广东省佛山市2020届高三教学质量检测(二模)理科数学试题(附答案解析)

合集下载

广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)

2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若集合A ＝{x |y =√2−x }，B ＝{x |x 2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（） A ．[0，1）B ．[0，1]C ．[0，2）D ．[0，2]2．已知复数z ＝1+bi （b ∈R ），z 2+i是纯虚数，则b ＝（）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．13．若a ＝log 332，b ＝ln 12，c ＝0.6﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b4．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A ．d ＞3B ．d ＜72C ．3≤d ＜72D ．3＜d ≤725．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（）A ．a 2(1−p)rB ．a 2(1+p)rC ．a (1−p)rD ．a(1+p)r6．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（） A ．线段B ．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f（x）＝﹣2x+1|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F 是AE上一点，AF→=2FE→，则BF→=（）A．12AB→−13AD→B．13AB→−12AD→C．−12AB→+13AD→D．−13AB→+12AD→9．已知命题p：（x2−1x）n的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题q：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.7，则P （0＜ξ＜2）＝0.3．现给出四个命题：①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q，其中真命题的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（）A ．22020−23B ．22020+23C ．22021−23D ．22021+2311．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若F 2P →=3F 2A →，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．y ＝±12xB ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±25x12．若关于x 的不等式e 2x ﹣alnx ≥12a 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三二模试题(数学理)word版

试卷类型:A 2021年高三二模试题（数学理）word版说明：1. 本试卷共4页,包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

2. 所有答案在答题卡上作答(选择题用机读卡的学校直接涂机读卡上，在本试卷籾草稿纸上作答无效。

答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。

3. 做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

4. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A,B互斥，那么球的表面积公式P(A +B) = P(A) + P(B)如果事件A，B相互独立，那么其中表示球的半径P(A • B) = P(A) • P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部是A, 1 B. -1 C. i D.-i2. 已知集合则图中阴影部分表示的集合为A. ( -3,1 ]B.( -3,-1)C-[ -1,1) D.(,—3]u[-l)3. =A. 1B.C.D.4. 函数y= l+logx(a>0且的反函数是A. B,C. D.5. 向量，则“x=2”是“a//b"的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列中，，则的值为A. 14B. 15C. 16D. 177. 曲线在点（1,1）处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是A. B. C. D.8.某企业拟在指定的4个月内向市场投放3种不同的产品，且在同一个月内投放的产品不超过2种，则该企业产品的不同投放方案有A.16 种B36 种 C.42 种 D.60 种9. 已知函数.是定义在实数集R上的可导函数，是其导函数，则下列说法不正确的是A. 若.为周期函数，则也是周期函数；B. 若.为奇函数，则是偶函数；C. 若，为偶函数,则是奇函数；D. 若为单调函数,则也是单调函数.10. 不等式•的解集为(4，b)，则实数b的值为A.9B. 18C. 36D.4811. 半径为2的球面上冇P,M,N,R四点，且PM,PN,PR两两垂直，则的最大值为A. 8B. 12C. 16D. 2412.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点，若为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是A.()B.()C. (•)D. (1,1 +)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为_______.14. 的展开式中x4的系数为_______.15. 函数y=sinx 的定义域为[a,b]，值域为[-1,，]，则b-a的取值范围是_______16.正三棱锥S-ABC中，侧棱与底面所成角的余弦值为，点M,N分别为棱S C、SA的中点，则异面直线AM与B N所成角的余弦值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明8证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分）已知中，，，设.(1 )用表示；(11)求的单调递增区间.18. (本小题满分12分）某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2012年佛山二模理科数学试题以及解答(Word超精美版)

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学 (理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()U A B = ð（）A ．{}4,5B ．{}2,3C ．{}1D ．{}1 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 3．若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（）A ．2B ．34 C ．23D ．0 4．已知,a b 为实数,则“||||1a b +<”是“1||2a <且1||2b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数xy =,()(),00,x ππ∈- 的图像可能是下列图像中的（） A ． B ． C ． D ．6．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ= ,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 7．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（） A ．2 B C ． D ．2- 8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）2⎛⎤{}12⎧⎫1⎡⎤2012年4月18日FAEDBC二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9. 设i 为虚数单位,则()51i +的虚部为．10. 设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是．11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为．12. 直线2y x =和圆221x y +=交于,A B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为,αβ,则()sin αβ+的值为．13. 已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则1123n na a a a a a a a a a +=⋅⋅⋅⋅ ．（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线()03πθρ=≥与曲线1C :4sin ρθ=的异于极点的交点为A ,与曲线2C :8sin ρθ=的异于极点的交点为B ,则||AB =________. 15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE与圆相切,则线段CE 的长为．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）在四边形ABCD 中,2AB =,4BC CD ==,6AD =,A C π∠+∠=.（Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.PCEFBA空气质量指数PM2.5(单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:形图:（Ⅰ）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（Ⅱ）在上述30个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优的天数,求X 的分布列.18．（本题满分14分）如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中点,F 为PC 中点.（Ⅰ）求证:CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求证://BF 平面ACE ；（Ⅲ）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；19．（本题满分14分）已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个交点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于 12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.ABCD记函数()()()*112,nn f x x n n =+-≥∈N的导函数为()nf x ',函数()()ng x f x nx =-.（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若实数0x 和正数k 满足：()()()()0101n nn n f x f k f x f k ++'='，求证：00x k <<.21．（本题满分14分）设曲线C ：221x y -=上的点P 到点()0,n n A a 的距离的最小值为n d ,若00a =,1n n a -,*n ∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证:321212435214622n n n n a a a a a aa a a a a a -+++++<+++ ；（Ⅲ）是否存在常数M ,使得对*n ∀∈N ,都有不等式:33312111nM a a a +++< 成立?请说明理由.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考答案数学 (理科)二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9．4-； 10．5； 11．25； 12．45-； 13.4；三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16．【解析】（Ⅰ）如图,连结AC ,依题意可知,B D π+=, 在ABC ∆中,由余弦定理得22224224cos AC B =+-⨯⨯ 2016cos B =-在ACD ∆中,由余弦定理得22264264cos AC D =+-⨯⨯ 5248cos 5248cos D B =-=+由2016cos 5248cos B B -=+,解得1cos B =-2012年4月18日PC DEF B A OGP CD E F B AO G H 从而22016cos 28AC B =-=,即AC =6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin sinB D ==,所以11sinsin 22ABCD ABC ACD S S S AB BC B AD CD D ∆∆=+=⋅+⋅==………12分 17．【解析】（Ⅰ）由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 1683015=.…………………4分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,则()2222302310435C P X C ===,()118222301761435C C P X C ===,()28230282435C P X C === 所以X 的分布列为:18．所以PA CD ⊥,又因为直角梯形面ABCD 中,AC CD == 所以222AC CD AD +=,即AC CD ⊥,又PA AC A = ,所以CD ⊥平面PAC ；………4分（Ⅱ）解法一:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接,,BG FG EO ,则在PCE ∆中,//FG CE ,又EC ⊂平面ACE ,FG ⊄平面ACE ,所以//FG 平面ACE , 因为//BC AD ,所以BO GE OD ED =,则//OE BG , 又OE ⊂平面ACE ,BG ⊄平面ACE ,所以//BG 平面ACE ,又BG FG G = ,所以平面//BFG 平面ACE , 因为BF ⊂平面BFG ,所以//BF 平面ACE .………10分解法二:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接FD 交CE 于H ,连接OH ,则//FG CE ,在DFG ∆中,//HE FG ,则12GE FH ED HD ==, 在底面ABCD 中,//BC AD ,所以12BO BC OD AD ==,所以12FH BOHD OD ==,故//BF OH ,又OH ⊂平面ACE ,BF ⊄平面ACE , 所以//BF 平面ACE .………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,CD ⊥平面PAC ,所以DPC ∠为直线PD 与平面PAC 所成的角,在Rt PCD ∆中,CD PD ===所以sin CD DPC PD ∠===, 所以直线PD 与平面PAC ………14分 ……12分19．【解析】（Ⅰ）解法一:由题意得223a b -=,223114a b+=,解得224,1a b ==, 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分解法二:椭圆的两个交点分别为())12,F F ,由椭圆的定义可得12712||||422a PF PF =+=+=,所以2a =,21b =, 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M x x y =+; 设圆G 的圆心为00001,211x x h y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 则2r =22220000000000112111411x x x x x h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=++⎢⎥ ⎪ ⎪+-++-⎝⎭⎝⎭⎣⎦,22200001411x x OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭ 2222222200000200000114114111x x x x x OT OG r h h y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=++---=⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ 而220014x y +=,所以()220041x y =-,所以()202204141y OT y -==-, 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分解法二:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M xx y =+; 则20002000||||111x x x OM ON y y y -⋅=⋅=-+-,而220014x y +=,所以()220041x y =-, 所以2020||||41x OM ON y ⋅==-,由切割线定理得2||||4OT OM ON =⋅= 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分 20．【解析】（Ⅰ）由已知得()()11ng x x nx =+--,所以()()111n g x n x -⎡⎤'=+-⎣⎦.………………2分① 当2n ≥且n 为偶数时,1n -是奇数,由()0g x '>得0x >;由()0g x '<得0x <.所以()g x 的递减区间为(),0-∞,递增区间为()0,+∞,极小值为()00g =.……………5分 ② 当2n ≥且n 为奇数时,1n -是偶数,所以()g x 的递减区间为()2,0-,递增区间为(),2-∞-和()0,+∞,此时()g x 的极大值为()222g n -=-,极小值为()00g =.……………8分（Ⅱ）由()()()()0101n nn n f x f k f x f k ++'='得()()()()()10101111111n nn n n x k n x k -+++-=+++-,所以()()()10111111n n n k x n k +⎡⎤+-⎣⎦+=⎡⎤++-⎣⎦,()()()()0111111nnnk k x n k -++=⎡⎤++-⎣⎦……………10分显然分母()()1110n n k ⎡⎤++->⎣⎦,设分子为()()()()1110nh k nk k k =-++>则()()()()()()11111110n n n h k n k n k nk n n k k --'=+++-=++>所以()h k 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h k h >=,故00x >……………12分又()()()()10111111n nk n k x k n k +++-+-=⎡⎤++-⎣⎦,由（Ⅰ）知,()()11ng x x nx =+-- 是()0,+∞上的增函数,故当0x >时,()()00g x g >=,即()11nx nx +>+,所以()()1111n k n k +++>+所以00x k -<,从而0x k <. 综上,可知00x k <<.……………14分 21．【解析】（Ⅰ）设点(),P x y ,则221x y -=,所以||n PA == 因为y R ∈,所以当2n a y =时,||n PA 取得最小值n d,且n d =又1n n a -,所以1n n a +,即1n n d +=将1n n d +=代入n d=1n +=两边平方得2212n n a a +-=,又00a =,212a =故数列{}2n a 是首项212a =,公差为2的等差数列,所以22na n =, 因为1n n a -0>,所以n a ………………………………………6分（Ⅱ）因为()()()222122120n n n n +--+=-<,所以()()()2221221n n n n +-<+所以2221212n n n n a a a a +-+<所以2122122n n n n a a a a -++<,所以321212434562122,,,n n n n a a a a a aa a a a a a -++<<<以上n 个不等式相加得321212435214622n n n n a a a a a aa a a a a a -+++++<+++ .…………………10分（Ⅲ）因为31k a =当2k ≥时<===<=<=<2211n nk k==<=<∑所以3111142n ni kia===<=+∑.故存在常数14M=+对*n∀∈N,都有不等式:33312111nMa a a+++<成立. …………14分。

佛山市顺德区2020届高三第一次教学质量检测(理数试题)

佛山市顺德区 2020 届高三第一次教学质量检测数学（理科）考生注意：1.本试卷分第 I 卷 (选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分。

考试时间 120 分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 z2 i，则 z z1 iA.1B. 1C.3D.32.设集合 Ax | x a 2 ，Bx | x 3a 2 ，若AB，则实数 a 的取值范围为A. (1，2)B. (，1) ( 2，）C. [1，2]D.( ，1] [2，）3. 若曲线 y sin( 4x） 02x关于点 ( 0) 对称，则=12 ，A.2 或 5B.或4C.5或 11D.6 或73 33 36 664. 若 x 0， y 0 ，则下列不等式一定成立的是A. 2x 2y x 2B. 2x 2 y log 1 ( x 1)2C. 2 y2x x 2 D.2y 2x log 1 ( x 1)25. 如图， AB 是圆 O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则 AB=A. AC ADB. 2 AC 2ADC. ADACD. 2 AD 2AC6. 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿 . ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形（另一种是顶角为 108°的等腰三角形 ). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC=51.根AC 2据这些信息，可得 sin23412 5 B.35A.48C.5 1D.45482x ，x 17. 若函数 fx2，在 ( ， a] 上的最大值为 4 ，则 a 的取值范围为log 2 ( x ，11) xA. 0 ，17B. (，17]C. 1，17D. [1， )8. 如图，圆 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为 1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点 A(2 ，15），则圆 C 的半径为A. 72B.8C. 8 2D. 10点燃9. 为了配平化学方程式 a FeS 2 b O 2c Fe 2 O 3d SO 2 ，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入A. ac ，b 3c2d， c=c 2B.ac ，b 3c2d，c=c 133C. a2c ，b3c2d，c=c 2D.a2c ，b 3c2d， c=c 12210. 2019 年 7 月 1 日迎来了我国建党 98 周年， 6 名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡 . 6 名老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的 3 名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为 0.75 元 . 若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为A.20.5 元 B. 21 元C.21.5 元 D. 22 元11. 在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，G 分别为 AA 1 ， BC ， C 1 D 1 的中点，现有下面三个结论：①△ EFG 为正三角形；②异面直线 A 1G 与 C 1F 所成角为 60 ；③ AC// 平面 EFG .其中所有正确结论的编号是A. ①B. ②③C. ①②D. ①③12.函数 f ( x)( x 3 3x)e x - 1 在区间 [ 3，2) (2 ，3] 上的零点个数为x 2A.2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填在答题卡中的横线上 .13.随着互联网的发展，网购早已融人人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购 2箱苹果恰有 1箱在运输中出现碰伤的概率为______________.14.设 a ，b， c分别为△ABC 内角A， B，C的对边.已知a s i n A2bc o s A c2o s C，则c tancoAs A c o s B .15.已知直线 yx2y21(a0， b0) 的一条渐近线交于点P ，双曲a 与双曲线 C :2b2a线C 的左、右顶点分别为A1 A2|，若|PA2 |5|A1A2|C的离心率为，2，则双曲线______________.16.在四棱锥 P ABCD 中， PD AC， AB平面 PAD ，底面 ABCD 为正方形，且CD PD =3.若四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为 ____________；当四棱锥P ABCD 的体积取得最大值时，二面角 A PC D 的正切值为 ______________.（本题第一空 2分，第二空 3分）三、解答题：共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分 .17. （ 12 分）在公差为 d 的等差数列{ a n}中，a1d 6 ， a1N ，d N ，且a1 d .（1）求{ a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列{1} 的前 n 项和 S n. anan 118.（12 分）如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧面ABB1 A1为菱形， D 为 AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，ACB，ABB1，且AB B1C .23（1）证明：CD平面ABB1A1.（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值.19. （12 分）某市为了解本市1 万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这 1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布 N (69 ，49) .（1）从这 1 万名小学生中任意抽取1 名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在 (62 ，90)内的概率；（2）现在从总体中随机抽取12 名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67 ，90 .从这 12个数据中随机选取4 个，记 X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差 .参考数据：若Y ~ N (u ， 2 ) ，则P( Y ) 0.6827，P(2 Y 2 ) 0.9545 ，P(3Y3..97320. （12 分）已知椭圆 C :x 2y 222 1(a b 0) 的长轴长为 2 2，焦距为2，抛物线abM : y 22 px( p 0) 的准线经过 C 的左焦点 F .（ 1）求 C 与 M 的方程；（ 2）直线 l 经过 C 的上顶点且 l 与 M 交于 P ，Q 两点，直线 FP ， FQ 与 M 分别交于点 D（异于点 P ）， E （异于点 Q ），证明：直线DE 的斜率为定值 .21. （ 12 分）已知函数 f ( x)1x 2 (2lnx 1) ax(lnx 2)1 x2 .42（1）讨论 f (x) 的单调性 .（2）试问是否存在 a (， e] ，使得 f ( x) 1a [1， ) 恒成立？若存3sin，对 x44在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共 10 分 .请考生在第22、 23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。

2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图主视图俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分．（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分．（2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）．依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角．在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33．法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示．当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ，故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分（2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出与坐标，表示出，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除选项；利用排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为
又因为，
所以，即函数为偶函数，故排除；
又因为，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

2020届河北省石家庄市高三下学期质量检测(二模)理综物理高频考点试题(基础必刷)

2020届河北省石家庄市高三下学期质量检测（二模）理综物理高频考点试题（基础必刷）学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：75分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，一个立方体空间被对角平面划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。

一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。

下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（）A．B．C．D．第(2)题质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是（）A．B．C．D．第(3)题下列关于磁铁的使用的说法中不正确的是（）A．磁铁受到撞击会使磁铁的磁性减弱B．原先没有磁性的铁，在长期受到磁铁的吸引会产生磁性C．对磁铁加热会使磁铁的磁性减弱D．永磁体在受到加热或敲打后，其磁性不会发生改变第(4)题“西电东送”是国家重大工程。

如图为某水电站远距离输电的原理图，发电厂输出的电压恒为U，通过升压变压器将电压升高至kU向远处输电，在用户端用降压变压器把电压仍降为U供用户使用，下列说法正确的是（）A．降压变压器原线圈匝数为副线圈匝数的k倍B．若用户功率增大，则输电线上损失的功率也增大C．若用户功率增大，升压变压器的输出电压也增大D．若用户功率增大，降压变压器的输出电压也增大第(5)题如图所示在同一地点的不同高度处以相同方向水平抛出甲乙两小球．已知两球在空中某处相遇，则甲乙两球（）A．同时抛出，抛出时乙速度较大B．同时抛出，抛出时甲速度较大C．甲先抛出，抛出时乙速度较大D．甲先抛出，抛出时甲速度较大第(6)题在楼房维修时，为防止重物碰撞阳台，工人经常使用如图所示的装置提升重物。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题36 基本不等式(解析版)

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…，所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=，又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==，由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心，连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________．【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去）当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，，又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩，故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤，综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。

广东省佛山市禅城区2020届高三上学期统一调研测试(二)语文试题扫描版含答案

禅城区2020届高三统一调研测试（二）语文参考答案1. C [ 丁三给孩子起名为“阎王”，是因为“这小子跟我小时候一样，贼胆大，鬼都不怕！”所谓的“反制措施”是杜吉祥自己认为的。

]2.（6分）①嫉妒狭隘。

对于丁三处处优于自己，杜吉祥心生嫉妒之心，竟利用给丁三看风水的机会，为其看了一扇“鬼门”。

②胆怯脆弱。

对于当年的错事，杜吉祥不敢当面承认，只能“将错就错”，可以看出其内心的胆小与怯懦。

③心怀良善。

虽然没有承认错误，但杜吉祥多年以来一直处于愧疚之中。

④勇于认错。

杜吉祥此前一直避免回家乡，不敢面对丁三，但最后还是鼓起勇气，直面现实。

[共6分。

每点2分，答对3点可得满分。

小说中的杜吉祥是一个“圆形人物”，性格多元同时又处于发展变化之中。

分析其性格，既要注意到过去的杜吉祥，也要注意到现在的杜吉祥。

其他答案只要合情合理，亦可酌情得分。

]3.（6分）①从内容上讲，小说的主要内容都与当年的“风水事件”有关。

②从情节上讲，小说的开头点出“风水”，中间不断回忆“风水”，最后揭示“风水”，情节曲折连贯。

③从人物形象上讲，对待“风水”的不同态度，形成了人物的主要特征，丁三的豁达恬淡以及杜吉祥的性格，都与“风水事件”有关。

④从故事主题上讲，本文意在说明，“风水”的迷信存于人的内心之中，只要人心正步履实，就不怕任何鬼神玄怪的“风水”。

[ 共6分。

每点2分，答对3点可得满分。

]4．C [ 时信州为蛮酋向五子王等所围，弘又遣迁哲赴援。

比至，信州已陷。

五子王等闻迁哲至，狼狈遁走。

]5．C [ 起算之年称“建元”。

]6．D [ “他用葛根磨粉代替米，分给兵士吃”有误，应为“用葛根粉磨粉掺上米，和大家一起吃，若有美味，就分赏给士兵。

”]7.（1）（我）世代承蒙梁国的恩惠，未能报恩效力，又不能为保全节操而死，实在因此感到羞愧啊。

[ 共4分。

“荷”“死节”各1分，句意2分。

]（2）接纳投降如同受到敌方的攻击，我观察对方使者的神情还很高傲，恐怕会有欺诈吧？[ 共4分。

2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析______年______月______日____________________部门20xx最新高三理科数学二轮复习：专题六第三讲正态分布、统计与统计案例-含解析第三讲正态分布、统计与统计案例高考导航1．考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算．2．考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检验．3．与概率知识交汇进行综合考查.1．(20xx·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了20xx年1月至20xx年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析] 折线图呈现出的是一个逐渐上升的趋势，但是并不是每个月都在增加，故A说法错误；折线图中按照年份进行划分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B说法正确；折线图中每年的高峰出现在每年的7,8月，故C说法正确；每年的1月至6月相对于7月至12月的波动性更小，变化的幅度较小，说明变化比较平稳，故D说法正确．[答案] A2．(20xx·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A．160 B．163C．166 D．170[解析] 由题意可得＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，即＝4x＋70.当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.[答案] C3．(20xx·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．[解析] 从丙种型号的产品中抽取的件数为60×＝18.[答案] 184．(20xx·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2＝.[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2＝≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg)．考点一正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x＝μ对称，且在x＝μ处达到峰值．(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布X～N(μ，σ2)的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(2)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[思维流程][解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B(16,0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.i ＝116x2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.正态分布应关注的两点(1)利用P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求解．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来求解．[对点训练]1．(20xx·兰州检测)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)[解析] 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错．[答案] C 2．某校组织了“20xx年第15届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(72,121)(单位：分)，此次考生共有500人，估计数学成绩在72分到83分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544.)( )B．170A．238D．477C．340 [解析] 因为X～N(72,121)，所以μ＝72，σ＝11，又P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，所以P(61<X<83)＝0.6826，因为该正态曲线关于直线x＝72对称，所以P(72<X<83)＝P(61<X<83)＝×0.6826＝0.3413，所以0.3413×500＝170.65，从而可得在72分到83分之间的人数约为170，故选B.[答案] B考点二抽样方法、用样本估计总体1．抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样．2．频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2][对点训练]1．(20xx·怀化二模)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为( )B．26A．27D．24C．25 [解析] 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27，故选A.[答案] A 2．(20xx·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )B．60A．56D．140C．120 [解析] 由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.[答案] D 3．(20xx·山东临沂一模)传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的平均数等于乙的中位数[解析] 由茎叶图，知：甲＝(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x －乙＝(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s ＝[302＋162＋32＋92＋(－5)2＋(－3)2＋(－18)2＋(－17)2＋(－15)2]≈235.3，s ＝[212＋132＋02＋42＋(－10)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－18)2]≈120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，∴甲的方差大于乙的方差．故选C.[答案] C4．(20xx·正定中学抽测)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为________，中位数为________．[解析] 由图可知，平均数＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x ＝124.[答案] 125 124统计问题应关注的3点(1)分层抽样的关键是确定抽样比例，系统抽样主要是确定分段间隔，应用等差数列计算个体号码数．(2)在频率分布直方图中，众数为最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为垂直横轴且平分直方图面积的直线与横轴交点的横坐标，平均数为每个小矩形的面积乘以相应小矩形底边中点的横坐标之积的和．(3)计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．考点三线性回归分析、独立性检验1．线性回归方程方程＝x ＋称为线性回归方程，其中＝，＝－；(，)称为样本中心点．2．独立性检验K2＝(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．角度1：线性回归方程的求解及应用【例2－1】 (20xx·全国卷Ⅲ)下图是我国20xx 年至20xx 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份20xx ～20xx. [解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，(ti －)2＝28，＝0.55，i ＝17 (ti －)(yi －)＝iyi －i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，a ^＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为＝0.92＋0.10t.将20xx 年对应的t ＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测20xx 年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．角度2：独立性检验的应用[解] (1)优秀非优秀合计甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩是否优秀与班级有关系”．(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)．②在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练]1．[角度1]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)如下表：年份x20xx20xx20xx20xx20xx储蓄存款y/千亿元567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－20xx，z＝y－5得到下表：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程＝x ＋，其中＝，＝－) [解] (1)令z 关于t 的线性回归方程为＝t ＋，∵＝3，＝2.2，izi ＝45，＝55，b ^＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴＝1.2t －1.4.(2)将t ＝x －20xx ，z ＝y －5，代入＝1.2t －1.4，得－5＝1.2(x －20xx)－1.4，即＝1.2x －2408.4.(3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6(千亿元)，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．2．[角度2](20xx·××市高三第一次调研)近年来，随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方法从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如表：愿意被外派不愿意被外派合计 70后 20 20 40 80后402060合计6040100(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y.求x<y的概率．参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. [解] (1)有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由如下：K2＝错误!＝错误!＝≈2.778>2.706，所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．(2)“x<y”包含“x＝0，y＝1”、“x＝0，y＝2”、“x＝0，y＝3”、“x＝1，y＝2”、“x＝1，y＝3”、“x＝2，y＝3”六个事件，且P(x＝0，y＝1)＝×＝，P(x＝0，y＝2)＝×＝，P(x＝0，y＝3)＝×＝，P(x＝1，y＝2)＝×＝，P(x＝1，y＝3)＝×＝，P(x＝2，y＝3)＝×＝，所以P(x<y)＝＝＝.即x<y的概率为.热点课题23 统计知识的实际应用[感悟体验](20xx·山西吕梁二模)某校某次N名学生的学科能力测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．(1)求总人数N和分数在110～115分的人数n；(2)现准备从分数在110～115的n名学生(女生占)中选3位分配给A老师进行指导，求选出的3位学生中有1位女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.[解] (1)分数在100～110内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数为N ＝＝60，分数在110～115内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1，分数在110～115内的人数为n ＝60×0.1＝6.(2)由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，从6名学生中选出3人，有1位女生的概率为P ＝＝.(3)计算＝×(88＋83＋117＋92＋108＋100＋112)＝100，y －＝×(94＋91＋108＋96＋104＋101＋106)＝100；由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到＝＝＝0.5，a ^＝－＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为＝0.5x ＋50，∴当x ＝130时，＝0.5×130＋50＝115.。

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4，则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12，即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积．解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心．又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π．故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3；故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用，考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ．由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ，又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)．设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)．设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ，所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆，所以a =√6，c ＝2，b =√2，故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2，当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02，所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5，解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）；（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ，由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3，可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020届广东省佛山市高三下学期二模考试理科综合生物试卷及解析

2020届广东省佛山市高三下学期二模考试理科综合生物试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.细胞自噬是指细胞内衰老、损伤的细胞器,过量储存的糖原等,可被内质网膜包裹形成自噬体；当自噬体与溶酶体融合后,形成白噬溶酶体,将包裹的内容物降解。

关于该过程的说法正确的是（）A. 细胞自噬的结果就是细胞凋亡B. 吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌属于细胞自噬C. 降解后的产物均排放至细胞外,避免对细胞造成损伤D. 自噬溶酶体的形成反映出生物膜的组成成分和结构具有相似性【答案】D【解析】细胞凋亡是细胞的编程性死亡,细胞的自然更新、被病原体感染细胞的清除是通过细胞凋亡完成的；溶酶体内部含有多种水解酶,主要功能是吞噬消化作用。

有两种吞噬作用：一种是自体吞噬,另一种是异体吞噬。

【详解】A、细胞自噬是细胞内部分衰老、损伤的细胞器的消除,并非一定会导致细胞的凋亡,A 错误；B、吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌属于降解细胞外的结构,不属于细胞自噬,B错误；C、细胞中降解后的产物如氨基酸等可以重新被细胞利用,C错误；D、自噬体与溶酶体融合形成自噬溶酶体, 生物膜之间的融合过程体现了生物膜在组成成分和结构上具有相似性,D正确。

故选D。

溶液混合置于密闭反应室,提供一定的光照,水2.研究人员将某植物的绿色果肉薄片与NaHCO3浓度,结果如下图所示。

下列相关叙述错误的是（）浴加热保持恒温,测定反应室中O2A. NaHCO3溶液的作用是提供光合作用的原料CO2B. 15～20 min O2浓度不变,表明光合作用已经停止C. 若在15 min时停止光照,则短时间内叶绿体中C3化合物含量增多D. 若在20 min后停止光照,推测20～25 min范围内曲线斜率为负值【答案】B【解析】NaHCO3分解可产生CO2,因此在反应室中加入NaHCO3的主要作用是提供CO2。

二氧化碳进一步影响光合速率。

【详解】A、NaHCO3分解可产生CO2,NaHCO3液的作用是提供光合作用的原料CO2,A正确；B、15～20 min O2浓度不变,原因是光合产氧量与呼吸耗氧量相等,B错误；C、若在15 min时停止光照,则光反应产生的ATP和[H]减少,而光反应产生的ATP和[H]用于暗反应三碳化合物的还原,所以C3化合物含量增多,C正确；D、若在20 min后停止光照,光合作用产生氧气速率减慢,而呼吸速率消耗氧气速率不受影响,因此氧气不断减少,曲线将下降,即曲线斜率为负值,D正确。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题51 双曲线(解析版)

考点51 双曲线1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，所以2p c =,由224y px cx ==，22221x y a b-=得2222222()4()0c a x a cx a c a ----=解得12()(),a c a a c a x x c a c a +--==-+，所以(),A a c a x c a+=- 不妨设c,0F（）,则222343()()A A AF A A A A y y k cx x c x c x c ==⇒=⇒=---, 因此222222()()43()4()3(2)a c a a c a cc ca c a a ac c c a c a++=-∴-=+---，2224324(1)3(12),31661630e e e e e e e e ∴-=+--+++=，222(341)(43)013e e e e e e +∴----=>∴=或2e =，因为点A 在x 轴上方，所以2()20,112A a c a x c e e e e c a+=>∴+-<>∴<<-因此23e +=，选B. 2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线22:14y x C m -=(0)m >的0y ±=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C D ．2【答案】B 【解析】已知双曲线C y 0±=，且0m >=，得12m =.4c ==，所以双曲线C 的离心率为c e a ===故选：B3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C D【答案】B 【解析】解：由双曲线的定义得：|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，（不妨设该点在右支上）又|PF 1|+|PF 2|＝3b ，所以()()1211233222PF a b PF b a =+=-，，两式相乘得()22199444b a ab -=．结合c 2＝a 2+b 2得53c a =．故e 53=．故选：B ．5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为53的双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，若点P 是抛物线212y x =的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程是（）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=【答案】C 【解析】对于A ，221169x y -=的离心率为54e =，不合题意；对于B ，22134x y -=的离心率为3e =，不合题意；对于D ，22143x y -=的离心率为e =，不合题意；对于C ，221916x y -=的离心率为53e =，符合题意.故选C.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A B C D 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc +-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =34+ ,负值舍去,故选C. 7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A ．3y x =± B ．y = C ．7y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】22243c b c =⇒=，即223bb a a=⇒=B 。

专题4-2 三角函数图像与性质归类-(原卷版)

专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb；：确定函数的周期T ，则可2T得＝；：常用的方法有代入法和五点法．把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。

2020届二轮(理科数学) 等比数列及其前n项和专题卷(全国通用)

2019届二轮（理科数学）等比数列及其前n 项和专题卷（全国通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考】已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 14 D. 12【答案】A【解析】∵等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，∴22464a a =，又偶数项同号，∴462a a =∴212q =，∴2311a a q =⨯= 故选：A2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若321510,9S a a a =+=，则1a =（） A ．13-B ．13C ．19-D ．19【答案】D3.【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意，当时，故当时，数列是等比数列则，故解得故选4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（）A ．31B ．36C ．42D ．48 【答案】A5. 【改编题】函数y =图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是（）A ．21B C ．1 D ．33【答案】A【解析】函数y =2，最大值为4，故2122q ≤≤，即q ≤≤，而12< A. 6.【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数．参考数据：，）（）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日【答案】C由题意可得：，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．7.【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为A．B．C．D．【答案】B【解析】设这女子每天分别织布形成数列{a n}．则该数列{a n}为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5．∴，解得a1=．∴a3=．故答案为：B8. 【河北省衡水中学2018届高三上学期二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （） A.3 B.4C.5D. 6【答案】C【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11m m a a qS q-=-11=-，故11a =-，又1116m m a a q-=⋅=-，代入可求得5m =．10.【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】已知数列是等比数列，若，，则（）的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．详解：由已知得数列{a n }的公比满足q 3==，解得q=，∴a 1=2，a 3=，故数列{a n a n+1}是以2为首项，公比为=的等比数列，∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1==∈，故选：C ．11．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a 的值为（）A.B.C.D.【答案】B12．【2018年衡水金卷调研卷】已知数列满足，且对任意的都有，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】数列满足，当时，当时，，则数列为首项为，公比为的等比数列则则的取值范围为故选二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 【改编题】设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若,13221=+a a 433a a =，则=+n n a S 2 ．【答案】114. 【改编题】已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .【答案】310．【解析】1,,9a 成等比数列，219,3a a ∴=⨯∴=．又121,,,9b b 是等差数列，121231910,10a b b b b +=+=∴=+． 15.【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数，数列为等比数列，，，则．【答案】【解析】∵，∴∵数列{a n }是等比数列，∴∴设S 2019=f （lna 1）+f （lna 2）+…+f （lna 2019）①， ∵S 2019=f （lna 2019）+f （lna 2018）+…+f （lna 1）②， ①+②得2S 2019=2019， ∴S 2019故答案为：.16．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为．【答案】3.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试】已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和满足，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】分析: (1)根据，，成等差数列求数列的公比,再求数列的通项公式.（2）先化简，再利用裂项相消求的值详解：（1）设数列的公比为，由，得，即，∴，∵是单调递减数列，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）得，∴，∴，∴或，∵，∴．18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =31，得1a =1，故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈） ………………6分（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ① 31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－nn 312- =12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以n T =3－131-+n n .19．【2017全国卷2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .20．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套模拟考试】已知正项数列满足且.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明：数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】分析：(1)由条件易得 =，从而说明数列为等比数列，进而得到数列的通项公式；(2)，放缩后利用等比数列求和公式即可证明结果. 详解：证明：（1）由，知，，所以是以为首项，为公比的等比数列，故而，所以．（2），．21.【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试数学（理）】已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明: ；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.（2），，相减得：，从第二项起成等比数列，即，得，若使是等比数列则，，（舍）或经检验得符合题意．22.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2n nS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-试题解析：（1）由已知，121242n n n a --=⋅=，则2log 21n a n =-．设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则()21212n n S n n +-=⋅=，()22224n S n n ==．所以24n nS S =，故数列{}2log n a 是“和比数列”．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩因为0d ≠，则4p =，4d = 所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-。

截面问题(含详细解析)

几何体截面问题①定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做这个几何体的截面. 截面不唯一，好的截面应包含几何体的主要元素！②画法：常通过“作平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的研究课题.③思想：作截面是研究空间几何体的重要方法，它将陌生空问题转化为熟悉的平面问题！技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

1．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R=+=，所以4R =，故选：B ．2．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D 【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内，所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A ．89π B ．1118πC ．512π D ．49π 【答案】A【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222111372d a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =,所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.在ABC V 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D V 中，OD = 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，所以21216R π-π=π，228R =，球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=，又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号，故选：B ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（）A ．2B C ．D ．【答案】A【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，又1CA CB C =I ，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ，所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF V 为所求截面.易知MEF V 为正三角形，边长ME ==故12MEF S ==V 故选：A.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（）A ．90︒B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D V 为等边三角形，因此1160B AD ∠=︒.故选：D.9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为//EF BC EF ⊄，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH I 平面BDC GH =，所以//EF GH .同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得EF AF FC FGBC AC AC AD==，，所以EF FG AF FCBC AD AC AC+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=，所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；212EFGHEF FG S EF FG ⨯⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：D10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．4B C ．4D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（） A ．43B ．94C ．92D ．3【答案】B【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ，且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF = 得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<，则3FG x =，()31HG x =-，于是2199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值94. 故选：B. 二、填空题12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）【答案】①③④【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ,所以AGH ∠就是异面直线EF 与AG 所成的角易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===2cos 36AGH ∠==，①正确；图1 图2 图3矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG ==所以EFGH S ==分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),A E(1,0,0),(1,2,2)F G ，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r ，因为110,0AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，1113G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确. 故答案为：①③④13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥11B BED -为三棱锥11E BB D -,则底面11BB D 不变,且因为1//CC 平面11BB D ,故点E 到底面11BB D 的距离即三棱锥11E BB D -底面的高不变,故三棱锥11E BB D -的体积不变,所以四棱锥11B BED F -的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点E 在点C 处时,总有CG 与平面1EBD 相交,故②错误；③由O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点,则12DO DB =,设H 为1DD 的中点,则在1D DB V 中1//OH D B ,所以//OH 平面1EBD ,故③正确；④四边形1BED F 的周长为()012C BE ED =+,则分析1BE ED +即可,将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为截面平行四边形1BED F 的周长取得最小值时唯一点E ,故④正确；故答案为:①③④14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =12S =⨯=故答案为：。

2020佛山二模理科数学就答案(定稿)

∴ AB CD 3 ， PE PF 2 ， BE CF 2 ， AE DF 1． ∵平面 PAB 平面 PCD ，∴ EPF 90 ．∴ EF 2 ．
取 EF 的中点为 O ，连接 OP ，则 OP EF ， OP 1． ……………………………………………8 分
以 O 为坐标原点，分别以 OM ,OF ,OP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示，则
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）设数列{an} 的公比为 q ，依题意，得 S1 (S3 ) 2S2 ， ……………………………1 分所以 (a2 a3) 2(a1 a2 ) ，得 a1(q q2 ) 2a1(1 q) ，且 a1 0 ，所以 q2 3q 2 0 ，解得 q 1 或 q 2 ， …………………………………………………………3 分
（2） f (x) 2
1 cos x ，令 g(x)
xa
2
1 xa
cos x ， g(x)
1
3
4(x a) 2
sin x
，
……6 分
∵a
1 4
，∴ g(x) 是 (0,
π) 2
上的增函数，又 g(0)
0
， g( π ) 2
1
1
4(
π
a)
3 2
0
，
2
故存在唯一实数
t0
(0,
π 2
)
，使
g (t0
2(
π 2
x0 )
π
2x0
，
则
f (x0 ) x0
2
1 cos

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019～2020学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改
动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x｜x2＞2 x }，B＝{x｜1≤x≤3}，则A∪B＝（）
A、{x｜0≤x＜1}
B、{x｜x<0或x≥1}
C、{x｜2＜x≤3}
D、{x｜x≤1或x>3}
2．复数z满足(z＋2)(1＋i)＝3＋i，则｜z｜＝（）
A、1B C D、2
3．(1)10的二项展开式中，x的系数与x4的系数之差为（）
A、-220
B、-90
C、90
D、0
4．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为（）
A 、3
B 、4
C 、18
D 、40
5．设函数()f x ＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x ，则下列结论错误的是（）
A 、()f x 的最小正周期为π
B 、y ＝()f x 的图像关于直线x ＝8π对称
C 、()f x 的最大值为2＋1
D 、()f x 的一个零点为x ＝
78
π 6．已知，则（） A 、a <b <c B 、a <c <b C 、c <a <b D 、b <a <c
7．已知点A (3，－2)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则|BF |＝（）
A 、6
B 、8
C 、10
D 、12
8．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）
A 、3
5 B 、79 C 、715 D 、3145
9．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：
下列结论中不正确的是（）
A 、2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长
B 、2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些
C 、2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上
D 、2019年3月份的居民消费价格全年最低
10．已知P 为双曲线C ：22221(00)x y a b a b
-=>>，上一点，O 为坐标原点，F 1，F 2为曲线C 左右焦点．若｜OP ｜＝｜OF 2｜，且满足tan ∠PF 2F 1＝3，则双曲线的离心率为（）
A 、52
B 、2
C 、102
D 、3 11．已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，∠AOB ＝∠AOC ＝60º，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为1，则球O 的表面积为（）
A 、4π
B 、9π
C 、16π
D 、20π
12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1(-a ，0)，F 2(a ，0)距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线C ．已知点P (x 0，y 0)是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（）
①双纽线C 关于原点O 中心对称；②；
③双纽线C 上满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有两个；④|PO |的最大值为2a ． A 、①② B 、①②④ C 、②③④ D 、①③
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．设命题
，则⌝p 为． 14．已知函数，若f (a )＝-3，则f (-a )＝．
15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝6
π，则AB BC u u u r u u u r g ＝________；点P 是直线AD 上的动点，则的最小值为________．
16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）．
该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37º；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53ο．测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为米．（精确到0.1）
参考数据：
三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)
已知等比数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0)，满足S1，S2，-S3成等差数列，且a1a2＝a3．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD是矩形，PA＝PD＝3，PB＝PC＝6，
∠APB＝∠CPD＝90ο，点M，N分别是棱BC，PD的中点．
（1）求证：MN//平面PAB；
（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22，且过点(2，1)．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过坐标原点的直线与椭圆交于MN ，两点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：|PM ||＝PN |．
20．(本小题满分12分)
2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x (5≤≤x 20)（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．
x
5 7 9 11 y 200 298 431 609
工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
模型①：
；模型②：．
其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件
产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量，分布列为：
结合你对（1）的判断，当产量x 为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？
21．(本小题满分12分) 已知函数()-f x x a =-sin x (x ≥a )．
（1）若()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围；
（2）若a <－
14，证明：()f x 在(0，2π)有唯一的极值点x 0，且
．
请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．
22．(本小题满分10分)[选修44-：坐标系与参数方程选讲]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．
（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为(4，0)，射线θ＝α（0<α<2
π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，若∠AMB ＝
4
π，求tan α的值．
23．(本小题满分10分)[选修45-：不等式选讲]
已知函数，a∈R．（1）若f(0)＞8，求实数a的取值范围；
（2）证明：对∀x∈R，恒成立．。