2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 5 Word版含解析

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2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章_函数的概念与基本初等函数_4

【课时训练】第4节函数的概念及其表示一、选择题1．(2018山东德州模拟)设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3)【答案】C【解析】由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.2．(2018河南三门峡一模)下列图象中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )A B C D【答案】C【解析】A 选项中的值域不符合，B 选项中的定义域不符合，D 选项不是函数的图象，则选项C 正确．3．(2018河北荆门期末)若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x【答案】B【解析】设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．(2018陕西咸阳三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0， f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．－2【答案】C【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12，f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12＋52＝3.5．(2018安徽马鞍山质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018【答案】A【解析】由442＝1 936，452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.6．(2018湖南衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组得⎩⎨⎧x ≥2a ，x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B. 7．(2018福建福州八中期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3【答案】A【解析】若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.故选A.8．(2018河南南阳第一中学第一次模拟)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 【答案】B【解析】因为函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，所以3＋x3－x >0，解得－3<x <3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3<x 3<3，－3<3x <3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x >1或x <－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为(－9，－1)∪(1,9)．故选B.二、填空题9．(2019湖北黄冈浠水县实验高中模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 【解析】∵函数f (x )的定义域为(－1,0)， ∴由－1＜2x ＋1＜0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.10．(2019山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________．【答案】(－1,1)【解析】∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1，即－1＜x ＜1，∴所求函数的定义域是(－1,1)．11．(2018广西桂林调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.【答案】12【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12，满足题意．12．(2018浙江台州一模)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，有f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1.若f (15)＝1，则f (2 017)＝________. 【答案】1【解析】根据题意， f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2f (1 016)＋1， f (1 016)＝f (15＋1 001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝21＋1＝1，则f (2 017)＝2f (1 016)＋1＝21＋1＝1.三、解答题13．(2018湖南永州模拟)已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)和f (1.5)的值；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．【解】(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时， f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1], f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].。

全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件理

对数形式
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.

(江苏专用)高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课函数的单调性与最值教师用书

第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)，即函数在(k ，＋∞)上单调递增．当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)，即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]．法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)，即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文

答案：－1967
第十页，共45页。
39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征当 x 逐渐增大时，图象逐渐当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
第十五页，共45页。
2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
第二十九页，共45页。
[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行比较．

2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章函数的概念与基本初等函数(含答案)

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1，因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )❷，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )❷，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)． [答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x1－x ＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.。

高考数学(理)大一轮复习习题：第二章函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示突破点(一) 函数的定义域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

数学(人教A文科)一轮复习真题演练集训：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ5

真题演练集训1．[2014·辽宁卷］已知a＝2错误!,b＝log2错误!,c＝log错误!错误!，则（)A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a答案：C解析：a＝2错误!∈(0，1）,b＝log2错误!∈(－∞,0)，c＝log错误!错误!＝log23∈(1,＋∞),所以c＞a＞b。

2．[2014·山东卷］已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sin x＞sin yC．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1）D。

错误!＞错误!答案:A解析:∵0＜a＜1，a x＜a y,∴x＞y.∴x3＞y3.3．[2015·天津卷]已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数．记a＝f（log0.53)，b＝f(log25),c＝f(2m）,则a，b，c的大小关系为（)A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．a＜c＜b D．c＜b＜a答案：B解析：∵f (－x ）＝2｜－x －m |－1＝2|x ＋m |－1，且f （x ）为偶函数，∴2|x ＋m ｜－1＝2｜x －m ｜－1对任意的x ∈R 恒成立，解得m ＝0。

∴f （x )＝2|x ｜－1，且f (x ）在[0，＋∞）上为增函数．∵a ＝f （log 0。

53)＝f （－log 23）＝f （log 23)，c ＝f (2m ）＝f （0）,且0＜log 23＜log 25，∴f （0）＜f （log 23）＜f (log 25)，即c ＜a ＜b 。

4．［2015·山东卷］已知函数f (x ）＝a x ＋b （a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是［－1,0］,则a ＋b ＝________。

答案:－错误!解析：当a ＞1时，f （x ）＝a x ＋b 在定义域上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，，a 0＋b ＝0方程组无解；当0＜a ＜1时，f （x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数，∴错误!解得错误!∴a ＋b ＝－错误!.5．[2014·上海卷］若f （x )＝x 错误!－x 错误!，则满足f （x ）〈0的x 的取值范围是________．答案：(0，1）解析：令y1＝x错误!，y2＝x错误!，f(x)〈0即为y1<y2,函数y1＝x错误!，y2＝x错误!的图象如图所示，由图象知，当0＜x＜1时，y1＜y2，所以满足f(x)＜0的x的取值范围是（0,1)．。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第二章函数的概念与基本初等函数课后跟踪训练8

当 x＝－5 时，f(x)取最大值 37. (2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2 的对称轴为 x＝－a，
因为 f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≥5 或 a≤－5.
10．已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在[0,1]上有最大值 2，求 a 的值．
[★答案★] (－∞，－5]
三、解答题
9．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；
(2)若 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数 a 的取值范围．
Байду номын сангаас[解] (1)当 a＝－1 时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．因为 f(x)的对称轴为 x＝1，所以当 x＝1 时，f(x)取最小值 1；
B．偶函数 D．定义域内的增函数
[解析] ∵函数 f(x)＝(a－1)xb 为幂函数，
∴a－1＝1，得 a＝2，
又∵2，12在函数 f(x)的图象上，
∴2b＝12，得 b＝－1.
∴f(x)＝1x，
∴f(x)为奇函数，在定义域内不具有单调性．故选 A.
[★答案★] A
12．(2018·湖北荆州模拟)二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(－x＋2)，
数 a 满足的条件是( )
A．a≥8
B．a≤8
C．a≥4
D．a≥－4
[解析] 函数图象的对称轴为 x＝a2，由题意得2a≥4，解得 a≥8.
故选 A.
[★答案★] A
4．(2019·江西模拟)若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系中的图象如图所示，则 a、b、c、d 的大小关系是( )

课标版(文理)数学第一轮专题练习--第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ

2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第二章函数概念与基本初等函数I第一讲函数及其表示夯基础考点练透1.醐/WV5FT +土，义勸（A.[i l）U（l,+«>） B. [|, 2）C. [j l）U（l,2）D. （0, 2）2.[2022内蒙古赤峰二中模拟]若函数AAl）的定义域为[-1，1],则Alg W的定义域为（A.[-1,1]B. [1,2]C. [10, 100]D. [0, lg 2]3.[2022武汉市第-中学模拟]己知函数Ax）=Vax24-bx + c的定义域与值域均为[0, 4],则（A.-4B. -2C.-lD. 14.[2021 南昌市三模]若函数/-a）4^g2X,x^ 则AA-^））= （（4smx, x < 0, 4A.-|B. IC. 1D.|5.[2021合肥市三检]若函数0 2’满足/•U）=/X2'1），则/（2a）的值等于（k • X，X 2 ZA. 2B.OC. -2D. -4lnx, x > 1,6.[2021武汉市5月模拟]己知函数Ax）= 0, 0 < x < 1,若/彡0,则实数a的取值范围是（X, x < 0,A.[宁，+~）B.（-~，-j] U [0,甲]C.[0,宁]1.若函数: 2(a>0, a^l)的最人值是4,则a的取值范围是A.(0, 1)U(1，2]B.(0, 1)U(1,V2]C.(0, 1)D.(0, 1) U (1, V2]8.[开放题]当2^0吋，函数/满足K/aXe'-l,写出-个满足条件的函数M的解析式.1提能力考法实战9.[2022青岛市质检]将函数厂VU^-2(xe[-3,3])的图象绕点(-3, 0)逆时针旋转a (0彡a彡0)，得到曲线C,对于每一个旋转角a，曲线(7都是一个函数的图象，则6最大吋的正切值为()A.|B. |C. 1D. V310.[2021洛阳市第三次统考]高斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名了“尚斯函数”.设A-eR,用Ld表示不超过A•的最大整数，则尸[x]称为“高斯函数”，例如：[-2. 1]=-3,[3.1]=3.已知函数则函数尸[/W]的值域为()A.(0, -3(B. (0,-1)C. (0,-1,-2}D. {1,0,-1,-2)第二讲函数的基本性质夯基础考点练透1.[2022青岛市质检]己知双曲正弦函数则()A.f(x)为偶函数B./*(X)在区间(-OO, +OO)上单凋递减C./U)没有零点D./C Y)在区间(-~，+-)上单调递增2.[2022湖北部分重点中学联考]己知函数f(x)=\x2~(^ + l)x + 2,x<l,若函数/•&)在R上为减函数，则ka x, x > 1,实数a的取值范围为()A.[丢，1)B. [|, |]C. (0，!]D. [i 1)3.[2022西安复习检测]若定义域为R的奇函数Ax)满足All) =/(1+尤)，且A3) =2,则f(4)+f(2 021) =()A. 2B. 1C. 0D. -24.定义在R上的偶函数/U)在［0, +°°)上单调递减，且/(-2)=0,若彡0的解集为［1，5］,则6F ()A. -3B. -2C.2D. 35.［2022郑州一模］己知函数M的定义域为R，且/(x)不恒为0,若f⑽为偶函数，A3T»-1)为奇函数，则下列选项中一定成立的是()A. /(-|)=0B./(-l)=oC. r(2)=0D. /(4)=06.［2021四川成都石室中学三模］己知函数尸fCvl)的图象关子直线尸1对称，满足r(2-x)=rtx),且/U)在区间(-1, 0)上单调递减，若a=f&)，Zz=/X-ln 2)，c=Alog；(18)，则a、b, c的大小关系为()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<a<c7.［开放题］写出一个值域为［2, 3］的周期函数: .(不能用分段函数形式)8.［2022重庆凤鸣山中学模拟］己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间［0, +~)上单调递减.若f(2a+l) + f(l)〈0,则实数a的取值范围是.9.［2021陕西宝鸡二模］己知函数^U)=A+^UeR),A-G［l,9L则〆x)的值域是 ____________ .设函数f(x)=|，若对于任意实数a，总存在沿£ ［1,9］,使得f(x<>)彡r成立，则实数t的取值范围是.提能力考法实战10.［2021广东茂名4月模拟］己知函数/U)是定义在R上的奇函数，且满足/U)=-A A4-1),数列UJ是首项为1,公差为1的等差数列，则/(&)+/•(&)+/*(&)+•••+/(&。

2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数1

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲对数与对数函数练好题·考点自测1。

下列说法正确的是（）①若MN >0，则log a (MN )=log a M +log a N.②对数函数y =log a x (a >0且a ≠1）在(0,+∞）上是增函数. ③函数y =ln1+x 1-x与y =ln(1+x )—ln （1—x ）的定义域相同。

④对数函数y =log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点(1,0)且过点(a ,1)，（1a,-1),函数图象只在第一、四象限。

A.①③④B.①③ C 。

③④ D.④2.[2019浙江，6,5分］在同一直角坐标系中，函数y =1a x,y =log a（x +12)（a >0,且a ≠1)的图象可能是( )A B CD3。

[2020全国卷Ⅰ,8，5分][文］设a log 34=2,则4-a = （） A 。

116B.19C 。

18D.164.［2020全国卷Ⅱ，9,5分］设函数f （x )=ln|2x +1｜-ln|2x —1|，则f （x ）( )A 。

是偶函数,且在（12，+∞)单调递增B .是奇函数,且在（−12，12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,−1)单调递增2)单调递减D。

是奇函数,且在（-∞,−12, 5.［2020全国卷Ⅲ，10,5分］［文］设a=log32,b=log53，c=23则（) A.a〈c〈b B.a<b<cC。

b〈c<a D。

c<a〈b6.[2018全国卷Ⅲ，16,5分]［文]已知函数f（x）=ln（√1+x2−x)+1，f(a）=4,则f(-a)=.,a b=b a, 7。

［2016浙江,12,6分］已知a>b>1。

若log a b+log b a=52则a=，b=.拓展变式1。

［2021安徽省四校联考］已知实数a，b满足a+b=5,log2a=log3b，则ab=(）A。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册第二章函数与基本初等函数

第二章函数与基本初等函数Ⅰ第4课函数的概念及其表示法A. 课时精练一、填空题1. 已知函数y ＝f(x)，以下说法中正确的有________个．①y 是x 的函数；②对于不同的x ，对应的y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．3. 已知函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，若a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则a ＝________，b ＝________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填序号)①y ＝x －1，y ＝x 2－1x ＋1； ②y ＝x 0，y ＝1；③f(x)＝x 2，g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x （x ）2.6. 若某等腰三角形的周长为20，底边长y 是腰长x 的函数，则y 关于x 的函数解析式为____________．7. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m 的值为________． 8. 已知f(x)＝2x ＋a ，g(x)＝14(x 2＋3)，若g(f(x))＝x 2＋x ＋1，则实数a ＝ ________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝x ＋2x －6. (1) 点(3，14)在函数f(x)的图象上吗？(2) 当x ＝4时，求函数f(x)的值；(3) 当f(x)＝2时，求x 的值．10. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0. (1) 求f(g(2))和g(f(2))的值；(2) 求函数f(g(x))和g(f(x))的表达式．11. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求函数f(x)的解析式．B. 滚动小练1. 已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．2. 已知p ：－1＜m ＜5，q ：方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的两个根均大于－2且小于 4，那么p 是q 的________________条件．3. 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实负根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．第5课函数的定义域与值域A. 课时精练一、填空题1. 函数f(x)＝x ＋1＋（1－x ）02－x的定义域为________．2. (2018·苏北四市期末)函数y ＝log 12x 的定义域为________．3. 若定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为________．4. (2017·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg (x ＋2)的定义域为________．5. 函数y ＝1x 2－4x ＋3(x ≠1且x ≠3)的值域为________．6. 已知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，12，那么函数f ⎝⎛⎭⎫x 2－x －12的定义域为________．7. 若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a ＋1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．8. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是 ________．二、解答题9. 求下列函数的定义域．(1) y ＝4－x 2x －1＋(x ＋2)0； (2) y ＝1x ＋3＋－x ＋x ＋4.10. 求下列函数的值域．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x<1，1x ，x>1； (2) y ＝x －x.11. 已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1) 若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f (x )的值均为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．B. 滚动小练1. 命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是______________________．2. “a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．3. 已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．第6课函数的单调性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝(2k －1)x ＋1在R 上单调递减，则实数k 的取值范围是________________．2. 函数y ＝1－x 1＋x 的单调减区间是________．3. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调减区间是________．4. 已知函数f(x)为R 上的单调减函数，那么满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是________．5. (2018·太原期末)已知函数f(x)＝x ＋1x －1，x ∈[2，5]，那么f(x)的最大值为________．6. 给出下列函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数是________．(填序号)7. 若函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)． (1) 若a ＝0，试判断f(x)的单调性；(2) 若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax ＋1x 2(x ≠0，a ∈R )． (1) 讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．11. 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫13＝1.(1) 求f(1)的值；(2) 若存在实数m ，使得f(m)＝2，求实数m 的值；(3) 若f(x)＋f(2－x)<2，求x 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．2. 已知函数f(x)＝2|x －1|－x ＋1，那么函数f(x)的单调增区间是________．3. 已知函数g(x)＝ax ＋1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x<0.若对任意的x 1∈[－2，2]，存在x 2∈ [－2，2]，使得g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是________．第7课函数的奇偶性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________．2. 已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x2－1x，那么f(1)＝________．3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，那么f(－2)＝________．4. 已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 016x3－sin x＋b＋2，那么f(a)＋f(b)＝________．5. 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．6. (2018·唐山期末)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x－1)>0的x的取值范围是________．7. (2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在[－2b，1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，那么f(x－1)≤f(2x)的解集为________．8. (2018·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x－sin x.若不等式f(－4t)>f(2mt2＋m)对任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2. (1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝0.10. 已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(其中a ，b ，c ∈Z )是奇函数且f (1)＝2，f (2)<3，求实数a ，b ，c 的值和函数f (x )的解析式．11. (2017·金陵中学)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，且a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0恒成立． (1) 试用定义证明函数f(x)在[－1，1]上是单调增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f(1－x)．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x x －a(x ≠a)，若a ＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增．2. 已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1) 试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2) 解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎫2－3x x <2.第8课函数的图象和周期性A. 课时精练一、填空题1. 已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，那么实数a的值为________．2. (2018·泉州模拟)已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，那么f(－9)＝________．3.若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________．4.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围为________．5. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－8)2－4，则f(210)＝________．(注：210∈(6，6.5))6. (2017·南师附中)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x－12.则f(2 017)＝________．7. (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)＝f (12－x)，当x∈[0，6]时，f (x)＝log6(x＋1)，若f(a)＝1(a∈[0，2 020])，则a的最大值是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1) 当x <0时，求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．10. 已知函数f(x)＝1＋|x|－x 2(－2<x ≤2)． (1) 用分段函数的形式表示该函数解析式；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1) 求函数f(x)的解析式，并求f(f(－2))的值；(2) 请利用“描点法”画出函数f(x)的大致图象．B. 滚动小练1. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2co sπx ，－1<x<0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12＋f(a)＝2，则a 的所有可能取值为________．2. (2018·蚌埠一检)已知函数f(x)＝e |x|·lg (1＋4x 2＋ax)的图象关于原点对称，那么实数a 的值为________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a －1)x ＋a.(1) 函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若关于x 的不等式f （x ）x≥2在x ∈[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．第9课二次函数A. 课时精练一、填空题1. 若二次函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是________．2. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x<0，x 2－2x －3，0≤x ≤3的值域是________．3. 若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．4. 若二次函数f(x)＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是________．5. 若f(x)＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0，1])，若函数f(x)有最小值－2，则函数f(x)的最大值为________．7. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①图象的对称轴是x ＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)的两个根的立方和等于17.那么f(x)的解析式是________________．8. (2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1) 若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2) 若f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．11. (1) 已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．(2) 若关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实数根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．B. 滚动小练1.若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________________条件．2. 若函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)，则满足f(2x＋1)<1的实数x的取值范围是________．3.已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为实数．(1) 根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若a∈(1，3)，判断函数f(x)在[1，2]上的单调性，并说明理由．第10课指数与指数函数A. 课时精练一、填空题1. 计算：⎝⎛⎭⎫9412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝________．2. 若函数f(x)＝a x －1＋3(a>0且a ≠1)的图象必过定点P ，则P 点的坐标为________．3. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．4. 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，那么a ，b ，c 的大小关系为________．5. 若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2，x>1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为________．6. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f (3＋x )＝f (3－x )，当x ∈(0，3)时，f (x )＝2x ，则当x ∈(－6，－3)时，f (x )＝________．7. 已知函数221(2),1,()2,1,x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩则f(3)＝________；当x<0时，不等式f(x)<2的解集为________．8. (2018·石家庄二模)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则g (－1)，f (－2)，f (－3)的大小关系为____________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )．(1) 当λ＝1时，试判断函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的奇偶性，并证明你的结论；(2) 若不等式f (x )≤6在x ∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．10. 已知函数f(x)＝－3x ＋a 3x ＋1＋b. (1) 当a ＝b ＝1时，求满足f(x)＝3x 的x 的值；(2) 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝2x －12|x|. (1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，x ，x>1，那么f(2)＝________．2. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋a ，－1≤x ≤0，x 2－log 2x ，0<x <1.若f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，则f (4a )＝________．3. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )为二次函数，且满足f (2)＝1，f (x )在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并根据它的图象讨论关于x 的方程f (x )－c ＝0(c ∈R )的根的个数．(第3题)第11课对数的运算A. 课时精练一、填空题1. 计算：lg 2＋lg 5＋2log 510－log 520＝________．2. 已知lg 3＝a ，lg 5＝b ，那么log 515＝________．3. 计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________．4. 计算：(log 29＋log 227)(log 32＋log 34)＝________．5. 已知函数f(x)＝a log 3x ＋b log 4x ＋1，若f(2 015)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12 015＝________．6. 已知x>0，y>0，若2x ·8y ＝16，则2－1＋log 2x ＋log 927y ＝________．7. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－3.2]＝－4，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝________．8. (2018·江苏考前热身B 卷)已知函数f(x)＝log a x ，若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，f(x 21)－f(x 22)＝1，则f(x 2 0181)－f(x 2 0182)的值为________．二、解答题9. 求下列各式的值．(1) log 48＋lg 50＋lg 2＋5log 53＋(－9.8)0；(2) log 327－log 33＋lg 25＋lg 4＋ln (e 2)．10. 已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求 x y的值．11. 已知2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，比较2x ，3y ，5z 的大小．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________．2. 若函数f(x)＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足：①对于任意的实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1，3)时，f(x)≤18(x ＋2)2恒成立；②f(－2)＝0. (1) 求证：f(2)＝2；(2) 求f(x)的解析式．第12课对数函数A. 课时精练一、填空题1. (2018·南京、盐城、连云港二模)函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．3. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，那么a＝________，b＝________．(第3题)4. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________．5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．6. (2018·天津卷)已知a＝log372，b＝⎝⎛⎭⎫1413，c＝log1315，那么a，b，c的大小关系为________．7. 已知函数f(x)＝1－x＋log21－x1＋x，那么f⎝⎛⎭⎫12＋f⎝⎛⎭⎫－12的值为________．8. (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，那么f(－a)＝________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝log a (x 2－x ＋1)(a>0且a ≠1)．(1) 当a 变化时，函数f(x)的图象恒过定点，试求该定点的坐标；(2) 若f(2)＝12，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为2，求实数a 的值．10. 已知函数f(x)＝log 2g(x)＋(k －1)x.(1) 若g(log 2x)＝x ＋1，且f(x)为偶函数，求实数k 的值；(2) 当k ＝1，g(x)＝ax 2＋(a ＋1)x ＋a 时，若函数f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．11. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1) 当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2) 若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3) 设a >0，若对任意的t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数y ＝1＋x 1－x＋lg (3－4x ＋x 2)的定义域为M. (1) 求M ；(2) 当x ∈M 时，求f(x)＝a·2x ＋2＋3·4x (a>－3)的最小值．2. 已知函数f(x)＝22x －7－a 4x －1(a>0且a ≠1)．(1) 当a ＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 当x∈[0，1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．第13课幂函数、函数与方程A. 课时精练一、填空题1. 如图所示是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 的取值范围分别是________和________．(第1题)2. 方程log 12x ＝－x ＋1的根的个数是________．3. 若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调增区间是________．4. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实数根，那么实数a 的取值范围是________．6. 已知函数g(x)＝log a (x －3)＋2(a>0，a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)＝x a 的图象经过点M ，则a 的值为________．7. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是________．8. (2018·海安、南外、金陵中学三校联考)已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1) 写出函数f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．10. 若函数f(x)＝4x ＋a·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝3ax 2－2(a ＋c)x ＋c(a>0，a ，c ∈R )．(1) 设a >c >0，若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2) 试问：函数f (x )在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？并说明理由．B. 滚动小练1. 由命题“存在x ∈R ，使得e |x －1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．2. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________．3. 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数m ，n 恒有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．第14课函数模型及其应用A. 课时精练一、填空题1. 将进货价格为8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖出100个．若每个商品涨价1元，则日销售量减少10个．为了获得最大利润，此商品当日销售价格应定为每个________元．2. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min )为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<a ，ca ，x ≥a(a ，c为常数)．已知该名工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是________和________．3. 为了促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如下表：用户类别分档电量 (kW ·h /户·月)电价标准 (元/kW ·h )试行阶梯电价的用户一档 1～240(含) 0.488 3 二档 241～400(含) 0.538 3 三档400以上0.788 3若北京市某户居民2019年1月的平均电费为0.498 3元/kW ·h ，则该用户1月份的用电量为________．4. 已知有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，那么围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)(第4题)5. 某工厂生产的A 种产品进入商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x 万件，要使商场第二年在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是________．6. 某食品的保鲜时间y(单位：h )与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.7. 某高校为了提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车，则能获得的最大利润为________．二、解答题9. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮，如图所示，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有以下两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面的半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第10题)11. (2018·姜堰、溧阳、前黄中学4月联考)经科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1) 求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．。

2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数课件

3．若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则m的取值范围为_(_0_，__＋__∞_). [解析] 作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得 m>0.
考向2 指数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较指数幂的大小
(2024·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( D ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
[解析] (1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)． (2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． (3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
归纳拓展 1．画指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)， (0,1)． 2．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
第五讲指数与指数函数
知识梳理 · 双基自测
知识梳理知识点一指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
符号表示
如果__x_n＝___a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
备注 n>1 且 n∈N*
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 __正__数____，负数的 n 次方根是一个__负__数___

2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章_函数的概念与基本初等函数ⅰ_5_word版含解析

【课时训练】第5节函数的单调性与最值一、选择题1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x【答案】A【解析】函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2【答案】C【解析】二次函数f (x )的对称轴为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.3．(2018重庆一中期中)给定函数①y ＝x12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】①y ＝x12在(0,1)上单调递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上单调递增，而y＝log 12t 在(0,1)上单调递减，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上单调递增，y ＝2u 在(0,1)上单调递增，故y ＝2x ＋1在(0,1)上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]【答案】D【解析】由于g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x ＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)【答案】A【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)<f(1)＝f(3)．6．(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【答案】B【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B.7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【答案】B【解析】∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时， f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时， f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0, f (x 2)>0.8．(2018山东潍坊四县联考)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 【答案】C【解析】∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23.故选C.二、填空题9．(2018山西太原模拟)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈[2,5]，则f (x )的最大值是________．【答案】3【解析】函数f (x )＝1＋2x －1在[2,5]上为减函数，故其最大值为f (2)＝1＋2＝3.10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f (x )＝log 2 (x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－4,4]【解析】因为函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[2，＋∞)时，x 2－ax ＋3a >0且函数g (x )＝x 2－ax ＋3a 为增函数，即a2≤2且f (2)＝4＋a >0，解得－4<a ≤4.11．(2018湖北荆州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．【答案】[0,1) 【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，由图象可得函数g (x )的单调递减区间是[0,1)．12．(2018辽宁大连质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．【答案】22－3【解析】当x ≥1时，x ＋2x －3≥2 x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )m i n ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )m i n ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.三、解答题13．(2018河南信阳调研)已知函数f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)【证明】任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)【解】任取1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．14．(2018广西名校联考)已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．【解】f (x )＝ax ＋1a (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a .当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时， f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1.。

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