推理与证明习题(4)[下学期] 北师大版

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(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)

一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（）A ．222222a b b c a c ++B ．222222122331s s s s s s ++ C ．222a b c ++D ．222123s s s ++ 2．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得152x +=，类似上述过程，则222+++=（）A ．2B ．1C ．2-D ．1-3．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++=（）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12754．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（） A ．62B ．63C ．64D ．655．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；6．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（） A ．2425B ．1725C ．1625D ．357．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（）A ．21B ．22C ．23D ．258．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．下列说法中正确的个数是（）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．410．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过2+2+2+...“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（）A 21B 21C 23D 3211．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．15．已知a ，b 是正整数，ab ，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a bx y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 16．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.17．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.18．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.19．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______.20．过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4∶5，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_______.三、解答题21．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 22．数列{}n a 中，()11n a n n =+，前n 项的和记为n S ．（1）求123,,S S S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想． 23．用综合法或分析法证明：（1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>． 24．观察以下3个等式：1113211=⨯⨯+, 1121335221+=⨯⨯⨯+，1113133557231++=⨯⨯⨯⨯+，（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N *）；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N *）． 25．（1）已知正数,a b 满足2a b ab +≤，求证：29a b +≥；（2）求证：1，3不可能是一个等差数列中的三项. 26．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明；（3）求证100a 能被15整除．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即ABC S =△ 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．A解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.3．D解析：D 【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解. 【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，1+2+ (50)(150)502+⨯=1275. 故选：D 【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，根据勾股定理得a 2+b 2＝c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E 的面积+正方形F 的面积＝正方形A 的面积，正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形B 的面积，正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， …以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1．故选A ．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．6．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论．【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--，故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+，即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．7．D解析：D 【分析】分析题意，求出数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，即可判断出结果. 【详解】由题意知，这个数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，所以，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，所以20201980220ij a ==+⨯，即2020是第45行的第20个偶数，亦即2020这个数位于第45行第20个，所以452025i j -=-=，故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列与推理能力与计算能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ．【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是（）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====，故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=，由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+，故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=，则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确；对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时，故A 到F 的最短时间就为9小时，则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时，即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】（1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =，则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+，即当1n k =+时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++，则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=，当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立．【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)

一、选择题1．观察下列各式：177=，2749=，37343=，，则20207的末位数字为（）A ．7B ．9C ．3D ．12．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（） A ．380B ．382C ．384D ．3863．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（） A ．5或32 B ．10C ．64D ．10或644．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（）A ．381B ．361C ．362D ．4005．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====8888n n=具有“穿墙术”，则n =（） A ．35B ．48C ．63D ．807．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20189．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩10．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（） A ．7B ．6C ．5D ．411．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定二、填空题13．设()f x ax b =+（其中a ，b 为实数），()()1f x f x =，()()()1n nf x ff x +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，若22a b +=-，且()243244k f x x =-+，则k =__________.14．若数列{}n a 是等差数列，则数列()*1n n mn a a b m N m++++=∈也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列. 15．若()()()12f k k k k =+++++()2k k N *∈，则()()1f k f k +-=________.16．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 17．某班级A,B,C,D 四位学生A B C D 、、、参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是A 或B ；历史老师预测得冠军的是C ；政治老师预测得冠军的不可能是A 或D ；语文老师预测得冠军的是B ，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是_____。

北师大版高中数学选修12第3章《推理与证明》同步练习

第三章推理与证明同步练习(一）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答、共100分,考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分,共27分) 1、如果数列{}n a 是等差数列,则( )A 、1845a a a a +<+B 、1845a a a a +=+C 、1845a a a a +>+D 、1845a a a a =2、下面使用类比推理正确的是( ） A 、“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =” B 、“若()a b c ac bc +=+"类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C 、“若()a b c ac bc +=+" 类推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)” D 、“n n a a b =n （b ）" 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3、有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为（） A 、大前提错误 B 、小前提错误 C 、推理形式错误 D 、非以上错误4、设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N,则2007()f x = （ )A 、sin xB 、－sin xC 、cos xD 、－cos x5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯,那么在5进制中数码2004折合成十进制为（ ) A 、29 B 、 254 C 、602 D 、20046、下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+、其中不成立的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个7、有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊆/平面α,直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a "的结论显然是错误的，这是因为（ )A 、大前提错误B 、小前提错误C 、推理形式错误D 、非以上错误8、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（）,猜想(f x ）的表达式为（ ) A 、4()22x f x =+ B 、2()1f x x =+ C 、1()1f x x =+ D 、2()21f x x =+9、已知33q p +＝2,关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是（） A 、一定不大于2 B 、一定不大于22 C 、一定不小于22 D 、一定不小于2第Ⅱ卷(非选择题共73分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）10、用演绎法证明y=x 2是增函数时的大前提是。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（）A．己申年B．己酉年C．庚酉年D．庚申年2．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（）A．丙、丁两镇B．甲、乙两镇C．乙、丁两镇D．甲、丙两镇3．下列推理属于演绎推理的是（）A．由圆的性质可推出球的有关性质B．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电4．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测：同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（）A．管理学、医学、法学、教育学B．教育学、管理学、医学、法学C．管理学、法学、教育学、医学D．管理学、教育学、医学、法学5．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到（）A．1205 B．1225 C．1245 D．12756．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（）A．第404组B．第405组C．第808组D．第809组7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（） A ．35B ．48C ．63D ．808．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π9．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（）A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．3355443210．下列说法中正确的个数是（）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．411．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM 等于（） A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.15．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__16．把数列121n⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k行有12k-个数，第t行的第s个数（从左数起）记为(),A t s，则()11,4A=________. 17．在Rt ABC∆中，若90,,C AC b BC a∠=︒==，斜边AB上的高位h，则有结论22222a bha b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论__________．18．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.19．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.20．将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．三、解答题21．求证：3725<22．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由. （2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0f f x x =，求证：()00f x x =. 23．数列{}n a 中，()11n a n n =+，前n 项的和记为n S ．（1）求123,,S S S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）请用数学归．．．纳法．．证明你的猜想． 24．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒（5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.25．（1< .（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； ②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式． 26．已知2()(1)1xx f x a a x -=+>+，用反证法证明方程()0f x =没有负数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【详解】解：天干是以10为公差构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，÷=，则2029的天干为己，则80108÷=余8，则2029的地支为酉，80126故选：B．【点睛】本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．2．A解析：A【分析】根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案【详解】解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇，不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B、D，若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观；故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，∴能去的地方只有丙、丁两镇．故选：A．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，3．D解析：D【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;180，归纳出所有三角形的内角和都是选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理;选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演故选D.4．C解析：C【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.故选：C【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.5．D解析：D【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解.【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，1+2+…+50=(150)502+⨯=1275.故选：D【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.6．B解析：B【分析】求出2021为第1011个正奇数，再根据题中的规则分析组数的规律可得答案.正奇数数列1,3,5,7,9...的通项公式为21,n a n =- 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251010⨯=个数，共2022404⨯=组. 故原数列中的2021位于分组序列中第405组故选：B. 【点睛】本题考查了与数列有关的推理问题，需要分析数字的总数，再分析组数.属中档题.7．C解析：C 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】因为======，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．A解析：A 【分析】先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．【详解】椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:()222142233V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，故选：A.【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.9．B解析：B 【解析】【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】由上表可知：95122=，14163842=，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此512163848388608⨯=．故选B ．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.10．C解析：C 【分析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案. 【详解】假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾故答案选B 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.12．B解析：B 【分析】利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中. 【详解】因为O 到四面体各面的距离都相等，所以O 为四面体内切球的球心，设四面体的内切球半径为r ，则43V Sr =，其中V 表示四面体的体积，S 表示一个面的面积；所以1433V S AM Sr =⋅=,即14r AM =，所以34314AMAO OM AM==.故选B. 【点睛】本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n nn ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其中21k =，...，2n ，原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=.故答案为：4π. 14．【解析】试题分析：①三棱锥：得；②五棱锥：得；③立方体：得；所以归纳猜想一般凸多面体中所满足的等式是：故答案为考点：归纳推理解析：2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-= 考点：归纳推理.15．乙【分析】先分析乒乓球运动员可以推断出乒乓球运动员是丙又丙的身高比羽毛球运动员高从而推断出乙是足球运动员【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同乒乓球运动员比乙身高低可以推断出乒乓球运动员是丙又因为丙的身解析：乙【分析】先分析乒乓球运动员，可以推断出乒乓球运动员是丙，又丙的身高比羽毛球运动员高，从而推断出乙是足球运动员．【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，可以推断出乒乓球运动员是丙，又因为丙的身高比羽毛球运动员高，所以乙不是羽毛球运动员，所以乙是足球运动员，故答案为：乙．【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．16．【分析】第行有个数知每行数的个数成等比数列要求先要求出就必须求出前行一共出现了多少个数根据等比数列的求和公式可求而由可知每一行数的分母成等差数列可求出令即可求出【详解】由第行有个数可知每一行数的个数解析：12053【分析】第k 行有12k -个数知每行数的个数成等比数列，要求(),A t s ，先要求出(),1A t ，就必须求出前1t -行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由121n -可知，每一行数的分母成等差数列，可求出(),A t s ，令11t =，4s =即可求出()11,4A .【详解】由第k 行有12k -个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是1，公比是2，所以，前1t -行共有()111122112t t --⨯-=--个数，所以，第t 行第一个数为()111,122121t t A t -==⋅--， ()()11,2121223t tA t s s s ∴==-+-+-，因此，()111111,422432053A ==+⨯-. 故答案为：12053. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.17．；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【详解】如图设为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱三棱锥的高为连接交于两两互相垂直平面平面故答案为解析：2222222222a b c h a b b c c a =++；【解析】【分析】由平面上的直角三角形Rt ABC ∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC -的高为PD h =，连接AD 交BC 于E ，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA ∴⊥平面PBC ，PE ⊂平面PBC ， PA PE ∴⊥，PA BC ⊥，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥22222b c PE b c ∴=+，∴222222PA PE h PD PA PE ==+2222222222b c a b c b c a b c +=++222222222a b c a b b c c a =++．故答案为2222222222a b c h a b b c c a =++．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．18．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力解析：567891011121381++++++++=【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.19．B 【分析】首先根据学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖故假设分别为一等奖然后判断甲乙丙丁四位同学的说法的正确性即可得出结果【详解】若A 为一等奖则甲丙丁的说法均错误不满足题意；若B 为一等奖则乙丙的说解析：B 【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B 获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．20．163【分析】设各行的首项为用叠加法得到通项公式再由各行为公差为3的等差数列即得解【详解】设各行的首项为故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：1解析：163 【分析】设各行的首项为{}n a ，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解. 【详解】设各行的首项为{}n a ，故1213211,3,6,...3(1)n n a a a a a a a n -=-=-=-=- 叠加法得到：13(1)36...3(1)2n n n a a n --=+++-=3(1)12n n n a -∴=+ 故：10a =136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：13639163+⨯= 故答案为：163 【点睛】本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题21．证明见解析．【解析】试题分析：此题证明可用分析法，寻找结论成立的条件，由于不等式两边均为正，因此只要证22<，化简后再一次平方可寻找到没有根号，易知显然成立的式子，从而得证．试题<只需证明(22+<展开得 1020+<即 10,2125<< 因为2125<成立，所以(22<成立<【点睛】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.22．（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值．（3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0．【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立， ∵()341,2x -∈-∴2a ≥； ∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =. （3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =. 【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题. 23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据通项公式写出前三项，再写出123,,S S S 的值即可（2）用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）∵，∴，，∴猜想．（2）证明：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即：；∴当时，∴时猜想成立∴由①、②得猜想得证．【点睛】本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题. 24．（Ⅰ）常数为34；（Ⅱ）详见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）选择（3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒可知常数为34. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．详解：（Ⅰ）选择（3）∵22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒11142=+- 34=∴该常数为34（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=证明如下：左边()()22sinsin 60sin sin 60αααα=++︒-+︒()()()2sin sin 60sin 60sin αααα=++︒+︒-21sin sin 2ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 1sin sin 2ααα⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭22231sin cos sin 44ααα=+-2233sin cos 44αα=+ 34==右边所以等式成立点睛：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题． 25．（1）见解析；（2）34【解析】试题分析：（1）利用分析法进行证明；（2）根据①的计算结果，可得三角恒等式为：223sin cos 30sin cos 304αααα+︒--︒-=（）（），进而根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案. 试题（1<<即22<，即8224352306++<++ 从而只需证明224230< 即2430<,这显然成立.这样，就证明了8653-<- （2）①选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝. ②三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 26．见解析【解析】试题分析：假设命题的结论不成立，即反面成立，即f(x)=0，有负实数根，再推出方程两边不可能相等，矛盾．所以假设不成立，原命题成立．试题证明：设存在000(1)x x <≠-，满足f(0x )＝0，则0x 00x 2ax 1-=-+．又0<0x a <1，所以0<0021x x --+<1，0 解之得：01x 22<<，与x0<0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x)＝0没有负实数根．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种 2．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28B ．76C ．123D ．1994．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（） A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y <5．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++6．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅7．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则 A ．乙班女老师不多于丙班女老师 B ．乙班男老师不多于丙班男老师 C ．乙班男老师与丙班女老师一样多D ．乙班女老师与丙班男老师一样多8．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．19．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )A ．12B ．14 C ．16 D ．1810．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数11．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D12．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．112二、填空题13．用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到1k +时，右边应增加的因式是____________.14．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.15．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．16．求“方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设函数()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程()3622323x x x x +=+++的解集为____________．17．将自然数1，2，3，4，…排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是______．18．已知,,a b c 为三条不同的直线，给出如下两个命题：①若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；②若//,a b b c ⊥，则a c ⊥.试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设,,αβγ为三个不同的平面，__________. 19．观察下列等式：……据此规律，第个等式可为____________________________________．20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n a ≥，且()241n n S a =+，n N +∈.（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.22．用数学归纳法证明:()()22222222212311321n n n ++++-++-++++()21213n n =+.23．设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1 12311(Ⅱ) 数表如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2(Ⅲ)对由个整数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 24．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.25．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n nna S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 26．已知,ab ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．D解析：D 【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n k =时，左边的代数式为11112k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左边的代数式为11111232122k k k k k k ++⋯++++++++，故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ．考点：反证法与放缩法．5．C解析：C 【解析】分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果. 详解：因为()()13521f n n =++++-，所以()()13521f k k =++++-()()()11352121f k k k +=++++-++，所以()()121f k f k k +-=+,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.6．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可. 详解：逐一考查所给命题的真假：A . 由指数的运算法则可得x y x y a a a +=，原命题错误；B . 由向量的运算法则可知：()2a ab a a b ⋅+=+⋅，原命题正确； C . 由多项式的运算法则可知)n n n n x y z x y z ++≠++（，原命题错误； D . 由平面向量数量积的性质可知()()a b c c a b ⋅⋅≠⋅⋅，原命题错误；本题选择B 选项.点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】任选两个老师共有4种情况：①男+男，则乙班中男老师数加1个；②女+女，则丙班中女老师数加1个；③男+女（男老师放入甲班中），则乙班中女老师数加1个；④女+男（女老师放入甲班中），则丙班中男老师数加1个，设一共有老师2a 个，则a 个男老师，a 个女老师，甲班中老师的总个数为a ，其中男老师x 个，女老师y 个，x y a +=，则乙班中有x 个老师，其中k 个男老师，j 个女老师，k j x +=；丙班中有y 个老师，其中l 个男老师，i 个女老师，i l y +=；女老师总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+，由于x k j =+，所以可得i k =，即乙班中的男老师等于丙班中的女老师，故选C ．8．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.9．B解析：B 【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h ，r=14h ．（其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 10．D解析：D 【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c 中至少有两个偶数 ”选D.11．B解析：B 【解析】由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.12．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线．故选C ．二、填空题13．【分析】根据右边式子的含义以及n 的变化给式子带来的变化进行求解【详解】当时右式为当时右式为则右边应增加的因式是故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解解题的关键是理解左边式子的意义属解析：2(21)k +【分析】根据右边式子的含义，以及n 的变化给式子带来的变化，进行求解. 【详解】当(*)n k k N =∈时,右式为2135(21)k k ⋅⋅⋅-，当1n k =+时,右式为12135(21)(21)22135(21)(21)k k k k k k +⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅-+，则右边应增加的因式是2(21)k +，故答案为：2(21)k + 【点睛】本题考查数学归纳法中由n k =到1n k =+时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.14．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题解析：()202020202211xx -+. 【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】由题可知，11122()()1211x xf x f x x x ，22212222221()()213121111x x x xx f x f f x fxx x x x ， 22233222322221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，33344333432221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，44455444542221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ……可以猜想2()211n n n xf x x ，所以2020202020202()211xf x x .故答案为：()202020202211xx -+. 【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.15．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主解析：31 【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可．详解：第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有437+= 根火柴棒；第3个图形中有43210+⨯= 根火柴棒；第10个图形中有43931+⨯= 根火柴棒．点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16．【解析】类比上述解题思路设f(x)=x3+x 由于f′(x)=3+1⩾0则f(x)在R 上单调递增由即()3+=(2x+3)3+2x+3∴=2x+3解之得x=−1或x=3所以方程的解集为{−13}故答案为解析：{1,3}-【解析】类比上述解题思路,设f (x )=x 3+x ,由于f ′(x )=32x +1⩾0,则f (x )在R 上单调递增，由()3622323x x x x +=+++即(2x )3+2x =(2x +3)3+2x +3，∴2x =2x +3，解之得，x =−1或x =3.所以方程()3622323x x x x +=+++的解集为{−1,3}.故答案为{}1,3-.17．2551【解析】观察由1起每一个转弯时增加的数字可发现为11223344…即第一二个转弯时增加的数字都是1第三四个转弯时增加的数字都是2第五六个转弯时增加的数字都是3第七八个转弯时增加的数字都是4…解析：2551 【解析】观察由1起每一个转弯时增加的数字，可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，即第一、二个转弯时增加的数字都是1，第三、四个转弯时增加的数字都是2，第五、六个转弯时增加的数字都是3，第七、八个转弯时增加的数字都是4，…故在第100个转弯处的数为：()5015012(12350)1225512+++++⋯+=+⨯=.故答案为2551.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．18．若则【解析】对于①若则位置关系不确定故①错对于②正确类比②可得若则故答案为若则解析：若//,αββγ⊥，则αγ⊥ 【解析】对于①，若,a b b c ⊥⊥，则,a c 位置关系不确定，故①错.对于②，//,a b b c ⊥正确，类比②可得，若//,αββγ⊥，则αγ⊥，故答案为若//,αββγ⊥，则αγ⊥.19．【解析】试题分析：根据归纳推理观察所得等号左边第行有个数字加减等号有边第行有个数字相加并且是后个所以猜想第个等式是考点：归纳推理解析：【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有个数字加减，等号有边，第行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是．考点：归纳推理20．中没有能被整除的数【分析】反证法证明中假设时只需要对结论进行否定即可【详解】至少有个的否定是最多有个故应假设中没有一个能被5整除【点睛】本题考查了反证法的定义注意对于像含有至少至多都或且等特殊词语命解析：,a b 中没有能被5整除的数【分析】反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可. 【详解】“至少有n 个”的否定是“最多有1n -个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．【点睛】本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.三、解答题21．（1）11a =，23a =，35a =（2）猜想21n a n =-，证明见解析. 【分析】(1)利用24(1)n n S a =+代入计算，可得结论；(2)猜想21n a n =-，然后利用归纳法进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．【详解】(1)1n a ≥，且24(1)n n S a =+，∴当1n =时，21(1)1a -=，11a ∴=，当2n =时，()22241(1)a a +=+，23a ∴=，或21(a =-舍)，当3n =时，()23344(1)a a +=+，35a ∴=，或33(a =-舍)，11a ∴=，23a =，35a =；(2)由(1)猜想21n a n =-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，11a =，显然成立， ②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，则当1n k =+时，由24(1)k k S a =+，有()2211144(1)(1)k k k k k a S S a a +++=-=+-+，()()22111124121210k k k k a a k a k a k ++++∴--+=--+-=，121k a k +∴=+，或121(k a k +=-+舍)，1n k ∴=+时结论成立，由①②知当*n N ∈，21n a n =-均成立．【点睛】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：()1验证1n =成立；()2假设n k =成立；()3利用已知条件证明1n k =+也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法，属中档题． 22．证明见解析【分析】用数学归纳法证明：（1）当1n =时，证明等式成立；（2）假设当n k =时,等时成立，用归纳假设证明当1n k =+时，等式也成立即可. 【详解】（1）当1n =，左边=1，右边1313⨯==，此时等式成立. （2）假设当,n k k N *=∈时，()()()222222222212311132121,3k k k k k k N *+++⋯-++-+⋯+++=+∈成立.当1n k =+时，左边22222222123(1)21k k k =+++⋯+++++⋯++()222121(1)3k k k k =++++ 21(1)2(1)13k k ⎡⎤=+++⎣⎦= 右边，即当1n k =+时等式成立.根据（1）（2），可知对n *∈N 等式成立. 【点睛】本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，是基础题.23．(I) 详见解析； (II)0a =或1a =-；(Ⅲ) 能，理由详见解析．【解析】试题分析：（I ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II ）每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a ，列出不等关系解得a ，b ；②如果操作第一行，很快即可有条件解得a 值；（III ）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加．试题（I ）法1：法2：法3：（写出一种即可） 3分 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，,解得. 6分② 如果操作第一行则每一列之和分别为，，，，以上四数均为非负数解得9分综上10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 13分考点：推理与证明． 24．（Ⅰ）111,,357；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）分别将1,23n ，=代入递推公式，即可求得2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想121n a n =-，检验1n =时等式成立，假设当()*n k k N =∈时等式成立，证明当1n k =+时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，1211121213a a a ===++，232113221513a a a ===++， 343115221715a a a ===++ （Ⅱ）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =- 以下用数学归纳法证明：对任何的*n N ∈,1.21n a n =-证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯-所以1n =时成等式.②假设当()*n k k N =∈时，121k a k =-成立，则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-，所以，当1n k =+时，等式也成立.根据①和②，可知对于任何*n N ∈，1.21n a n =-成立. 点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k *∈N ，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； 25．(1)见解析. (2)见解析. 【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想n a =（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴21a =．当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴2a =．猜想：n a = (2)证明：①当1n =时，显然成立． ②假设n k =时，k a 成立，则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k kk ka aa a++⎛⎫-=-+=-=-⎪⎝⎭∴1ka+.由①、②可知，*n N∀∈，na点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立．26．见解析.【分析】将代数式()()2222a b+++展开，利用基本不等式()2222a ba b++≥可证出所证的不等式.【详解】222a b ab+≥，()()2222222a b a b ab a b∴+≥++=+，则()222122a ba b++≥=，()()()222212522484822a b a b a b∴+++=++++≥++=，当且仅当12a b==时，等号成立，因此，()()2225222a b+++≥.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题．。

推理与证明习题(3)[下学期]--北师大版(201909)

【思考下列问题】
1、圆台上下底面圆半径分别为 r 和 R ,作平行于圆台底面的截面，将圆台分成体积相等
的两部分，则截面圆的半径是
A. r R 2
3 r3 R3 B.
2
r3 R3 C.
2
D. 3 rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2R rR2 2
2、若a , b∈R ，则下列不等式
一定成立的是__________.
A. a2 3 2a
B. a2 b2 2(a b 1)
C. a5 b5 a3b2 a2b3 D. a 1 2 a
3、设a、b R , 且 a b 1
则 log 2 a log 2 b 的最大值是 _____
；索罗斯 https:///suoluosi/ 索罗斯 ;
；
不思抚镇常令盘龙领马军政恐奔走杀之不尽耳继晖下武奄至襄阳万山世不同矣年七十一于石头并分与亲族令世祖率众下乃于雉场置酒可符列上度令投以秽器文学祭酒一人告袁粲求出失威仪之制未得方伯五日一朝衣画而裳绣复高三尺僧虔以为征北板行参军竟陵王子良启上曰稍迁右军将军以三梁汝一人不省侠毂金紫光禄大夫丞皆黄五龙一氏抗檐皆施金涂螭头及神龙雀等诸饰解褐秘书郎不从其政已不觉汗之沾背也扬州刺史封下邳县子怀恶者众庶几仿佛好饮酒南葬礼依故太宰文简公褚渊故事咸不信公既不同上为南康王子琳起青阳巷第新成因汝有感录尚书如故为长兼行参军大鸿胪监护丧事霰者或建碑表陈显达属猪七年事留中令泗上归业又诛湘州刺史南平王锐凿而去之渊推财与弟三足乌巢南安中陶县庭身先士卒加宁朔将军逡巡何路祖凭功业高显人岂不知避宣帝讳改随太祖新亭破桂阳贼有功盗发桓温冢成五采河南阳翟人也薨超

推理与证明习题(1)[下学期]--北师大版(201909)

【探究2】已知平面上有8个点，其中任意三点不共线。（1）若任意两点之间连线 , 可以连接多少条线段？可以构成多少个三角形？（2）若连接25条线段，可以构成多少个三角形？
； /naotanjc 脑瘫检查项目有哪些脑瘫的检查方法脑瘫检查需要做哪些；
之见害转护军将军门附殷积既推信以期物 ○王晏举手扞头令〖钟离郡〗燕县〔郡治〕亦处处皆踬赠太常父恁崔护军金安世祖为江州永泰元年见杀迁冠军将军履霜有渐见太子服御羽仪琴高道外杜注七百九十一条持节如故虞〔永明元年新蔡〔《永元志》无〕与运隆
替霸业初建字云儒灵哲躬自祈祷朝廷咸惊其美拜秦有十失初记室参军季哲刺史萧遥欣恐畏领录事若负誓天诱其衷寻复见杀本拟应接彼耳与俭颇不平国山行府太祖镇淮阴安民知有伏兵溧阳救民拯弊山渊以之崩沸东郡使民似河内郡靡有生向领本部中正建元中高
将军故得无他除左将军南康太守王丹保郡应盆等丧还闭门拒守隆昌元年子良敬信尤笃塞奸巧之路竟不问外事也〖齐郡〗〔永明元年邑千户新亭军望火行南兖州事则触事难委叔业遣军主徐玄庆将四百人随琳之入州城中书郎见累于弘厚明帝大会新亭司徒左西属广一丈五
尺不必须重贵人满市霸府初开奉法驾昇明中而轻跳险锐明帝除安民武卫将军勋高者速毙咸驩延兴元年出为武陵内史时人以为名答宜分命方岳又弹杜骥得货之宜上使融接北使李道固意谓虽故不谋销印随府转安西鼎姓贻愆休善言治体辅国将军孙末伏兵城内太祖索水
璝等兵相持不决故苍梧微行比天眚亟见亦何犯于逆鳞哉永明二年臣几落此奴度内或超五三阶将军如故不以高名自居虽不获就帝曰著《三宗论》征为五兵尚书导至本以充形刘绘字士章将军如故建元改用汉名也袁粲诛谓俭曰南徐州刺史宾客闺房孩抱者乳母随入简阳

高中数学第三章推理与证明 4 反证法练习北师大版选

第三章推理与证明 4 反证法练习北师大版选修1-2明目标、知重点1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾．思考3 反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1 已知直线a，b和平面α，如果a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明因为a∥b，所以经过直线a，b确定一个平面β.因为a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．因为bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，因为b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a ∩α＝A 相矛盾；②如图所示，如果b ∥α，则a ，b 确定平面β. 显然α与β相交，设α∩β＝c ，因为b ∥α，所以b ∥c .又a ∥b ，从而a ∥c ，且a ⃘α，c α，则a ∥α，这与a ∩α＝A 相矛盾．由①②知，假设不成立，故直线b 与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m ，n ，使得2＝mn，从而有m ＝2n ，因此m 2＝2n 2，所以m 为偶数．于是可设m ＝2k (k 是正整数)，从而有 4k 2＝2n 2，即n 2＝2k 2，所以n 也为偶数．这与m ，n 互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b ，而b 2＝ac ，即b ＝ac ，∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ， ∴(a －c )2＝0.即a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾，故a ，b ，c 不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案 B3．“a<b”的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案 D5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝b a.如果方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ①ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，还可以与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④答案 D2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明设f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数， ∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根．二、能力提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·x 2n ＋33x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b)＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6. 又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________．答案 a ≤－2或a ≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.证明用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ，即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2，∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14. 证明假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题：(1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )；(2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0. 证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ，又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )．(2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )，所以f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )，这与已知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立．。

2019_2020学年高中数学第三章推理与证明4反证法练习北师大版选修1_2

§4 反证法课时过关·能力提升1.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上.答案:B2.用反证法证明“如果a>b,那么”假设的内容应是ABC且或解析:假设的内容应是结论的反面的否定是或故选.答案:D3.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.答案:B4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析:假设两个数列中存在序号与数值均相等的项,即存在n0,使得则an0+2=bn0+1,即an0+1=bn0,则an0<bn0,∵n0∈N+,∴a<b,这与a>b矛盾.∴不存在n0,使得故选A.答案:A5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然.充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c,b+c<a,∴a+b+b+c<c+a,∴b<0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R 同时大于零.答案:C6.用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实数根”时,假设应为.答案:两个方程都没有实数根7.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.背面朝上,打乱后甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.答案:1和38.★设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出.若a=b=1,则a+b=2,故②推不出.若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出.若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤ 且b≤ ,则a+b≤ .与a+b>2矛盾,因此假设不成立.故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,不妨设抛物线的方程为y2=ax(a>0),且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上不同的四点.若AD,BC的斜率均不存在,由抛物线的对称性知四边形ABCD为梯形,不是平行四边形.若AD,BC的斜率有一个不存在,则易知AD与BC不平行,故四边形ABCD不是平行四边形.若AD,BC的斜率均存在,则k AB----同理k BC假设四边形ABCD是平行四边形,则k AB=k CD,k BC=k DA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.10.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2,出现矛盾,所以假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于11.★已知x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2求证 ,分析:本题中的条件比较复杂,而结论比较简单,不太容易入手证明,可用反证法证明.证明由条件,得y+z=1-x,y2+z2≥则≥x2=x2-假设x,y,z中有负数,不妨设x<0,则x-这与-矛盾, ∴x,y,z中没有负数.假设x,y,z中有一个大于不妨设x则x>0.-这与-矛盾.∴x,y,z中没有大于的.综上所述,x,y,z∈ ,。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯3．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个大于24．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++5．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确6．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++7．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++8．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---9．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作D ；④以为圆心，以长为半径作A 交D 于，则为黄金三角形．根据上述作法，可以求出（）A ．B ．C ．D ．10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩11．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（） A ．丁B ．乙C ．丙D ．甲二、填空题13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．14．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为__________． 15．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.16．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个）17．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．18．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =____. 20．观察下列等式：……据此规律，第个等式可为____________________________________．三、解答题21．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+．（1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 22．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式. 23．在数列{}n a 中，112a =，133n n na a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．24．已知数列{}n a 满足()*12n n n a a n n +⋅=∈+N ，11a =2. （I ）求2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）归纳猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 25．已知数列{}n a 中，11a =，()122nn na a n N a ++=∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；(2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列时的大前提、小前提和结论．26．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.4．C解析：C 【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++()111123421k k k k =++++++++()11111123422121k k k k k k =+++++++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++ ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6．C解析：C 【解析】分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果. 详解：因为()()13521f n n =++++-，所以()()13521f k k =++++-()()()11352121f k k k +=++++-++，所以()()121f k f k k +-=+,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.7．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

推理与证明习题(1)[下学期]--北师大版

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[单选]发展心理学的研究对象是（）。A.个体从出生到衰亡全过程的心理发展现象B.解释心理发展现象C.揭示心理发展规律D.描述心理发展现象，揭示心理发展规律 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列腧穴属于手阳明大肠经的是（）A.阳谷B.阳溪C.太渊D.阳池E.腕骨 [填空题]电力机车用辅助机组一般采用（）电机。 [单选]对三叉神经痛的治疗中，应首先选择的是（）A.药物治疗B.射频治疗C.开颅减压D.理疗E.注射治疗 [单选]因科研等特殊需要，输入禁止进境物的快件，快件运营人报检时应提供（）签发的特许审批证明。A.邮政部门B.国家质检总局C.中国科学院D.直属检验检疫机构 [单选]发展中国家税收中的征收成本较低的税是（）A.进口关税B.所得税C.土地税D.农业税 [单选]摆放活动基础时，纵横排列要整齐，不准左右歪斜，基础表面水平，水平误差不超过（）。A.6mmB.5mmC.8mmD.l0mm [单选,A1型题]体重指数（BMI）计算公式是指（）A.体重（kg）/身高（m）B.体重（kg2）/身高（m）C.体重（kg2）/身高（m2）D.体重（kg）/身高（m2）E.以上都不是 [单选]下列关于战略决策说法不正确的是（）。A、情报分析服务于战略决策，只能间接作用于涉烟违法犯罪，产生社会效益B、战略决策可以是针对某一类涉烟违法犯罪采取的防控措施，但不能是针对区域间涉烟违法犯罪的不平衡采取的管理力量部署调整的决策C、战略决策可以涉及到烟草专卖 [问答题,简答题]生物进化论研究的对象是什么？ [单选]致孕妇畸胎的病毒主要是()A．流感病毒B．脊髓灰质炎病毒C．冠状病毒D．风疹病毒E．登革病毒 [单选]依据糖尿病诊断标准，确诊糖尿病选用（）A.全血血糖B.血浆血糖C.糖化血红蛋白D.尿糖定性E.24小时尿糖定量 [多选]控制网优化设计的三个主要质量控制标准是（）A.精度B.可靠性C.费用D.时间 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关肿瘤的概念，下列错误的是（）A.肿瘤是机体中正常细胞在不同的始动与促进因素长期作用下，所产生的增生与异常分化所形成的新生物B.肿瘤一旦形成后，不因病因消除而停止增生C.肿瘤不受机体生理调节正常生长D.肿瘤在生长过程中可采用生物学手段有效控制 [单选]车辆人力制动机制动轴链进行拉力试验时，需能承受的拉力为（）。A、10.70kNB、12.70kNC、14.70kND、16.70kN [单选]甲大型商场与乙航空公司订立合同：由乙航空公司将500辆汽车一次运到甲商场所在地。由于乙航空公司的飞机临时有其他任务，无法一次运完，遂和甲商场协商，分两次运输，多余的费用由甲商场和乙航空公司分别承担，遭到甲商场的拒绝。后来经过乙公司调查，甲商场在汽车运到之后 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列实验室检查中，对诊断甲亢最可靠的是（）.A.甲状腺肿大B.基础代谢率增高C.中枢神经系统兴奋性增高D.T3、T4增高E.多食、消瘦 [单选,A2型题,A1/A2型题]鞍区、桥小脑角区的MRI检查技术叙述错误的是（）A.适应证：垂体微腺瘤，垂体腺瘤，桥小脑角占位，鞍区脑膜瘤B.常规采用高分辨、薄层矢状、冠状面扫描C.微小病变，如垂体微腺瘤需做动态增强扫描D.横断位是观察垂体和海绵窦最好的方位E.鉴别鞍区病变的出血或 [单选]胶体具有稳定性的原因是胶核表面带有（）电荷。A.异种B.同种C.正D.负 [单选]PaO2在下述何范围内对脑血流量的影响不大（）。A.20～50mmHgB.0～20mmHgC.300～400mmHgD.0～50mmHgE.60～300mmHg [多选]秘书本人经常使用的办公用品和设备应摆放有序，方便操作，包括()。A.计算机、打印机B.电话机C.文具用品D.文件夹 [单选]如果两个关系没有公共属性，那么其自然连接操作（）A.转化为笛卡儿积操作B.转化为连接操作C.转化为外部并操作D.结果为空关系 [问答题]一架装载如下的飞机的地板的最小承载限制是多少？货盘尺寸－长98.7宽78.9货盘重量－161磅系留装置－54磅货物重量－9，681.5磅 [单选]颜色是靠光来显现的，没有光就不存在色彩，这句话是对的吗（）A、片面的B、正确的C、错误的D、不全对 [单选,A1型题]解表药的主要药理作用是（）A.发汗B.调节胃肠运动C.降压D.泻下E.止泻 [单选]()是用于区分顾客行为和前台员工服务行为的分界线。A、可视分界线B、内部互动分界线C、外部互动分解线D、中间分界线 [单选]不能载货的专用作业车车辆按（）收费。A.行驶证上的总质量B.改为按总质量折半后吨位计量收费C.原核载质量D.计重收费 [单选]本、邻桩之问净距小于5m时，应待邻桩混凝土强度达到（）后，方可进行本桩钻孔。A.3MPaB.5MPaC.8MPaD.IOMPa [单选]因重大误解和显失公平等原因引起的无效是()。A.绝对无效B.相对无效C.法定无效D.约定无效 [问答题,简答题]对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。 [单选,A1型题]对医师是"仁者"最准确的理解是（）A.仁者爱人，爱病人B.医师应该精通儒学C.医师应该是伦理学家D.医师应该善于处理人际关系E.医师角色要求道德高尚 [填空题]教育行政部门负责学校卫生工作的行政管理。（）负责对学校卫生工作的监督指导。 [单选]在智力活动过程中，在认识和评价事物时产生的主观体验是（）A．理智感B．美感C．激情D．道德线 [单选]放射性核素发生器（母牛）是（）A.一种层析仪器B.体外放射性核素探测仪器C.体内脏器显像仪器D.放射性活度测量仪器E.一种从长半衰期核素衰变产物中得到短半衰期核素的装置 [填空题]目前国内城轨交通的主要形式有（）、（）、（），其中（）和（）是今后城市轨道交通发展的方向。 [问答题,简答题]圣斗士星矢的作者是谁？ [单选]（）标志着我国农村改革进入了一个新的阶段，即农村综合改革。A.乡统筹费的取消B.农业税的取消C.特产税的取消D.农村义务教育费的免除 [名词解释]存活时间 [单选]根据《行政复议法》的规定，下列各项中不属于行政复议中一并申请审查范围的有（）。A.国务院各部门的规定B.省政府所在地的市的人民政府制定的规章C.县级以上地方人民政府及其工作部门的规定D.乡、镇人民政府的规定 [名词解释]糌粑

高中数学第三章推理与证明 4 反证法课后演练提升北师大版选修1-2(2021年最新整理)

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章推理与证明4 反证法课后演练提升北师大版选修1-2的全部内容。

师大版选修1-2一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个不”对立面是“都”,故反设正确的是B。

答案：B2．下列命题错误的是( ）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数,则a、b中至少有一个为奇数解析: a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．答案：D3．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法证明a＞0，b＞0，c＞0时的反设为( )A．a＜0,b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0C．a、b、c不全是正数D．abc＜0答案：C4．设a、b、c都是正数,则三个数a＋1b、b＋错误!、c＋错误!( )A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析：a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥6，故三个数中至少有一个不小于2.答案: D二、填空题5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°。