8 第七章非正弦周期电流电路分析

τ
T
Ip =
π
4
4 T2 an = ∫ i(t)cos(nω1t) dt T 0 1 1 ( = sin nπ) n 2
1 1 an = sin nπ) ( n 2
1 1 1 a1 =1 a3 = − ， 5 = ， 7 = − ， a a L ， 3 5 7 a2 = a4 = a6 =L= 0
π
20+ j103n Z(jnω ) = Ω 1 2 −2 (1−n ) + j2×10 n
Z0 = R= 0.02k Ω
Z(j3 1) = 0.375e ω
. −j89 95o
Z(jω ) ≈ 50 k Ω 1
Z(j5 1) ≈ 0.208e ω
. −j89 99o
k Ω
k Ω
Z(j7 1) ≈ 0.146e ω
∞
2
1 T 2 2 (1) ∫ I0dt = I0 T 0
2 Inm 1 T 2 (2) ∫ Inm sin2(nωt +θn)dt = 1 T 0 2
1 T (3) ∫ 2I0 ⋅ Inm sin(nωt +θn)dt = 0 1 T 0
1 T (4) ∫ 2InmIpm sin(nωt +θn)sin( pωt +θp )dt = 0 ( p ≠ n) 1 1 T 0
对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为 对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为 一系列不同频率的简谐分量。根据叠加定理 叠加定理， 一系列不同频率的简谐分量。根据叠加定理，线性电路对非正 弦周期性激励的稳态响应， 弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分量分 别作用于电路时所产生的响应的叠加。 别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量 可用正弦稳态分析的相量法求得。 可用正弦稳态分析的相量法求得。
2 t0+T 4 T2 bn = ∫ f (t)sin nω t) dt = ∫ f (t)sin nω t) dt ( 1 ( 1 T t0 T 0
(2) 偶函数 偶函数(even function)： ：
f ( t ) = f ( −t )
波形特点： 波形特点：
1、奇函数的波形对称于纵轴； 、奇函数的波形对称于纵轴； 2、上下平移仍为偶函数； 、上下平移仍为偶函数； 3、左右平移会破坏对称性； 、左右平移会破坏对称性；
本章主要内容： 本章主要内容：
非正弦周期函数的傅里叶级数展开 非正弦周期稳 态电路 非正弦周期电压电流的有效值 非正弦周期电路的平均功率 非正弦周期激励下的稳态分析计算
§8−1 周期函数的傅里叶级数展开式 −
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )
若满足狄里赫利条件
(1)函数 ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻 0，积分 函数f 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t 函数
∫
t0 +T
t0
存在； f (t) dt 存在；
(2)函数 ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； 函数f 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； 函数 (3)函数 ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点。 函数f 在任一周期内只有有限个不连续点。 函数
周期电流i(t)的有效值为 周期电流 的有效值为
1 T 2 I= ∫ 0 [ i(t)] dt T
i(t) = I0 +∑Inm sin(nωt +θn) 1
n=1
∞
1 T I= 1 ∫0 I0 +∑Inm sin(nωt +θn) dt T n=1
∞
2
1 T I= 1 ∫0 I0 +∑Inm sin(nωt +θn) dt T n=1
u(t) =U0 +u (t) +u3(t) +u5(t) +u7(t) +L 1
=[0.0157+50sin(ω t +90o ) 1
ω +0.125sin(3 1t −179.95o ) ω +0.0416sin(5 1t +0.01o )
] −0.0208sin7ω t +L V 1
§8−3 非正弦周期电流和电压的有效值 平均功率 − 非正弦周期电流和电压的有效值·平均功率 一. 有效值
电流i(t)的傅里叶级数展开式为 电流 的傅里叶级数展开式为
1 i(t) = ( +cosω t − cos3 1t + ω 1 4 3 1 1 cos5 1t − cos7ω t +L m ω A 1 + ) 5 7
π
幅值频谱和相角频谱
将周期信号的各谐波分量的幅值和初相分别按照 将周期信号的各谐波分量的幅值和初相分别按照 各谐波分量 它们的频率依次排列起来则构成幅值频谱和相角频谱。 它们的频率依次排列起来则构成幅值频谱和相角频谱。
−j90o
k Ω
(3) 求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电 压响应。 压响应。
π 1 1 1 ω i(t) = ( +cosω t − cos3 1t + cos5 1t − cos7 1t + ) m ω ω +L A 1 4 3 5 7
直流分量单独作用时： 直流分量单独作用时：
U0 = R 0 = 0.02× I
2
解：(1)对周期激励电流进行谐波分析 对周期激励电流进行谐波分析
−τ 2 < t <τ 2 Ip i(t) = T τ 0 − < t < − 及 2 < t <T 2 τ 2 2 此函数波形具有偶函数对称性，故 bn=0 此函数波形具有偶函数对称性，
a0 1 T 2 I0 = = ∫ i(t) dt 2 T −T 2 =
a0 1 t0+T f (t)dt = ∫ 2 T t0 2 t0+T an = ∫ f (t)cosnωtdt 1 t0 T 2 t0+T b = ∫ f (t)sinnωtdt n 1 t0 T
2π ω= 1 T
an cosnωt +bn sinnωt = A sin(nωt +θn) 1 1 n 1
基本概念 非正弦周期电压
u(t) =U0 +∑ nm sin(nωt +αn) U 1
n= n=1 ∞
非正弦周期电流
i(t) = I0 +∑Inm sin(nωt + βn) 1
n=1 ∞
例1. 已知：电路的参数为R = 20 Ω, L = 1mH, C = 1000pF， 已知：电路的参数为 ， T τ = ， p = π m 求此电路的端电压 。 T = 6.28 µs， I A 求此电路的端电压u(t)。 2
可展开为一个由正弦函数和余弦函数 则f(t)可展开为一个由正弦函数和余弦函数组成 可展开为一个由正弦函数和余弦函数组成 的三角函数，即收敛的傅里叶级数。 的三角函数，即收敛的傅里叶级数。
傅里叶级数展开式
a0 ∞ ( f (t) = +∑ an cosnωt +bn sinnωt) 1 1 2 n=1
a0 bn = 0, ≠ 0, an ≠ 0 2 a0 ∞ f (t) = +∑an cosn 1t ω 2 n=1 2 t0+T 4 T2 an = ∫ f (t)cos(n 1t) dt = ∫ f (t)cos(n 1t) dt ω ω T t0 T 0
(3) 奇谐波函数 奇谐波函数(odd harmonic function) ：
& = Z(j3 )I = 0.125e−j179.95o V U3m ω1 &3m & = Z(j5 )I = 0.0416ej0.01o V U5m ω1 &5m
& & U7m = Z(j7ω1)I7m = − 0.0208V
(4) 将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相 叠加，求出电压响应。 叠加，求出电压响应。
第八章 非正弦周期电流电路的分析
产生非正弦周期电流的原因： 产生非正弦周期电流的原因：
1、激励本身为非正弦周期函数。 、激励本身为非正弦周期函数。 2、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。 、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路。 3、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。 、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。
2 A = an +b2 n n
an θn = arctan b n
A ∞ f (t) = 0 + ∑A sin(nωt +θn ) n 1 2 n=1
其中， 0 其中， A = a0
A ∞ f (t) = 0 + ∑A sin(nωt +θn ) n 1 2 n=1
A 0 常数项（直流分量） 常数项（直流分量） 2 A sin(ωt +θ1) 基波 基波(fundamental wave) 1 1
或一次谐波(first harmonic) 或一次谐波
A sin(nωt +θn) (n>1) n次谐波 次谐波(n-th harmonic) 次谐波 n 1
A 周期函数f(t)可以表示为常数项 周期函数 可以表示为常数项 0 与许多不同频 2 率的简谐分量之和。 率的简谐分量之和。
具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： 具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数 奇函数(odd function) ：
T f (t) = − f (t ± ) 2
后半周对横轴的镜象是前半周的重复
f (t) = ∑ an cos(nω t) +bn sin nω1t)] [ ( 1