工力-达朗贝尔原理

e F － i m aC＝0
dLO M IO ＝－J O＝ dt dLC M IC ＝－J C＝ dt
e M ( F O i )－J O＝0
e M ( F C i )－J C＝0
达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理相一致。
■ 动静法应用
例3均质杆OA，在铅垂位置时受 微小扰动运动到图示位置。 杆长为l,质量为m,θ已知。
O1 l l 例1 离心调速器 球A、B 的质量为m1 ， 已知： A B 重锤C 的质量m2 ，杆件的 l l 长度l，匀速转动。 C
求： － 的关系。 解： 1、分析球B运动受力，施加惯性力。
FI＝m1l
2sin
FT2
列平衡方程 Fx 0 ,
FI ( FT1 FT2 )sin 0
● 平面运动时惯性力系简化
具有质量对称平面的刚体作平面运动，且平 行平面运动。先将刚体的空间惯性力系向质量
对称平面内简化，得到平面惯性力系，然后再
对平面惯性力系作进一步简化。
FI＝m aC
加在质心上， 和加速度反向

C
aC
M IC JC
转向和角加速度的相反
FI
● 定轴转动时惯性力系简化另种方法
e F i FIi 0
e M F O i M O FIi 0

作用在质点系上的所有外力（含约束力） 与虚加的惯性力系形式上组成平衡力系。
在光滑水平面拉动链条，F足够大 思考1： 时，链条在哪节先被拉断？
FI1 F
a
分析：右端链接处先被拉断 在光滑水平面用水 思考2： 平力F作用于A物块，A和 B质量分别为2m,m。求： A和B间作用力大小 F/3
FOx
由质心运动定理得
t maC mg sin FOy sin FOx cos
n maC mg cos FOy cos FOx sin 1 1 2 t n aC l aC l 2 2
解：法1
1 2 a l 2
n C
A
由动能定理得
1 1 2 2 l ml mg 1 cos 2 3 2 3g 2 即 1 cos l

O
FOy mg
C

FOx
联解方程组得
1 FOx mg sin2 10 cos 2 6mg cos 4 1 FOy mg sin 6 9 cos 4


解：法2动静法 加上惯性力系（向O点简化）
F ma
n I n C
A
F ma
t I
t C
a
t C
t FIt maC mrC
C Fn I
n C
F ma mrC
n I n C
2

O
a FIt
加在质心上，方向加速度的相反
M IC JC
转向和角加速度的相反
★ 与动量和动量矩之间的关系
● 惯性力系的主矢与质点系动量对时间的变 化率，二者仅仅相差一负号。
dp FIR＝－m aC＝ dt
1 W2 2 1 3 W1 2 v 2 v ( R )( ) T0 W2 s 2 g 2 2 g R
2、运用动能定理，求加速度
1 W2 3 W1 2 ( )v T0 W2 s 2 g 2 g
C R W1 FN
FOy F
O
FOx
对等式两边同时求导得
( W2 3 W1 dv ds )v W2 g 2 g dt dt
FT1 ＝FT3 , FT1 ＝ m2 g 2 cos
FT3 C
F´T1
cos
m1 m 2 g 2 m 1 l
m2 g
例2 振动筛振动方程为y＝a sin t 求：颗粒脱离台面的最小振动频率
y
O
解： 分析颗粒受力、运动情况 施加惯性力大小：FI
a 2 sin t FI ma1， a1 y
FN —— 约束力
a
加速度
S —— 运动轨迹
ma F FN
x
根据牛顿定律
z
FI
ma F FN
m
A O
F
a FN
FR
F FN ma 0
y
令 FI ma
F FN FI 0
x
s
FI─惯性力（inertia force) ，方向和加速度相反。
非自由质点的达朗贝尔原理
F
FOx
FOy
解：法2动静法
A
MO 0 ，
l M I mg sin 0 2
FI
n M aC t I
n I
a
t C
C

O
mg
M I J O
3g sin 2l
1 2 J O ml 3
F
FOx
FOy
F 0 ， F 0 ，
x y
FOx F sin F cos 0
FI ma 方向与加速度方向相反
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式 z
Fx FNx FIx Fx 0 Fy FNy FIy Fy 0 Fz FNz FIz Fz 0
i i i
m
A
F
a FN
FR
O
源自文库y s
x
可见，加上假想的惯性力后可列静平衡方程。
3g sin 2l
1 2 a l 2 1 t aC l 2
n C
MI O
FI
n
FOx

mg
以下略。
例4 半径为R、重量为W1的均质大圆轮，由 绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下， 在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重 量忽略不计。
求：大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。
ai 惯性力系简化为：通过刚体质心的合力。
大小: FIR ＝m aC
方向:和aC相反
● 定轴转动时惯性力系简化
t FIt maC mrC
a
t C
C
a
n C
n FIn maC mrC 2

O
FIn
加在定轴上 和加速度反向
F
t I
M IO JO
转向和角加速度的相反
当刚体有质量对称面且转动定轴与之垂直 时，惯性力系向转轴简化为力和力偶。
作用在质点上的主动力和约束力与假想施加 在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
■ 质点的惯性力与动静法
动静法：应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约 束力的方法。(method of dynamic equilibrium)
F FN FI 0
FI ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力； 4、列静平衡方程。 注意：以上式子均为矢量式，计算中用标量式。
1 2 a l 2 1 t aC l 2
n C
FI
n M I a t C
n I
a
t C
C

O
mg
1 2 J O ml M I J O 3 由动能定理得
1 1 2 2 l ml mg 1 cos 2 3 2 3g 2 1 cos l
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理(D’Alembert principle)
■ 质点的惯性力与动静法 ■ 质点系的达朗贝尔原理 ■ 刚体惯性力系的简化 ■ 动静法应用 ■ 轴承动约束力 ■ 结论与讨论
■ 质点的惯性力与动静法
非自由质点 A
z m
A O
m —— 质量
F —— 主动力
F a FN y s
FR
e i i O i O Ii
质点系的达朗贝尔原理另一表达形式
e i F F i i FIi 0 e i
Fi
e
M F M F M F 0
O i O i O Ii i F i 0 i M F O i 0
FIi
mi
Fi i

F
FT FI1
A B
F
■ 刚体惯性力系的简化
★ 刚体惯性力系特点 ★ 刚体惯性力系简化结果 ● 刚体平移时惯性力系简化 ● 定轴转动时惯性力系简化 ● 平面运动时惯性力系简化 ★ 与动量和动量矩之间的关系
★ 刚体惯性力系特点
● 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。 大小： FIi mi ai 方向：与加速度反向
v
A
W2
ds v dt
W2 g a 3 W2 W1 2
3、对大圆轮应用动静法
加上惯性力系（向质心C简化）
W1 FI a g 1 W1 2 a MI R 2 g R
FI
C W1
MI FN
FT
F
M
C
(F )0,
F R MI 0
W2W1 F 3 2( W2 W1 ) 2
惯性力系的主矩：惯性力系的主矩与刚体 的运动形式有关。
以下为针对三种刚体运动进行简化。
● 刚体平移时惯性力系简化
考虑惯性力系向O点简化：主矩MIO
MIO=∑ri×FIi =－∑ri×miai =－∑miri×ai
FIR
FIi
=－∑miri×aC=－mrC×aC i ri rC O a C C 当点O和质心C重合时，rC=0 有 MIC=0
■ 轴承动约束力
理想情形 偏心情形
●具有对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固 定轴转动时，惯性力系向固定轴简化得到的主 矩与刚体对同一点的动量矩对时间所变化率仅 仅相差一负号。 dLO M IO ＝－J O＝ dt
★ 与动量和动量矩之间的关系
将达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理相 比较可以得到:
dp FIR＝－m aC＝ dt
aB
FT1
B FI
m1 g
解： 1、分析球B并施加惯性力。
FI＝m1l 2sin
FI ( FT1 FT2 )sin 0
FT2 B FI FT1
O1 l l A l
C

l
B
F
y
0,
m1 g
m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
2、分析物C,施加惯性力为零。
质点系的主动力系
FI1
FN1 FNi mi Fi ai
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系
FN 1 , FN 2 , , FNi , , FNn
F2
a2
质点系的惯性力系
FI 1 , FI 2 , , FIi , , FIn
质点系的达朗贝尔原理(d'Alembert's principle)
O
A

求：角加速度α和O处的约束力。 分析：法1.定轴转动方程可求α，结合 动能定理和质心运动定理可求约束力。 法2. 结合动能定理用动静法可求。
解：法1分析OA 由定轴转动方程得
1 2 l ml mg sin 3 2
t aC
A

O
FOy
n aC mg
C

即
3g sin 2l
● 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)， 刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
● 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
★ 刚体惯性力系简化结果
惯性力系的主矢：
FIR＝ FI＝ －mi ai ＝－ ) m aC i (
i i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理另一表达形式
Fi 、 Fi 为质点i受的外力和内力 Fi Fi FIi 0
e i
e i F F i i FIi 0
e
i
Fi
e
FIi
mi
Fi i
M
O
F M F M F 0
C R W1
O
A W2
解：1、受力分析 考察整个系统，有4个未知 约束力。 如果直接采用动静法，需 将系统拆开。
C R W1 FN
FOy F
O
FOx
v
A
W2
因为系统为一个自由度，所以考虑先用动能 定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。 2、运用动能定理，求加速度 设任意位置时A速度为v,向下运动距离为s
y
a1
列平衡方程
Fy 0
m
FN
FN W FI mg ma 2 sin t
FI W
颗粒脱离台面条件：FN=0 sin t＝1时， 最小
g ＝ a
g 最小振动圆频率 ＝ a 最小振动频率 f 2
■ 质点系的达朗贝尔原理
F1 m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi
n I t I
FOy F sin F cos mg 0
t I n I
解：法3动静法 加上惯性力系（向C点简化） F
F ma
n I n C
A
t I
C

t FIt maC
1 2 FOy J ml M I J C C 12 l t l MO 0 ， M I 2 FI mg 2 sin 0