高中数学人教A版选修4-5练习用数学归纳法证明不等式举例 Word版含解析

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人教A版选修【4-5】4.2《用数学归纳法证明不等式》习题及答案

数学·选修4－5(人教A版)4.2 用数学归纳法证明不等式一层练习1．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1答案：C2．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n与n2的大小并猜想( )A．n≥1时，2n＞n2 B．n≥3时，2n＞n2C．n≥4时，2n＞n2 D．n≥5时，2n＞n2答案：D3．用数学归纳法证明2n n＞n2(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝________.答案：5数学归纳法证明不等式4．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1＋2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时不等式成立，当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案：12－1k ＋2＋1＋2＞12－1k ＋3二层练习5．关于正整数n 的不等式2n >n 2成立的条件是( ) A ．n∈N *B ．n≥4C ．n>4D ．n ＝1或n>4 答案：D [:6．用数学归纳法证明： 1＋12＋13＋…＋1n＜2n(其中n∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立． (2)假设当n ＝k(k≥1，k∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k＜2k ，那么n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＜2k ＋1k ＋1 ＝2＋＋1k ＋1＜k ＋k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任何n∈N *都成立．7．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的一个通项公式． (2)当a 1≥3时，证明对所有n≥1，有： ①a n ≥n＋2；②11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12.解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，猜想 a n ＝n ＋1.(2)①当n ＝1时，a 1＝3≥1＋2，不等式成立．假设当n ＝k(k≥1，k∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k＋2，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝a k (a k －k)＋1≥(k＋2)(k ＋2－k)＋1＝2k ＋5≥k＋3. 即a k ＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立． ∴a n ≥n＋2对于n∈N *都成立． ②由a n ＋1＝a 2n －na n ＋1及(1)知：当k≥2时，a k ＝a 2k －1－(k －1)a k －1＋1＝a k －1(a k －1－k ＋1)＋1≥a k －1(k －1＋2－k ＋1)＋1＝2a k －1＋1， ∴a k ＋1≥2(a k －1＋1)．即a k ＋1a k －1＋1≥2.∴a k ＋1≥2k －1(a 1＋1)， 11＋a k ≤11＋a 1·12k －1(k≥2)， 11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤11＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝21＋a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤21＋a 1≤12.三层练习8．证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，∴左边≥右边．即(2)假设n ＝k(k≥1，k∈N *)时，命题成立，即：1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1.则当n ＝k ＋1时，要证明1＋122＋132＋…＋1k2＋1＋2≥＋＋＋1，只要证3k2k ＋1＋1＋2≥＋2k ＋3.∵＋2k ＋3－3k 2k ＋1－1＋2＝3＋2－1－1＋2＝1－＋2＋2＋2－1] ＝－＋＋22＋8k ＋＜0， ∴3k 2k ＋1＋1＋2≥＋2k ＋3成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1＋2≥＋2k ＋3成立．∴n＝k ＋1时，9．(2018·惠州一调)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，b 1＝2，且s 2＋b 2＝7，S 4－b 3＝2.(1)求a n 与b n ； (2)设c n ＝a 2n －1a 2n，T n ＝c 1·c 2·c 3…c n ，求证： T n ≥12n(n∈N *)．(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题知：s 2＋b 2＝7，s 4－b 3＝2， ∴d＋2q ＝5,3d －q 2＋1＝0，解得q ＝2或q ＝－8(舍去)，d ＝1； ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，b n ＝2n. (2)证明：∵c n ＝a 2n －1a 2n， ∴c n ＝2n －12n. T n ＝12×34×56×…×2n －12n .下面用数学归纳法证明T n ≥12n 对一切正整数成立．(1)当n ＝1时，T 1＝2×1－12×1≥12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，∴T k ≥12k，则当n ＝k ＋1时， ∵T k ＋1＝T k ·2k ＋1＋≥12k·2k ＋1＋＝12k ＋1·2k ＋12k k ＋1＝12k ＋1·4k 2＋4k ＋14k 2＋4k≥12k ＋1，这就是说当n ＝k ＋1时综上所述，原10．已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝100. (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项为a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b n ，设S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与12lg b n ＋1的大小，并证明你的结论．分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明．解析：(1)由b 1＝1，S 10＝100得d ＝2，所以b n ＝2n －1. (2)由b n ＝2n －1得：S n ＝lg(1＋1)＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1， 12lg b n ＋1＝lg 2n ＋1，要比较S n 与12lg b n ＋1的大小可先比较(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1与2n ＋1的大小．当n ＝1时，(1＋1)＞2×1＋1，当n ＝2时，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＞2×2＋1，…猜想(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋1(*)．以下用数学归纳法进行证明：①n＝1时成立．②假设当n ＝k(k≥1，k∈N *)时成立，即 (1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋1，当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＞2k ＋1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＝2k ＋12k ＋1(2＋2k)，∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12k ＋1＋2－(2k ＋3)2＝12k ＋1＞0， ∴2k ＋12k ＋1(2＋2k)＞2k ＋3， ∴(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＞2k ＋3，当n ＝k ＋1时也成立．由①②可知(*)式对任何正整数都成立． ∴S n ＞12lg b n ＋1.11．(1)已知函数f(x)＝rx －x r＋(1－r)(x>0)的最小值为f(1)，其中r 为有理数，且0<r<1，证明 (2)请将(1)中的解析：(1)由已知得：当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即x r≤rx＋(1－r)．① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.② (2)(1)中设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数，若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则 ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(2)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0<b k ＋1<1，即1－b k ＋1>0，于是 ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k 1－b k ＋1abk ＋1k ＋1.因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2· b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1abk ＋1k ＋1，又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1 ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n ，所推广的说明：(2)中如果推广形式中指出③式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．12．函数f(x)＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P(4,5)，Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．证明：2≤x n <x n ＋1<3.[:解析：(1)因为f(4)＝42－8－3＝5，故点P(4,5)在函数f(x)的图像上，故由所给出的两点P(4,5)，Q n (x n ，f(x n ))，可知，直线PQ n 斜率一定存在，故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝n－5x n －4(x －4)，令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2. 下面用数学归纳法证明2≤x n <3. 当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3，假设n ＝k 时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时， x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2，由2≤x k <3⇔4≤x k ＋2<5⇔1<5x k ＋2≤54⇔2<114≤4－5x k ＋2<3即2≤x k ＋1<3也成立，综上可知2≤x n <3对任意正整数恒成立．下面证明x n <x n ＋1，由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－n－2＋4x n ＋2.由2≤x n<3⇒1≤x n－1<2⇒0<－(x n－1)2＋4≤3，故有x n＋1－x n>0即x n<x n＋1，综上可知2≤x n<x n＋1<3恒成立．1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的．2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究，数学归纳法关键是由n ＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证不等式的重中之重问题．(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．。

人教版A版高中数学选修4-5用数学归纳法证明不等式

解析：取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2246，令2264＞2a4⇒a＜26，而 a∈N＋*，, ∴取 a＝25.下面用数学归纳法证明： n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1＞2245. (1)n＝1 时，已证结论正确． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋*))时时， k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k1＋1＞2245，则当 n＝k＋1 时，
用数学归纳法证明：
212＋312＋412＋…＋n12＜1－1n(n≥2，n∈N＋﹡)．）.
证明：(1)n＝2 时左边＝212＝14，右边＝1－12＝12，∵14＜12， ∴不等式成立；
(2)假设 n＝k 时(k≥2，k∈N＋)不等式成立即212＋312＋412＋…＋k12＜1－1k，
则当 n＝k＋1 时 212＋312＋412＋…＋k12＋k＋1 12 ＜1－1k＋k＋1 12 ＝1－kk＋k1＋21－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 ＜1－kkkk＋＋112＝1－k＋1 1， ∴当 n＝k＋1 时不等式也成立．综合(1)、(2)对任意 n≥2 的正整数，不等式成立．
而这等价于 2k＋1＋ 2k1＋12≥2k＋3⇔2k1＋1≥0，
显然成立，所以当 n＝k＋1 时，结论成立．
因此，an＞ 2n＋1对一切正整数 n 均成立．
法三：由 an＋1＝an＋a1n，两边平方，得 a2n＋1－a2n＝a12n＋2. ∴a22－a21＝a112＋2，a23－a22＝a122＋2， …
(1)求A. (2)设f(k)表示A中自然数个数，求和Sn＝f(1)＋f(2) ＋…＋f(n)． (3)当a＝2时，比较Sn与n2＋n的大小，并证明你的结论．
解析：(1)不等式同解于
x＞0，
①

2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲二用数学归纳法证明不等式举例

[课时作业][A 组　基础巩固]1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n ∈N ＋，且n >1)时，第一步即证121312n －1下述哪个不等式成立( )A ．1<2 B ．1＋<212C ．1＋＋<2D ．1＋<2121313解析：∵n ∈N ＋，且n >1，∴第一步n ＝2，左边＝1＋＋，右边＝2，1213即1＋＋<2，应选C.1213答案：C2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n 0至少121412n －112764应取( )A ．7 B ．8C ．9D ．10解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，12141811616412764n －1＝6，n ＝7，故n 0＝8.答案：B3．用数学归纳法证明 “S n ＝＋＋＋…＋>1(n ∈N ＋)”时，1n ＋11n ＋21n ＋313n ＋1S 1等于( )A. B ．1214C. ＋D ．＋＋1213121314解析：因为S 1的首项为＝，末项为＝，所以11＋11213×1＋114S 1＝＋＋，故选D.11＋111＋211＋3答案：D4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，有f (k )满足：当“f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k <5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：由题意设f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．因此，对于A ，k ＝1,2时不一定成立．对于B ，C 显然错误．对于D ，因为f (4)＝25>42，因此对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．答案：D5．某个命题与正整数n 有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：与“如果当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n ＝k ＋1时命题不成立，则当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题也不成立”．故知当n ＝5时，该命题不成立，可推得当n ＝4时该命题不成立，故选C.答案：C6．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可归纳出122321221325312213214274一般性结论：________.解析：由题意得1＋＋＋…＋<(n ∈N ＋)．1221321(n ＋1)22n ＋1n ＋1答案：1＋＋＋…＋<(n ∈N ＋)1221321(n ＋1)22n ＋1n ＋17．用数学归纳法证明＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝12(k ∈N ＋，a ≠k π，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，左边计算所得sin 2n ＋12α·cos2n －12αsin α的项是________．答案：＋cos α128．用数学归纳法证明：2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)时，第一步应验证________．答案：n ＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝49．证明不等式：1＋＋…＋<2(n ∈N ＋)．12131n n 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即1＋＋…＋<2(k ∈N ＋)．12131k k 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋＋…＋＋<2＋＝，12131k 1k ＋1k 1k ＋12k (k ＋1)＋1k ＋1现在只需证明<2，k (k ＋1)＋1k ＋1k ＋1即证：<2k ＋1，k (k ＋1)两边平方，整理得0<1，显然成立．∴<2成立．k (k ＋1)＋1k ＋1k ＋1即1＋＋＋…＋＋<2成立．12131k 1k ＋1k ＋1∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n 原不等式都成立．10．设S n ＝＋＋＋…＋(n ∈N ＋)，设计算11×313×515×71(2n －1)(2n ＋1)S 1，S 2，S 3，并猜想S n 的表达式，然后用数学归纳法给出证明．解析：∵S 1＝＝＝，11×31312×1＋1S 2＝＋＝＝，11×313×52522×2＋1S 3＝＋＋＝＝，11×313×515×73732×3＋1……猜想S n ＝(n ∈N ＋)．n2n ＋1下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边S 1＝＝，右边＝＝，等式成立．11×31312×1＋113(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即＋＋＋…＋＝，11×313×515×71(2k －1)(2k ＋1)k2k ＋1则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋11×313×515×71(2k －1)(2k ＋1)1(2k ＋1)(2k ＋3)k2k ＋11(2k ＋1)(2k ＋3)＝＝＝，2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)k ＋12k ＋3k ＋12(k ＋1)＋1这就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，等式S n ＝对n ∈N ＋都成立．n2n ＋1[B 组　能力提升]1．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1212131213173212131151＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n (n ∈N ＋)个不等式为( )121313152A ．1＋＋＋…＋>121312n n －12B ．1＋＋＋…＋>121312n －1n 2C ．1＋＋＋…＋>121312n －1n 2D ．1＋＋＋…＋>121312n －1n2解析：∵1,3,7,15,31，…的通项公式为a n ＝2n －1，∴不等式左边应是1＋＋＋…＋.121312n －1∵，1，，2，，…的通项公式为b n ＝，123252n2∴不等式右边应是.n2答案：C2．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n >2，n ∈N ＋)”时的过1n ＋11n ＋212n 1324程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项，12k ＋112(k ＋1)C ．增加了两项，，又减少了一项12k ＋112(k ＋1)1k ＋1D ．增加了一项，又减少了一项12(k ＋1)1k ＋1解析：当n ＝k 时，左边＝＋＋…＋.1k ＋11k ＋212k 当n ＝k ＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.1k ＋1＋11k ＋1＋212(k ＋1)1k ＋21k ＋312k 12k ＋112k ＋2故由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．答案：C3．用数学归纳法证明某不等式，其中证n ＝k ＋1时不等式成立的关键一步是：＋>＋( )>，括号中应填的(k ＋1)(k ＋2)3(k ＋2)(k ＋3)(k ＋1)(k ＋2)3(k ＋2)(k ＋3)3式子是________．解析：>k ＋2，联系不等式的形式可知，应填k ＋2.(k ＋2)(k ＋3)答案：k ＋24．设a ，b 均为正实数，n ∈N ＋，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x ＝)．ba 解析：令x ＝，∵M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，ba ∴＝(1＋x )n ，＝1＋nx .Man Nan ∵a >0，b >0，∴x >0.由贝努利不等式得(1＋x )n >1＋nx .∴>，∴M >N M an Nan 答案：M >N5．对于一切正整数n ，先猜出使t n >n 2成立的最小的正整数t ，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n (n ＋1)·>lg(1·2·3·…·n )．lg 34证明：猜想当t ＝3时，对一切正整数n 使3n >n 2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n ＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，3k >k 2成立，则有3k ≥k 2＋1.对n ＝k ＋1,3k ＋1＝3·3k ＝3k ＋2·3k >k 2＋2(k 2＋1)>3k 2＋1.∵(3k 2＋1)－(k ＋1)2＝2k 2－2k ＝2k (k －1)≥0，∴3k ＋1>(k ＋1)2，∴对n ＝k ＋1，命题成立．由上知，当t ＝3时，对一切n ∈N ＋，命题都成立．再用数学归纳法证明：n (n ＋1)·>lg(1·2·3·…·n )．lg 34当n ＝1时，1×(1＋1)×＝>0＝lg 1，命题成立．lg 34lg 32假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，k ·(k ＋1)·>lg(1·2·3·…·k )成立．lg 34当n ＝k ＋1时，(k ＋1)·(k ＋2)·lg 34＝k (k ＋1)·＋2(k ＋1)·lg 34lg 34>lg(1·2·3·…·k )＋lg 3k ＋112>lg(1·2·3·…·k )＋lg(k ＋1)212＝lg [1·2·3·…·k ·(k ＋1)]，命题成立．由上可知，对一切正整数n ，命题成立．6．已知等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝3，S n 是它的前n 项和．求证：≤.Sn ＋1Sn 3n ＋1n 证明：由已知，得S n ＝3n －1，≤等价于≤，即3n ≥2n ＋1.(*)Sn ＋1Sn 3n ＋1n3n ＋1－13n －13n ＋1n法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．②假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k ≥2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k ≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立．综合①②，得3n ≥2n ＋1成立．所以≤.Sn ＋1Sn 3n ＋1n 法二：当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．当n ≥2时，3n ＝(1＋2)n ＝C ＋C ×2＋C ×22＋…＋C ×2n ＝1＋2n ＋…>1＋2n ，所以(*)成立．0n 1n 2n n 所以≤.Sn ＋1Sn 3n ＋1n。

《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。

人教版高中数学选修4-5练习第四讲4.2用数学归纳法证明不等式 Word版含解析

第四讲数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
级基础巩固
一、选择题
．用数学归纳法证明≥(≥，∈)，第一步应验证( )
．＝
．＝
．＝
．＝
解析：由题意≥知应验证＝.
答案：．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋
＜，(∈＋，＞)”时，由＝(＞)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加
的项数是( )
．－
．－
．＋
．
解析：增加的项数为(＋－)－(－)＝＋－＝.故选.
答案：．用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞
(∈＋)成立，其初始值至少应取( )
．．．．解析：左边＝＋＋＋…＋＝＝－，代入验证可知的最小值是.
答案：．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥
(∈*)”时，由＝到＝＋时，不等式左边应添加的项是( )
＋
＋－
＋－－
解析：当＝时，不等式为
＋＋…＋≥.
当＝＋时，
左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.
比较＝与＝＋的左边，
可知应添加的项为＋－.
答案：．若不等式＋＋…＋＞
对大于的一切自然数都成立，则自然数的最大值为( )
．
．
．不存在
．
解析：令()＝＋＋…＋，取＝，，，等值发现()是单调递减的，所以
()]＞，
所以由()＞，求得的值．故应选.
答案：
二、填空题
．设＞－，且≠，为大于的自然数，则(＋)＞．
解析：由贝努利不等式知(＋)＞＋.
答案：＋．设通过一点的个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有
一条直线，这个平面将空间分成()个部分，则＋个平面将空间分成(＋)
＝()＋个部分．
答案：。

人教A版选修4-5 4.2 用数学归纳法证明不等式举例作业

二用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n -1<n (n ∈N +,且n>1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )A.1<2B.1+12<2C.1+12+13<2D.1+13<2 n=2时,左边=1+12+13,右边=2,所以应证1+12+13<2.2.若x>-1,x ≠0,则下列不等式正确的是( )A.(1+x )3<1+3xB.(1+x )32<1+32xC.(1+x )-2<1-2xD.(1+x )13<1+13xD 正确.3.用数学归纳法证明C n 1+C n 2+…+C n n >n n -12(n ≥n 0,且n ∈N +),则n 的最小值n 0为( )A.1B.2C.3D.4n=1时,左边=C 11=1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边=C 21+C 22=2+1=3,右边=212=√2,3>√2,成立;当n=3时,左边=C 31+C 32+C 33=3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n 的最小值n 0为2.4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明√n 2+n <n+1(n ∈N +)”的过程如下: 证明:(1)当n=1时,显然不等式是成立的;(2)假设当n=k (k ≥1)时不等式成立,即√k(k +1)<k+1.当n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√k 2+4k +4=(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于n ∈N +,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( )A.从k 到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k 到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体√(k +1)2+(k +1)<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设√k(k +1)<k+1.5.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N +),用数学归纳法证明f (2n )>n 2时,f (2k+1)比f (2k)多的项为 .(2k+1)-f (2k )=1+12+13+…+12k+1−(1+12+13+⋯+12k )=12k +1+12k +2+…+12k+1.12k +2+…+12k+1 6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+1x ≥2;x+4x 2≥3;x+27x 3≥4;x+256x4≥5…归纳猜想一般的不等式为 .x+n n x n ≥n+1(n 为正整数) 7.用数学归纳法证明a n +b n 2≥(a+b 2)n (a ,b 是非负实数,n ∈N +)时,假设当n=k 时不等式a k +b k 2≥(a+b 2)k (*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .k 与k+1时的结论可知,两边只需同乘a+b 2即可. 8.用数学归纳法证明1+1213+…+1√n <2√n (n ∈N +).当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k (k ≥1)时不等式成立,即1+1213+ (1)<2√k . 当n=k+1时,1+23+…+kk+1<2√k +k+1=√k √k+1+1k+1√k)2√k+1)2k+1=k+1=2√k +1. 所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n ∈N +都成立.9.导学号26394068若不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>a 24对一切正整数n 都成立,求正整数a 的最大值,并证明你的结论.n=1,则有12+13+14>a 24成立, 所以2624>a 24,因此a<26,取a=25, 即正整数a 的最大值为25.以下用数学归纳法证明.1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524对一切正整数n 都成立. (1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k (k ≥1)时不等式成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1>2524, 当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1=(1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k+1)+13k+2+13k+3+13k+4−1k+1>2524+[13k+2+13k+4-23(k+1)].因为13k+2+13k+4=6(k+1)9k 2+18k+8>6(k+1)9k 2+18k+9=6(k+1)9(k+1)2=23(k+1),所以13k+2+13k+4−23(k+1)>0,于是1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1>2524,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n ,都有1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524,且正整数a 的最大值等于25. 10.导学号26394069已知数列{a n }满足:a 1=32,且a n =3nan -12a n -1+n -1(n ≥2,n ∈N +).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证对一切正整数n ,不等式a 1a 2…a n <2n !恒成立.1-n a n =13(1−n -1a n -1),因此数列{1−n a n }为一个等比数列,其首项为1-1a 1=13,公比为13,从而1-n a n =13n ,因此得a n =n×3n3n -1(n ≥1).①①得a 1a 2…a n =n!(1−13)×(1−132)×…×(1−13n ).为证a 1a 2…a n <2n !,只要证当n ∈N +时,有(1−13)×(1−132)×…×(1−13n )>12. ② 显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n ∈N +,有(1−13)×(1−132)×…×(1−13n )≥1-(13+132+⋯+13n ).③下面用数学归纳法证明③式:ⅰ当n=1时,显然③式成立,ⅱ假设当n=k (k ≥1)时,③式成立,即(1−13)×(1−132)×…×(1−13k )≥1-(13+132+⋯+13k ).当n=k+1时,(1−13)×(1−132)×…×(1−13k )×(1−13k+1) ≥[1−(13+132+⋯+13k )](1−13k+1) =1-(13+132+⋯+13k )−13k+1+13k+1·(13+132+⋯+13k ) >1-(13+132+⋯+13k +13k+1). 即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n ∈N +,③式都成立.利用③,得(1−13)×(1−132)…(1−13n ) ≥1-(13+132+⋯+13n ) =1-13[1−(13)n ]1−13=1-12[1−(13)n ]=12+12(13)n >12.故原不等式成立.。

数学选修4-5用数学归纳法证明不等式举例练习题含答案

10.用数学归纳法证明：
11.由下列式子
…
猜想第个表达式，并用数学归纳法给予证明．
12.是否存在常数、、使等式 • 对一切正整数成立？证明你的结论．
13.（1）已知为实数，用分析法证明；13.
（2）用数学归纳法证明；
14.已知函数．设数列满足，，数列满足，．
（1）用数学归纳法证明；
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
20.
【答案】
证法一：当时，不等式左端，右端，所以不等式成立；
假设时，不等式成立，即，
则
∴当时，不等式也成立．
综合、得：当时，都有．
证法二：设，
那么对任意都有：
∴
因此，对任意都有，
∴ ．
【考点】
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
, , ,
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
30.
【答案】
证明：当时，左右，等式成立．

2020-2021学年高中数学人教A版选修4-5练习：4.2 用数学归纳法证明不等式举例 Word版

二用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N+,且n>1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.1<2B.1+<2C.1+<2D.1+<2n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+<2.2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+xD正确.3.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然不等式是成立的;(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即<k+1.当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于n∈N+,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.5.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项为.k+1)-f(2k)=1++…++…+.…+6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为.≥n+1(n为正整数)7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.8.用数学归纳法证明1++…+<2(n∈N+).当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即1++…+<2.当n=k+1时,1++…+<2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.9.导学号26394068若不等式+…+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.n=1,则有成立,所以,因此a<26,取a=25,即正整数a的最大值为25.以下用数学归纳法证明.+…+对一切正整数n都成立.(1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即+…+,当n=k+1时,+…+=.因为,所以>0,于是+…+,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+…+,且正整数a的最大值等于25.10.导学号26394069已知数列{a n}满足:a1=,且a n=(n≥2,n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2…a n<2n!恒成立.1-,因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得a n=(n≥1).①①得a1a2…a n=.为证a1a2…a n<2n!,只要证当n∈N+时,有×…×.②显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有×…×≥1-.③下面用数学归纳法证明③式:ⅰ当n=1时,显然③式成立,ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③式成立,即×…×≥1-.当n=k+1时,×…×≥=1->1-.即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n∈N+,③式都成立.利用③,得≥1-=1-=1-.故原不等式成立.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

数学人教A版选修4-5达标训练：4.2用数学归纳法证明不等式含解析

更上一层楼基础·巩固1.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n≥3，n∈N ）第一步应验证( ） A 。

n=1 B.。

n=2 C 。

.n=3 D 。

n=4 思路分析:由题意知n≥3，∴应验证n=3。

答案：C2。

用数学归纳法证明1+1213121-+++n 〈n(n∈N ,n>1)时，第一步即证明不等式__________成立。

思路分析：因为n ＞1，所以第一步n=2。

答案:1+21+31〈23.用数学归纳法证明（1+31)（1+51））(1+71) (1)121-k ）〉212+k (k 〉1)，则当n=k+1时,左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.思路分析:因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+121+k ），最后一个是（1+1211-+k )，共有2k -2k —1=2k-1项. 答案：（1+121+k ）(1+321+k )…（1+1211-+k )2k-14.用数学归纳法证明nn n b a b a )2(2+≥+（A 。

，B.是非负实数,n∈N )时，假设n=k 命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________。

思路分析：要想办法出现a k+1+b k+1,两边同乘以2b a +，右边也出现了要求证的（2b a +)k+1。

答案:两边同乘以2b a +5。

用数学归纳法证明2121)1(13121222+->++++n n ，假设n=k 时，不等式成立之后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________. 思路分析:把n=k 时的不等式中的k 换成k+1即可. 答案：3121)2(1)1(131212222+->+++++k k k 综合·应用6.若n 为大于1的自然数，求证：.2413212111>+++++n n n 思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用。

数学人教A版选修4-5自主训练：4.2用数学归纳法证明不等式含解析

自主广场我夯基我达标1。

用数学归纳法证明“n n n n n ++++++++1312111 ≥2411,(n ∈N +)”时,由n=k 到n=k+1时，不等式左边应添加的项是( )A 。

)1(21+k B 。

221121+++k k C 。

11221121+-+++k k k D 。

2111221121+-+-+++k k k k 思路解析：当n=k 时，不等式为k k k k ++++++12111 ≥2411，当n=k+1时，左边=+++++++ 2)2(11)1(1k k )1()1(1)1(1)1()1(1+++++++-++k k k k k k =22112113121++++++++++k k k k k k , 比较n=k 与n=k+1的左边，知应添加的项是121221121+-+++k k k 。

答案：C2.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n 〈n(n ∈N +，且n>1）时，第一步即证下述哪个不等式成立（） A.1<2 B 。

1+21<2 C.1+21+31<2 D.1+31<2 思路解析：n=2时，左边=1+21+31，右边=2.所以应证1+21+31〈2。

答案:C3.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n 〈n ，（n ∈N +,n>1)"时,由n=k(k 〉1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是( ）A.2k-1B.2k -1C.2k D 。

2k +1思路解析：增加的项数为（2k+1—1）—（2k —1)=2k+1—2k =2k .答案：C4.关于正整数n 的不等式2n >n 2成立的条件是（ )A 。

n ∈N +B 。

n≥4C.n>4 D 。

n=1或n 〉4思路解析：验证n=1，2，3，4,5,6等值.答案：D5。

对于不等式n n +2≤n+1（n ∈N +）,某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，112+≤1+1,不等式成立.（2）假设n=k(k ∈N +）时，不等式成立,即k k +2<k+1，则n=k+1时，23)1()1(22++=+++k k k k22)2()2()23(+=++++<k k k k =(k+1）+1。

(人教版)高中数学选修4-5检测第4讲数学归纳法证明不等式2 Word版含答案

第四讲二一、选择题．用数学归纳法证明“>＋对于>的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取( )．．．．解析：使>＋，经过计算知应选.答案：．设()：＋＋＋…＋≤＋(∈)，则(＋)为( )．＋＋＋…＋＋≤＋＋．＋＋＋…＋＋≤＋＋．＋＋＋…＋＋＋…＋≤＋＋．上述均不正确解析：分母是底数为的幂，且幂指数是连续自然增加，故选.答案：．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋(≠)，在验证＝时，左端计算所得的项为( ) ．．＋．＋＋．＋＋＋答案：．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋<(∈*，>)”时，由＝(>)不等式成立，推证＝＋时，左边应增加的项数是( ) ．－．－．．＋解析：由到＋，则左边增加了＋＋…＋共项．答案：二、填空题．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<(∈，>)，第二步证明从“到＋”，左端增加的项数是．＋答案：．设，均为正实数(∈)，已知＝(＋)，＝＋－，则，的大小关系为(提示：利用贝努利不等式，令＝)．＋解析：由贝努利不等式(＋)>＋，令＝，∴>＋·，∴>＋·，即(＋)>＋－.故>.答案：>三、解答题．求证：(＋)(＋)…(＋)＝····…·(－)(∈＋)．证明：()当＝时，等式左边＝，等式右边＝×＝，∴等式成立．()假设＝(∈＋)等式成立，即(＋)(＋)…(＋)＝××××…×(－)成立．那么＝＋时，(＋)(＋)…(＋)(＋)(＋)＝(＋)(＋)(＋)…(＋)(＋)＝＋××××…×(－)[(＋)－]．即＝＋时等式成立．由()()可知，对任何∈＋等式均成立．．设()＝＋＋＋…＋，由()＝>，()>，()>，()>，….你能得到怎样的结论？并证明．解析：数列，…，通项公式为＝－，数列，，，，…通项公式＝，∴猜测：(－)>.下面用数学归纳法证明：①当＝时，(－)＝()＝>，不等式成立．②假设当＝(≥，∈＋)时不等式成立，即(－)>，则(＋－)＝(－)＋＋＋…＋＋>(－)＋＋…＋＝(－)＋>＋＝.∴当＝＋时不等式也成立．据①②对任何∈＋原不等式均成立．．是否存在常数，，使得·＋·＋·＋…＋(＋)＝(＋＋)对一切∈都成立？证明你的结论．＋解析：此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在，，使题设的等式成立．令＝，得＝(＋＋)；当＝时，＝(＋＋)；当＝时，＝＋＋，联立得＝，＝，＝.∴当＝时，等式·＋·＋·＋…＋(＋)＝成立．猜想等式对∈＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记＝·＋·＋…＋(＋)，设当＝时，上。

人教版高中数学选修4-5课时训练用数学归纳法证明不等式举例

课堂练习(十三) 用数学归纳法证明不等式举例(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立D [根据题中条件可知：由f (k )≥k 2，必能推得f (k ＋1)≥(k ＋1)2，但反之不成立，因为D 中f (4)＝25＞42，故可推得k ≥4时，f (k )≥k 2，故只有D 正确．]2．用数学归纳法证明“对于任意x ＞0和正整数n ，都有x n＋x n －2＋xn －4＋…＋1xn －4＋1xn －2＋1x n≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确A [需验证：n 0＝1时，x ＋1x≥1＋1成立．]3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项D [1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1，∴共增加2k项．] 4．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在B [令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，易知f (n )是单调递增的，∴f (n )的最小值为f (2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m <14.因此取m ＝13.] 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 C [∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋...＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.]二、填空题6．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为________．[解析] 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．[答案] 21＋1≥12＋1＋27．证明n ＋2n ＜1＋12＋13＋…＋12n＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，要证明的式子为________． [解析] 当n ＝2时，要证明的式子为 2＜1＋12＋13＋14＜3.[答案] 2＜1＋12＋13＋14＜38．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，类似成立的不等式为________．[解析] 由题中已知不等式可猜想：1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)．[答案]1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .[解] (1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1， ∴1S n －1S n －1＝2.故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k －1(k ＋1)2 ＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝12－14(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知对任意n ∈N ＋不等式成立．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n－1(n ∈N *)．[证明] 由f (x )＝13x 3－x ，得f ′(x )＝x 2－1.因此a n ＋1≥f ′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2)， (1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k－1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1.又k ≥1，∴22k≥2k ＋1，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，即不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n ∈N ＋，a n ≥2n－1成立．[能力提升练]1．对于正整数n ，下列不等式不正确的是( ) A ．3n≥1＋2n B ．0.9n≥1－0.1n C ．0.9n ≤1－0.1nD ．0.1n≤1－0.9nC [排除法，取n ＝2，只有C 不成立．] 2．利用数学归纳法证明“3×5×…×(2n －1)2×4×…×(2n －2)＜2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________．[解析] n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32＜3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.[答案] 23．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n，N ＝a n＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为___________________________________⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：利用贝努利不等式，令x ＝b a . [解析] 当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N ，当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab ＜M ，当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b ＜M ，归纳得M ≥N . [答案] M ≥N4．已知f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ，对于n ∈N ＋，试比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小并说明理由．[解] 据题意f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ＝x 2n －1x 2n ＋1＝1－2x 2n ＋1，∴f (2)＝1－22n ＋1.又n 2－1n 2＋1＝1－2n 2＋1，∴要比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小，只需比较2n 与n 2的大小即可，当n ＝1时，21＝2＞12＝1，当n ＝2时，22＝4＝22，当n ＝3时，23＝8＜32＝9，当n ＝4时，24＝16＝42，当n ＝5时，25＝32＞52＝25，当n ＝6时，26＝64＞62＝36. 故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，2n ＞n 2，下面用数学归纳法加以证明． (1)当n ＝5时，不等式显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥5且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k＞k 2. 则当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＝2·2k ＞2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2＞(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n＞n 2成立．综上所述，当n ＝1或n ≥5时，f (2)＞n 2－1n 2＋1，当n ＝2或n ＝4时，f (2)＝n 2－1n 2＋1，当n ＝3时，f (2)＜n 2－1n 2＋1.。

人教A版高中数学选修45同步数学归纳法证明不等式1

故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2, 下面用数学归纳法加以证明. (1)当n=5时,2n>n2显然成立. (2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立, 即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,
2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
【思维·引】解答本例需要先对n取特值,猜想Pn与Qn的大小关系,然后利用数学归纳法证明.
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
【解析】(1)当n=1,2时,Pn=Qn. (2)当n≥3时,(以下再对x进行分类). ①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn. ②若x=0,则Pn=Qn. ③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,
()
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
【解析】选C.由贝努利不等式的推广 (1+x)n≥1+nx(n∈N+,x>-1), 知当x=2时,(1+2)n≥1+2n,故A正确. 当x=-0.1时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B正确,C不正确. 当x=-0.9时,(1-0.9)n≥1-0.9n,D正确.
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
人教A 版高中数学选修4 5 同步数学归纳法证明不等式1
类型一利用数学归纳法证明不等关系【典例】设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+ n(n 1)x2,n∈N+,x∈(-1,

人教A版选修4-5 4.2用数学归纳法证明不等式作业

课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“n n +2<n+1”时，由“假设n=k 时命题成立”到“当n=k+1时”，正确的步骤是（） A.4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =k+2 B.)2()2(23)1()1(222+-+<++=+++k k k k k k <k+2 C.22)2()2)(1()1()1(+<++=+++k k k k k =k+2 D.22)(23)1()1(222+++=++=+++k k k k k k k222)2(1)2(22)1(+<-+=+++<k k k k =k+2答案：D2已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N ),若n=1,2,…,1 000时P(k)成立，且当n=1 000+1时它也成立，则下列判断中正确的是（） A.P(k)对k=2 004成立B.P （k ）对每一个自然数k 成立C.P （k ）对每一个正偶数k 成立D.P(k)对某些偶数可能不成立答案：D3用数学归纳法证明2413212111>++++n n n (n ≥2)，从k 到k+1需在不等式两边加上（） A.)1(21+k B.221121+++k k C.221121+-+k k D.11121+-+k k 答案：C4欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2n >n 3,n 0为验证的第一个值，则（） A.n 0=1B.n 0为大于1小于10的某个整数C.n 0≥10D.n 0=2 答案：C 5已知S k =kk k k 21312111+++++++ (k=1,2,3，…),则S k+1等于（） A.S k +)1(21+k B.S k +11221+-+k kC.S k +221121+-+k k D.S k +221121+++k k 答案：C 综合运用 6证明不等式1+n n213121<+++(n ∈N ).证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边.不等式成立. 2°假设当n=k 时，不等式成立，即1+k k213121<+++,则当n=k+1时,1+1121113121++<+++++k k k k(现在关键证明12112+<++k k k ).∵12112+-++k k k=1211)1(121112+-++++<+-+++•k k k k k k k k (基本不等式放缩)=1212+-+k k =0, ∴12112+<++k k k ,即当n=k+1时,原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n ∈N ,原不等式成立.7设n>1,n ∈N ,证明21121111nk n n n n +++++++++ >1. 证明：1°当n=2时，左边=1213413121=++>1,不等式成立;2°假设当n=k(k ≥2)时，原不等式成立，即2121111kk k k ++++++ >1,则当n=k+1时,左边比n=k 时增添了>-+++++++++k k k k k k 1)1(131211112222项22212222)1(11)1(121)1(1)2(1)1(1+--=-++=-+++++++k k k k k k k k k k k k项2)1(1)1(+--=k k k k >0(k ≥2).故当n=k+1时，不等式成立.由1°，2°,可知对任意n ∈N ,n ≥1，原不等式成立.8已知不相等的正数a,b,c 成等差数列，当n>1且n ∈N 时，试证明a n +c n >2b n. 证明：（1）当n=2时，∵a 2+c 2>2(2c a +)2=2b 2,即命题成立. （2）设当n=k(k ≥2)时，有a k+c k>2b k.由于a,c 为正数，所以(a k -c k )与a-c 同号，即（a k -c k ）(a-c)>0,亦即a k+1+c k+1>a k c+ac k, ∴a k+1+c k+1=12(a k+1+c k+1+a k+1+c k+1)>21(a k+1+c k+1+a k c+ac k) =21(a k +c k )(a+c)=(a k +c k )b>2b k+1, 即n=k+1时成立. 由（1）、（2）,知对于n>1且n ∈N 时命题成立. 拓展探究9已知x 1>0,x 1≠1且x n+1=13)3(22++n n n x x x (n=1,2,3,…)，试证：数列{x n }或者对任意n ∈N 都满足x n <x n+1，或者对任意n ∈N 都满足x n >x n+1. 证明：由于x n+1-x n =13)3(22++n n n x x x -x n =13)1(222+-n n n x x x 且x 1>0,又由题设可知对任意n ∈N ,有x n >0,故x n+1-x n 与1-x n 2同号，于是应分x 1<1与x 1>1两种情况讨论.（1）若x 1<1,用数归纳法证明1-x n 2>0.1°当n=1时，1-x 12>0成立.2°假设当n=k 时，1-x k 2>0成立，则当n=k+1时，1-x k+12=1-［13)3(22++kk k x x x ］2=2232)13()1(+-k k x x >0，即当n=k+1时，有1-x k+12>0成立.故对任意n ∈N ,都有1-x n 2>0,∴对任意n ∈N ,有x n+1>x n .(2)若x 1>1，同样可证，对任意n ∈N ,1-x n 2<0,此时有x n+1<x n .综合（1）、（2），原问题获证. 备选习题10求证：n ≥3时，nn n n )1(1++>1. 证明：用数学归纳法.当n=3时，64814334=>1,命题成立.根据归纳假设，当n=k(k ≥3)时，命题成立，即kk k k )1(1++>1.① 要证明n=k+1时，命题也成立，即12)2()1(++++k k k k >1.②要用①来证明②，事实上，对不等式①两边乘以122)2()1(++++k k k k ,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证明122)]2([)1(++++k k k k k >1.③ 因为（k+1）2k+2=(k 2+2k+1)k+1>(k 2+2k)k+1,这就证明了③式. 由①②③知对于n ≥3,n ∈N ,命题成立. 11设0<a<1,定义a 1=1+a,a n+1=n a 1+a,求证：对一切自然数n ，有1<a n <a-11. 证明：用数学归纳法.当n=1时，a 1>1, 又a 1=1+a<a-11,显然命题成立. 假设当n=k 时，命题成立，即 1<a k <a -11.① 要证明n=k+1时，命题也成立，即 1<a k+1<a-11.② 要用①来证明②，事实上，由递推公式，知a k+1=ka 1+a>(1-a)+a=1, 同时，a k+1=k a 1+a<1+a=a a --112<a-11,这就证明了②.12设数列{a n }满足a 1=2,a n+1=a n +na 1,(n=1,2,3,…) (1)证明a n >12+n 对一切正整数n 都成立；(2)令b n =na n （n=1,2,3…）,判定b n 与b n+1的大小，并说明理由.证明：（1）当n=1时，a 1=2>112+⨯,不等式成立. 假设n=k 时，a k >12+k 成立.当n=k+1时， a k +12=a k 2+21k a +2>2k+3+21ka >2(k+1)+1. ∴n=k+1时，a k +1>1)1(2++k 成立.综上，由数学归纳法可知a n >12+n 对一切正整数n 成立.（2）111+=++n a n a b b n n n n =(1+21n a )1+n n <(1+121+n )·1+n n2141)21(12)1(21)12()1(22+-+=++=+++=n n n n n n n n n <1.故b n+1<b n.13设数列{a n }满足a n+1=a n 2-na n +1,n=1,2,3,…,(1)当a 1=2时，求a 2,a 3,a 4,并由此猜想出a n 的一个通项公式；（2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2; ②2111111121≤++++++n a a a . (1)解析：由a 1=2,得a 2=a 12-a 1+1=3.由a 2=3,得a 3=a 22-2a 2+1=4.由a 3=4,得a 4=a 32-3a 3+1=5.由此猜想a n 的一个通项公式:a n =n+1(n ≥1).(2)证明：①用数学归纳法证明：①当n=1,a 1≥3=1+2，不等式成立.②假设当n=k 时不等式成立，即a k ≥k+2,那么a k+1=a k (a k -k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是说，当n=k+1时，a k+1≥(k+1)+2.根据①和②，对于所有n ≥1,有a n ≥n+2.②由a n+1=a n (a n -n)+1及①,对k ≥2,有a k =a k-1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,… ∴a k ≥2k-1a 1+2k-2+…+2+1=2k-1(a 1+1)-1.于是1211111-•+≤+k k k a a ,k ≥2.213121221112111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k knk k nk k. 14（2004长春高中毕业班第二次调研测试,理22）已知数列{a n }中，a 3=a(a>2),对一切n ∈N *,a n >0,a n+1=)1(22-n na a .(1)求证：a n >2且a n+1<a n ;(2)证明a 1+a 2+…+a n <2(n+a-2). 证明：(1)a n+1=)1(22-n na a >0,∴a n >1.∴a n -2=)1(2)2(2)1(2121121--=------n n n n a a a a ≥0. ∴a n ≥2.若存在a k =2,则a k -1=2,由此可推出a k -2=2,…,a 1=2,此与a 1=a>2矛盾，故a n >2.∵a n+1-a n =)1(2)2(--n n n a a a <0,∴a n+1<a n .(2)由题（1）得a n -2=2212221111-<--•-----n n n n a a a a , ∴a n -2<11221222222----<<-<-n n n a a a (n ≥2). ∴(a 1-2)+(a 2-2)+…+(a n -2)≤(a-2)(1+4121++…+121-n ) =(a-2)211211--n =2(a-2)(1-n 21)<2(a-2). ∴a 1+a 2+…+a n <2(n+a-2).15已知f(x)=2x 3-ax 2,g 1(x)=f(x),当n ≥2且n ∈N *时，g n (x)=f ［g n-1(x)］.(1)若f(1)=1且对任意n ∈N *,都有g n （x 0）=x 0,求所有x 0组成的集合；（2）若f(1)>3，是否存在区间A,对n ∈N *,当且仅当x ∈A 时，就有g n (x)<0?如果存在，求出这样的区间A;如果不存在，说明理由. 解析：（1）由f(1)=1⇒1=2-a ⇒a=1.∴f(x)=2x 3-x 2.当n=1时，g 1(x 0)=f(x 0)=2x 03-x 02=x 0⇒x 0(2x 02-x 0-1)=0, ∴x 0=0或x 0=1或x 0=21.由题设,g 2(x 0)=f ［g 1(x 0)］=f(x 0)=x 0,假设g k (x 0)=x 0,当n=k+1时，g k+1(x 0)=f ［g k (x 0)］=f(x 0)=x 0, ∴g n (x 0)=x 0对n=k+1时也成立.∴当x 0满足g 1(x 0)=x 0时，就有g n (x 0)=x 0. ∴所有x 0组成的集合为{0,1,21-}. (2)若f(1)=2-a>3⇒a<-1.令g 1(x)=f(x)=2x 3-ax 2<0,得x 2(2x-a)<0⇔x<2a,对于n ≥2,g n (x)<0⇔f ［g n-1(x)］<0⇔g n-1(x)<2a . ∴若对n ∈N *有g n (x)<0,必须且只需g 1(x)<0.∴A=(-∞,2a ).。

人教版数学高二选修4-5课时作业4二用数学归纳法证明不等式举例

二用数学归纳法证明不等式举例一、选择题1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2B ．3C ．5D ．62．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N ＋)的第一步需证明( )A ．1<2－12－1B ．1＋122<2－122－1C ．1＋122＋132<2－122－1D ．1＋122＋132＋142<2－122－13．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞m24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．不存在4．对于正整数n ，下列不等式不正确的是( ) A ．3n ≥1＋2n B ．0.9n ≥1－0.1n C ．0.9n ＜1－0.1nD ．0.1n ≥1－0.9n5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立6．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不正确二、填空题 7．证明：n ＋22＜1＋12＋13＋…＋12n＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，要证明的式子为________________．8．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n2n ＋1时，假设当n ＝k 时，命题成立，那么当n＝k ＋1时，只需证明____________________________即可．9．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为________．10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N ＋，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 三、解答题11．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．12．用数学归纳法证明：对任意n ∈N ＋，有(1＋2＋…＋n )(1＋12＋13＋…＋1n )≥n 2.13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a1)·(1－12a2) (1)12a n)≤m2a n＋1对任意n∈N＋恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．四、探究与拓展14．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号)15．求证：11·2＋12·3＋…＋1n(n＋1)＜n(n∈N＋)．答案精析1．C 2.C 3.B 4.C 5.D 6．C7．2＜1＋12＋13＋14＜38.3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3k ＋32k ＋3解析由假设知，当n ＝k 时， 1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2， ∴只需证明3k2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝3k ＋32k ＋3.9．M ≥N10.12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 11．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12，那么当n ＝k ＋1时， ⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1 ＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 12．证明 (1)当n ＝1时，左边＝右边，不等式成立．当n ＝2时，左边＝(1＋2)(1＋12)＝92＞22，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k )(1＋12＋…＋1k)≥k 2.则当n ＝k ＋1时，有左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋1k ＋1＝(1＋2＋…＋k )⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )·1k ＋1＋(k ＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋1 ≥k 2＋k2＋1＋(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k . ∵当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32， ∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)对任意n ∈N ＋，不等式成立． 13．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n≤322n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立．证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只需证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只需证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只需证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只需证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，即证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N ＋，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．14．(2)15．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1，左边＜右边，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即11·2＋12·3＋…＋1k (k ＋1)＜k 成立，则当n ＝k ＋1时，11·2＋12·3＋…＋1k (k ＋1)＋1(k ＋1)(k ＋2)＜k ＋1(k ＋1)(k ＋2)，只需证明k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＜k ＋1即可，即证k ＋1－k ＞1(k ＋1)(k ＋2)，即证(k ＋1)(k ＋2)＞k ＋1＋k ，即证k ＋1(k ＋2－1)＞k ，而当k ≥1时上式显然成立，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，不等式对所有n ∈N ＋都成立．。