7.2反Z变换

k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
A B C X ( z) = 1 + + + −1 2 −1 (1 − 2 z ) 1 − 2 z 1 − 4 z −1
1 di qi = [(1 − u z − 1 ) l X ( z )] | z = u ; i = 0,1, ..., l − 1 ( − u ) i i ! d ( z −1 ) i
X (z) = 1+ 2 (1 − 2 z − 1 ) 2 (1 − 4 z − 1 )
A B C = 1+ + + −1 2 −1 (1 − 2 z ) 1 − 2 z 1 − 4 z −1
2 A = (1 − 2 z ) X ( z ) | z = 2 = | = −2 −1 z = 2 1− 4z
Re s[ X ( z ) z k −1 ] = ( z − P i ) X ( z ) z k −1 |z = pi 单阶极点： 单阶极点：
z=P i
n阶极点： 阶极点：
1 d n −1 Re s[ X ( z ) z k −1 ] = [ X ( z ) z k −1 ( z − pi ) n ] z = pi (n − 1)! dz n −1
∑
X (z) = 1+
m
j=0
bjz− j
n
∑
= ai z −i
∑
n−l i =1
ri + −1 1 − pi z
∑
l −1
i=0
qi (1 − u z − 1 ) l − i
i =1
1 di qi = [(1 − u z − 1 ) l X ( z )] | z = u ; i = 0,1, ..., l − 1 ( − u ) i i ! d ( z −1 ) i
7.3 反Z变换 变换 The Inverse z-Transform
反ZT推导 推导
Q X ( z ) = ∑ x[k ]z − k
乘以z
m −1
∞
, 并取闭合曲线积分，有：
k =0
∫
C
X ( z ) z m −1dz =
∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
x[k ]z − k z m −1dz ∑
k =0
∞
∫
C
X ( z) z
Z
故
1 1 x [k ] = u [k ] + 2 u [k ] 4 3
k
2 z 2 − 0.5 z 求 z反 变 换 ： X ( z ) = 2 , z >1 z − 0.5 z − 0.5
解:分子分母同时除以 z 得 分子分母同时除以
A1 A2 2 − 0.5 z − 1 2 − 0.5 z − 1 = + X (z) = = −1 −1 −2 −1 −1 1− z 1 + 0.5z −1 1 − 0.5 z − 0.5 z (1 − z )(1 + 0.5 z )
1.部分分式展开法 部分分式展开法 Partial fraction expansion 当 X ( z )是有理函数时，可将其展开为部分分式 是有理函数时，可将其展开为部分分式
bj z− j ∑ X ( z) =
j =0
m
1 + ∑ ai z
i= i =1
n
−i
步骤 ：1. 求出 X ( z ) 的所有极点 ai ； 2. 将 X ( z ) 展开为部分分式； 展开为部分分式； 3. 利用常用变换对和 变换性质求出每一 利用常用变换对和Z变换 变换性质求出每一 项的反变换。 项的反变换。
1 1 x1 [ k ] ← → , z > 4 1 −1 1− z 4
Z
1 x1 [ k ] = u [ k ] 4
1 x2 [ k ] = 2 u [ k ] 3
k
k
k
2 1 x2 [ k ] ← → , z > 3 1 −1 1 − z 3
z = pi
Step3:
x[k] =
Re s[ X ( z ) z k −1 ] ∑
i z = pi
例1
2 z 2 − 0.5 z 求 z反 变 换 ： X ( z ) = 2 , z >1 z − 0.5 z − 0.5
2z2 − 0.5z k−1 (2z − 0.5)zk 解: X (z)zk −1 = z = 2 2 z − 0.5z − 0.5 z − 0.5z − 0.5
(3)m>n即分子多项阶数高于或等于分母多项式阶数 即分子多项阶数高于或等于分母多项式阶数 时，则可展开为
X (z) =
m−n i=0
∑kz
i
−i
+
∑
n−l i =1
ri + −1 1 − pi z
∑
l −1
i=0
qi −1 l − i (1 − u z )
例2:
解:
3 − 8 z −1 + 20 z −2 − 16 z −3 X ( z) = ,| z |> 4, 试求x[k ]. −1 2 −1 (1 − 2 z ) (1 − 4 z )
m −1
dz = ∑ x[k ][ ∫ z
k =0 C
∞
m − k −1
dz ]
由柯西积分定理,有 由柯西积分定理 有:
C
∫
C
z
m −1
2π j , m = 0 dz = 0, m ≠ 0
∴ ∫ X ( z ) z m −1dz = 2π jx[m]
x[ k ] = 1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1 d z
5 −1 3− z 1 −1 6 A1 = X ( z )(1 − z ) | 1 = | 1 =1 z= 1 −1 z = 4 4 4 (1 − z ) 3 5 −1 3− z 1 −1 6 A2 = X ( z )(1 − z ) | 1 = | 1= 2 z= 1 −1 z = 3 3 3 (1 − z ) 4
−1
1 1 + X ( z) = −1 1 − z ) (1 + 0.5 z −1 ) (
作Z反变换,有: ∴ x[ k ] = u[ k ] + ( −0.5) u[k ] 反变换,
k
(2)当X(z)在z＝u处有 阶重极点，且分母多项阶数 当 处有l阶重极点 在 ＝ 处有 阶重极点， 高于分子多项式阶数(m<n)时，部分分式展开为 高于分子多项式阶数 时
∴ x[k ] = δ [k ] − 2(k + 1)2 u[k ] − 4 × 2 u[k ] + 8 × 4 u[k ]
k k k
2.幂级数展开法 幂级数展开法
Q X ( z ) = ∑ x[k ]z
k =0
∞
−k
= x[0] + x[1]z + x[2]z + …
−1
−2
若能将X(z)在收敛域内展开为z −1 的幂级数，则级数 在收敛域内展开为 的幂级数， 若能将 的系数就是序列x[k] 的系数就是序列
(1)如果分母多项式无重根，且分母多项式阶数 如果分母多项式无重根， 如果分母多项式无重根 高于分子多项式阶数(m<n)时，则可展开为 高于分子多项式阶数 时
∑
X (z) = 1+
m
j=0
bjz− j
n
∑
= ai z − i
∑
n
i =1
ri 1 − pi z −1
i =1
ri = X ( z )(1 − pi z −1 ) |z = pi
K>=0时极点： z1 = 1, z2 = −0.5 K>=0时极点： 时极点
Re s[ X (z)zk −1] = [ X (z)zk −1(z −1) ] z=1 =
z=1
(2 z − 0.5) z k |z =1 = 1 z + 0.5