图的因子覆盖和消去及其对偶性
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
数学专业术语
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I};2,2,2,1,1,1{><><><=s I而题4.2中的}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到}.1,9,2,6,3,3{><><><=R求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将ranR ran domR domR,, 的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。
若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。
由图4.3可知}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的2步长的有向路径即可。
离散数学覆盖关系
在离散数学中，覆盖关系是一种二元关系，用于描述集合之间的包含关系。
具体而言，给定两个集合A和B，如果每个元素在A中至少与B中的一个元素有关联，那么称B覆盖A，表示为A⊆B。
覆盖关系可以用于研究集合的包含和相互关系。
覆盖关系具有以下性质：
自反性：每个集合都覆盖自身，即A⊆A。
反对称性：如果A覆盖B，且B覆盖A，则A和B是相同的集合，即A=B。
传递性：如果A覆盖B，B覆盖C，则A覆盖C。
在离散数学中，覆盖关系还经常用于讨论集合的最小覆盖和最大覆盖。
最小覆盖是指覆盖关系中包含最少元素的覆盖集合，而最大覆盖则是指包含最多元素的覆盖集合。
覆盖关系在实际应用中有广泛的应用，例如在图论中，覆盖关系可以用来描述图的顶点覆盖和边覆盖问题。
此外，在计算机科学中，覆盖问题也经常出现，如集合覆盖问题、任务调度问题等。
离散数学中的覆盖关系是一种用于描述集合之间包含关系的二元关系，它涉及集合的包含、相等、最小覆盖和最大覆盖等概念，并在各个领域中有广泛的应用。
数电选择题2及答案详解
1 :2的等值十六进制数是（）(2分）A:B:15. 5C:6. 8D:2. 1您选择的答案: 正确答案： C知识点：把每四位二进制数分为一组，用等值的十六进制数表示。
2 :两输入的与门在下列（）时可能产生竞争—冒险现象(2分）门电路两个输入信号同时向相反的逻辑电平跳变的现象称为竞争A:一个输入端为0，另一个端为1B:一个输入端发生变化，另一个端不变C:两个不相等的输入端同时向相反的逻辑电平跳变D:两个相等的输入端同时向相反的逻辑电平跳变您选择的答案: 正确答案： C知识点：门电路两个输入信号同时向相反的逻辑电平跳变的现象称为竞争3 :电路如下图所示，设起始状态Q2Q1=00，第3个上升沿，Q2Q1变为( ) (5分）A:00B:01C:10D:11您选择的答案: 正确答案： D知识点：参考T触发器的特性表您选择的答案: 正确答案： A 4 :逻辑函数Y(A, B, C, D)=∑m(0,2,4,6,9,13) + d(1,3,5,7,11,15)的最简与或式为（）(5分）A:AD+A’D’B:A’+DC: A+DD:A’C+AD您选择的答案: 正确答案： B知识点：化简具有无关项的逻辑函数最好用卡诺图的方法。
5 :图中为TTL门电路，其输出为（）状态(2分）A:高电平B:低电平C:高阻态D:不确定您选择的答案: 正确答案： C知识点：图示中，控制端低电平电平有效。
控制端无效时输出为高阻态6 :逻辑函数Y＝（A’＋D）(A C＋B C’) ’＋A B D’ 的Y’ 是（）(2分）A:(AD’+(A’+C’)(B’+C))(A’+B’+D)B:(AD’+((A’+C’)(B’+C))’)(A’+B’+D)C:AD’+(A’+C’)(B’+C)(A’+B’+D)D:AD’+((A’+C’)(B’+C))’(A’+B’+D)您选择的答案: 正确答案： B知识点：利用反演定理求Y’时，要注意：利用加括号的方式保证原来的运算顺序不变；非单个变量上的非号不变。
离散数学教学要求资料
1、课程简介一本课程的教学内容简介、学习目标、重点、难点、学习要求等。
离散数学主要研究离散对象和它们之间的关系。
它是现代数学的重要分支之一，是计算机科学的基础理论核心课程。
离散数学的内容很广泛，包括数理逻辑、集合论、图论、代数结构积应用部分。
它们来源于不同的数学分支，从不同的角度研究各种离散量之间的关系。
学习它目的是为计算机科学的数据结构、编译理论、操作系统、算法分析、人工智能等提供了必要的数学基础知识。
通过本课程的学习，期待各位学员对离散数学有一个较全面的概念，培养出抽象思维和严谨的逻辑推理能力。
学习要点一、命题逻辑：掌握命题、命题变元、联结词、复合命题等概念，能够将命题符号化；掌握命题公式、重言式、矛盾式、可满足式、公式真值表等概念，能够利用公式的真值表判断较简单的公式类型；掌握命题公式的等值式、*对偶式，命题公式的代入与置换等概念，能够利用基本等值式、代入规则和置换规则进行等值演算；掌握命题公式的逻辑蕴涵式、逆换式、反换式、逆反式等概念，对于较简单的A和B,能够判断B是否成立，*能够用基本的逻辑蕴涵式推证更复杂的逻辑蕴涵式；掌握全功能联结词集合的概念，能够判断一个联结词集合是否为全功能联结词集合，*会求最小联结词集合；掌握范式、极小（大）项、主范式的概念和性质，掌握求各种范式的方法，*能够用等值演算法和真值表法求命题公式的主范式，熟悉一个命题公式的主合取范式与主析取范式的关系——如何根据一种主范式立刻写岀另一种主范式；*掌握形式证明、前提引入规则、结论引入规则、置换规则、代入规则、蕴涵证明规则等概念，能够根据推理规则以及一些基本等值式和逻辑蕴涵式，利用直接法和间接法作有效推理，并最终得到一个有效的结论。
二、谓词逻辑：掌握个体、个体变量、个体域、谓词、全称量词、存在量词等概念，并学会利用它们符号化一些命题和构成一些较复杂的命题；掌握谓词公式的正确概念，理解约束变量和自由变量的形式和意义；正确使用约束变量的改名规则和自由变量的代入规则；掌握谓词公式的永真、等价、蕴含等概念，并能比较与命题公式演算中同样的概念及其异同；能用定义证明几个定理中给岀的各个含有量词的等价关系式和蕴涵关系式；能记住主要的等值式，即量词否定等值式、量词作用域扩张与收缩等值式、量词分配等值式、在有限个体域内消去量词等值式；能使用约束变量和自由变量改名规则进行等值演算，掌握前束范式的概念以及把谓词公式化成与之等价的前束范式的方法；掌握谓词演算中推理的概念，并能利用正确的方法判断一个推理过程是否正确。
图论的名词解释
图论的名词解释图论是数学中的一个重要分支，研究从图的角度描述和解决问题的理论和方法。
图论的基本概念和名词非常重要，它们是理解和应用图论的关键。
本文将从不同的角度解释图论中的一些重要名词。
1. 图（Graph）图是图论的核心概念，它由节点和边组成。
节点代表对象或事件，边代表节点之间的联系或关系。
图可以分为有向图和无向图。
无向图的边没有方向，表示节点之间的无序关系；有向图的边有方向，表示节点之间的有序关系。
图在各个领域都有广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、交通规划等。
2. 节点（Vertex）节点是图中的基本元素，也称为顶点。
节点可以代表具体对象，如人物、城市、物品等，也可以代表抽象概念，如事件、状态、因素等。
在图中，节点用符号来表示，通常是用数字、字母或图形等表示。
3. 边（Edge）边是连接节点的线段或箭头，表示节点之间的关联关系。
边可以有权重，用于表示边的强度、距离或费用等。
边的类型包括直接边和间接边。
直接边直接连接两个节点，间接边通过其他节点连接两个节点。
边的属性是图论中的重要概念，它可以用来分析网络的特征和性质。
4. 路径（Path）路径是指从一个节点到另一个节点的一组边的序列。
路径可以是有向图中的有向路径，也可以是无向图中的无向路径。
路径的长度用边的数量来表示，路径的权重用边的权重之和来表示。
寻找最短路径和最优路径是图论中的重要问题，有助于解决一些实际的路径规划和优化问题。
5. 连通图（Connected Graph）连通图是指无向图中任意两个节点之间都存在路径的图。
连通图中不存在孤立节点，所有节点都可以通过路径相互连通。
连通图可以进一步分为强连通图和弱连通图。
强连通图是有向图中任意两个节点都存在有向路径的图，弱连通图通过去掉图中所有边的方向得到。
连通图的连通性是图论中的核心概念，与网络传播、信息传递等问题密切相关。
6. 图的度数（Degree）图的度数是指节点的边的数量，也称为节点的度。
顶点覆盖问题 对偶法
顶点覆盖问题对偶法
顶点覆盖问题是在一个图中找到最小的顶点集合，使得图中的每条边至少有一个端点属于这个集合。
对偶法是一种常用的解决顶点覆盖问题的方法。
对偶法基于以下观察：一个图的顶点覆盖可以等价地转化为该图的一个最大匹配。
最大匹配是指一个图中边数最多的互不相交的边集合。
使用对偶法解决顶点覆盖问题的步骤如下：
1. 构建原始图的补图，即保留原始图中没有边的两个顶点之间的边，删除原始图中有边的两个顶点之间的边。
2. 在补图上找到一个最大匹配。
3. 将最大匹配的所有边的两个端点所对应的顶点加入到顶点覆盖的集合中。
4. 返回顶点覆盖的集合作为最终的解。
通过对偶法，我们可以将顶点覆盖问题转化为寻找最大匹配的问题，从而简化了问题的求解过程。
然而，对偶法并不保证能够找到最优解，它只能提供一个近似解。
1。
离散数学几个典型的代数系统
{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
25
全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
10
格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
18
格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
4
零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.
图论课件-图的因子分解
因子分解的应用场景
虽然图的因子分解在理论计算机科学中有广泛的应用，但在实际应 用中，如何将理论应用于实际问题仍需进一步探索。
未来可能的研究方向和挑战
寻找高效算法
01
未来研究的一个重要方向是寻找更高效的算法来解决图的因子
分解问题。
04
图的因子分解的应用
在计算机科学中的应用
计算机网络
图的因子分解可以用于优化路由算法，通过将网络分解为 若干个连通子图，可以更有效地进行路由选择和流量控制 。
并行计算
在并行计算中，图的因子分解可以用于任务分配，将一个 大任务分解为若干个小任务，并分配给不同的处理器执行 ，从而提高计算效率。
数据挖掘和机器学习
一个图，其中任意两个不 同的顶点之间都恰有一条 边相连。
空图
一个图，其中任意两个不 同的顶点之间都无边相连 。
图的因子分解的重要性
理论意义
图的因子分解是图论中的重要概 念，它有助于深入理解图的性质 和结构。
应用价值
图的因子分解在计算机科学、运 筹学、电子工程等领域有广泛的 应用，如网络设计、电路优化等 。
资源配置和调度。
金融风险管理
在金融风险管理中，图的因子分 解可以用于识别和评估风险因素 之间的关联关系，从而更好地进
行风险管理和控制。
在网络设计中的应用
01
社交网络分析
在构和群体关系，
从而更好地理解社交行为的模式和规律。
02 03
推荐系统
在推荐系统中，图的因子分解可以用于用户兴趣分析和物品关联推荐， 通过将用户和物品之间的关系进行分解和分析，可以更有效地进行个性 化推荐。
数字电路-逻辑代数基础
数字电路-逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的三种基本运算与、或、⾮复合逻辑运算最常见的有与⾮、或⾮、与或⾮、异或、同或等。
异或：A⨁B=AB′+A′B同或：A⨀B=AB+A′B′异或与同或互为反运算。
逻辑代数的基本公式和常⽤公式基本公式也叫布尔恒等式（证明⽅法包括真值表法和推演法）：总结为以下⼏类：开始为0⾏1. 变量与常量间的运算规则：1、2⾏2. 重叠律（同⼀变量）：3⾏3. 互补律（变量和其反变量）：4⾏4. 交换律（5⾏）结合律（6⾏）分配律（7⾏）5. De.Morgan定理，反演律（8⾏）6. 还原律：（9）若⼲常⽤公式由基本公式导出，便于化简逻辑函数。
1. 两个乘积项相加时，若⼀项以另⼀项为因⼦，则该项多余：A+AB=A2. 两个乘积项相加时，⼀项取反后是另⼀项的因⼦，则此因⼦多余，可以消去：A+A′B=A+B3. 两个乘积项相加时，若他们分别包含B和B′两个因⼦⽽其他因⼦相同，则两项可合并。
AB+AB′=A4. 变量A和包含A的和相乘时，结果为A:A(A+B)=A5. 若两个乘积项中分别包含A和A′两个因⼦，则其余因⼦组成第三个乘积项时，第三个乘积项是多余的：AB+A′C+BC=AB+A′C进⼀步AB+A′C+BCD=AB+A′C6. A和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，A这个因⼦可以消去：A(AB)′=AB′7. A′和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，结果等于A′A′(AB)′=A′逻辑代数的基本定理代⼊定理在任何⼀个包含A的逻辑等式中，若以另外⼀个逻辑式代⼊式中所有A的位置，则等式依然成⽴。
反演定理对于任意⼀个逻辑式Y,若将其中所有的“⋅”换成“+”,“+”换成“⋅”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结果就是Y′。
这个规律称为反演定理。
反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了⽅便。
在使⽤反演定理时,还需注意遵守以下两个规则:①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
图论课件-特殊平面图与平面图的对偶
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REPORTING
目录
• 引言 • 平面图的对偶 • 特殊平面图01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
特殊平面图与平面图对偶的定义
特殊平面图
哈密顿图与对偶图的关系
01
02
03
哈密顿图的对偶图是一 个哈密顿图，其顶点对 应于原图的边，边对应
于原图的顶点。
哈密顿图的哈密顿路径 和哈密顿回路在对偶图 中表现为一个简单的闭
环。
哈密顿图的度数限制为4， 即每个顶点的度数不能超
过4。
PART 04
特殊平面图与平面图对偶 的应用实例
REPORTING
电路设计中的对偶图应用
在电路设计中，对偶图被用于表示电路元件之间的连接关系。通过将对偶图应用 于电路设计，可以简化电路分析和设计过程。
对偶图可以帮助电路设计师更好地理解电路的结构和功能，从而进行有效的电路 优化和改进。此外，对偶图还可以用于电路仿真和测试，以确保电路的性能和可 靠性。
网络设计中的对偶图应用
无环平面图的判定：一个平面 图是无环的当且仅当它的所有 面都是三角形。
欧拉图
欧拉图是指存在一条路径，该路径可以遍历其所有边且每条边只遍历一次的图。
欧拉路径是指遍历欧拉图的路径，而欧拉回路是指起点和终点是同一点的欧拉路径。
欧拉定理：一个连通图是欧拉图当且仅当它的所有顶点的度都是偶数。
哈密顿图
哈密顿图是指存在一条路径，该路径 可以遍历其所有顶点且每条边只遍历 一次的图。
对偶图的性质
对偶图的节点数等于原平面图 的边数，对偶图的边数等于原
平面图的节点数。
对偶图是二部图，即其节点 可以划分为两个不相交的子 集，使得每条边都连接这两
图论课件特殊平面图与平面图的对偶
嵌入法
首先将原始图嵌入到平面 上，然后根据嵌入的图构 造对偶图。
Hale Waihona Puke 递归构造法通过对原始图的递归分割， 构造出对偶图。
04
特殊平面图与平面图的对 偶关系
欧拉图与对偶图的关系
欧拉图
一个连通图，其每一条边都恰好在一个欧拉路径 上。
对偶图
将原图的每条边替换为其对偶边，即反转边的方 向。
关系
如果一个图是欧拉图，那么其在对偶图中也是欧 拉图。
在其他领域的应用
生物信息学
在生物信息学中，特殊平面图和平面图的对偶可以用于描述基因组序列和蛋白质 相互作用网络。
电子工程
在电子工程中，特殊平面图和平面图的对偶可以用于描述电路设计和信号处理。
THANKS
感谢观看
经过原图每条边至少一次的回路。
表现
在对偶图中，欧拉路径和哈密顿路径的方向也会发生反转。
05
特殊平面图和平面图对偶 的应用
在计算机科学中的应用
1 2
路由算法
在计算机网络中，对偶图可以用于描述数据包的 传输路径，通过对偶图的计算可以找到最优路径。
计算机图形学
在计算机图形学中，特殊平面图和平面图的对偶 可以用于描述图形的渲染和光照计算。
02
特殊平面图
欧拉图
定义
一个连通图，它的边可以按照某 种顺序排列，使得每条边恰好被 走过一次，则称这个图为欧拉图 。
判定条件
一个连通图是欧拉图当且仅当存 在一个顶点，从它出发的边数等 于它与其它顶点的度数之和。
哈密顿图
定义
一个连通图，它的顶点可以由一个顶点开始遍历一次（包括 起点），且只遍历一次所有顶点，则称这个图为哈密顿图。
哈密顿图与对偶图的关系
对偶公式离散数学
对偶公式离散数学对偶公式是离散数学中的一种重要概念，它与图形的对称性有关，可以帮助我们更好地理解图形的结构特征和性质。
在本文中，我将讨论对偶公式的定义、证明、应用等方面，以帮助读者更好地理解这一概念。
对偶公式的定义对偶公式是指将一个平面图形的所有面和所有点互换得到的另一个平面图形，两个图形互为对偶关系。
具体来说，对于一个给定的平面图形G=(V，E)，我们可以定义它的对偶图G某=(V某，E某)，使得G和G某满足以下两个条件：1.G和G某的所有面和所有点一一对应。
2.对于G中的任意两个面，它们相邻当且仅当它们对应的点在G某中相邻；对于G某中的任意两个面，它们相邻当且仅当它们对应的点在G中相邻。
对偶公式的证明对于平面图形G=(V，E)，我们可以通过以下步骤来证明它的对偶图G 某=(V某，E某)存在：1.根据欧拉公式，我们有：，V，-，E，+，F，=2，其中，V，E，F，分别表示G中的点数、边数和面数。
2.我们将G中的每一个面向外“翻面”，得到一个新图形G'，它的每个面都是由原来的面与周围的边所围成的一块区域。
3.我们将G'中的每个交点都插入一个新的点，得到一个新图形H。
4.我们将H中每个面都向外“翻面”，得到一个新图形H'，它的每个面都是由原来的面与周围的点所围成的一块区域。
5.我们可以发现，H'中的每个面都对应着G中的一个点，且H'中的每个点都对应着G中的一个面。
因此，我们可以定义G某=(V某，E某)，其中V某为H'中的点集，E某为H'中的边集，且G某为G的对偶图。
通过上述证明，我们可以看出，对偶公式的存在并不依赖于G是否为平面图形，而只与G中的面、点、边之间的关系有关。
对偶公式的应用对偶公式在离散数学中有着广泛的应用，包括图论、拓扑学、计算几何等领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 图论中常常使用对偶公式来证明定理或推导算法。
例如，通过对偶公式可以证明Planar Graph的最大独立集大小小于等于4/3 某最小顶点覆盖大小。
对偶定理和反演定理
对偶定理和反演定理
对偶定理和反演定理是离散数学中重要的概念。
对偶定理和反演定理
在应用中经常被用于解决图形、计算机科学、信息工程以及其他数学
分支的问题。
对偶定理是指一个问题的解决与该问题的对偶问题的解决相关。
对偶
问题通常通过交换问题的行和列来获得。
这种性质可以应用于图形学中。
例如，在一个平面问题中，如果把点替换成面，则原来的图形问
题成为对偶问题。
解决问题的难度取决于问题是否有优秀的对偶形式。
如果存在优秀的对偶形式，则可以使用对偶定理来解决问题。
反演定理是指一种技术，可以用来解决含有卷积、递归、数论运算等
的复杂问题。
反演定理是离散数学中最经典和重要的定理之一。
反演
定理可以应用于代数、分析、拓扑和众多相关分支的问题。
反演定理
可以从不同的角度来看待，但其本质是一种转化形式，通过这种形式
化的方法将原本难以处理的问题转化为更加容易处理的形式。
在离散数学中，对偶定理和反演定理是十分重要的概念。
对偶定理通
常可以用来发现新问题，而反演定理通常用来解决复杂问题。
这两个
概念的应用与发展，帮助着学者们更好地理解离散数学的本质，并在
不断拓展知识的同时，得到更广泛的应用。
对偶理论几个性质的证明
对偶理论几个性质的证明
图论的对偶理论指在图论的内容中针对一个特殊的图G建立的另一个
图G*，它们之间的关系满足交换律，即G与G*互为对偶，可以发现的特
性包括：
一、Konig定理：
它是有关其中一种有向图的带宽是否可容的定理，即一个可容的有向
图其最大匹配数等于最大独立集的最小覆盖数。
它的对偶理论表明，一个
图G的最大匹配是邻接矩阵A的最小非零向量的数量加上图G的最小独立
集的数量。
其中，A是G的一个邻接矩阵，反映了图G的一种表示。
证明：
假设G是可容的有向图，则G具有非负的顶点覆盖数V和边覆盖数E，满足V≤E。
而G*是G的对偶图，具有最大匹配数m和最小独立集数f。
我们假设，图G的边覆盖数E等于G*的最小独立集数f，可以说明图
G的顶点覆盖数V等于G*的最大匹配数m。
因此，可以将等式node(V) = edge(E)和node(V) = match(m)结合起
来得到：
edge(E) = match(m)
与Konig定理的含义相同，即：G的最大匹配数等于G*的最小独立集数。
另外，根据等式，我们可以得出：
G具有V顶点和E边的最大匹配数=G*具有f点和m边的最小独立集
数
结论：一个可容的有向图其最大匹配数等于最小独立集的最小覆盖数。
二、Hall定理：
Hall定理指出：若图G有顶点集V和边集E，则G具有最大匹配 M 且，V，<=，M，时，必有一个完全匹配。
对偶式离散数学
对偶式离散数学
对偶式离散数学是一种研究离散结构的数学分支，它主要关注离散结构中的对偶性和对称性。
对偶性是指将一个数学结构中的某些概念和操作进行转换，得到另一个相对应的数学结构，两个结构之间存在一种相似性或者映射关系。
对偶性的概念在离散数学中具有广泛的应用，可以用来研究图论、集合论、代数结构等多个领域。
对偶式离散数学的一个重要方面是对偶图（dual graph）。
在图论中，对偶图是指将原始图中的节点和边进行转换，得到一个新的图。
对偶图与原始图具有一一对应的关系，并且它们在某些性质上是相同的。
通过对偶图的研究，可以更好地理解原始图的特征和结构。
另一个重要的概念是对偶算子（dual operator）。
对偶算子是指将一个向量空间中的线性算子转化为另一个向量空间中的线性算子。
对偶算子可以用来描述向量空间中的对称性和共轭性质。
在代数结构中，对偶算子的概念也得到广泛的应用，特别是在线性代数和泛函分析中。
对偶式离散数学还包括对偶关系的研究。
对偶关系是指两个数学结构之间的一种对应关系，通过这种对应关系可以建立两个结构之间的联系。
对偶关系可以用来研究不同领域中的相似性和等价性，进而推导出一些结构和性质之间的等价关系。
总之，对偶式离散数学是一门研究离散结构中对偶性和对称性的数学学科。
它通过对偶图、对偶算子和对偶关系的研究，揭示了离散结构中的一些隐藏规律和性质，为离散数学的发展提供了新的视角和方法。
图论基础知识点
基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。
非平凡图：其他所有图。
空图：边集合为空的图。
简单图：既没有环也没有重边的图。
复合图：其他所有的图。
同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。
标定图：给图的点和边标上符号。
非标定图：不标号。
非标定图代表一类相互同构的图。
完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。
N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。
偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。
若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。
k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。
完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。
图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。
子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。
生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。
导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。
'[]G V 和G v -。
边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。
'[]G E 和{}G e -。
图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。
路：边和点都互不相同的途径。
连通的：两个顶点之间存在路。
连通图：每一对顶点之间都有一条路。
连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。
两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。