河北省唐山市开滦第二中学2017-2018学年高二6月月考数学(理)试题含答案

开滦二中2017～2018学年第二学期高二年级6月考试试卷数学（理科）一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x ∈R|4281<<x }，B ＝{x ∈R|42≤<-x }，则A ∩B 等于（ ）A. ()2,2- B. ()4,2-C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,812.在复平面内，复数z 满足 ()20131i z i =⋅+（i 为虚数单位），则复数z 所表示的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列说法正确的是（）A. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题B.“1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件C. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀0322>++x x ”D. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞在在在上为增函数”的充要条件4．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<5.平面直角坐标系中，已知两点()()3,1,1,3A B -，若点C 满足12OC OA OBl l =+（O 为原点），其中12,R l l Î，且121l l +=，则点C 的轨迹是（ ）A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线6．执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =（ ）A ．1111+2310+++…… B.1111+2311+++……C ．1111+2310+++……！！！ D.1111+2311+++……！！！7．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D 8.数列{}n a 满足11a =且1122--=-n n n n a a a a ()2≥n 则n a = （）A.21n + B.22n + C. 2()3nD. 12()3n -9.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,B,A C 的对边，且60A = ,5,7==c a ，则ABC ∆的面积等于 （ ）B.154C.D. 1010. 抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.215+ B.12+ C.13+ D.2122+11.四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A.12pB.24pC.36pD.48p12.已知函数2()4f x x =-，()y g x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log g x x =，则函数()()f x g x ×的大致图象为二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是________.14.已知向量()2,1=，()0,3=，若向量λ+与()2,1-=垂直，则实数λ等于.15.定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩. 在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x ，y 满足{}44,623min +-=+-+-y x y x y x 的概率为 16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点(),P x y 是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()ryx f -=θ．对于下列说法：①函数()f θ的值域是⎡⎣；②函数()f θ的图象关于原点对称；③函数()f θ的图象关于直线34x π=对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数()f θ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦其中正确的是．（填上所有正确命题的序号）三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知正项数列满足24(1)n n S a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和T n 。

18. （本题满分12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1­4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率． (Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P (K 2≥k 0)0.100.050.0100.005k 02.7063.8416.6357.879附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o ， 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF =1. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）在线段EF 上是否存在点M ，使得平面MAB 与平面FCB ，所成的锐二面角为45o ，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线1322=-y x 的离心率互为倒数，且直线02=--y x 经过椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于、N M 两点 ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-.（Ⅰ）若()x f 在3=x 处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x x f 35-≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线2C .（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，P 为曲线2C 上任意一点， 求22PA PB -的最大值.数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）AADBABBACBAD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）13. 等腰或直角三角形 14. 1 15.2316. ①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (Ⅰ)整理得21=--n n a a… 4分又11=a 得12-=n a n…… 6分(Ⅱ)由（1）知 )121121(21+--=n n b n …… 8分所以12+=n nT n … 12分18．解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．450015 000(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075 每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得K 2＝＝≈4.762>3. 841.300×（165×30－45×60）275×225×210×9010021所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．19、（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC =CB =1，∠ABC =60o ，∴ 2AB =，360cos 2222=⋅-+=o BC AB BC AB AC ，∴222AB AC BC =+ ∴ AC BC ⊥……3分又平面ACFE ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD∴BC ⊥平面ACFE ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC 、BC 、CF 两两垂直，分别以CF CB CA ,,为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz C -，则00)A ，(010)B 在在，设(01)M a 在在，[]3,0∈a 则)0,1,3(-=AB ，)1,1,(-=a BM ， ……7分设),,(z y x m =是平面MAB 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅，，003z y ax BM m y x AB m 取1=x ，得)3,3,1(a -=， ……9分显然)0,0,1(=n 是平面FCB 的一个法向量，……10分于是22)3(41cos 2=-+>=<a n m ，， 化简得22)0a +-=，此方程无实数解，∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角为45o …12分20、（Ⅰ）∵双曲线的离心率为332，所以椭圆的离心率23==a c e ，又∵直线02=--y x 经过椭圆的右顶点，右顶点为()0,2，即 2=a……2分∴1,3==b c∴椭圆方程为1422=+y x……4分21、解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞，2'()x af x x +=-()03='f∴3-=a ． ……2分经检验，3-=a 符合题意. ……4分（Ⅱ）解法一：设()()35ln 35ag x f x x x x x=+-=-+-则问题可转化为当0x >时，()0g x ≥恒成立．∴(1)20g a =-≥，∴2a ≥ ……6分由()223xa x x x g --='得方程()0='x g 有一负根1x 和一正根2x ，其中1x 不在函数定义域内且()g x 在2(0,)x 上是减函数，在2(,)x +∞上是增函数 即()g x 在定义域上的最小值为2()g x ……8分依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350a g x x x x =-+-≥．又22230x x a --=，∴2231a x x =- ∵02>x a ∴312>x ∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥即2266ln 0x x --≥……10分令x x x h ln 66)(--=，则x x x h 16)(-=' 当1(,)3x ∈+∞时，0)(>'x h ∴)(x h 是增函数∴2266ln 0x x --≥的解集为),1[+∞∴22232a x x =-≥ 即a 的取值范围是[2,)+∞． ……12分解法二：()53f x x ≥-恒成立，即x x x x a 53ln 2+-≥恒成立设x x x x x g 53ln )(2+-=，则，66ln )(+-='x x x g 设)()(x g x h '=，则xx x h 61)(-='，0)1()1(='=g h 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，则)()(x g x h '=是减函数∴0)(<x h ，即)(x g 是减函数，2)1()(=<g x g……8分当)1,0(∈x 时，先证1ln -<x x 设)1(ln )(--=x x x F ，则01)(>-='x x x F∴)(x F 在()1,0上是增函数且0)1(=F ∴()1,0∈x 时()01)(<<F x F ，即1ln -<x x ∴当)1,0(∈x 时，22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g ∴)(x g 的最大值为2 即a 的取值范围是[2,)+∞ ……12分。