立体几何之空间夹角

第26练“空间角”攻略

[题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在．掌握好本节内容，首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角．在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法．

体验高考

1．(2015·浙江)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角为α，则()

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

2．(2016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

A.

3

2 B.

2

2 C.

3

3 D.

1

3

3．(2016·课标全国丙)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC ＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

高考必会题型

题型一异面直线所成的角

例1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．

变式训练1(2015·浙江)如图，三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

题型二直线与平面所成的角

例2如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH 是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．

变式训练2 如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝4，四边

形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1

2AE ＝2，点O 、M 分别为CE 、AB 的中点．

(1)求证：OD ∥平面ABC ； (2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；

(3)能否在EM 上找到一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置并加以证明；若不能，请说明理由．

题型三二面角

例3(2016·浙江) 如图，在三棱台ABC—DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求证：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值．

变式训练3如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求二面角A－EB－C的大小

．

高考题型精练

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与B1C所在直线所成角的大小是()

A．30° B．45° C．60° D．90°

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是()

A．90° B．30° C．45° D．60°

3．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()

A．90° B．60° C．45° D．30°4．已知正三棱锥S－ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为()

A.

6

3 B.

3

3 C.

2

3 D.

3

6

5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()

A．45° B．60° C．90° D．120°

(5题）

（6题）

（8题）

6如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，且BC ＝3CD ＝3，将△ABC 沿BC 的边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若点M 在△BCD 内部(含边界)，则点M 的轨迹的最大长度等于______；在翻折过程中，当点M 位于线段BD 上时，直线AB 和CD 所成角的余弦值等于______．

7．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，2AB ＝2AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与B 1C 所成角的余弦值等于________．

8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥底面ABCD ，P A ＝1，底面ABCD 是正方形，

PC 与底面ABCD 所成角的大小为π

6，则该四棱锥的体积是________．

9．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，使△AB ′D 和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则∠B ′AC ＝________.

10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为________．

(10题）

（11题）

11．(2016·四川)如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝1

2

AD .E

为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.

(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；

(2)若二面角P —CD —A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．