第七章 导行电磁波

电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
∇2 E + k 2 E = 0，∇2 H + k 2 H = 0
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2、 场方程 、 根据亥姆霍兹方程 故场分量满足的方程
∇2Ex + k 2Ex = 0，∇2Hx + k 2Hx = 0 ∇ Ey + k Ey = 0，∇ Hy + k Hy = 0
2 2 2 2
截止波数只与波导 的结构尺寸有关。 的结构尺寸有关。
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所以TM波的场分布 波的场分布 所以
Ez (x, y, z) = Ez (x, y)e−γ z = E0 sin(
m π nπ x)sin( y)e−γ z a b γ ∂E γ mπ mπ nπ Ex (x, y, z) = − 2 z = − 2 Em cos( x)sin( y)e−γ z kc ∂x kc a a b
mπ nπ Ey (x, y, z) = − 2 Em sin( x)cos( y)e−γ z =− 2 kc ∂y kc b a b jωε ∂Ez jωε nπ mπ nπ Hx (x, y, z) = 2 = 2 Em sin( x)cos( y)e−γ z kc ∂y kc b a b mπ nπ jωε ∂Ez jωε mπ Hy (x, y, z) = − 2 =− 2 Em cos( x)sin( y)e−γ z a b kc ∂x kc a Hz (x, y, z) = 0
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1、场矢量 、 对于均匀波导， 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) = E(x, y)e−γ z
场分量： 场分量：
H(x, y, z) = H(x, y)e−γ z
Hx (x, y, z) = Hx (x, y)e−γ z Hy (x, y, z) = Hy (x, y)e−γ z Hz (x, y, z) = Hz (x, y)e−γ z
Ez (x, y, z) = Ez (x, y)e−γ z Hz (x, y, z) = Hz (x, y)e
−γ z
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第7章 导行电磁波 7.2 矩形波导
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结构： 所示， 宽边尺寸、 结构：如图 所示，a ——宽边尺寸、 b ——窄边尺寸 宽边尺寸 窄边尺寸 特点：可以传播 波和TE波 不能传播TEM波 特点：可以传播TM 波和 波，不能传播 波 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中 矩形波导中TM 波的场分布 对于TM 波，Hz= 0，波导内的电磁场由 z 确定 对于 ，波导内的电磁场由E 方程
2 kc = γ 2 + k 2
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导波的分类 如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种被称为横 ， ， 、 完全在横截面内， 电磁波， 这种波型不能用纵向场法求解； 电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解； 传播方向只有电场分量， 如果 Ez ≠ 0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截面 ， 内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波； 称为横磁波， 传播方向只有磁场分量， 如果 Ez= 0， Hz ≠ 0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横截 ， 面内，称为横电波， 面内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。
—— 横向场方程
∇2Ez + k 2Ez = 0，∇2Hz + k 2Hz = 0 —— 纵向场方程
电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示， 电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向 场方程。 场方程。 由于
∂2 ∂2 2 ( 2 + 2 + kc )Ez (x, y) = 0 ∂x ∂y ∂2 ∂2 2 ( 2 + 2 + kc )Hz (x, y) = 0 ∂x ∂y
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导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波
导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置
常用的导波系统的分类： 常用的导波系统的分类： TEM传输线、金属波导管、表面波导 传输线、金属波导管、 传输线
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故
mπ nπ y) Ez (x, y) = f (x)g( y) = Em sin( x) sin( a b
ky = b g( y) = Csin nπ y b
m =1 2， ，3⋯
n =1 2， ，3⋯
k
2 cmn
mπ 2 nπ 2 = k +k = ( ) +( ) a b
2 xm 2 yn
m = 0 1 2 3⋯ ，， ， n = 0 1 2 3⋯ ，， ，
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所以TE波的场分布 所以 波的场分布
m π nπ x)cos( y)e−γ z a b γ mπ mπ nπ Hx (x, y, z) = 2 H0 sin( x)cos( y)e−γ z kc a a b Hz (x, y, z) = Hm cos(
m = 0 1 2 3⋯ ，， ，
n = 0 1 2 3⋯ ，， 电磁波
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3. 矩形波导中的 矩形波导中的TM 波和 波的特点 波和TE波的特点 m 和n 有不同的取值，对于m 和n 的每一种组合都有相应的截 有不同的取值，对于 止波数k 和场分布，即一种可能的的模式，称为TMmn 模或 止波数 cmn 和场分布，即一种可能的的模式，称为 TEmn 模； 不同的模式有不同的截止波数k 不同的模式有不同的截止波数 cmn ； 由于对相同的m 模和TE 模的截止波数k 由于对相同的 和n，TMmn 模和 mn 模的截止波数 cmn 相 ， 这种情况称为模式的简并； 同， 这种情况称为模式的简并； 对于TE 可以为0，但不能同时为0； 对于 mn 模，其m 和n可以为 ，但不能同时为 ；而对于 可以为 TMmn 模， 其m 和n不能为 ，即不存在 不能为0，即不存在TMm0 模和 模和TM0n 模。 不能为
γ ∂Ez
γ nπ
m =1 2， ，3⋯
n =1 2， ，3⋯
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2. 矩形波导中的 波的场分布 矩形波导中的TE波的场分布 对于TE波 对于 波，Ez= 0，波导内的电磁场由 z 确定 ，波导内的电磁场由H
∂2 ∂2 2 方程 ( 2 + 2 + kc )Hz (x, y) = 0 ∂x ∂y
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具有分离变量形式， 设 Ez 具有分离变量形式，即 Ez (x, y) = f (x)g( y) 代入到偏微分方程和边界条件中， 代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值 问题， 问题，即
2 f ′′(x) + kx f (x) = 0 f (0) = 0, f (a) = 0
Ex (x, y, z) = Ex (x, y)e−γ z Ey (x, y, z) = Ey (x, y)e−γ z Ez (x, y, z) = Ez (x, y)e−γ z
其中： 其中：
Ex (x, y, z)、Ey (x, y, z)、Hx (x, y, z)、Hy (x, y, z) —— 横向分量
直角坐标系中展开
⇒ ⇒
∂Ez ∂Hz 1 Hx = 2 ( jωε −γ ) kc ∂y ∂x ∂Ez ∂Hz −1 Hy = 2 ( jωε ) +γ kc ∂x ∂y ∂Hz −1 ∂Ez Ex = 2 (γ + jωµ ) kc ∂x ∂y ∂Hz −1 ∂Ez − jωµ Ey = 2 (γ ) kc ∂y ∂x
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第7章 导行电磁波 7.1 导行电磁波概论
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分析均匀波导系统时， 分析均匀波导系统时， 作如下假定： 作如下假定： ★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 但沿轴向处处相同， 轴方向放置。 沿z轴方向放置。 轴方向放置 波导内壁是理想导体， ★ 波导内壁是理想导体，即σ = ∞。 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质， ★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数ε、 µ 和η 均为实常数。 均为实常数。 波导内无源， ★ 波导内无源，即ρ ＝0，J ＝0。 ， 。 ★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。 波导内的电磁场为时谐场。 方向传播。
∂2 ∂2 2 ( 2 + 2 + kc )Ez (x, y) = 0 ∂x ∂y
y b x a o z
边界条件 Ez |x=0 = 0 Ez |x=a = 0
Ez |y=0 = 0 Ez |y=b = 0
利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。 利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。
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2 g′′( y) + ky g( y) = 0 g(0) = 0, g(b) = 0
2 2 2 kx + ky = kc
两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数: 两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数 nπ mπ
kx = a f (x) = Asin mπ x a
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7.2.2 矩形波导中的波的传播特性 在矩形波导中， 波和TMmn 波的场矢量均可表示为 在矩形波导中，TEmn 波和
Emn (x, y, z) = Emn (x, y)e−γmnz
Hmn (x, y, z) = Hmn (x, y)e−γmnz