物理 第6章 振动2(阻尼与受迫振动及振动合成)
大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
大学物理学
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
大学物理学
f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
大学物理学
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
物理 第6章 振动2(阻尼与受迫振动及振动合成)
（3）共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
塔科马海峡桥的倒塌
11
§6.6 同一直线上同频率简谐运动的合成 1. 分振动: x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动: x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相反时，合振动的振幅最小， 由于 1 故 3 (2k 1) 即
(k 0,1,2,)
3 2k
(k 0,1,2,)
22
§6.7 同一直线上不同频率简谐运动的合成 x1 A1 cosω1 t 1. 分振动: x2 A2 cosω2t A2 A 2. 合振动: x x1 x2 当 (ω2 ω1 ) t 2kπ 3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0 e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
稳定受迫振动的运动方程65受迫振动共振驱动力的角频率受迫振动的振幅由系统的固有频率w阻尼系数以及驱动力幅h决定对一定的振动系统改变驱动力的频率w当驱动力频率为某一值时振幅会达到极大值特点
阻尼振动与受迫振动教学设计
阻尼振动与受迫振动教学设计一、引言振动是物理学中的一个重要概念，它广泛应用于工程、生物和环境等领域。
在振动的研究中，阻尼振动和受迫振动是两个重要的概念。
本文将从阻尼振动和受迫振动的基本概念入手，介绍它们的特点、公式及实验操作等内容。
二、阻尼振动1.基本概念阻尼振动指的是在有阻力存在时，弹簧质点做简谐运动时所产生的一种现象。
在阻尼振动中，弹簧质点会随着时间逐渐减小其幅度，并最后停止运动。
2.特点（1）幅度随时间逐渐减小；（2）周期不变；（3）频率不变；（4）相位不变。
3.公式阻尼振动可以用以下公式来描述：x(t) = A*e^(-γt)cos(ωt+φ)其中，x(t)表示弹簧质点的位移；A表示初始位移；γ表示阻力系数；ω表示角频率；φ表示相位差。
4.实验操作进行阻尼振动实验时需要使用弹簧、质点和振动台等设备。
具体实验步骤如下：（1）将弹簧固定在振动台上；（2）将质点挂在弹簧上方；（3）将质点向下拉，使其产生初始位移；（4）释放质点，观察并记录其运动过程；（5）通过数据处理得到阻尼系数γ。
三、受迫振动1.基本概念受迫振动是指在外力作用下，弹簧质点做简谐运动的一种现象。
在受迫振动中，外力的频率与系统的固有频率相同或接近。
2.特点（1）幅度随时间逐渐增大或减小；（2）周期不变；（3）频率不变；（4）相位差与外力有关。
3.公式受迫振动可以用以下公式来描述：x(t) = A*cos(ωt+φ)+B*cos(Ωt+θ)其中，x(t)表示弹簧质点的位移；A表示自由振幅；B表示强制振幅；ω表示自由角频率；Ω表示强制角频率；φ和θ分别表示自由振动和强制振动的相位差。
4.实验操作进行受迫振动实验时需要使用弹簧、质点、振动台和外力源等设备。
具体实验步骤如下：（1）将弹簧固定在振动台上；（2）将质点挂在弹簧上方；（3）将外力源连接到振动台上，并调节其频率和幅度；（4）观察并记录弹簧质点的运动过程；（5）通过数据处理得到自由角频率ω和强制角频率Ω。
阻尼振动和受迫振动
共振的防止和应用 1、防止
使驱动力的频率与物体的固有频率不同， 而且相差越大越好。
2、应用 使驱动力的频率接近或等于振动物体的
固有频率。
为什么：登山运动员登山时严禁大声喊叫??
因为喊叫声中某一频率若正好与山上积雪的固有频率 相吻合，就会因共振而引起雪崩，其后果十分严重。
振动类型项 目
自由振动
受力情况 回复力
振动
共振筛、声音 的共鸣等
小结
1、阻尼振动：振幅(能量)逐渐减小的振动。
2、受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动。
物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力 的频率，跟物体的固有频率无关。
3、共振: 当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。
A、利用共振时：应使驱动力的频率f接近或等于振动
生活中的共振现象 1831年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座便桥 时，由于马蹄节奏整齐，桥梁发生共振而断裂。
军队过桥便步走,火车过桥慢行
生活中的共振现象
1940 年11月7日美国的全长860米的Tocama 悬索桥因 在建成后的4个月就因风共振而坍塌 。
生活中的共振现象
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式 招呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居 然发现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之余， 她到自己的果园吹了几个小时，一下子将果树 上的毛毛虫收拾的一干二净，究其原因，还是 笛子发出的声音引起毛毛虫内脏发生剧烈共振 而死亡。
生活中的共振现象 微波炉加热原理: 食物中水分子的振动频率约为2500MHz ，具有 大致相同频率的电磁波称为 “微波” 。微波 炉加热食品时，炉内产生很强的振荡电磁场， 使食物中的水分子作受迫振动，发生共振，将 电磁辐射能转化为内能，从而使食物的温度迅 速升高。微波加热是对物体内部的整体加热， 极大地提高了加热效率。
物理-阻尼振动 受迫振动和共振
阻尼振动和受迫振动ppt课件
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
21
通常称 A p 与 p 的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap maxAp()/ 2时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
18
讨论：p 0, ApH p /2mp h2 较小
p 0,
H/m H
Ap 2 0
k
p0, Ap 2 H/ m 0 若很小，A p 很大。
3-2 共振
求振幅 Ap 得出
h
对频率的极值，
(02p2)242p2
振幅有极大值：
Ar 2
h
02 2
共振的振幅。
pr 02 22 共振的角频率。
19
pr 02 22 共振的角频率。
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
4
求出势能的时间平均值:
E pT 10 T1 2k2 A co 2(s0t0)d t
k2 A20co 2xsd x1k2 A
2T0 0
4
结论：
* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
co s co s2 co s co s
2
2
合成振动表达式：
x ( t) A co 1 t s ) A (co 2 t s )(
30
附录：三角函数关系式的证明
4 cos cos
22
振动的合成与分解
x3 8 10 cos(12t )
2
x1 x3 为最小。
3 2 解： x2 6 10 cos(12t 4 2 ) 6 10 cos(12t 4 ) 3 2 1 4 4 2
2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x2 A2 cos(2t 2 )
设 1 2 但： 1 2 1
为简单： 令A1 A2 A 先用函数曲线叠加：
1 2
分振动
x1 A cos( 1t ) x2 A cos( 2 t )
合振动
x x1 x2
2
(t T拍 )
1 2
2
t]
1 2 1 / T拍 1 2 2
拍现象的频率等于两个分振动频率之差。
2 T拍 1 2
拍现象是一种很重要的物理现象。
手风琴的中音簧：
键盘式手风琴（ Accordion) 的两排中音簧的频 率大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍” 频。而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单 簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。
2 x( t ) A0e t (cos 0 2 t ) A cos(t )
阻尼振动 振动周期与周期性 外力的周期相同
x
O
简谐振动
A
t
稳定解
x A cos(t )
等于策动力的频率
特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率:
h (2)振幅: A 2 [( 0 2 ) 2 4 2 2 ]1 / 2
合振动 :
x1
阻尼振动与受迫振动教案
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
振动方程
振动特点
特征量
无阻尼简谐振动
等幅振动
机械能守恒
初始条件
系统自身性质
阻尼振动
减幅振动
能量不断衰减
初始条件
阻尼因子
系统自身性质
受迫振动
等幅振动，
需要外界不断补充能量
与策动力的幅值、
频率及阻尼因子有关
1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是
实验二阻尼和受迫振动
令
，
，
则式（1）变为
（2）
当
时，式（2）即为阻尼振动方程。
当 ，即在无阻尼情况时式（2）变为简谐振动方程，系统的 固有频率为 。方程（2）的通解为
由式（3）可见，受迫振动可分成两部分：
（3）
第一部分， 减消失。
和初始条件有关，经过一定时间后衰
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传送能量，最后 达到一个稳定的振动状态。振幅为
摆轮振幅是利用光电门 H 测出摆轮读数 A 处圈上凹型缺口个数，并在控制 箱液晶显示器上直接显示出此值，精度为 10。
波耳共振仪电器控制箱的前面板和后面板分别如图 1-4 和图 1-5 所示。
电机转速调节旋钮，系带有刻度的十圈电位器，调节此旋钮时可以精确改 变电机转速，即改变强迫力矩的周期。锁定开关处于图 1-6 的位置时，电位器 刻度锁定，要调节大小须将其置于该位置的另一边。×0.1 档旋转一圈，×1 档 走一个字。一般调节刻度仅供实验时作参考，以便大致确定强迫力矩周期值在 多圈电位器上的相应位置。
④ 学生做完实验后测量数据需保存后，才可在主机上查看特性曲线及振 幅比值。
5、关机
在图二状态下，按住复位按钮保持不动，几秒钟后仪器自动复位，此时所做实验数据 全部清除，然后按下电源按钮，结束实验。
ZKY-BG 型波尔共振仪由振动仪与电器控制箱两部分组成。振动仪部分如图 1-3 所示，铜质圆形 摆轮 A 安装在机架上，弹簧 B 的一端与摆轮 A 的轴相联， 另一端可固定在机架支柱上，在弹簧弹性力的作用下，摆轮可绕轴自由往复摆 动。在摆轮的外围有一卷槽型缺口，其中一个长形凹槽 C 比其它凹槽长出许多。 机架上对准长型缺口处有一个光电门 H，它与电器控制箱相联接，用来测量摆轮 的振幅角度值和摆轮的振动周期。在机架下方有一对带有铁芯的线圈 K，摆轮 A 恰巧嵌在铁芯的空隙，当线圈中通过直流电流后，摆轮受到一个电磁阻尼力的 作用。改变电流的大小即可使阻尼大小相应变化。为使摆轮 A 作受迫振动，在 电动机轴上装有偏心轮，通过连杆机构 E 带动摆轮，在电动机轴上装有带刻线 的有机玻璃转盘 F，它随电机一起转动。由它可以从角度读数盘 G 读出相位差Φ。 调节控制箱上的十圈电机转速调节旋钮，可以精确改变加于电机上的电压，使 电机的转速在实验范围（30-45 转/分）内连续可调，由于电路中采用特殊稳速 装置、电动机采用惯性很小的带有测速发电机的特种电机，所以转速极为稳定。 电机的有机玻璃转盘 F 上装有两个挡光片。在角度读数盘 G 中央上方 900 处也有 光电门 I（强迫力矩信号），并与控制箱相连，以测量强迫力矩的周期。
大学物理-12第十二讲简谐振动的合成、阻尼、受迫振动（001）
解得 ω = ωr = ω02 − 2β 2
则
A=
2mβ
F0
ω02 − β 2
= Amax
A
β2 β3
β1
ω
β1 > βω2 0> β3
23
2.速度共振—使速度振幅达最大值的状态
v = dx = − Aω sin(ωt − δ )
dt
速度振幅 vm = Aω
而 Aω =
F0ω
m (ω02 − ω2 ) + 4β 2ω2
●合振幅A的大小由两个分振动的初相差决定。
当 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ±2kπ
(k = 0，1，2") 同相
Y ωK
A2
ωK
A ωK
A = A1 + A2 = Amax
θ2
Δθ θ1
A1
合振动加强
x2 θ x1 x x
4
当 Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π 反相
(k = 0，1，2")
ϕ =0
t
19
2. β =ω0（临界阻尼） x = e −βt (C1 + C 2t)
●在临界阻尼时，质点到达平衡位置时速度即减为 零，振动不可能发生。
◆原理常用于阻尼天平等，以减少摆动时间.
3. β >ω0（过阻尼）
x = e − βt (C 1e ω1t + C 2 e −ω1t )
●过阻尼时，质点的速度 x
F强 = F0 cosωt
v = dx = Aω cos ωt v与强迫力同位相。
dt
●在整个周期内外力的方向和物体运动方向一致， 不断对物体作正功，使振动最强。 ◆外力的周期性变化与物体的固有振动“合拍”。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 2014011775实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响三．实验原理1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系解得阻尼振动角频率为ωd=，阻尼振动周期为T d=同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程θ和t满足如下关系：该式中的第一项随着时间t的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t满足关系：其中；（θ∈（0，π）） 3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：即为与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有可知，当ω=ω0时φ最大为，此时系统处于共振状态。
四．主要实验仪器和实验步骤1.实验仪器波尔共振仪主要由振动系统和提供外激励的两个部分组成。
振动系统包括弹簧和摆轮。
弹簧一端固定在摇杆上。
摆轮周围有一圈槽型缺口，其中有一个长缺口在平衡时对准光电门。
右侧的部分通过连杆向振动装置提供外激励，其周期可进行调节。
上面的有机玻璃盘随电机一起转动。
当摆轮转到平衡位置时，闪光灯闪烁，照亮玻璃盘上的白色刻度线，其示数即为在外激励下摆轮转动时落后于电动机的相位。
2.实验步骤（1）调整仪器打开电源并断开电机和闪光灯的开关。
阻尼调至0档。
手动调整电机的偏心轮使其0标志线与0度刻线对齐。
阻尼振动和受迫振动
受迫振动：幅频曲线、相频曲线
实验仪器
课后作业
阻尼振动：求各阻尼档的b、ζ、ω0和△b、△ζ、△ω0，
写出完整表达式。
受迫振动：以（ω/ω0）为横坐标，先列表计算，用坐
标纸作幅频曲线、相频曲线。（可用Excel做出曲线，打印
上交）
T ω/ω0 θ φ
d 2
dt 2
2
d
dt
02
0
J——摆轮转动惯量 γ——阻尼力矩系数 k——劲度系数
t 0 et cos 02 2t 0
0 —— 无阻尼振动系统固有角频率
—— 阻尼系数
实验原理——阻尼振动
0 et
Td 2 / 02 2
阻尼振动
思路： θi b ζ 0 2 / (Td 1 2 )
φ理论
(φ- φ理论)/ φ
不确定度公式
Sb
1 I
(Dj D)2 (I 1)
4 2 3
b
b3
4 2 4 2 b2
3 2 b
0 0Td Td2 Nhomakorabea1
•
2
2
*忽略B类不确定度
注意事项
阻尼振动实验开始有机玻璃盘F的指针对准零刻度线。 阻尼振动时初始摆幅150o-200o为佳。
切记不可在无阻尼档开电机，以防弹簧损坏。 振幅和相位差的测量应在稳定之后进行测量。
Td
0
阻尼振动的重点是b、ζ、ω0和△b、△ζ、△ω0的计算
b
ln j
ln j1
1 I2
I
(yjI yj )
j 1
b 4 2 b2
阻尼振动测量
无电磁阻尼时（阻尼0档）测50个 θ，5组 10Td， 课堂上用计算器计算b. 课后求ζ、ω0
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
而阻尼振动和受迫振动是振动学中两个重要的概念。
阻尼振动是指在振动系统中存在摩擦或阻力的情况下所产生的振动。
当一个物体受到外力作用而开始振动时，若存在阻尼，振动的幅度将逐渐减小，最终停止。
这种振动方式在日常生活中很常见，例如钟摆摆动时逐渐停下来的过程。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率不变。
这是因为阻尼力与振动速度成正比，而速度越大，阻尼力就越大。
因此，振动系统在受到外力作用后，振幅将逐渐减小，直到最终停止振动。
与阻尼振动相对应的是受迫振动，它是指在外力作用下振动系统发生的振动。
受迫振动的特点是振幅随时间的变化而发生周期性的变化，振幅的变化与外力的频率和振幅有关。
受迫振动的一个重要应用是共振现象。
当外力的频率与振动系统的固有频率相等时，共振现象会发生。
在共振状态下，振幅将达到最大值，这是因为外力与系统的振动频率相同，能够为系统提供持续的能量输入，从而使振幅增大。
阻尼振动和受迫振动经常在实际工程中应用。
例如，在汽车悬挂系统中，为了提高乘坐舒适性，往往会采用阻尼装置来减小车身的振动。
而在建筑工程中，为了避免共振现象对建筑物产生破坏性影响，工程师们会根据建筑物的固有频率来设计结构。
除了工程领域，阻尼振动和受迫振动也在物理学和生物学中有广泛的应用。
例如，在电子学中，阻尼振动可以用于减小电路的振荡幅度；在生物学中，研究细胞的振动特性有助于了解细胞的结构和功能。
总之，阻尼振动和受迫振动是振动学中的两个重要概念。
阻尼振动是指在存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动，振幅逐渐减小；而受迫振动是指在外力作用下发生的振动，振幅随时间的变化而发生周期性变化。
这两种振动方式在实际应用中具有重要意义，对于理解和应用振动学理论有着重要的作用。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 75实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响三．实验原理1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程d2θdt2+2βdθdt+ω02θ=0解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系θ(t)=θi exp（−βt）cos（√ω02−β2t+∅i）解得阻尼振动角频率为ωd=√ω02−β2，阻尼振动周期为T d=√ω02−β2同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程Jd 2θdt 2+γdθdt+kθ=Mωtθ和t 满足如下关系：θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos（ωt −ϕ）该式中的第一项随着时间t 的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t 满足关系：θ(t )=θm cos（ωt −ϕ） 其中θm =MJ√（ω02−ω2）+4β2ω2 ；ϕ=arctan2βωω02−ω2（θ∈（0，π））3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：J d 2θdt 2+γdθdt+k (θ−αm cosωt )=0 即为 Jd 2θdt 2+γdθdt+kθ=kαm cosωt与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有θ(t )=θi exp (−βt )cos (√ω02−β2t +ϕi )+θm cos（ωt −ϕ）θm =αω2√（ω02−ω2）+4β2ω2=α√（1−（ωω0）2）2+4ζ2（ωω0）2ϕ=arctan 2βωω02−ω2=arctan 2ζ（ωω0）1−（ωω0）2 可知，当ω=ω0时φ最大为π2，此时系统处于共振状态。
阻尼振动和受迫振动实验报告
阻尼振动和受迫振动实验报告工程物理系 郑吉家 2014011785一、实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法；2.研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象；3.观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二、实验原理1.有粘滞阻尼的阻尼振动弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J ，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度d θ/dt 与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k ，弹簧的反抗力矩为-k θ。
忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为220d d J k dt dtθθγθ++= 记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=k/J ，定义阻尼系数β=γ/（2J ），则上式可以化为：2220d d k dt dtθθβθ++= 小阻尼即2200βω-<时，阻尼振动运动方程的解为())exp()cosi i t t θθβφ=-+ （*）由上式可知，阻尼振动角频率为d ω=阻尼振动周期为2d d T π=2.周期外力矩作用下受迫振动的解在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为22cos d d J k M t dt dtθθγθω++= ()())()exp coscos i i m t t t θθβφθωφ=-++-这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。
一般t >>τ后，就有稳态解()()cos m t t θθωφ=-稳态解的振幅和相位差分别为m θ=2202arctanβωφωω=-其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。
3.电机运动时的受迫振动运动方程和解弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成()cos m t t ααω=式中αm 是摇杆摆幅。
由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。
弹簧总转角为()cos m t t θαθαω-=-。
于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为()22cos 0m d d J k t dt dtθθγθαω++-= 也可以写成22cos m d d J k k t dt dtθθγθαω++= 于是得到2m θ=由θm 的极大值条件0m θω∂∂=可知，当外激励角频率ω=系统发生共振，θm 有极大值α引入参数(0ζβωγ==，称为阻尼比。
2.6 受迫振动 共振(教学设计)-高二物理人教版选择性必修第一册)_
2.6 受迫振动共振教学设计发现振子在振动过程中振幅有什么变化？为什么会出现这种现象？然后让学生查阅课本总结该类运动，然后和学生总结阻尼振动：振动系统在阻尼（摩擦或其他阻力）作用下的振幅逐渐减小的振动。
阻尼振动中，由于存在阻力，振幅不断减小，故振动系统的机械能将不断减少，那么，振动系统的周期和频率也会发生变化吗？教师借助PPT左下图帮助学生理解：然后得出：振动周期与振幅无关，故阻尼振动中周期和频率不变！然后提问：阻尼振动的能量有什么特点？结合学生回答点评后，形成以下规律：物体在做阻尼振动的过程中，总机械能逐渐减小，物体位移大小相等时，势能大小相等，但动能与上一次相比将减小。
然后提出问题：阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能产生持续的振动呢？（一）受迫振动提出问题：阻尼振动最终要停下来，那么怎样才能产生持续的振动呢？提示：最简单的方法是使周期性的外力作用于振动系统，外力做功，补偿系统的能量损失，使系统的振动维持下去。
让学生查阅课本上受迫振动的概念：受迫振动：物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫做受迫振动。
驱动力：维持受迫振动的周期性外力提出问题：受迫振动的频率与什么因素有关呢？在学生回答问题基础上教师演示实验，并总结：受迫振动的规律受迫振动稳定时的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。
你知道受迫振动在生产生活或科学技术有哪些具体应用吗？时，振幅最大；驱动力的频率跟固有频率相差越大，振幅越小。
然后让学生总结共振知识：共振的定义：在受迫振动中，驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
共振曲线：横轴：表示驱动力的频率，纵轴：表示受迫振动的振幅尝试描述下特点？受迫振动的规律：f驱= f固时，振幅有最大值；f驱与f固差别越大时，振幅越小。
然后提问：在生活生产或科技领域中，哪些利用了共振，它们工作原理是什么？在学生回答之后，回答应用：1.微波炉加热原理食物中水分子的振动频率约为2500MHz,具有大致相同频率的电磁波称为“微波” .微波炉加热食品时，炉内产生很强的振荡电磁场，使食物中的水分子作受迫振动，发生共振，将电磁辐射能转化为内能，从而使食物的温度迅速升高.微波加热是对物体内部的整体加热，极大地提高了加热效率。
2 6 受迫振动 共振 学案 高中物理人教版(2019)选择性必修第一册
2.6 受迫振动共振基础知识导学一、振动中的能量损失1．固有振动如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。
2．阻尼振动(1)阻力作用下的振动当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。
(2)阻尼振动振幅随时间逐渐减小的振动．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
二、受迫振动、共振1．受迫振动(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系。
2.共振(1)定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
(2)条件：驱动力频率等于系统的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大。
(4)共振曲线：如图所示．表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
重难问题探究1、受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。
2、共振：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
基础小题试练1.下列关于机械振动的说法正确的是( )A.简谐运动是匀变速运动B.物体做阻尼振动时，随振幅的减小，频率不断减小C.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关D.单摆在周期性的外力作用下做受迫振动，外力的频率越大，则单摆的振幅越大2.下列振动中属于受迫振动的是( )A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动B.打点计时器接通电源后，振针的振动C.小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动D.弹簧振子在竖直方向上振动3.共振筛示意图如图所示，共振筛振动的固有频率为5Hz，为使共振筛发生共振，使其工作效率达到最高，则偏心轮的转速为( )A.5 r/sB.10 r/sC.0.2 r/sD.300 r/s答案以及解析1.答案：C解析：简谐运动的加速度时刻在变，不是匀变速运动，A错误；物体做阻尼振动时，振幅逐渐减小，频率不变，B错误；物体做受迫振动时，振动频率与驱动力频率相同，与固有频率无关，C正确；单摆在周期性的外力作用下做受迫振动，当外力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，外力的频率大于单摆的固有频率时，外力的频率越大，单摆的振幅越小，D错误。
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结论：合振动 x 仍是简谐振动.
12
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) 2. 合振动
O
A2
2
x2
A A1
2 1
x x1 x2 A cos( t )
当 2 1 时 ,
2 - 1 2 + 1 ，令 x A(t ) cos t
其中 A(t ) 2 A cos(
2 1
2
t)
cos t cos(
2 1
2
t)
随 t 缓变
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。 24
x1
t
讨论： (1)2 1 0
d x dx 此方程的解应分 2 2 0 x 0 三种情形讨论： 2 dt dt
< 称作欠阻尼(underdamping) > 称作过阻尼(overdamping) = 称作临界阻尼(critical damping )
2
2
二.振动表达式: 在欠阻尼情形 ( 0 )下，
x2
t
A 2 A cos(
2 1
2
)t
x
2 1
2
t
３.拍的现象： 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
=|2-1|
拍 2 1
2 或：T 2 1
25
拍原理的应用
电子技术：测频、差拍振荡、同步锁模．
调音等．
习题: P210~
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
1
x
x1 x x1 x2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
13
讨论:
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1 ) t (2k 1) π 时， A有最小值 A A1 A2 合振动振幅的频率为:
(ω2 ω1 ) T 2π
2tຫໍສະໝຸດ A1(2 1 )tO
1t
x2
x1 x x1 x2
x
2 1 v v2 v1 2
弱阻尼
x(t )
过阻尼
x(t )
临界阻尼
5
§6.5 受迫振动
周期性外力——驱动力
稳定受迫振动的运动方程
受迫振动的振幅，由系统的 固有频率w0、阻尼系数β以及 驱动力幅H决定
共振
受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的等幅振动．
F H cos t x A cost
驱动力的 角频率 对一定的振动系统，改 变驱动力的频率w，当 驱动力频率为某一值时， 振幅会达到极大值
阻尼振动周期
3
时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 振幅
振动能量E： E
A A0e
t
E0e
2 t
( E A2 )
时间常量
1 2
（振动系统的能量减 小到起始能量的1/e时 所经过的时间）
（时间常量内振动 次数的2倍）
4
品质因素Q
Q 2 T
故所求的合振动表达式为
4 x 5 cos( 2t ) 5
cm
21
（2）当 3 1 2k
(k 0,1,2,) 时
即x1与x3相位相同时，合振动的振幅最大， 由于 1 故
3 2k
(k 0,1,2,)
当 3 1 (2k 1)
三.讨论： 欠阻尼：阻尼系数较小的 阻尼运动 阻 尼 振 动 的 分 类
x(t )
过阻尼：阻尼作用过大时， 物体的运动不再具有任何 周期性，物体将从原来远 离平衡位置的状态慢慢回 到平衡位置，这种情况称 为过阻尼.
临界阻尼：阻尼大小适当， 运动处于一种临界阻尼状 态。此时系统还是一次性 地回到平衡状态，但所用 的时间比过阻尼的情况要 短.
2 1 2 2
(1)若两分振动同相, 即 2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， A1=A2 时 , A=2A1. 当
(2)若两分振动反相, 即 21=(2k+1)
(k=0,1,2,…)
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， A1=A2 时, A=0. 当
x1 4 cos( 2t ) x 2 3 cos( 2t cm cm
2
)
（1）求它们的合振动方程；
（2）另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 )
问当 3 为何值时，x1 x3 的振幅为最大值？ 问当 3 为何值时，x1 x3 的振幅为最小值？
§6.4 阻尼振动
阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，能量 随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 · 阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 阻 尼 分 类
摩擦阻尼：系统受到摩擦力的作用，克 服阻力作功使振幅减小,系统的动能转化 为热能。
辐射阻尼：振动以波的形式向外传播， 使振动能量向周围辐射出去。
A1 A2
x
与
A1 A2
之间
o
t
图6.15 任意相位差
17
例题1 ： 如 图所 示 的 两 个 简 谐 振 动 的 振 动 曲线 。 若以余弦函数表示这两个振动的合成结果， 则合振动的方程为
解：据谐振动曲线可得
2 T
X (cm)
0.08
u
x1 t (s)
1 2
两个谐振动方程为
O
0.04
x1 0.04 cos t cm
x2
x 故合振动方程为： x1 x2 0.04 cos t cm
18
x 2 0.08 cos t cm
图 7-A-19
例2：有两个同方向的简谐振动，其振动表达式分别为
24.
25.
26
*§6.8 相互垂直的简谐运动的合成
设两个同频率的简谐运动分别在X轴和Y轴上运动：
x A1 cos(t 1 )
一、质点轨道方程：
y A2 cos(t 2 )
2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
A
H
2 0
2 2
4
2
m
2
1
2
当 t 0 2
2
2
时， At
m 2 2 0 2
H
6
特点： 稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不是无阻尼自 由谐振动，请注意两者的区别)． (1)角频率：等于驱动力的角频率 (2)振幅：系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同 时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅 振动)． 其振幅由系统参数(0)、阻尼()、驱动力(F0,) 共同决定．A的大小敏感于和0的相对大小关系，而 和初始条件(x0、0)无关． (3)初相：亦决定于0、、和，与初始条件无关。 值在- 0之间。 可见，位移x落后于驱动力f 的变化( f的初相为零)。
7
二、共振(resonance)
在弱阻尼即β<<ω0 的情况下,ω=ω0,即驱动力频率 等于振动系统的固有频率时,振幅达到极大值．这种 振幅达到极大值的现象称共振。 振幅极大值时的角频率为： 02 2 2 相应振幅极大值为：
At
m 2 2 0 2
H
8
——β1
——β2=2β1
( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
A cos
A sin
x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A1 sin 1 A2 sin 2 A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) tan A1 cos 1 A2 cos 2
cm
19
解：（1）由题意知为两个同频率同振向的简谐振 动的合成，其合振动也是简谐振动，且合振动的圆 频率与分振动的圆频率相同.设合振动表达式为
x A cos(t 0 )
合振动的振幅为
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
16 9 2 4 3 cos( ) 5 2
cm
合振动的初相位为
A1 sin 1 A2 sin 2 tg 0 A1 cos 1 A2 cos 2 2 3 4 4 cos 3 cos 2 4 sin 3 sin
20
由两旋转矢量的合成图可知，合振动的初相位应在第 二象限，即
4 0 5
23
结论：合振动 x 不再是简谐振动.
振幅相同不同频率的简谐振动的合成 x1 A cos 1t 1. 分振动: x2 A cos 2t 2. 合振动: x x1 x2 A cos 1t A cos 2t 2 1 2 1 2 A cos( ) t cos( )t 2 2
A
——β3=4β1
0
0.5
ω/ω0
1.0
1.5
2.0
9
受迫振动的振幅曲线
在共振情况下：
2 arctan 2 2 , 0 2