19-20版 第2章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用

1．等比数列前n 项和的变式

当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1（1－q n ）

1－q ，它可以变形

为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 1

1－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A ．由此可见，

非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的取值是什么？

[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 2．等比数列前n 项和的性质

性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．

性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶

S 奇

＝q ． ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．

思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.

1．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．

15 [法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2

＝15.]

2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________． 2 [q 3

＝S 6－S 3S 3

＝27－3

3＝8，所以q ＝2.]

3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3，则{a n }的通项公式是a n ＝________． (－2)n －1 [当n ＝1时，S 1＝23a 1＋1

3，所以a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3a n －1＋13

＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a n

a n －1＝－2，

所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]

4．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1·a n a n ＋1＝324，则n ＝________．

14 [设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12

，可得

q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3

＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，

即n ＝14.]

n n 则数列{a n }( )

A ．一定是等差数列

B ．一定是等比数列

C ．是等差数列或等比数列

D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1

a n

＝a ，

∴数列{a n }是等比数列．]

1．已知S n 通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝

S n －S n －1.

2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列．

1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________． －1

3 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n

＋t ， ∴t ＝－13.]

1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？

[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，

S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .

同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，

在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．

2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶

S 奇

等于何值？

[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶

S 奇＝S 奇·q

S 奇

＝q .