高等数学学习方法上(适合同济6版 考研必备).ppt

分析: 由图可知, 若曲线
y axb
y
y f (x) 有斜渐近线 y a x b,
y f (x)
则必有 lim [ f (x) (a x b)] 0
x
从而
lim x
x
f
(x) x
a
b
o 0
x
x
x
lim
x
f
(x) x
a
b x
0
a
lim
x
f
(x) x
,
b lim [ f (x) ax ]
思维的体操
(思路)
数学方法
科学的语言
(表达)
对数学规律的认识
思维方法 解题方法
生活的需要
(应用)
(是数学的灵魂)
11
二. “高等数学方法”的结构与学习方法
(参考前言第二、三段) 第一部分 (第一至第七章)
每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题 第二部分 (第八至第十一章)
包括综述和提高 (从古典数学向近代数学靠拢 )
1 2sin2 x cos2 x 1 1 sin2 2x 1 1 cos 4x
2
4
则
y(n) 4n1 cos(4x n )
2 22
2. 直观分析法
• 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. • 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. • 有关几何应用画出图形找几何关系 . • 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.
高等数学方法
第一讲
1
惜时如金
唯有奋斗 最风流!
2
科学家语录
培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智， 数学使人精细。
马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用 数学，才算真正发展了。
伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也看不清。
华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。 勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。
Байду номын сангаас
说明 1.
与
具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值 问题与单调性问题 .
2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单 函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.
21
例2. 设 y sin 4 x cos4 x , 求 y(n).
提示：将函数化为
y sin4 x cos4 x 2sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x
C
B
A
1 (a, c), 2 (c,b)
c a 1 2 b
对
在 [1,2] 上应用Rolle定理。
30
高等数学方法
第二讲
主讲教师: 王升瑞
31
3. 逆向分析法
逆向思维 •反推 – 执果溯因 •反证 – 利用正命题与逆否命题等价， •反例– 找反例说明原命题不正确
多用于否命题。
32
例1. 设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导 , 且 f (1) f (0),
证明存在
0 (0,
2
),
使
f (0 ) g(0 ) 0.
B B
A
C
A
C
D
D
18
不妨设 g(0) 0, f (0) 0,且对任意 有 f ( )g( ) 0,
证明存在
0
(0 ,
2
),
使
f (0 ) g(0 ) 0.
证明: 设
h( ) f ( ) g( )
C[0 ,
2
],
又 h(0) 0,
v lim s
t0 t
速度函数 v v(t)
平瞬均时加速度 a lim v
t0 t
转抽动象规: 律定义导数(t )
电量函数yq lqxim(t)0
平瞬
y 平瞬x
均时角速度
均时电流强度 I
litm0t lim q
t0 t
质量分布( 描m述变m化(x率) 问平题均线) 密度
lim
x0
m x
光滑曲线 y y(x) 割切线线斜 率
学习方法:
1. 掌握数学内容和数学方法相结合； 2. 重视分析问题和解决问题的方法； 3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。12
第一讲
高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
13
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 )
数学模型
客观实际问题内在规律性的数学
结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点.
圆内接正n边形的面积为
An
n
r2
sin
n
cos
n
o r
找出
(n 3, 4, 5, )
n
0,
精度要求
N (正整数)
,
当 n N 时,
边数足够多
有
An A ,
可无限逼近
记作 lim An A. 利用极限知识可求出 :
n
A
lim
n
r2
sin
n
n
cos
n
r2
15
• 测量圆面积
A r2
直接观测量为r 间接观测量为A.
x
28
1
例如 , 求曲线 f (x) x e x2 的斜渐近线。
1
解:
a
lim
x
f (x) x
lim e x2
x
1
b lim [ f (x) x ]
x
1
lim x[ e x2 1]
x
lim
x
x
1 x2
0
所以曲线有斜渐近线 y x . 29
例4.已知 f (x) 在[a,b] 上连续, 在 ( a,b ) 内 f (x)
的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
9
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段)
1. 科学方法的重要性
科学
是什么 , 为什么:
反映自然、社会、思维的客观规律的分科的
知识体系。
技术
做什么 , 怎么做:
进行物资资料生产所凭借的方法和能力。
科学方法
桥梁与钥匙。
10
2. 数学方法的含义
数学
数学方法是数学的灵魂
7
参考书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
8
目录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法
第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的
计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题
3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累” “由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创”
注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦； 学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的； 学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力； 学习不是人生的全部，但是人生的一部分; 学习也无法征服，还能做什么呢？ 请享受无法回避的痛苦； 只有比别人更早，更勤奋的努力，
h(
2
)
0
,
（转
2
后，对角线互换）。
由连续函数零点定理可知
,
存在 0
(0 ,
2
),
使 h(0 ) 0 即 f (0 ) g(0 )
又知 f (0 )g(0 ) 0 , 所以 f (0 ) g(0 ) 0
思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?
提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
19
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
25
拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证
f ( ) f (b) f (a) 0
b a
ba
作辅助函数 (x) f((x)) f (b) f (a) x
f (η ) 0, 再对 F(x) 在 [ ,1 ] 上用 Rolle 定理.
33
例2. 设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导,且
f (x) 0,试证存在 ξ
,η (a,b)使得
f ( ) eb ea e f () b a
提示: 转化为证
f ( )(b a)
34
例3. 证明方程 1 x x2 x100 0 无实根.
2!
100! ( P451 例7 )
提示:用反证法. 假设有实根 x0 , 显然 x0 0 , 利用
存在 , 连接两点 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 的直线交曲线
y f (x) 于 C(c, f (c)) , 且 a c b ,试证至少存在一点
(a,b) 使 f () 0.
提示:如图所示, 有
f (1)
f (2 )
f (b) f (a) ba
（ P118 题7 ）
证明至少存在一点 ξ (0,1) ,使 2 f ( ) ( 1) f ( ) 0.
提示: 从结论入手, 注意到
2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) [(x 1)2 f (x)]
设辅助函数 F(x) (x 1)2 f (x)