
O
P
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
O
P
B
如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
证明： ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
B
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径做圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
练 习``
解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB）
=117.5°
=180°－ （50°+75°）0
24.2.2 直线和圆的位置关系(3)
C
.O
E
P
D
必须按照上述格式。
B
A
5、如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C， ⊙O半径为1，PO=2，则PA=_______，
PB=______，PC=_____，AC=______，
BC=____，∠AOB=______． P A
C B
O
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x负半 轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑴试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由.
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
存 在 性 问 题
O
切线
A
l
切线性质定理：
①圆的切线;
②过切点的半径.
切线垂直于半径
例:在Rt△ABC的斜边上, 以AD为直径的⊙O和BC相切 E
C
F
D B
于点F, ⊙O和AC交于E.
求证:弧EF=弧FD
A
. O
分析：
①已知切线、切点，则连接半径，应用切线 的性质定理可得垂直关系； ②已知直径则作直径所对的圆周角.
O l A
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
24.2.2直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系教学内容：直线和圆的位置关系教学目标：1、使学生掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质；2、通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力；3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．教学重点：直线与圆的三种位置关系教学难点：直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用教学过程：一、类比联想，提出问题1．前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系？它们的数量特征分别是什么？2．如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系呢？(板书课题)二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知1．尝试活动让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关系．2．电脑演示在学生尝试活动的基础上，教师演示图：一个已知圆O与一条直线l发生相对运动的情况．将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来．(1)相交；直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．给出以上定义后，教师强调：(1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．(2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗？即一条直线和圆的公共点能否多于两个？为什么？学生回答后，教师总结并板书：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．以上三个命题的正确性是通过观察得到的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明．三、例题分析，课堂练习例在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米．让学生自己作出回答，教师板书解题过程，并画出相应的图形．练习1 填空在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么：(1)当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是______；(2)当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是______；(3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是______．练习2如图7-101，已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM= 5厘米，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=4厘米；(3)r=2.51 厘米．四、课堂小结问：这节课学习了哪些具体内容？用到了哪些数学思想方法？应注意什么问题？在学生回答的基础上教师归纳：1．出示直线与圆的位置关系表．2．本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d和r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系．3．学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用的区别与联系．五、作业：课本106页“练习”中的2和110页中的2。
24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
3
知识点
三角形的内心的性质
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？
直线与圆的位置关系
24.2.2直线与圆的位置关系（3）教学目标：1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定理，并会用其解决有关问题；2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想．教学重难点：切线长定理及其应用．教学过程：一．导入新课：圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．在切线长定理的探究过程中，同学们将要经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程，其中体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．今天，咱们就一起来探究圆的切线长定理和三角形的内切圆等知识。
二．讲授新课：1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．2．思考：已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能够过点P 画出⊙O的切线吗？3.探究：如图，PA,PB是⊙O 的两条切线，切点分别是A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？已知：如图，PA,PB是⊙O 的两条切线，切点分别是A,B.求证：P A=PB，∠APO=∠BPO．证明：∵P A、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴P A=PB，∠APO=∠BPO．知识要点：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．注意：连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线．4.探究新知，挖掘内涵切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是什么？过圆外一点能作几条圆的切线？它们的切线长有什么关系？∠APO 和∠BPO有什么关系？定理有几个条件？分别是什么？定理有几个结论？分别是什么？5．应用新知，迁移拓展一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？（问题：与三条边相切的圆的圆心必须满足什么条件？满足这样条件的点怎样作？要不要三条角平分线都作出来？）知识要点：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆．三角形的内心：三角形内切圆的圆心．（即三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。
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《24.2.2直线和圆的位置关系（3）》导学案
班级小组姓名
一、学习目标：
目标A：掌握切线的性质定理.
目标B：.能利用切线的性质定理解题.
二．问题引领
[问题A]：掌握切线的性质定理.
1、探究如图，直线 l是切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
请证明你的结论.
2、切线的性质定理: 圆的切线垂直于_______________
3、定理的几何语言如图，
，
∴.
4、总结圆的切线有如下特点:
①圆的切线和圆有______个公共点.
②圆的切线垂直于经过切点的______.
③经过圆心且垂直于切线的直线必经过______.
④经过切点且垂直于切线的直线必经过______.
⑤圆心到切线的距离等于______.
[问题B]：.能利用切线的性质定理解题.
1、如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为350，过C 点的切线PC与AB的延长线
交于点P,则=
∠P .
2、如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB、AC切小圆于点M、N，连结BC、MN，若BC=10,
则MN=____________.
3、如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB切小圆于点C.
（1）求证：点C是AB的中点.
（2）若圆环的面积为9π，求弦AB的长.
4、如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点
C，若AB＝6 ，PB＝8cm，求AC ,PC的长.
三、专题检测
训练A:掌握切线的性质定理.
1、如图，PA是⊙O的切线，切点为A,若∠P=30°,OP=2,则⊙O的半径
是_________
（1）
（2）（3）（4）
2、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB=AC,则C
∠=
3、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C ，
若 25=∠A ,则=∠D .
4、如图，AB 是⊙O 的直径，直线L 1,L 2是⊙O 的切线，A 、B 是切点，L1,L2的位置关系是_______________. 训练B: .能利用切线的性质定理解题.
1、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2,
30BAC =∠,过点C 与⊙O 相切的直线交AB 的延长线于点D ，求线段BD 的长.
2、如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于
点D ，求证：AC 是⊙O 的切线 .
训练C:综合训练
在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D.试说明:AC 是⊙D 的切线.
四．课后作业
1、、如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的
直径为8cm ，AB=10
那么OA 的长是（ ）
A ．
B C
（1） （2） （3）
2、如图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A 、70° B 、35° C 、20° D 、10°
3、如图，在直角△ABC 中，AB=2,AC=1,以AB 为直径的圆与AC 相切，与BC 交于点D ，
则AD 的长为( ). A 552 B 554 C 352 D 35
4
4、 如图，AB 是⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于C ，AC 平分∠DAB （1）求证：A D ⊥DC
（2）若∠DAC=30°，AC=2，求AB 的长.
5、如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M.
（1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若正方形ABCD 的边长为1，求⊙O 的半径.
A
本节课我的收获与反思：。