第四章 塑性本构关系

1 ′ ′ ε ij = λ + σ ij 2G 1 2ν εm = σm E
形式上和广义 形式上和广义Hooke定律相似 但这里的比例系数不是一个常 定律相似, 形式上和广义 定律相似 这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么 数.这是一个非线性关系 下面我们来看一下这个系数等于什么 这是一个非线性关系 下面我们来看一下这个系数等于什么?
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简单加载（简单变形）：各应力分量按同一比例增加， 简单加载（简单变形）：各应力分量按同一比例增加，此时应 ）：各应力分量按同一比例增加 力主轴方向固定不变。 力主轴方向固定不变。由于应变增量的主轴方向和应力主轴方 向重合，应变主轴也始终不变。 向重合，应变主轴也始终不变。 1924年汉基提出了不包括硬化的全量关系。 年汉基提出了不包括硬化的全量关系。 年汉基提出了不包括硬化的全量关系
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使用卸载定律要注意两点 使用卸载定律要注意两点: (1) 卸载过程必须是简单加载 即卸载过程中各点的应力分量 卸载过程必须是简单加载, 时按比例减少的; 时按比例减少的 (2) 卸载过程中不发生第二次塑性变形 即卸载不引起应力改 卸载过程中不发生第二次塑性变形, 变符号而达到新的屈服. 变符号而达到新的屈服 由卸载定律可以看出 全部卸载后 在物体内不仅留下残余应 由卸载定律可以看出, 全部卸载后,在物体内不仅留下残余应 而且还有残余应力 残余应力. 变, 而且还有残余应力 4-7 Levy-Mises流动法则和 流动法则和Prandtl-Reuss流动法则 流动法则和 流动法则 塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性. 全 塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 构关系 一般是不正确的 所以作为描述本构关系应该是它们 的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 的增量之间的关系 这就是增量理论 也就是流动法则 这里 介绍两个增量理论. 流动法则和Prandtl-Reuss 介绍两个增量理论 即Levy-Mises流动法则和 流动法则和 流动法则. 流动法则
Sσ : pi
z
O x
y
V
Fi
σij, j + F = 0 i 1 2 ν 本构方程 εii = σii
平衡方程
E
Su : ui 1 几何方程 εij = ( ui. j + uj,i ) 2 3ε σi = Φ( εi ) eij = i Sij 2σi
这就是对于全量 理论的塑性力学 的边值问题. 的边值问题
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因为应力强度和应变强度的公式为: 因为应力强度和应变强度的公式为
3 2 σi = Sij Sij εi = eij eij 2 3 3ε eij =ψ Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到 ψ = i 把 2σi (3)应力强度是应变强度的函数 σi = Φ( εi ) , 即按单一曲线假 应力强度是应变强度的函数 定的硬化条件. 定的硬化条件
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
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塑性本构关系—全量理论和增量理论 第四章 塑性本构关系 全量理论和增量理论 引言:塑性变形规律的复杂性 塑性变形规律的复杂性, 引言 塑性变形规律的复杂性 到目前为止这个塑性本构关系问 题还没有得到满意的解决.现在广范采用的理论分为两大类 现在广范采用的理论分为两大类: 题还没有得到满意的解决 现在广范采用的理论分为两大类 (1)全量理论 又称为形变理论 它认为在塑性状态下仍有应力 全量理论, 又称为形变理论, 全量理论 和应变全量之间的关系. 亨奇)理论和 和应变全量之间的关系 有Hencky(亨奇 理论和 亨奇 理论和Il’yushin (伊柳 伊柳 理论. 辛)理论 理论 (2)增量理论 又称为流动理论 它认为在塑性状态下是塑性应 增量理论, 又称为流动理论, 增量理论 变增量和应力及应力增量之间有关系.有 莱维-米泽 变增量和应力及应力增量之间有关系 有Levy-Mises(莱维 米泽 莱维 理论和Prandtl-Reuss(普朗特 罗伊斯 理论 普朗特-罗伊斯 理论. 斯)理论和 理论和 普朗特 罗伊斯)理论
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塑性本构关系—全量理论 第四章 塑性本构关系 全量理论 和增量理论
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塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值 本章内容
综上所述, 全量型塑性本构方程为 综上所述 3εi 1 2 ν σi = Φ( εi ) εii = σii eij = Sij E 2σi 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律 加 成单调增长. 载的标志是应力强度 σi 成单调增长 σi 下降时为卸载过 它时服从增量Hooke定律 定律. 程, 它时服从增量 定律
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4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 F , i 在应力边界 Sσ 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 σij , 应变 εij 和位 按照全量理论,确定这 移 ui .按照全量理论 确定这 按照全量理论 些基本未知量的基本方程有
其中
3 2 σi = Sij Sij εi = eij eij 2 3 边界条件 S :σ l = p , S : u = u σ ij j i u i i
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4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 全量理论适用小变形并且是简单加载 全量理论适用小变形并且是简单加载. 那么上面是简单加载 理论上指在加载过程中物体每一点 那么上面是简单加载? 0 σij =α ( t )σij 的各个应力分量按比例增长. 的各个应力分量按比例增长 即 0 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数. 其中 σij 是某一非零的参考应力状态 α ( t )是单调增加的参数 这样定义的简单加载说明, 这样定义的简单加载说明 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. 向都保持不变 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 但是物体内的内力是不能事先确定的, 程是简单加载? 指出, 程是简单加载 Il’yushin指出 在符合下列三个条件时 可以 指出 在符合下列三个条件时, 证明物体内所有各点是处于简单加载过程: 证明物体内所有各点是处于简单加载过程 (1) 荷载 包括体力 按比例增长 如有位移边界条件应为零 荷载(包括体力 按比例增长.如有位移边界条件应为零 包括体力)按比例增长 如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的 材料是不可压缩的. εm (3)应力强度和应变强度之间幂指数关系 即 σi = A i 应力强度和应变强度之间幂指数关系, 应力强度和应变强度之间幂指数关系 这就是Il’yushin简单加载定律 有人认为只有第 条就可以了 简单加载定律.有人认为只有第 条就可以了. 这就是 简单加载定律 有人认为只有第(1)条就可以了
4-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素 指出, 和 指出 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件 流动法则 初始屈服条件;(2)流动法则 流动法则;(3)加载条件 加载条件. 初始屈服条件 加载条件 其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点. 其中 和 在第二章已经解决 本章要解决第 点
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4-6 卸载定律 σ A 从单向拉伸实验的应力应变曲线 加载至过弹性极限达到A点 然后 看:加载至过弹性极限达到 点,然后 加载至过弹性极限达到 卸载至B点 卸载至 点, 此时总应变 ε 的弹性 σ′ 得到恢复,塑 部分ε e 中的部分应变ε′ 得到恢复 塑 σ p B 性应变部分 ε 要被保留下来.此时 要被保留下来 此时 σ 的应力和应变的改变量, 的应力和应变的改变量 即B点的应 点的应 o 力和应变为 ε p e σ = σ σ ′, ε = ε ε′ ε ε 因为卸载要服从弹性本构关系, 因为卸载要服从弹性本构关系 ε ε′ 这就是说,我们可以 即 σ ′ = Eε.′ 这就是说 我们可以 ε 由因为卸载引起的荷载的改变 按弹性计算得到. 量 P′ = P P 按弹性计算得到 推广到复杂应力的卸载情况 即应力强度 σi 减小 得到 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 减小)得到 得到: 卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P′ = P P 为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量 即卸载过程中应力或应变的改变量. 得之应力或应变 即卸载过程中应力或应变的改变量
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4-2 广义 广义Hooke定律 定律
在弹性范围内 广义 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 定律可以表达为 1 εij = (1+ν )σij νδijσkk E ν 1 也可以表示为 εii = 1 2 σii 也可以表示为: eij = Sij E 2G 我们来证明一下: 我们来证明一下 由应力和应变的分解式,即 由应力和应变的分解式 即 σij = Sij +δijσm, εij = eij +δijεm 代入上面广义Hooke定律的公式 考虑到 G = E / 2(1+ν ) 定律的公式,考虑到 代入上面广义 定律的公式 1 eij +δijεm = (1+ν ) ( Sij +δijσm ) νδijσkk E 1 1 1 2 ν νδ Sij + δijσm = (1+ν ) ( Sij +δijσm ) 3 ijσm = E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系
2
当应力从加载面卸载 也服从广义 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律 写成增量形式 定律,写成增量形式 定律 1 2 ν 1 dεii = dσii deij = dSij E 2G
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4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 在 年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律 在小 定律. 构关系 这是一个全量型的关系 类似于广义 定律 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定 1 2 ν (1) 体积变形是弹性的 即 体积变形是弹性的, εii = σii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
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这是七个方程
1 2 ν εii = σii E
1 eij = Sij 2G
第二个式子是六个方程,但因为有 所以有5个是独立的 个是独立的. 第二个式子是六个方程 但因为有 Sii = 0, 所以有 个是独立的 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比 第二式也可以写成 Sij = 2Geij ,把它代入应力强度的表达式 把它代入应力强度的表达式 就可以得到下面的第二式, 就可以得到下面的第二式 然后有 G = σi /3εi 再代回上面第 一式得到下面的第二式. 一式得到下面的第二式 3εi 所以也可写成如下形式 2 eij = S σi = 3Gεi 3 ij εi = eijeij σi 2σi Sij Sij = 3
eij =ψ Sij
这个假定就ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ应力和应变的定性关系 即方向关系和 这个假定就是应力和应变的定性关系, 分配关系. 分配关系 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 重合 也即应变主轴和应力主轴重合 而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比。 应变偏量和应力偏量成正比。