抽象函数定义域的求法

抽象函数的定义域总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：2log 212≤≤x 解之，得：42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。

本题中令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，． 变式训练：已知函数的定义域为，则的定义域为________。

解：由，得所以，故填例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D.分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求的定义域 的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选A变式训练：已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.分析：先求2x的值域为M 则log 2x 的值域也是M ，再根据log 2x 的值域求定义域。

解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤ 2.∴函数y=f(log 2x)中21≤log 2x ≤ 2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，． 变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是例5 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域： ∴21＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22＜x ＜3．∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x ＜－22或22＜x ＜3}． 例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。

实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积； （2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）； （3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。

本题中总面积为8412=+=+x xy S S 矩形三角形，由于0>xy ，于是8412<x ，即24<x 。

又0>x ，∴x 的取值范围是240<<x 。

解：由题意得xy+41x 2=8,∴y=x x 482-=48x x -(0<x<42). 于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x16≥4246+. 当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈,y=22≈.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.变式训练：13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程142222=+r y r x (y ≥0), 解得y=222x r - (0<x<r).S=21(2x+2r)·222x r -=2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0<x<r}.（2）记f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0<x<r,则f ′(x)=8(x+r)2(r-2x).令f ′(x)=0,得x=21r.因为当0<x<2r时，f ′(x)>0; 当2r <x<r 时,f ′(x)<0，所以f （21r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=21r 时，S 也取得最大值，最大值为2233)21(r r f =. 即梯形面积S 的最大值为.2332r巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）1. 设函数的定域为，则（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

分析：做法与例题1相同。

解：（1）由已知有，解得故的定义域为（2）由已知，得，解得故的定义域为2、已知函数的定义域为，则的定义域为________。

分析：做法与例题2相同。

解：由，得所以，故填3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

分析：做法与例题3相同。

解：由，得所以，所以0≤3x-5≤1,所以5/3≤x ≤2.4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求y=f ()31()31-++x f x 定义域。

分析：做法与例题4相同。

解 ：由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.【党员个人总结与自我评价(四)】一年里，在学校领导的教育和培养下，在同事们的关心和帮助下，自己的思想、工作、学习等各方面都取得了一定的成绩。

现总结如下：一、自觉加强理论学习，努力提高政治思想素质和个人业务能力。

在过去的一年中，主动加强对政治理论知识的学习,系统学习了邓小平理论和“三个代表”的重要思想，通过学习，提高了自己的政治敏锐性和鉴别能力，坚定了立场，坚定了信念。

其间，我认真的学习了《保持共产党员先进性教育读本》一书党委及支部工作有关的文件材料。

只有不断加强学习，才能适应社会发展的需要，只有不断的提高自己的政治理论素质，才能适应社会经济发展的客观要求。

二、积极开展工作，力求更好的完成自己的本职工作。

工作中能够始终保持一种积极向上的心态，努力开展工作。

特别是党支部的工作，促使我养成更加严谨、更加细致的工作作风，更好的完成领导交给的各项工作任务。

三、严格遵守学校各项规章制度。

不迟到不早退，团结同事，尊师爱生，虚心求教，不耻下问，将工作以外的时间合理的利用起来，养成良好的工作、生活习惯。

四、坚持党性原则。

遵纪守法，敢于抵制不正之风和腐败行为，自觉树立正确的世界观、人生观、价值观，用党章规范言行，自觉遵守公民道德规范，在党的教育事业中体现党员的先进性。

五、在工作岗位上保持先进性。

自觉树立终身学习的观念，结合本部门工作特点和教学工作需要，参加专业知识、基本技能的学习，提升知识层次，扩大知识面，以自已的实际行为践行党的宗旨，争当教育教学工作领域的带头人，在建功立业中保持党员先进性。