贝塞尔方程勒让德方程
第七章勒让德多项式
第7章 勒让德多项式在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数，我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。
为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre ）多项式，用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。
需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具，在自然科学的其它领域也有许多的应用。
§7⋅1勒让德多项式本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备。
7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程2[(1)]0d dyx y dx dxλ-+=，11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数，方程(7.1.1)称为勒让德方程。
设α是非负实数，使得(1),λαα=+则方程（7.1.1）可表示成如下形式2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=，11x -<< （7.1.2） 方程（7.1.2）满足第3章中定理3.1的条件，其中222(1)(), ()11x p x q x x x αα+=-=-- 故（7.1.2）在区间(1,1)-有解析解，设其解为0()k k k y x a x ∞==∑ （7.1.3）其中(0)k a k ≥为待定常数。
将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得22121(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a xx ka xa x αα∞∞∞--===---++=∑∑∑或20(1)(2)(1)2(1)0kkkkk k k kk k k k k k ax k ka x ka x a x αα∞∞∞∞+====++---++=∑∑∑∑ 即20[(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞+=+++-++=∑比较两端k x 的系数，可得2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系2()(1), 0(1)(2)k k k k a a k k k αα+-++=-≥++ （7.1.4）当系数k a 指标分别取偶数和奇数时，（7.1.4）可表示为22(1)(22)(21), 1(21)2k k k k a a k k k αα--++-=-≥-212(1)1(21)(2), 12(21)k k k k a a k k k αα+-+-++=-≥+连续使用上述递推关系可知，当1k ≥时20(2)(22)(1)(3)(21)(1)(2)!k k k k a a k αααααα-⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+-=-211(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)!k k k k a a k αααααα+--⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=-+记220k k a c a =，21211k k a c a ++=, 可得勒让德方程(7.1.2)的如下两个解2,120()kk k y x c x α∞==∑, 21,2210() k k k y x c x α∞++==∑ （7.1.5）其中011c c ==。
5.11勒让德函数及其应用
y0(x)仍为发散的无穷级数 总之,当µl=l(l+1)时，两个特解之一退化为l次多项式。 这l次多项式就是勒让德本征值问题的解。 令另一个发散的无穷级数特解前的系数为零
将本征函数取为P l (x) = 常量y l (x)， 并使最高次幂项xl的系数为 然后利用递推公式 C k + 2
Cl =
( 2l ) !
2l (l !) 2
k (k + 1) − µ l = Ck (k + 2)(k + 1)
(k + 2)(k + 1) 反推：C k = Ck +2 k (k + 1) − µ l
µ l = l (l + 1)
得： C l − 2 r
(2l − 2r )! = (−1) l Cl 2 r!(l − r )!(l − 2r )!
r
[ l 2]
四、勒让德函数系 {Pl (x)} 的性质 1.奇偶性 1.
Pl (− x) = Pl ( x) l = 偶 Pl (− x) = (−1) Pl ( x) → Pl (− x) = − Pl ( x) l = 奇
l
2. Pl (x)的取值 0 +1 0 -1 x=1
x=
2 l
l
(−1) r l! x 2l − 2 r =∑ r!(l − r )! r =0
l
l dl (−1) r l! d l 2l − 2 r ( x 2 − 1) l = ∑ x l l dx r = 0 r!(l − r )! dx
[
]
(−1) r l! =∑ (2l − 2r )(2l − 2r − 1) L (2l − 2r − l + 1) x 2l − 2 r −l r = 0 r!(l − r )!
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
十二个不可积分函数
十二个不可积分函数摘要：一、引言二、不可积分函数的定义与性质1.定义2.性质三、十二个不可积分函数1.指数函数2.对数函数3.三角函数4.双曲函数5.反三角函数6.贝塞尔函数7.椭圆函数8.勒让德函数9.柱状函数10.抛物线函数11.rational function12.分式函数四、不可积分的原因与判断方法1.原因2.判断方法五、不可积分函数的应用1.物理学2.工程学3.经济学4.生物学六、结论正文：一、引言在数学领域，积分是一种重要的数学运算，它广泛应用于各个学科。
然而，并非所有的函数都可以进行积分。
本文将介绍十二个不可积分函数，它们的特性以及其在实际应用中的重要作用。
二、不可积分函数的定义与性质1.定义不可积分函数是指在实数域上不能用初等函数表示其原函数的函数。
这类函数具有独特的性质，使得我们无法使用常见的积分方法对其进行求解。
2.性质不可积分函数具有以下几个性质：（1）奇偶性：不可积分函数可以是奇函数或偶函数。
（2）周期性：不可积分函数可以是周期函数，但其周期不一定为有理数。
（3）连续性：不可积分函数在其定义域上具有连续性。
三、十二个不可积分函数1.指数函数指数函数的形式为y = a^x，其中a 为正常数且a ≠ 1。
当a > 1 时，函数在实数域上为增函数；当0 < a < 1 时，函数在实数域上为减函数。
2.对数函数对数函数的形式为y = log_a(x)，其中a 为正常数且a ≠ 1。
对数函数的定义域为(0, +∞)，其在定义域上为增函数。
3.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x) 和正切函数tan(x) 等。
它们在实数域上具有周期性，并在其定义域上具有奇偶性。
4.双曲函数双曲函数包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x) 和双曲正切函数tanh(x) 等。
它们在实数域上具有连续性。
5.反三角函数反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x) 和反正切函数arctan(x) 等。
第 3 章 勒让德函数和贝塞尔函数及其应用
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2
令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n
第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ
数理方程初始条件与边界条件
2
解记为 u1 ( x, t )
（可由达朗贝尔公式给出）
utt a 2u xx f ( x, t ), t 0, x , （C） 解记为 u2 ( x, t ) u ( x,0) 0, ut ( x,0) 0.
由叠加原理可知
u( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ).
• 定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定 解问题，即定解问题=泛定方程+定解条件。
1.3
定解条件
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x) 系统各点的初位移 u ( x) t 系统各点的初速度 t 0
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ˆ ˆ ˆ i j k x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
2 2 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 拉普拉斯算子 3 2 2 2 2 x y z
作变量代换
x x at
u a 0
解为：u f ( x at)
f
为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
3.
2u 0 xt
解为： u g ( x) h(t )
2 2u u 2 a 0 4. 2 2 t x
变换
x at x at
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
14第十四章 勒让德多项式
12
2
结论：本征问题
(1
−
x2
) |
y′′ − 2x y′ + y(±1) |< +∞
µ
y
=
0
本征值：µ = l (l + 1), l = 0,1,2,...
本征函数：l 次多项式 y( x) = y(1) Pl ( x)
规定 Pl(1)=1，称 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式
可以证明
Pl(l )(1)
标准形式
d2w dz 2
+
p(z ) dw dz
+
q(z) w
=
0
• 若 p(z) 和 q(z) 都在 z0 处解析，则称 z0 为 方程的常点；否则称 z0 为方程的奇点
∞
常点附近存在幂级数解 ∑ w(z) = ck (z − z0 )k k =0
• 若 p(z)(z–z0) 和 q(z)(z–z0)2 都在奇点 z0 处解析， 则称 z0 为方程的正则奇点；正则奇点附近
∑ ∑ r
ulm(r) =
(cl rl + dl r−l−1) Plm(cos θ)[am cos(mϕ) + bm sin(mϕ)]
m≥0 l≥m
5
2. 勒让德方程的幂级数解
求解本征问题
Θ′′ +
Θ′ tan θ
−
m2 Θ sin2 θ
+
µ
Θ
= 0，
Θ(0), Θ(π ) 有限
作变换 x = cosθ , − 1 ≤ x ≤ 1, y(x) = Θ(θ )
c2 p = A0 A2 ... A2 p−2 c0 ∝ c0 , c2 p+1 = A1 A3 ...A2 p−1 c1 ∝ c1
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
第五章-贝塞尔函数讲解
2 sin x
x
J
1 2
x
2 cos x
x
1 0.8 0.6 0.4 0.2
J0 J5
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2
x
dR dx
(x2
n2 )R
0
ix
2
d 2R
d 2
dR
d
( 2
m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
2
ak
ak 2
0
由于 a0 0，可得 s1 n s2 n ,需要分别讨论：
(5.14) (5.15) (5.16)
情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：
ak
ak 2
k 2n k
d dx
xn
Jn
x
xn
J n1
x
d dx
x
n
J
n
x
x
n
J
勒让德多项式生成函数
勒让德多项式生成函数
伯努利（Bernoulli）多项式是一种多项式函数，它的参数和系数都是常数，因此可以用来描述数学和物理相关的数据。
伯努利（Bernoulli）多项式由拉斯穆因（Lambert）生成，基本形式为：
（1）B(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n
其中，a_i是常数，n是多项式的阶数。
伯努利（Bernoulli）多项式通过对多项式中的项进行外乘，来求解不同阶多项式，利用易于计算的二项式来完成。
其算法也称为拉斯穆因（Lambert）求多项式的循环解法。
拉斯穆因（Lambert）算法利用二项式的特性，使得每次计算只需要计算两个多项式，并通过把其相乘，获得结果。
它具有较高的计算效率和较低的计算复杂性，因此被广泛应用于支持微型系统中的多项式计算。
此外，由于拉斯穆因（Lambert）算法支持任意阶的伯努利（Bernoulli）多项式的生成，因此它也可以用来表示任意类型的函数，从而被广泛用于科学和工程计算中。
因此，伯努利（Bernoulli）多项式是一种强大的算法，可以支持任意的函数的生成，它的运算效率和计算复杂度也非常高，因此它可以用于科学和工程计算中。
具有这样强大的算法，我们将能够更好地研究各种函数特性，并发现更多用途。
泊松方程 勒让德方程 贝塞尔方程 三者之间的关联
泊松方程勒让德方程贝塞尔方程三者之间的关联泊松方程、勒让德方程和贝塞尔方程是三个重要的数学方程，它们在物理学、工程学和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将依次介绍这三个方程以及它们之间的关联。
首先，我们来介绍泊松方程（Poisson equation）。
泊松方程是一个关于标量函数的偏微分方程，通常用来描述电势、温度和引力等物理量的分布。
泊松方程的一般形式可以写作：∇²φ = - ρ/ε₀其中∇²是拉普拉斯算子，φ是待求标量函数，ρ是待求函数的源项，ε₀是真空介电常数。
在三维笛卡尔坐标系下，泊松方程可以变形为：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = - ρ/ε₀泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，其解的性质与边界条件密切相关。
根据不同的边界条件，可以得到不同的解。
泊松方程在静电学、热传导和调和函数等领域中有广泛的应用。
接下来，我们介绍勒让德方程（Legendre equation）。
勒让德方程是一个关于勒让德多项式的二阶线性微分方程，通常用来描述球对称问题的解。
其一般形式可以写作：(1 - x²)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0其中y是待求函数，n是常数。
勒让德方程是一个特殊的超几何微分方程，其解决了球对称物体的形状和场的分布。
勒让德方程的解为勒让德多项式，具有良好的正交性和归一性质，因此在量子力学、电动力学和天体物理等领域中有广泛的应用。
最后，我们介绍贝塞尔方程（Bessel equation）。
贝塞尔方程是一个关于贝塞尔函数的二阶线性微分方程，通常用来描述边界平均值和振动问题。
其一般形式可以写作：x²y'' + xy' + (x² - n²)y = 0其中y是待求函数，n是常数。
贝塞尔方程是调和函数的重要特例，其解为贝塞尔函数。
电磁场理论中的特殊函数应用
电磁场理论中的特殊函数应用在电磁场理论中，特殊函数是一类具有特殊性质和广泛应用的数学函数。
它们在电磁场的描述和分析中起着重要的作用。
本文将介绍几个常见的特殊函数及其在电磁场理论中的应用。
一、贝塞尔函数贝塞尔函数是解决电磁波在球坐标系下的传播和辐射问题时必不可少的数学工具。
贝塞尔函数的定义如下：\[J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta) d\theta\]其中，\(n\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
贝塞尔函数具有以下性质：正交性、递推关系和复合关系等。
贝塞尔函数在电磁场理论中的应用非常广泛。
例如，当我们研究球面波在辐射场中的传播时，可以利用贝塞尔函数来表示电场和磁场的径向分量。
此外，贝塞尔函数还可以用于求解辐射和散射问题，例如天线辐射、声波传播等。
二、勒让德函数勒让德函数是解决电磁场在球坐标系和柱坐标系下的描述问题时常用的特殊函数。
勒让德函数的定义如下：\[P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 - 1)^l\]其中，\(l\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
勒让德函数具有正交性和归一化性等重要性质。
勒让德函数在电磁场理论中有广泛的应用。
例如，在球坐标系中，我们可以用勒让德函数展开电磁场的角度分量，从而得到辐射场和散射场的解析表达式。
此外，勒让德函数还可以用于计算球谐函数，它是电磁场理论中的重要数学工具。
三、傅里叶变换傅里叶变换是研究信号在时域和频域之间转换的数学工具。
在电磁场理论中，傅里叶变换可以用于分析电磁波的频谱特性。
傅里叶变换的定义如下：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt\]其中，\(f(t)\)为被变换的函数，\(\omega\)为频率。
傅里叶变换具有线性性和平移性等重要性质。
第十九章-勒让德多项式-球函数
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
Pl (x)
1 dl 2l l ! dxl
(x2
1)l
项，所以
【证明】 用二项式定理把 展开
(x 2 1)l
幻灯片 12 把上式对 x 求导 次．凡是幂次 的项在
1 (x2 1)l 1 l
l!
l
(x2 )lk (1)k (1)k
2l l!
当
1
1Pn (x)Pl (x)dx 0 时满足
，
(19.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
nl
(19.2.4)
幻灯片 19 下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明 【证明】 （1）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1, 2, )
l
（19.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l(l
1)
m2 1 x2
y
0
无关，则 ，即有
m 0
（19.1.5）
称为 阶勒让德（legendre）方程．
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
幻灯
片6
l
同样若记 ，
阶勒让德方程 ，则上述方程也可写为下列形式的
dxl 1
dl1(x2 1)l
l x 1 (l 1) dxl1 幻灯片 22
是 次多项式，其 阶导数也就是最高幂项
数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程
第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.7．1 贝塞尔方程的引出下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.这个问题可以归结为求解下述定解问题22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)t x y R u u ut x y u x y u ϕ=+=⎧∂∂∂=+⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)(),u x y t V x y T t =代入方程(7.1)得2222,V V VT T xy ⎛⎫∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭或2222(0).V VT x y T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此我们得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程()()0,T t T t λ'+= (7.4) 22220.V VV x yλ∂∂++=∂∂ (7.5)从(7.4)得().t T t Ae λ-=方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz ）方程，为了求出这个方程满足条件2220x y R V+== （7.6）的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得22222110,;(7.7)0.(7.8)R V V VV R V ρλρρρρρθ=⎧∂∂∂+++=<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩再令 (,)()V R ρθρ=Θ(θ)， 代入(7.7)并分离变量可得()()0θμθ'Θ+Θ= （7.9）22''()'()()()0.R R R ρρρρλρμρ++-= (7.10)由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值的，因此()θΘ应该是以π2为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,3,.对应于这些数2,n n μ=有0()θΘ=2a （为常数）， ()n θΘ=cos sin n n a nb n θθ+ (1,2,3,n =).以2n n μ=代入方程(7.10)，并作代换r =，则得222()()()()0.r F r rF r r n F r '''+--= (7.11)其中().F r R =这是一个变系数的线性常微分方程，称为n 阶贝塞尔（Bessel ）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论.7．2 勒让德方程的引出现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.12)令 (,,)()u r R r θϕ=()()θϕΘΦ， 代入(5.12)得2222222111sin 0.sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫ΘΦ+Φ+Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111sin 0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭ 或2222111sin ,sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭上式左端只与r 有关，右端只与,θϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21(1),d dR r n n R dr dr ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(7.13) 22211sin (1).sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+=-+ ⎪ΘΦ⎝⎭(7.14)将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有2222(1)0.d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，这的通解为(1)12(),n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数.以2sin θ乘方程(7.14)的两端得22211sin sin (1)sin 0,d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+++= ⎪ΘΦ⎝⎭即22211sin sin (1)sin .d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫++=- ⎪ΘΦ⎝⎭此式的左端只与θ有关，而右端只与ϕ有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于2(1,2,3,)m m =，从而得221sin sin (1)sin ,d d n n m d d θθθθθΘ⎛⎫++= ⎪Θ⎝⎭（7.15） 2221.d m d ϕΦ=-Φ (7.16) 由方程(7.16)得12()cos sin .B m B m φϕϕΦ=+至于()θΘ所满足的微分方程可写为221sin (1)0.sin sin d d m n n d d θθθθθΘ⎛⎫-++Θ= ⎪⎝⎭ 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得2222(1)0,sin d d m ctg n n d d θθθθ⎡⎤ΘΘ+++-Θ=⎢⎥⎣⎦(7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程.如果引用cos x θ=为自变量(11),x -≤≤并将()θΘ改记成()P x ，则(7.17)变成22222(1)2(1)0.1d P dP m x x n n P dx dx x ⎡⎤--++-=⎢⎥-⎣⎦(7.18)若(,,)u r θϕ与ϕ无关，则从(7.16)可知0m =，这时(7.18)简化成222(1)2(1)0.d P dP x x n n P dx dx--++= (7.19)方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论.7．3 施特姆-刘维尔理论简述前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程()()()0(),d dy k x q x y x y a x b dx dx λρ⎡⎤-+=<<⎢⎥⎣⎦(7.20)阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.事实上，若取2(),(),(),0,,n k x x q x x x a b R xρ=====则(7.20)就变成贝塞尔方程 20;d dy n x y xy dx dx x λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦若取2()1,()0,()1,1,1,k x x q x x a b ρ=-===-=则方程(7.20)就成为勒让德方程2(1)0;d dy x y dx dx λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 若取222()1,(),()1,1,1,1m k x x q x x a b x ρ=-===-=-则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程222(1)0.1d dy m x y y dx dx x λ⎡⎤--+=⎢⎥-⎣⎦方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville ）型方程（任一个二阶线性常微分方程012'''p y p y p y ly ++=乘以适当函数后总可以化成这种形式）.本节所要叙述的施特姆-刘维尔理论，就是有关方程(7.20)的固有值问题的一些结论.为了论述方程(7.20)的固有值问题，我们对方程(7.20)中函数()k x 及()q x 作一些假定.设函数()k x 及其导数在闭区间[,]a b 上均连续，当a x b <≤时()0k x >，而()0;()k a q x =或者在闭区间[,]a b 上连续，或者在开区间(,)a b 内连续而在区间的端点处有一阶极点（贝塞尔方程、勒让德方程及连带的勒让德方程中的系数都满足这些条件），在这些条件下，方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件()0;()y b y a =<∞*）*）这样的边界条件称为自然边界条件，在§2.3中已经遇到过这样的条件，如果k(b)=0，则在这点亦应将条件y(b)=0换成自然边界条件y(b)＜0换成自然边界条件y(b)＜∞，如果在a,b 两点k(x)都为零，则在这的非零解（固有函数）及对应于非零解的λ值（固有值）.关于这个固有值问题有以下几点结论：1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，即1231n n λλλλλ+≤≤≤≤≤对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数123(),(),(),y x y x yx2、当()0q x ≥时，所有固有值均不为负，即(1,2,3,)n n λ≥=3、设m n λλ≠是任意两个不相同的固有值，对应于这两个固有值的固有函数记为()m y x 与()n y x ，则()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰这个结论可以表述为：对应于不同固有值的固有函数在区间[,]a b 上以权函数()x ρ互相正交.4、固有函数123(),(),(),,(),n y x y x y x y x 在区间[,]a b 上构成一个完备系.即任意一个具有一阶连续导数及分段连续二阶导数的函数()f x ，只要它满足固有值问题中的边界条件，则它一定可以按固有函数系}{()n y x 展开为绝对一致收敛的级数1()(),n n n f x f y x ∞==∑其中2()()()()()bn anbnax f x y x dxf x y x dxρρ=⎰⎰结论1与4的证明超出了本书的范围，需要用到积分方程的理论，结论2与3的证明并不困难，下面我们仅给出结论3的证明，这个证明的方法具有启发性，凡是要证明某一特定的固有函数系的正交性都可采用这个方法.下面我们就来证明当m n λλ≠时，下列关系()()()0bm n ax y x y x dx ρ=⎰(7.21)成立.证 因为固有函数()m y x 与()n y x 分别是方程(7.20)当m λλ=与n λλ=时的非零解，两点均应提自然边界条件.所以有()()()()()()0,m m m m dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ (7.22) ()()()()()()0.n n n n dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦(7.23) 以()n y x 乘（7 .22）减去()m y x 乘（7.23）得()()()()()()m n n m dy x dy x d d y x k x y x k x dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()0.m n m n x y x y x λλρ+-=对这个等式从a 到b 对x 积分得()()0()()()()bb m n n m aa dy x dy x d d y x k x dx y x k x dx dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()()bm nn m ady x dy x k x y x k x y x dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()()bb m n n m a a dy x dy x dy x dy x k x dx k x dxdx dx dx dx-+⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()m m n m dy x dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()()()(),bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰ (7,24)此处符号()n dy a dx 表示()n dy x dx在x a =处的值，其余类似.(7.24)式右端前两项的值可以分几种情况来讨论：(i)在端点b 加有第一类边界条件()0,y b =这时有()()0,m n y b y b ==从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(ii)在端点b 加有第二类边界条件()0,dy b dx= 这时有()()0,m n dy b dy b dx dx==从而 ()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iii)在端点b 加有第三类边界条件，()()0,dy b y b hdx+= 这时有()()0,()()0.m m nndy b y b h dxdy b y b h dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由这两式可得()()()()0,m n n m dy b dy b y b y b dx dx-= 从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iv) 在端点b 加有自然边界条件(),y b <∞这时必有()0,k b =从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦综合上述，不论在b 点加哪一种边界条件，(7.24)右端第一项总是等于零.同理，对端点a 也有()()()()()0.m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此，最后可得()()()()0.bm n m n ax y x y x dx λλρ-=⎰但m n λλ≠，所以()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰正交性得到了证明.上面四个结论是分离变量法的理论基础，在第二章我们用分离变量法求解定解问题时，已经假定定解问题的解能够展成固有函数的级数，至于为什么能这样展开，当时没有说明，现在利用固有函数系的完备性就足以说明以前的有关运算是允许的.下面两章还要用到这里所讲的结论.习 题 七1、在平面极坐标系中将二维波动方程2222222u u u a t xy ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.2、在球坐标系中，将三维波动方程222222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.3、在柱面坐标系中，将三维拉普拉斯方程进行分离变量，写出各常微分方程.。
泊松方程 勒让德方程 贝塞尔方程 三者之间的关联
泊松方程勒让德方程贝塞尔方程三者之间的关联1. 引言1.1 概述在数学和物理领域中，泊松方程、勒让德方程和贝塞尔方程是三个重要的偏微分方程。
它们之间存在着紧密的联系和相互作用。
本文将对这三个方程进行介绍，并探讨它们在不同领域中的应用。
1.2 文章结构本文主要分为六个部分，具体包括引言、泊松方程、勒让德方程、贝塞尔方程以及三者之间的关联与应用，最后进行总结并展望未来研究的方向。
1.3 目的本文旨在深入探讨泊松方程、勒让德方程和贝塞尔方程之间的关联，并阐明它们在科学研究中的重要性。
通过对这些方程定义、性质和解析解求解方法的介绍，我们希望读者能够更好地理解这些数学工具，并了解它们在实际问题中的应用。
以上是文章“1. 引言”部分内容，请根据需要自行进行修改和扩展。
2. 泊松方程2.1 定义与特征泊松方程是一种偏微分方程，描述了标量场的静态分布情况。
它的一般形式为：∇²u = f(x,y,z)其中，u表示未知函数，f(x,y,z)是已知函数，∇²是拉普拉斯算符。
泊松方程在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
它可以描述电势、温度、流体动力学等各种物理现象的稳态分布情况。
2.2 解析解与数值解求解方法泊松方程的解可以通过解析方法或数值方法来求得。
在简单几何形状和边界条件下，泊松方程可以通过直接积分、变量分离法、矢量分析等解析方法得到精确解。
然而，在复杂几何形状和复杂边界条件下，通常需要使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法。
这些方法将区域离散化为网格，并利用近似技术计算网格点上的函数值，从而得到泊松方程的近似解。
2.3 应用领域与实例泊松方程在科学研究和工程领域的广泛应用使得其成为偏微分方程中的核心方程之一。
在电场和电势领域，泊松方程广泛应用于电荷分布和电势场之间的关系求解。
例如，在静电学中，通过求解泊松方程可以确定带电体周围的电势分布情况。
在热传导领域，泊松方程可以描述热流传递过程中的温度分布。
贝塞尔方程勒让德方程
y(x)A Jn(x)B Y n(x).
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第三类Bessel函数 研究波动问题时，方程的通解习惯用汉克尔函数表示 (1) 汉克尔函数的定 义 既然Y n ( x ) 与 J n ( x ) 是贝塞尔方程线性无关解，因此可以将它们作如下线性组合：
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数理方程解法总结： 分离变量法：偏微分方程可实施分离变量的条件： 对于常系数二阶齐次偏微分方程总是可以实施变量分离的； 而对于变系数的二阶齐次偏微分方程则需要满足一定的条件, 才可以实施变量分离.
边界条件可实施变量分离的条件： 只有当边界条件(第一类、第二类及第三类边界条件) 为齐次的,方可分离出单变量未知函数的边界条件.
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m 022(mm 1)!m (m n!a0n)!x2mn
m 02(2m 1m )!m ((m n 1n)a 01)x2mn.
在y1(x)中令
a0
1 2n (n 1)
得到n阶第一类Bessel函数：
Jn(x)m 0m!((m 1 )m n1)2 x2mn.
2021/4/95-n阶第一类贝塞尔函数：
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例8.1（P257）
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缔合勒让德方程
sin sin 2 2
(25)
(25)式与(3)式相同，进一步分离变量成为(5)式（已知）、 (8)式
（缔合勒让德方程）。
讨论(24) 式：r 2 d 2R 2r dR k 2r 2 ll 1 R 0
(26)
dr 2
dr
(26) 式称为l阶的球贝塞尔方程。
y ak xkr
a0 0
(2)
k 0
y
kr
a x kr1 k
k 0
y k rk r 1ak xkr2
k 0
代入(1)式
k
r k
r
1 k
r x2
n2 ak xkr
(11)
2 R R 2 Z n2
R RZ
(12)
讨论(11)式，其解为本征函数：
n Acosn B sin n
(13)
由自然周期条件 2 只能有 n 1,2,3,
讨论(12)式，等式两边同乘
1
2
并整理得：
sin2
sin d sin d ll 1sin 2 d 2
d d
d 2
上式左右的变量互不相关，等式两边只能等于一个常数 m2
即： m2 0
(5)
sin d sin d ll 1sin 2 m2 0 (6)
2
2u z 2
k2v 0
(28)
分离变量： u , ,z R Zz
n2 0
(29)
代入(10) 式得： Z Z 0
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第九章 Green函数法
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引入Green函数使得一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为 求解一个特定的边值问题，一般后者的解容易求得.
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数理方程解法总结： 分离变量法：偏微分方程可实施分离变量的条件： 对于常系数二阶齐次偏微分方程总是可以实施变量分离的； 而对于变系数的二阶齐次偏微分方程则需要满足一定的条件, 才可以实施变量分离. 边界条件可实施变量分离的条件： 只有当边界条件(第一类、第二类及第三类边界条件) 为齐次的,方可分离出单变量未知函数的边界条件. 达朗贝尔公式(行波法)处理的是无界问题、方程为齐次方程求解； 积分变换法适宜于边界与方程均为非齐次时；有固定的解题程序； 可以处理数学物理方程、积分方程、差分方程等；缺点：只可处理半无界或无界情形. Green函数法：可以处理有界或无界问题,方程可以是齐次或者非齐次均可, 核心是Green函数的求法.
(1) m ( n 1) a0 2 m n 2m x . m !(m n 1) m0 2
在y1(x)中令 a0
1 得到n阶第一类Bessel函数： 2n (n 1)
2 m n
(1) m x J n ( x) m !(m n 1) 2 m0
(n) n
F ( n ) ( s) L[(t ) n f (t )]
f ( n 1) (0).
• 积分性质
F[
t
• 积分性质
1 L[ f (t )dt ] F ( s) 0 s
t
f ( x)dx]
1 F ( ) j
s
F ( s)ds L[
f (t ) ] t
F ( )e d
F ( s )e 2 j Properties • 线性性质 • 对称性质(无)
1
ds. (t 0)
• 延迟、位移性质
F [ f (t t0 )] e F [ f (t )] 1 F [ F ( )] e jw0t f (t ) 0
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J n ( x) 与 J n ( x) 线性无关，显然 J n ( x) 与 Yn ( x) 也是线性无关的；由此可见，无论
n是否为整数，贝塞尔方程的通解均可表示为
y( x) AJ n ( x) BYn ( x).
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第三类Bessel函数 研究波动问题时，方程的通解习惯用汉克尔函数表示 (1) 汉克尔函数的定 义 既然Yn ( x) 与 J n ( x) 是贝塞尔方程线性无关解，因此可以将它们作如下线性组合：
Define
F ()
1 f (t ) 2
f (t )e
jt
dt
jt
Define
F ( s)
f (t )
0
f (t )e st dt
j
j st
Properties • 线性性质 • 对称性质
F[ F (t )] 2 f ()
当x很大时,
2 J n ( x) x
2 Yn ( x) x
1 2 cos( x n ) o( x )
1 2 sin( x n ) o( x )
n大于等于0为整数
J n () 0, Yn () 0
12
1.Jn(x)与Yn(x)在实轴上有无穷多个零点,分布与n值有关
1
第6章 柱面坐标中的偏微分解法
2
贝塞尔方程
3
4
n 阶Bessel方程:
x 2 y ''( x) xy '( x) ( x 2 n 2 ) y ( x) 0
k n
一解： y1 ( x) ak x
k 0
a2 m x
m0
2mn
(1) m n ! a0 2m x 2mn m !(m n)! m0 2
1 x
2.Jn(x)与Yn(x)的幅值正比于
, 在正实轴上衰减至零
13
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6.4 贝塞尔级数
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21
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例8.1（P257）
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Fourier & Laplace Transform
注:(1)可以验证诺伊曼函数 Yn ( x) 是Bessel方程的解 (2)当 n 整数 时,诺伊曼函数 Yn ( x) 与第一类Bessel函数 J n ( x) 线性无关. (见课本P198)
结论. 当 n 整数 时，由 Yn ( x) 的定义可见，它为 J n ( x) 与 J n ( x) 的线性组合，既然
8
三类贝塞尔函数间的关系
1 (1) (2) J n ( x) [ H n ( x) H n ( x)] 2 1 (1) (2) Yn ( x) [ H n ( x) H n ( x)]. 2j
9
§6.2 贝塞尔函数的递推公式
10
11
§6.3 贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的渐近式
• 相似性质
• 卷积定理
• 卷积定理
t
Def: f1 (t )* f2 (t ) f1 ( ) f2 (t )d . Def: f1 (t )* f2 (t ) f1 ( ) f2 (t )d . (t 0) 0
F [ f1 (t ) * f 2 (t )] F1 ( ) F2 ( ) F [ f1 (t ) f 2 (t )] 1 F1 ( ) * F2 ( ) 2
jwt0
• 延迟、位移性质
L[ f (t t0 )] e st0 L[ f (t )] 1 L [ F ( s a )] e at f (t )
L[ f (at )] 1 s F ( ), a 0 a a
42
• 相似性质
F [ f (at )] 1 F ( ). |a| a
.
5
-n阶第一类贝塞尔函数：
(1) m x J n ( x) m 0 m ! ( m n 1) 2
2mn
.
1、当 n 整数 时，Bessel函数 J n ( x) 与 J n ( x) 是线性无关的.
x 1 0. 注：当 x 0 时， J n ( x) ( ) n 2 (n 1)
L[ f1 (t )* f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
• 乘积定理
• 微分性质
• 周期函数的像函数
L[ f (t )]
f1 (t ) f 2 (t )dt
1 2
பைடு நூலகம்
F1 ( )F2 ( )d
• 微分性质
1 1 e sT
J n ( x) (1) n J n ( x) J n ( x)
可重新定义一个与 J n ( x) 线性无关的函数作为特解，即诺伊曼函数 Yn ( x)
6
诺伊曼函数(第二类Bessel函数)为
J n ( x) cos n J n ( x) , n 整数 sin n Yn ( x) lim J ( x) cos J ( x) 1 [ J ( x) (1) n J ( x) ] , n 整数 n n sin
(1) H n ( x) J n ( x) jYn ( x) (2) H n ( x) J n ( x) jYn ( x).
它们也是贝塞尔方程的无关解，它们称为汉克尔函数(第三类贝塞尔函数).这样， 贝塞尔方程的通解可以表示为
(1) (2) y ( x) AH n ( x) BH n ( x).
T
0
f (t )e st dt
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f '(0)
F [ f (t )] ( j ) F ( ) (n) n F ( ) F [( jt ) f (t )]
而当 x 0时，J n ( x) ( ) n
x 2
1 . (n 1)
可见，当 n 整数 时，J n ( x) 与 J n ( x) 的行为是完全不同的， 是两个线性无关的特解. 因此，通解为其线性组合.
2、当n为整数时 J n ( x) 与 J n ( x) 是线性相关的.