高考数学三轮考前通关 填空题押题练B组 理
2024年新高考数学押题密卷(二)
2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2,0,2A =-，{}2,B y y x x x A ==+∈，{}2Z 60C x x x =∈-≤.则B C ⋂=（）A ．{}0,2B ．{}0,2,6C ．{}1,2,0,2-D ．{}0,2,6,22．用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若6130i i x ==∑，则61i i y ==∑（）A ．11B ．13C ．63D ．783．在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅=（）A ．16B ．16-C ．20D ．20-4．已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（）A ．函数π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数B ．函数()f x 与()f x '的值域相同C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（）A ．8πB ．8π3C D ．36．已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A ．16B ．24C ．32D ．487．已知数列{}n a 的各项均为正数，记()12n A n a a a =+++ ，()231n B n a a a +=+++ ，()342n C n a a a +=+++ ，*n ∈N ，设甲：{}n a 是公比为q 的等比数列；乙：对任意*n ∈N ，()A n ，()B n ，()C n 三个数是公比为q 的等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分又不必要条件8．设O 为坐标原点，直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与C 交于,M N 两点，其中M 在第一象限，则下列正确的是（）A ．C 的准线为14x =-B ．1344MF NF MF NF ++⋅的最小值为38C ．以MN 为直径的圆与x 轴相切D ．若(0,)Q p 且MQ MF =，则180ONQ OMQ ∠+∠>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠10．已知函数()()2e xf x x ax b =++，下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 无极值点，则()f x 没有零点B ．若函数()f x 无零点，则()f x 没有极值点C ．若函数()f x 恰有一个零点，则()f x 可能恰有一个极值点D ．若函数()f x 有两个零点，则()f x 一定有两个极值点11．正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，1μ=时，AP 与平面ABC 所成角为π4B ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥C ．当1λ=，12μ=时，平面1AB P ⊥平面1A ABD ．若1AP =，则点P 的轨迹长度为π2第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
填空题保分训练(含开放性命题)-2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型(新高考适用)(解析版)
保分02 填空题保分训练保分系列内容简介：临近高考，咱们所剩的复习时间不是很多了，更应该注重基础知识和基本题型的掌握，提高自己的学习效率。
本系列主要就是为了夯实基础，采取保分政策，减少高考中的容错率，从而避免高考中发挥失误.一共二十组填空，选自优质的模考试卷中的13-15题，适用新高考. ☆☆第一组☆☆13．（2022•沈阳一模）函数f （x ）＝2cos x ﹣cos2x 的最大值为 32 ． 【解答】解：f （x ）＝2cos x ﹣cos2x ＝﹣2cos 2x +2cos x +1，设t ＝cos x ，t ∈[﹣1，1]，则g （t ）＝﹣2t 2+2t +1＝﹣2(t −12)2+32， ∴当t =12时，g （t ）max =32，∴函数f （x ）＝2cos x ﹣cos2x 的最大值为32， 故答案为：32．14．（2022•沈阳一模）若(2x −1x 2)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x 3项的系数为 ﹣192 ．（用数字作答） 【解答】解：由已知可得2n ＝64，则n ＝6，所以二项式的展开式的通项公式为T r +1＝C 6r (2x)6−r (−1x 2)r =C 6r ⋅26−r⋅(−1)r x 6−3r ，令6﹣3r ＝3，解得r ＝1，则x 3的系数为C 61×25×(−1)=−192，故答案为：﹣192．15．（2022•沈阳一模）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 12 ．【解答】解：记A 与A 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B 表示是女生，由题意可得，P （A ）=58，P （A ）=38，P （B |A ）=35，P （B |A ）=13， 由全概率公式可得，P （B ）＝P （A ）P （B |A ）+P （A ）P （B |A ）=58×35+38×13=12，故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为12，故答案为：12． ☆☆第二组☆☆13．（2021秋•聊城期末）经过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |的最小值为 4 ．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线斜率不存在时，令x ＝1得：y ＝±2，所以|AB |＝4，当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)y 2=4x 得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，k ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k 2，|AB|=x 1+x 2+p =2+4k 2+2=4+4k 2＞4， 所以，|AB |的最小值为4． 故答案为：4．14．（2021秋•聊城期末）已知α∈(−π2，π2)，且sinα+cosα=√55，则tan α的值为 −12 ．【解答】解：因为sinα+cosα=√55， 所以两边平方，可得1+2sin αcos α=15，可得2sin αcos α=−45＜0， 又因为α∈(−π2，π2)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以cos α﹣sin α=√(cosα−sinα)2=√1−(−45)=3√55， 解得sin α=−√55，cos α=2√55，则tan α=−12．故答案为：−12．15．（2021秋•聊城期末）甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为 12 ．【解答】解：甲箱中摸到红球的概率为P1=C31C51=35，乙箱中摸到红球的概率为P2=C21C51=25，硬币正面向上时摸到红球的概率为12×35=310，硬币正面向下摸到红球的概率为12×25=15，所以摸到红球的概率为310+15=12，故答案为：12．☆☆第三组☆☆13．（2022•福田区校级一模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则满足f（m）＞0的实数m的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：根据偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则f（1）＝0；故函数的图象如图所示：当m＝0时，满足条件；则满足f（m）＞0的实数m的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．（2018•咸阳二模）（x+y）（x﹣y）8的展开式中，x2y7的系数为20．【解答】解：（x+y）（x﹣y）8 ＝（x+y）（C80•x8−C81•x7y+C82•x6•y2−⋯−C87•x •y7+C88•y8），故（x+y）（x﹣y）8的展开式中x7y2的系数为−C81+C82=20，故答案为：20．15．（2022•福田区校级一模）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为14．【解答】解：每位同学从这4本书中随机抽取l本，基本事件总数为42＝16个，其中A、B两位同学抽到同一本书，包含的基本事件有4个，所以两位同学抽到同一本书的概率为P=416=14，故答案为：14．☆☆第四组☆☆13．（2022•茂名一模）已知双曲线C的方程为x24−y2=1，则其离心率为√52．【解答】解：双曲线C的方程为x 24−y2=1，可得a＝2，b＝1，则c=√a2+b2=√5．所以双曲线的离心率为：e=√52．故答案为：√52．14．（2022•茂名一模）函数f(x)=√3sin2x+2cos2x在区间[−π6，π6]上的最大值为3．【解答】解：函数f(x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+π6）+1，又x∈[−π6，π6]，所以2x+π6∈[−π6，π2]，则当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f（x）取最大值3，故答案为：3．15．（2022•茂名一模）已知函数f(x)={|log2x|，0＜x＜2−x+3，x≥2，若x1，x2，x3均不相等，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（2，3）．【解答】解：f（x）的大致图象如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，由图可得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）∈（0，1），即|log2x1|＝|log2x2|＝﹣x3+3∈（0，1），所以log2x1＝﹣log2x2，即log2x1+log2x2＝0，所以log2x1x2＝0，所以x1x2＝1，由﹣x3+3∈（0，1）得x3∈（2，3），所以x1•x2•x3∈（2，3）．故答案为：（2，3）．☆☆第五组☆☆13．（2022•山东一模）若sinα=cos(α+π6)，则tan2α的值为√3．【解答】解：由sinα=cos(α+π6)，得sinα＝cosαcosπ6−sinαsinπ6=√32cosα−12sinα，∴32sinα=√32cosα，得tanα=√33．∴tan2α=2tanα1−tan2α=2×√331−(√33)=√3．故答案为：√3．14．（2022•山东一模）若（1﹣2x）n的展开式中x3项的系数为﹣160，则正整数n的值为6．【解答】解：（1﹣2x）n的展开式的通项公式为T r+1=C n r1n−r(−2x)r= (−2)r C n r x r，又展开式中x3项的系数为﹣160，则（﹣2）3C n3=−160，则C n3=20，解得n＝6，故答案为：6．15．（2022•山东一模）已知f（x）为R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当﹣1＜x＜0时，f（x）＝2x，则f（2+log25）的值为−45．【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，f （2﹣x ）＝﹣f （x ）＝f （﹣x ），变形可得f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，则f （2+log 25）＝f （log 25﹣2）＝f （log 254），f （x ）为奇函数且当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＝2x ，则f （log 254）＝﹣f （﹣log 254）＝﹣f （log 245）=−45； 则f （2+log 25）=−45； 故答案为：−45． ☆☆第六组☆☆13．（2022•临沂一模）函数f （x ）＝xln （﹣x ），则曲线y ＝f （x ）在x ＝﹣e 处的切线方程为 y ＝2x +e ．【解答】解：求导函数可得f ′（x ）＝ln （﹣x ）+1， 当x ＝﹣e 时，f ′（﹣e ）＝lne +1＝2，∵f （﹣e ）＝﹣elne ＝﹣e ，∴切点为（﹣e ，﹣e ），∴曲线y ＝f （x ）在x ＝﹣e 处的切线方程是y +e ＝2（x +e ），即y ＝2x +e ． 故答案为：y ＝2x +e ．14．（2022•临沂一模）已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，Q （2，3）为C 内的一点，M 为C 上的任意一点，且|MQ |+|MF |的最小值为4，则p ＝ 2 ；若直线l 过点Q ，与抛物线C 交于A ，B 两点，且Q 为线段A ，B 的中点，则△AOB 的面积为 2√2 ．【解答】解：如图，过M 作MM 1垂直准线于M 1，由抛物线定义可知|MF |＝|MM 1|，所以|MQ |+|MF |＝|MQ |+|MM 1|，过Q 作QQ 1垂直准线于Q 1，交抛物线于P ，所以|MQ |+|MM 1|≥|PQ |+|PQ 1|， 所以当M 在P 处时，|MQ |+|MM 1|＝|PQ |+|PQ 1|＝|QQ 1|最小，此时|QQ 1|=3+p2=4，解得：p ＝2．所以抛物线标准方程为：x 2＝4y ．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有{x12=4y1x22=4y2，两式相减得：x12−x22=4y1−4y2，即（x1+x2）（x1﹣x2）＝4（y1﹣y2），因为Q（2，3）为线段AB的中点，所以x1+x2＝4，所以直线AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=x1+x24=1，所以直线AB的方程为：y﹣3＝1×（x﹣2），即y＝x+1，由A（x1，y1），B（x2，y2）符合{x2=4yy=x+1，消去y得：x2﹣4x﹣4＝0，所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，所以弦长|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16+16=8，而O到直线AB的距离为d=√12+(−1)2=√22，所以S△ABO=12|AB|⋅d=12×8×√22=2√2．故答案为：2；2√2．15．（2022•临沂一模）已知正三棱台ABC﹣A′B′C′的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为2π．【解答】解：过B作BD⊥A′B′，∵AB＝2，A′B′＝5，∴DB′=5−22=32，∵侧棱长为BB′＝3，∴∠DB′B=π3，即∠AA′B＝∠AA′C′＝∠C′A′B′=π3，则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长3×π3×2=2π，故答案为：2π．☆☆第七组☆☆13．（2022•岳阳一模）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y ）且tan （π﹣α）＝2，则sin α＝ 2√55．【解答】解：∵tan （π﹣α）＝2， ∴tan α＝﹣2，∵角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点（﹣2，y ）， ∴α为第二象限角，∵sin 2α+cos 2α＝1 且sinαcosα=−2， ∴sinα=2√55． 故答案为：2√55． 14．（2022•岳阳一模）已知抛物线y =14x 2的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，点Q （1，1），当△PQF 的周长最小时，点P 的坐标为 （1，14） ． 【解答】解：设l ：y ＝﹣1是抛物线的准线， 过P 作PH ⊥l 于H ，作QN ⊥l 于N ，则|PF |＝|PH |，F （0，1），|FQ |＝1，|PF |+|PQ |＝|PQ |+|PH |，易知当Q ，P ，H 三点共线时，|PQ |+|PH |最小，且最小值为1+1＝2，所以△PQF 的周长最小值为3，此时x p ＝1，y p =14，即P(1，14)． 故答案为：(1，14)．15．（2022•岳阳一模）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 36 种．（结果用数字作答）【解答】解：相声，跳舞看成一体，与唱歌，杂技全排列，共有A 33⋅A 22=12种， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，剩下3个空，小品选其一，有C 31=3种，故共12×3＝36种． 故答案为：36． ☆☆第八组☆☆13．（2022•潍坊一模）已知函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，则f （﹣1）+f（log 312）＝ 7 ．【解答】解：根据题意，函数f(x)={2+log 2(1−x)，x ＜1，3x−1，x ≥1，，则f （﹣1）＝2+log 22＝3，f （log 312）=3log 312−1=3log 34=4， 则f （﹣1）+f （log 312）＝7； 故答案为：7．14．（2022•广州一模）已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点P 在BC 边上（包括端点），则AD →⋅AP →的取值范围是 [﹣2，2] ．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），D （2，0），C （1，√3），D （﹣1，√3）当点P 在BC 上时，设P （x ，√3），x ∈[﹣1，1]，AD →=（2，0），AP →=（x ，√3）， 则AD →⋅AP →=2x ∈[﹣2，2]． 故答案为：[﹣2，2]．15．（2022•广州一模）已知三棱锥P ﹣ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，AP ＝AB ＝AC ＝2√3，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于4π3．【解答】解：将三棱锥P ﹣ABC 补全为棱长为2√3的正方体， 如下图所示，若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又OA=√6＞2，OP=3√2＞4，所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为π，面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为π12的圆弧，故弧长为π3，面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为π3的圆弧，故弧长为4π3，综上所述，最长弧的弧长为4π3．故答案为：4π3．☆☆第九组☆☆13．（2022•淮北一模）(2x−1x+2y)6展开式中的常数项是﹣160．【解答】解：要得到(2x−1x+2y)6中的常数项，需有3个因式取2x，其余的3个因式取−1x，故展开式的常数项为C63×23×C33×（﹣1）3＝﹣160，故答案为：﹣160．14．（2022•淮北一模）已知∀n∈N*，函数f（x）＝x﹣（a n+1）lnx在x∈（n，n+1）．有极值，设b n=[√a n]，其中[x]为不大于x的最大整数，记数列{b n}的前n项和为{S n}，则S100＝615．【解答】解：f（x）＝x﹣（a n+1）lnx，f′（x）＝1−a n+1x =x−(a n+1)x，∵∀n∈N*，函数f（x）＝x﹣（a n+1）lnx在x∈（n，n+1）上有极值，∴n＜a n+1＜n+1，∴n﹣1＜a n＜n，∴√n−1＜√a n＜√n，∵b n=[√a n]，∴n＝1时，0＜√a1＜1，b1＝0；同理可得：n＝2，3，4时，b2＝b3＝b4＝1；n＝5，6，7，8，9时，b5＝…＝b9＝2；n＝10，11，…，16时，b10＝…＝b16＝3；n＝17，18，…，25时，b17＝…＝b25＝4；n＝26，27，…，36时，b26＝…＝b36＝5；n＝37，38，…，49时，b37＝…＝b49＝6；n＝50，51，…，64时，b50＝…＝b64＝7；n＝65，66，…，81时，b65＝…＝b81＝8；n＝82，83，…，100时，b82＝…＝b100＝9．∴数列{b n}的前100项和S100＝0×1+1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19＝615．故答案为：615．15．（2022•唐山一模）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数，若ξ的数学期望E（ξ）＞0.05，则k的最小值为19．附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2）则P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：由已知可得X～N（μ，σ2），P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973，每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数为ξ，而每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9973＝0.0027，所以ξ～B（k，0.0027），故E（ξ）＝k×0.0027＞0.05，解得k≥19，即k的最小值为19．故答案为：19．☆☆第十组☆☆13．（2022•麒麟区校级一模）若（4x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4＝80．【解答】解：由于（4x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，当x＝0时，a0＝1，当x＝1时，a0+a1+a2+a3+a4＝34＝81，故a1+a2+a3+a4＝80，故答案为：80．14．（2022•麒麟区校级一模）已知函数f（x）＝log32−x2+x+b，若f（a）＝1，f（﹣a）＝3，则log b a＝0．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log32−x2+x+b，且f（a）＝1，f（﹣a）＝3，则f（a）＝log32−a2+a +b＝1，f（﹣a）＝log32+a2−a+b＝3，则f（a）+f（﹣a）＝log32−a2+a +log32+a2−a+2b＝log31+2b＝2b＝4，则b＝2，若f（a）＝1，则log32−a2+a=−1，解可得a＝1，故log b a＝0，故答案为：0．15．（2022•湛江一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF=π6，则椭圆C的离心率是√3−1．【解答】解：因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |，所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F '，连接BF '，AF '，又因为2|OF |＝|AB |＝2c ，可得四边形AFBF '为矩形，即|FF '|＝|AB |，且∠ABF ＝∠AF 'F ，在Rt △AFF '中，|AF |＝|FF '|sin ∠AF 'F ＝2c •sin ∠AF 'F ， |AF '|＝|FF '|cos ∠AF 'F ＝2c •cos ∠AF 'F ， 由椭圆的定义可得|AF |+|AF '|＝2a ， 所以2a ＝2c •（sin ∠AF 'F +cos ∠AF 'F ）， 因为∠BAF =π6，故∠AF 'F =π6， 所以离心率e =c a =12+√32=√3−1．故答案为：√3−1． ☆☆第十一组☆☆13．（2021秋•马鞍山期末）已知AB →=(−2，1)，AC →=(2，t)，|BC →|=4，则AB →⋅BC →= ﹣8 ．【解答】解：因为 BC →=AC →−AB →=（4，t ﹣1）； ∵|BC →|＝4，∴42+（t ﹣1）2＝42⇒t ＝1； ∴BC →=（4，0），∴AB →⋅BC →=−2×4+1×0＝﹣8； 故答案为：﹣8．14．（2022•辽宁一模）已知定义在R 上的函数f （x ）不是常值函数，且同时满足：①f （2+x ）＝f （2﹣x ）；②对任意x 1∈R ，均存在x 2∈R 使得f （x 1）＝2f（x 2）成立；则函数f （x ）＝ （x ﹣2）2 ．（写出一个符合条件的答案即可） 【解答】解：由f （2+x ）＝f （2﹣x ） 知：f （x ） 关于 x ＝2 对称， 由对任意 x 1∈R ，均存在 x 2∈R 使得f （x 1）＝2f （x 2）成立知： 函数值域为（﹣∞，0]或（0，+∞）或全体实数， ∴f （x ）＝（x ﹣2）2符合要求． 故答案为：（x ﹣2）2（答案不唯一）．15．（2022•辽宁一模）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育馆胜利开幕．冬奥会期间，北京市758个城市志愿者站点全部“开门迎客”，保障了北京冬奥会顺利举行现将含甲、乙、丙在内的6位志愿者分配到3个服务站点参加服务，要求每位志愿者只能去1个站点，每个站点至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有 114 种．（用数字作答）【解答】解：由题意可得分配方案共有3种：2，2，2；1，2，3；1，1，4． 对于方案2，2，2：有C 22C 42C 22A 22•A 33=18种；对于方案1，2，3：有C 22C 31•C 32•A 33+C 22•C 43•A 33=78种； 对于方案1，1，4：有C 22•C 32•A 33=18种．∴甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有18+78+18＝114种． 故答案为：114． ☆☆第十二组☆☆13．（2022•汕头一模）在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调全党同志要做到学史明理、学史增信、学史崇德，学史力行．某单位对200名党员进行党史知识测试，将成绩分成6组：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则a ＝ 0.050 ．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.025+0.035+0.040+a +0.030+0.020）×5＝1，解得a ＝0.050． 故答案为：0.050．14．（2022•汕头一模）已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ＝3，AD =BC =√2，点E 是CD 的中点，则AE →⋅BD →= ﹣2 ．【解答】解：如图，分别过点C ，D 作CG ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为G ，F ．由题得四边形ABCD 为等腰梯形，AF ＝BG ＝1，∴DF =√(√2)2−1=1，所以∠DAF ＝45°．由题得 AE →⋅BD →=(AD →+DE →)⋅(AD →−AB →)=(AD →+16AB →)⋅(AD →−AB →)=−56AB →⋅AD →+2−16×9 =−56×√2×3×√22+12=−2故答案为：﹣2．15．（2022•汕头一模）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，l 1，l 2为C 的两条渐近线，过C 的右焦点F 作l 1的垂线，垂足为A ，且该垂线交l 2于点B ，若BA →=3AF →，则曲线C 的离心率e ＝2√63．【解答】不妨设l 1为y =b a x ，l 2为y =−ba x ，过右焦点F 作l 1的垂线，垂足为A ，有该垂线交l 2于点B ，F （c ，0），则直线AB 的方程为y =−ab （x ﹣c ）， 联立{y =−ab (x −c)y =ba x ，解得A 的坐标为（a 2c ，abc ）， 联立{y =−a b (x −c)y =−b a x ，解得B 的坐标为（a 2c a 2−b 2，abcb 2−a 2）， 则BA →=（a 2c −a 2ca 2−b 2，abc −abcb 2−a 2），AF →=（c −a 2c，−ab c），∵BA →=3AF →，（a 2c−a 2c a 2−b2，ab c−abc b 2−a2）＝3（c −a 2c，−ab c），∴abc −abcb 2−a 2=−3abc ，∴4c =cb 2−a 2，即4（b 2﹣a 2）＝c 2＝b 2+a 2， ∴3b 2＝5a 2，∴b 2a 2=53，∴e =√1+b 2a 2=√1+53=2√63． 故答案为：2√63． ☆☆第十三组☆☆13．（2021•香洲区校级模拟）《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的 必要条件 ．（选“充分条件”必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空）【解答】解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要条件． 故答案为：必要条件．14．（2021•香洲区校级模拟）已知sin β2=√55，cos(α+β)=513，α∈（0，π2），β∈（0，π），则sin α＝1665．【解答】解：∵β∈（0，π），∴β2∈（0，π2）， ∵sin β2=√55，∴cos β2=√1−(√55)2=√1−525=√2025=2√55， 则sin β＝2sin β2cos β2=2×√55×2√55=45，cos β＝2cos 2β2−1＝2×2025−1=1520=35，即β∈（0，π2）， 则α+β∈（0，π）， ∵cos(α+β)=513， ∴α+β∈（0，π2）， 则sin （α+β）=1213，则sin α＝sin （α+β﹣β）＝sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=1213×35−513×45=1665，故答案为：1665．15．（2021•大庆模拟）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0），圆（x −p2）2+y 2＝1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点（A ，B 两点在x 轴的同一侧），若AB →=4CD →，则k 的值为 ±2√2 ． 【解答】解：设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），x 1＞0，x 2＞0， 由圆（x −p2）2+y 2＝1与y 轴相切，可得p2=1，即p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，圆（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心为（1，0），半径为1， 设过F 的直线的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线的方程y 2＝4x 联立，可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 可得x 1+x 2＝2+4k 2，x 1x 2＝1，① 由AB →=4CD →，即为|AB |＝4|CD |， 可得|AF |﹣1＝4（|DF |﹣1）， 即为x 1＝4x 2，②由①②可得x 1＝2，x 2=12，k ＝±2√2． 故答案为：±2√2． ☆☆第十四组☆☆13．（2021•惠来县校级模拟）测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米，某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物CP 垂直于水平面，水平面上两点A ，B 的距离为200m ，∠P AB ＝60°，∠PBA ＝45°，∠P AC ＝30°，则该建筑物CP 的高度为 100（√3−1） （单位：m ）．【解答】解：因为PC ⊥面ABC ，所以可得PC ⊥AC ，PC ⊥BC ， 在△P AB 中，P A =PCsin∠PAC =PC12=2PC ，在△P AB 中，∠P AB ＝60°，∠PBA ＝45°，所以∠APB ＝75° 由正弦定理可得PA sin∠PBA =ABsin∠APB ， 所以可得2PCsin45°=200sin75°，可得PC =100×√22√6+√24=100（√3−1），故答案为：100（√3−1）．14．（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 35 （用数字作答）．【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有A 33种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 A 33A 32A 21=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 A 33•（A 21•A 31）•A 33=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为A 33A 44=144，而所有的排法共有A 66=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为72+216+144720=35，故答案为 35．15．（2021•惠来县校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的内接△ABC 的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且CF →=2FK →，则椭圆离心率的取值范围是 （0，√33） ．【解答】解：由题意可设B （0，b ），F （c ，0），线段AB 中点为K ，且CF →=2FK →，可得F 为△ABC 的重心，设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， 由重心坐标公式可得， x 1+x 2+0＝3c ，y 1+y 2+b ＝0， 即有AC 的中点坐标，可得 x =x 1+x 22=3c2，y =y 1+y 22=−b2，由题意可得中点在椭圆内， 可得9c 24a 2+14＜1，由e =ca ，可得e 2＜13，即有0＜e ＜√33． 故答案为：（0，√33）． ☆☆第十五组☆☆13．（2021•全国模拟）设F 1，F 2分别为双曲线x 2m 2−y 2m 2+5=1（m ＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=2π3，且|AF 1|＝3|AF 2|，则m ＝ 2 ．【解答】解：由双曲线x 2m 2−y 2m 2+5=1（m ＞0），得a ＝m ，b =√m 2+5，c =√2m 2+5，又A 为双曲线上的点，且|AF 1|＝3|AF 2|，∴|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ， 联立解得|AF 1|＝3m ，|AF 2|＝m ，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|F 1A|2+|F 2A|2−2|F 1A ||F 2A |cos ∠F 1AF 2，∴4×(2m 2+5)=9m 2+m 2−6m 2×(−12)，解得m ＝2（m ＞0）． 故答案为：2．14．（2021•全国模拟）若定义在R 上的非零函数f （x ），对任意实数x ，存在常数λ，使得f （x +λ）＝λf （x ）恒成立，则称y ＝f （x ）是一个“f ▫λ函数”，试写出一个“f ▫1函数”： y ＝sin （2πx ）（答案不唯一） ．【解答】解：由题意，“f ▫1函数”是非零函数，且对任意x ∈R ，都有f （x +1）＝f （x ）恒成立，所以f （x ）是周期为1的非零函数，例如非零常函数，y＝sin（2πx），y＝cos（2πx）等．故答案为：y＝sin（2πx）（答案不唯一）．15．（2021•全国模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若三棱锥A﹣A1B1C1的体积等于底面三角形边长的√32，则该正三棱柱的高与底面三角形边长的积为6；正三棱柱外接球表面积的最小值为8√3π．【解答】解：由题意，设底面边长为a，那么A1B1C1的面积S=12a2sin60°，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，根据三棱锥A﹣A1B1C1的体积V=13Sℎ=√32a，可得ah＝6．底面A1B1C1的外接圆的半径r=asin60°=2r，可得r=√3．由正三棱柱外接球R=√(ℎ2)2+r2=√ℎ24+a23由于ℎ24+a23≥2√(ℎa)212=2√3（当且仅当√3ℎ=2a时取等号）正三棱柱外接球表面积的最小值为S＝4πR2=8π√3．故答案为：8√3π．☆☆第十六组☆☆13．（2021•朝阳三模）写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z＝1+2i．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则z2+3＝（a+bi）2+3＝a2﹣b2+3﹣2abi为纯虚数，∴a2﹣b2+3＝0，2ab≠0，取a＝1，b＝2，则z＝1+2i，故答案为：1+2i．14．（2021•山东模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为y＝±√3x．【解答】解：由双曲线的定义，可得|MF2|﹣|MF1|＝|MF2|﹣|MN|＝|NF2|＝2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|＝a，又|F1F2|＝4|OP|，可得2c＝4a，即c＝2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±√3x．故答案为：y＝±√3x．15．（2021•山东模拟）2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A区B区C区D区E区外来务工人员数5000400035003000250080%90%80%80%84%留在当地的人数占比根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为y=0.8135x+a．该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为818.6万元．（参考数据：取0.8135×36＝29.29）×（5000+4000+3500+3000+2500）＝3600，【解答】解：由表知，x=15A，B，C，D，E五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为5000×80%＝4000，4000×90%＝3600，3500×80%＝2800，3000×80%＝2400，2500×84%＝2100，×（4000+3600+2800+2400+2100）＝2980，所以y=15因为样本中心点在（x，y）上，所以2980＝0.8135×3600+a，解得a=51，所以y =0.8135x +51，当x ＝10000时，y =0.8135×10000+51＝8186，所以估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为8186×1000＝818600元＝818.6万元． 故答案为：818.6． ☆☆第十七组☆☆13．（2021•宝坻区校级模拟）一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则白球的个数为 5 ；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ＝ 32 ．【解答】解：设白球的个数为y ，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79， 则C y 2+C y 1C 10−y1C 102=79，解得y ＝5，所以白球的个数为5；由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3， 所以P （ξ＝0）=C 53C 103=112，P （ξ＝1）=C 51C 52C 103=512， P （ξ＝2）=C 52C 51C 103=512，P （ξ＝3）=C 53C 103=112，则随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P112512512112则E （ξ）＝0×112+1×512+2×512+3×112=32． 故答案为：5；32．14．（2021•南开区模拟）已知a ＞0，b ＞0，且a +b 2＝1，则√ab−2的最小值为 −√33．【解答】解：a ＞0，b ＞0，且a +b 2＝1，令a ＝sin 2θ，b ＝cos θ，其中θ∈（0，π2），设点P （cos θ，sin θ），则动点P 在单位圆（第一象限弧MN ）上，A （2，0），如图所示，所以√ab−2=sinθcosθ−2表示P ，A 两点连线的斜率， 由图可知，当连线P A 与弧MN 相切时，斜率最小， 此时P A 的倾斜角为5π6，其斜率为tan 5π6=−√33， 即√ab−2的最小值为−√33． 故答案为：−√33． 15．（2021•南开区模拟）已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，∠BCD ＝60°，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若AD =√3，则EB →⋅EF →= 73 ；若EB →⊥EF →，则AD ＝3√3+3√194．【解答】解：过B 作BM ⊥DC 于M ，故AB ＝DM ＝2， ①因为BM ＝AD =√3，∠BCD ＝60°， 故CM ＝1，则DF =12DC =32，则EB →⋅EF →=（EA →+AB →）•（ED →+DF →）=EA →⋅ED →+EA →⋅DF →+AB →⋅ED →+AB →⋅DF →=13×√3×2√33×(−1)+0+0+2×32×1=73．②∵EB →⋅EF →=（EA →+AB →）•（ED →+DF →）=EA →⋅ED →+EA →⋅DF →+AB →⋅ED →+AB →⋅DF →=EA →⋅ED →+AB →⋅DF →=13AD ⋅23AD ×(−1)+2×（2√3）×12=0， ∴29AD 2=√33AD +2，∴AD =3√3+3√194， 故答案为：73，3√3+3√194．☆☆第十八组☆☆13．（2021秋•佛山期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，﹣5），则（1﹣i）z＝﹣2﹣8i．【解答】解：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是（3，﹣5），所以z＝3﹣5i，所以（1﹣i）z＝（1﹣i）（3﹣5i）＝3﹣5﹣3i﹣5i＝﹣2﹣8i，故答案为：﹣2﹣8i．14．（2021秋•佛山期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，t）与焦点F的距离|MF|＝p，则M到坐标原点的距离为3√5．【解答】解：根据定义，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，t）与焦点F 的距离|MF|＝p，可得p2=3，解得p＝6，抛物线y2＝12x，x＝3时，t＝±6，∴点M的坐标（3，±6），则M到坐标原点的距离为：√9+36=3√5．故答案为：3√5．15．（2021秋•佛山期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，图中f(0)=12，f(5π12)=0，则f(−5π12)=−√32．【解答】解：根据三角函数f（x）＝sin（ωx+φ）在一个周期内的图象知，f（0）＝sinφ=12，且0＜φ＜π，所以φ=π6或φ=5π6（不合题意，舍去），φ=π6时，f（5π12）＝sin（ω•5π12+π6）＝0，因为ω＞0，所以5π12ω+π6=π，解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+π6），所以f（−5π12）＝sin[2×（−5π12）+π6]＝sin（−2π3）＝﹣sin2π3=−sinπ3=−√32．故答案为：−√32．☆☆第十九组☆☆13．（2021•全国三模）S n是等比数列{a n}的前n项和，若S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），则a＝﹣3．【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，S n＝a•3n﹣1+1（n∈N*），∴a1＝S1＝a+1，a2＝S2﹣S1＝2a，a3＝S3﹣S2＝6a，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，∴4a2＝6a2+6a，解得a＝﹣3或a＝0（舍），综上，a＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（2021•湛江三模）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，且∠F1PF2=π2，△F1PF2的面积为a2，则双曲线C的渐近线方程为x±y＝0．【解答】解：F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，且∠F1PF2=π2，△F1PF2的面积为a2，可得：||PF1|﹣|PF2||＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，12|PF1||PF2|＝a2，解得a＝b，所以双曲线的渐近线方程为：x±y＝0．故答案为：x±y＝0．15．（2021•海南三模）已知m＞0，n＞0，m+n＝1，则1m +2n+1的最小值为32+√2．【解答】解：∵m＞0，n＞0，m+n＝1，∴12（m+n+1）＝1∴1m +2n+1=12（1m+2n+1）•（m+n+1）=32+12（n+1m+2mn+1）≥32+12×2√n+1m⋅2mn+1=3 2+√2，当且仅当n+1m=2mn+1时取等号，∴1m +2n+1的最小值是32+√2．故答案为：32+√2．☆☆第二十组☆☆13．（2021秋•淄博期末）在(x−√x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为15．【解答】解：在(x−√x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，故n ＝6；所以(x−√x )6的展开式T r+1=C6r x6−r⋅√x)r=（﹣1）r•C6r⋅x6−32r，令6−32r=3，解得r＝2．故展开式中含x3项的系数为(−1)2⋅C62=15．故答案为：15．14．（2021秋•威海期末）已知抛物线C1：y2=8x，圆C2：x2+y2−4x+3=0，点M（1，1），若A，B分别是C1，C2上的动点，则|AM|+|AB|的最小值为2．【解答】解：由抛物线C1：y2＝8x得焦点F（2，0），准线为x＝﹣2，由圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0得（x﹣2）2+y2＝1，所以C2是以F（2，0）为圆心，r＝1为半径的圆，所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1，当且仅当A，B，F在一条直线上时，取等号，所以当|AM|+|AF|取得最小值时，|AM|+|AB|取得最小值，根据抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x＝﹣2的距离，所以过点M作准线x＝﹣2的垂线，垂足为N，与抛物线C1：y2＝8x相交，当点A为此交点时，|AM|+|AF|取得最小值，最小值为|1﹣（﹣2）|＝3，所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1≥3﹣1＝2．故答案为：2．15．（2021秋•淄博期末）已知函数f（x）＝x（e x+1），g（x）＝（x+1）lnx，若f（x1）＝g（x2）＝m（m＞1），则x1+x1x2lnm的最小值为e．【解答】解：g（x）＝（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx＝f（lnx），则f（x1）＝f（lnx2）＝m（m＞1），因为f(x1)=x1(e x1+1)＞1，故x1＞0，又当x＞0时，f'（x）＝（x+1）e x+1＞0恒成立，即f（x）＝x（e x+1）单调递增，所以x1＝lnx2，则x1+x1x2lnm =x1(1+x2)lnm=x1(1+e x1)lnm=f(x1)lnm=mlnm，令ℎ(x)=xlnx (x＞1)，ℎ′(x)=lnx−1(lnx)2，当x∈（1，e）时，h（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）在x＝e处取得最小值，h（e）=elne =e，即x1+x1x2lnm的最小值为e．故答案为：e。
江苏省苏州市2024高三冲刺(高考数学)部编版能力评测(押题卷)完整试卷
江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（）A．B ．C．D．第(2)题已知集合，，则（ ）A ．或B．C ．或D．第(3)题设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为A ．6B ．7C ．13D ．14第(4)题已知函数，，当时，，的值分别为（ ）A ．1，0B ．0，0C ．1，1D ．0，1第(5)题若数列的前项和为，且，则（ ）A ．684B ．682C ．342D ．341第(6)题已知，，则（ ）A．B．C．D．第(7)题过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．第(8)题若函数满足对都有，且为上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集为第(2)题已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（）A．B．C．椭圆的离心率为D．直线的斜率的绝对值为第(3)题已知，函数的定义域为，且满足当时，，当时，，则下列说法正确的是（）A．若存在极值点，则B．若，，则C．若方程在区间上恰好有三个解，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________．第(2)题已知双曲线：的左右焦点分别为，，为右支上一动点，的内切圆的圆心为，半径，则的取值范围为______．第(3)题若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一个盒子里装有大小均匀的个小球，其中有红色球个，编号分别为；白色球个, 编号分别为, 从盒子中任取个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）．（1）求取出的个小球中，含有编号为的小球的概率；（2）在取出的个小球中, 小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列．第(2)题已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点.(1)求的值；(2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点.第(3)题已知各项为正数的数列满足，对任意的正整数，，都有成立.（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和.第(4)题南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.(1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．(2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.第(5)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．(1)写出曲线的极坐标方程；(2)若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷参考答案与试题解析4
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（•江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=+++=++=++，∴（ak•ak+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想评：象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2124题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修41：几何证明选讲】21．（10分）（•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修42：矩阵与变换】22．（10分）（•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修44：坐标系与参数方程】23．（•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修45：不等式选讲】24．（•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g （x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（10分）（•江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．25．（10分）（•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；。
河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)苏教版真题(押题卷)完整试卷
河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，，，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．方差变小B．平均数变大C．极差变大D．中位数变小第(3)题为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相切或相离第(4)题若函数既有极大值也有极小值，则（）A．B．C．D．第(5)题设，，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知圆半径是1，直线与圆相切于点，过点的直线与圆交于，两点，且点与点在直线的两侧，点为中点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若非零函数对任意实数x，y均有，且当时．则（）．A．B．对任意实数x，都有C．为是增函数D ．当时，对时恒有，则实数第(2)题已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是第(3)题已知函数，则真命题有（）A．函数的最小正周期为B ．函数的图像关于点中心对称C ．是函数图像的一条对称轴D．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________．第(2)题函数的最小正周期是_____，值域是________.第(3)题已知直线和曲线相切于点，则____________；若关于的方程恰有一个实数解，则实数取值的集合为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.(1)当点是棱的中点时，求证：直线平面；(2)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.第(2)题某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，．(1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件；(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值．附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828第(3)题圆心为的圆与抛物线相交于A，B，C，D四个点．(1)求圆的半径r的取值范围；(2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线AC与BD的交点P的坐标．第(4)题已知等差数列的公差，且，的前项和为．(1)求的通项公式；(2)若，，成等比数列，求的值．第(5)题已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷参考答案与试题解析4
高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则 A∪B={1.2.4.6}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的评：四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是5．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f（x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b 的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．11．（5分）（•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.sin2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.答：∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f（x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cbcosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得 f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f（x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|xi|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|ti|＜2.i=3.4.5．而f（x）=ti有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．评：20．（16分）（•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=.n∈N*.（1）设bn+1=1+.n∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设bn+1=•.n∈N*.且{an}是等比数列.求a1和b1的值．考数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由题意可得.an+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{an}是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a1.b1解答：解：（1）由题意可知.an+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵an＞0.bn＞0∴从而（*）设等比数列{an}的公比为q.由an＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.an=a1.所以.∵∴数列{bn}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.析：相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强23．（10分）（•江苏）设集合Pn={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故可求f（4）（2）任取偶数x∈pn.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P4={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈pn.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有的奇数的集合因此f（n）等于Qn的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.Pn中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义22．（10分）（•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．点评：高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.。
必刷03：高考热点填空题和双空题 (解析版)2025届高考数学一轮二轮三轮冲刺好题精练
必刷03：高考热点填空题和双空题设AEG α∠=，则π3FEB α∠=-，2cos GE α=22πcos cos 3GE EF αα+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭圆()22:1C x y m -+=的圆心为当圆和线段AB 相切时，()()31:1311AB l y x -=-+--，即10211m -+∴=+，得92m =，当圆过B 点时，()22113m -+=，得9m =.故答案为：9,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为【答案】96【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排竞赛课程中即可.【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的则有：24C 6=种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：②2名同学各选择1个学科竞赛则有所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：()612496⨯+=种情况，故答案为：96.7．已知直线l ：32x y --则C 的实轴长为______．【答案】2【答案】278【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，根据题意得到点的坐标，代入求出参数p 的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，依题意可得设抛物线的标准方程为()220x py p =>，则8164p =，解得故该抛物线的焦点到准线的距离为278cm.故答案为：27812．已知n S 是等比数列{a 【答案】64【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解【详解】设等比数列的公比为则312374S a a a ==++，6S -【答案】43【分析】根据几何体平面展开图得到其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得【详解】由三棱锥A BCD -其中AC CD ⊥，AC CB ⊥又BC CD C ⋂=，,BC CD 所以13A BCD BCD V S AC -=⋅= 故答案为：4314．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第【答案】1512【分析】根据题意得到a 【详解】*A 的第1n +项为。
高考数学(江苏专用)三轮专题复习素材填空题押题练D组
填空题押题练D 组1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝______.解析 因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案 {0,1}2．复数11＋i＝________. 解析 11＋i ＝(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i 2＝12－12i. 答案 12－12i3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________． 解析 根据对命题的否定知，是把命题取否定，然后把结论否定． 答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析 设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝2898，易得x ＝12. 答案 125．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1,0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．解析 根据函数图象变换法则求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6. 答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6 7．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________． 解析 利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211.答案 2118．在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析 所求概率P ＝180°－45°290°＝34.答案 349．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°10．对于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min ，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝012．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、CE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2.答案 (0，2)13．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB→＋AN →·AM→＝________.解析 根据向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC→|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AM→＝9. 答案 914．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a ＝________.解析 因为f ′(x )＝－ln x －1＋a ≥0在(0，e)上恒成立，所以a ≥(ln x ＋1)max ＝2.又x ∈[0，ln 3]时，e x ∈[1,3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g (x )＝a －e x＋a 22递减，此时M －m ＝a －1＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2，3]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －e x＋a 22，0≤x ≤ln a ，e x －a ＋a 22，ln a ＜x ≤ln 3，此时m ＝a 22，M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a 22， 所以a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52.答案 52。
高考数学三轮考前专项押题练：填空题押题练B组
填空题押题练B组1．集合M＝{x|lg x＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝________.解析M＝{x|lg x＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}．答案M∩N＝{x|1＜x≤2}2．设i为虚数单位，则复数3＋4ii＝________.解析依题意：3＋4ii＝(3＋4i)ii2＝4－3i.答案4－3i3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率为________．解析∵试验发生的总事件数是6×6，而点P落在圆x2＋y2＝16内包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，由古典概型公式得到P＝86×6＝29.答案2 94．高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17. 答案 175．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10. 答案 106．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________．解析 由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立． 则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根． 则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3. 答案 －1＜a ＜37．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a ·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析 因为a ·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45. 答案 458．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0的解集(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________. 解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q ＝2，所以S 8＝1－(2)81－2＝15(2＋1)．答案 15(2＋1)10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________. 解析 利用余弦定理，再变形即得答案． 答案 011．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________．解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y ∈(1,2]，所以值域为(1,2]． 答案 (1,2] 12.曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析 y ′＝2(x ＋2)2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋113．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5. 答案 e ＞ 514．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧m ＞3，f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________．解析 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2－8n －1)]＝－f (－n 2＋8n ＋2)，所以f (m 2－6m ＋23)＜－f (n 2－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23＜－n 2＋8n ＋2，即为(m －3)2＋(n －4)2＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m 2＋n 2＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13,49)． 答案 (13,49)。
高考数学三轮考前专项押题练：解答题押题练B组.docx
解答题押题练B 组1．设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角． (1)若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值； (2)若a ∥b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值．解 (1)因为a·b ＝2＋sin θcos θ＝136， 所以sin θcos θ＝16.(2分)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43. 又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233.(5分) (2)法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分) 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋1＝－35.(11分) 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.(14分)法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分)所以sin θ＝255，cos θ＝55. 因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝45， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35.(11分) 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.(14分)2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB . (1)求证：平面P AB ⊥平面PCB ； (2)求证：PD ∥平面EAC .解 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(3分) 又BC ⊂平面PCB ，∴平面P AB ⊥平面PCB .(6分)(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥AD .又∵PC ⊥AD ，又PC ∩P A ＝P ，∴AD ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ， ∴AC ⊥AD .在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝π4，∴∠DCA ＝∠BAC ＝π4.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．(4分) ∴DC ＝2AC ＝2(2AB )＝2AB .连接BD ，交AC 于点M ，则DM MB ＝DCAB ＝2.在△BPD 中，PE EB ＝DMMB ＝2， ∴PD ∥EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC .(14分)3．某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P (x )件与月份x 的近似关系是： P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *) (1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式； (2)若第x 月的销售量g (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－21x ，1≤x ＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12且x ∈N *(单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝10e xx ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403)解 (1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39. 当x ≥2时， f (x )＝P (x )－P (x －1)＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x ) ＝3x (14－x )．∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *)．(5分) (2)设月利润为h (x )， h (x )＝q (x )·g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x (7－x )，1≤x ≤7，x ∈N *，103x 3－100x 2＋960x ，7≤x ≤12，x ∈N *，h ′(x )＝⎩⎨⎧30e x (6－x )，1≤x ＜7，x ∈N *，10(x －8)(x －12)，7≤x ≤12，x ∈N *，(9分)∵当1≤x ≤6时，h ′(x )≥0， 当6＜x ＜7时，h ′(x )＜0，∴当1≤x ＜7且x ∈N *时，h (x )max ＝30e 6≈12 090，(11分) ∵当7≤x ≤8时，h ′(x )≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x )≤0， ∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)≈2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上，下两个顶点为A ，B ，直线l ：y ＝－2，点P 是椭圆上异于点A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l 于点M ，设AP 所在的直线的斜率为k 1，BP 所在的直线的斜率为k 2.若椭圆的离心率为32，且过点A (0,1)．(1)求k 1·k 2的值； (2)求MN 的最小值；(3)随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2分)设椭圆上点P (x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1， 所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14.(4分)(2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上，设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)， 由方程知x 24＋y 2＝1知，A (0,1)，B (0，－1)， 所以K BM ·k AN ＝－2－(－1)x 1－0·－2－1x 2－0＝3x 1x 2，(6分)又由(1)知k AN ·k BM ＝k 1·k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12，(8分)不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则 MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2·12x 2＝43， 所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3.(10分) (3)设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)， 则以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，(12分)即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点，则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0，解得x ＝0，y ＝－2±23，所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23)．(16分)5．已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围； (2)设F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＜1，g (x )，x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．解 (1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min .(4分) 设t (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈[1，e]．求导，得t ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.(6分)x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数．所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(8分)(2)F (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角， 则OP →·OQ →＜0.(10分)①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP →·OQ →＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2)．由于OP →·OQ →＜0恒成立，a (1－t )ln(－t )＜1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )＜1恒成立．当t ＜－1时，a ＜1(1－t )ln (－t )恒成立．由于1(1－t )ln (－t )＞0，所以a ≤0.(12分)②若－1＜t ＜1，且t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)，则OP →·OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0，即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t ≠0恒成立．(14分) ③当t ≥1时，同①可得a ≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]．(16分)6．已知数列{a n }的前三项分别为a 1＝5，a 2＝6，a 3＝8，且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2，其中m ，n 为任意正整数． (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)求满足S 2n －32a n ＋33＝k 2的所有正整数k ，n .解 (1)在等式S m ＋n ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2中，分别令m ＝1，m ＝2，得 S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，① S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，② ②－①，得a n ＋2＝2n －3＋S 4－S 22.(3分)在等式S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m 2)中，令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，由题设知，S 2＝11，S 3＝19，故S 4＝29.所以a n ＋2＝2n ＋6(n ∈N *)，即a n ＝2n ＋2(n ≥3，n ∈N *)． 又a 2＝6也适合上式， 故a n ＝⎩⎨⎧5， n ＝1，2n ＋2， n ≥2.(5分)S n ＝⎩⎨⎧5， n ＝1，n 2＋3n ＋1， n ≥2.即S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *.(6分)(2)记S 2n －32a n ＋33＝k 2(*)．n ＝1时，无正整数k 满足等式(*)．n ≥2时，等式(*)即为(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)＝k 2.(8分) ①当n ＝10时，k ＝131.(9分) ②当n ＞10时，则k ＜n 2＋3n ＋1，又k 2－(n 2＋3n )2＝2n 2＋3n ＋31＞0，所以k ＞n 2＋3n . 从而n 2＋3n ＜k ＜n 2＋3n ＋1.又因为n ，k ∈N *，所以k 不存在，从而无正整数k 满足等式(*)．(12分) ③当n ＜10时，则k ＞n 2＋3n ＋1，因为k ∈N *，所以k ≥n 2＋3n ＋2. 从而(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)≥(n 2＋3n ＋2)2.即2n 2＋9n －27≤0.因为n ∈N *，所以n ＝1或2.(14分) n ＝1时，k 2＝52，无正整数解； n ＝2时，k 2＝145，无正整数解．综上所述，满足等式(*)的n ，k 分别为n ＝10，k ＝131.(16分)。
2022年普通高等学校招生全国统一考试临考押题密卷(B)理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，给出下列四个说法：①，②函数的一个周期为；③在区间上单调递减；④的图象关于点（，0）中心对称；其中正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．②③3. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数相邻两对称中心之间的距离为,将函数的图像向左平移个单位所得图像关于直线对称,则A．B．C．D．5. 已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知复数z满足（为虚数单位），则（ ）A．B ．5C．D ．27. 已知，，，则（ ）A．B．C．D ．18.记表示不超过 的最大整数，例如，．函数，在时恒有 ，则实数 的取值范围是A．B．C．D．9.已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）A．B ．1C ．2D ．310. 已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（ ）A ．1B．C ．0D．11. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为2，标准差为D ．均值为3，众数为42022年普通高等学校招生全国统一考试临考押题密卷（B）理科数学试题 (2)2022年普通高等学校招生全国统一考试临考押题密卷（B）理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题12. 函数的部分图象如图所示，是图象与轴的交点，，分别是图象的最高点与最低点，且，则（）A．B．的最小正周期为2C．是曲线的一条对称轴D ．的单调递减区间为，13.已知等比数列中，，则公比__________，数列的前项和为__________.14. 某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人.（请将所有可能的结果都填在横线上）附表：，其中.0.0500.0103.8416.63515. 分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列____________；并判断其奇偶性_____________.（选填“奇”或“偶”）16. 某公司经销某产品，第天的销售价格为（为常数）（元⁄件），第天的销售量为（件），且公司在第天该产品的销售收入为元．（1）求该公司在第天该产品的销售收入是多少？（2）这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？17. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB 、弧DC的长度分别为，，已知，，E 为弧的中点．(1)证明：．(2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值．18. 已知三棱柱，，，，点为中点.（1）试确定线段上一点，使平面；（2）在（1）的条件下，若平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”80使用其他理财产品120合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.（1）求频数分布表中的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.20. 在节日里为了促销各大商场八仙过海各显神通，推出了花样繁多的促销活动，某大超市为了拉升节日的喜庆气氛和提升销售业绩，举行了购物抽奖促销活动，购物满500元可获得一次抽奖机会，抽奖方法如下：在盒子里放着除颜色外其他均相同的5个小球（红球和黑球各1个，白球3个），不放回地摸球，每次摸1球，摸到黑球就停止摸奖，摸到红球奖励40元，摸到白球奖励10元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列及数学期望．21. 已知．（1）求的单调区间；（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．。
【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 命题及逻辑联结词(含解析).pdf
命题及逻辑联结词 【】【基础】1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④． 其中，不是命题的有____①②④_____． 2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若方程有两个不相等的实根，则”的逆否命题．其中真命题的序号有____①③____． 4.有下列命题：①；②；③；④的约数．其中真命题的序号有___①③④___． 5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___． 6.命题“若，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是 ． 【】 ，若，则. 分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解：（1），若，则；真命题； 逆命题：设，若，则；假命题； 否命题：设，若或，则；假命题； 逆否命题：设，若，则或；真命题. 点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等. 例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数； （2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分； （3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题. （2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题. （3）p或q：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题； p且q：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p：方程的两实根的符号不同，真命题. 点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例3.写出下列命题的否定，并判断真假. （1）（）p：（）p：（）p：（）p：”的否定是 “”，特称命题“”的否定是“” . 解：（1）（）（）（）（）且，设函数在R上为减函数，不等式的解集为R.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围. 分析：由，为真求出的取值范围，结合“或”为真命题，“且”为假命题得出，一真一假，从而得出的取值范围. 解：当为真时， 函数在R上为减函数， 或得 当为真时， 不等式的解集为R，即时，恒成立. ，得. “或”为真命题，“且”为假命题， 当为真为假时，解得. 当为假为真时，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 点评：由条件分析得到，一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错. 【反馈】 ，则”的逆否命题是__________________. 2．已知命题：，则. 3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____. 4．已知下列四个命题： ①“若，则互为倒数”的逆命题； ② “面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若，则方程有实根”的逆否命题； ④“若，则”的逆否命题． 其中真命题的是____①②③____. 5．已知全集，，若命题，则：. 6．命题“若，则”的否命题为________________________． 8．命题方程有两个不相等的实根，命题方程无实根，若为真，为假，则实数m的取值范围_________． 10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设，若，则或； （2）设，若，则． 解：（1），若或，则；真命题； 否命题：设，若，则且；真命题； 逆否命题：设，若且，则；真命题； （2）逆命题：设，若，则；假命题； 否命题：设，若或，则；假命题； 逆否命题：设，若，则或；真命题． 11．设命题：函数是R上的减函数，命题q：上的值域为，若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数a的取值范围． 解：由得， 又，在上的值域为，得． 又“或”为真命题，“且”为假命题， 当为真为假时，解得. 当为假为真时，解得. 综上所述，a的取值范围为. 12．已知命题：，都有，命题：，.若为假命题且为真命题，求实数m的取值范围. 解：当 为真命题时，则，故为假命题时，得. 当为真命题时，即，则或. 综上，可知. 若，则 若，则 若且，则。
江苏省徐州市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(押题卷)完整试卷
江苏省徐州市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等比数列的前项和为，则（）A．63B．728C．730D．64第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（）A．B．C．D．第(4)题在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（）（参考数据：）①若的观测值满足，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系；②若的观测值满足，那么在个吸烟的人中约有人患有肺病；③从独立性检验可知，如果有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有的可能性会患肺病；④从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误．A．①B．①④C．②③D．①②③④第(5)题在梯形中，则的余弦值为（）A．B．C．D．第(6)题中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出、十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示（）A．B．C．D．第(7)题如图是一个空间几何体的三视图，若该几何体的侧面积为，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．第(8)题已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．81B．86C．88D．192二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速发展，新能源汽车产销量大幅上升，2017－2021年全国新能源汽车保有量y（单位：万辆）统计数据如下表所示：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345保有量y/万辆153.4260.8380.2492784由表格中数据可知y关于x的经验回归方程为，则（）A．B．预测2023年底我国新能源汽车保有量高于1000万辆C．2017－2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势D．2021年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为71.44第(2)题设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（）A．是偶函数B．为奇函数C．函数有8个不同的零点D．第(3)题已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A．B．在处取得极大值C．当时，D．的图象关于点中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首是周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为______.第(2)题在的二项展开式中，常数项等于_______.第(3)题已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题中正确的有_________．①若为的中线，则；②为定值（为坐标原点）；③存在直线，使得；④对于任意直线，都有．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（1）求z的值.（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.第(2)题如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作于点F，点D，E的坐标分别为，连接PD，PE，DE．(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究，点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点P也是一个“好点”，请直接写出所有“好点”的个数，并求出周长最小时“好点”的坐标．第(3)题已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求的值．第(4)题已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.（1）求f(x)的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：.第(5)题在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.(1)求该圆锥体积；(2)求异面直线与所成角的大小.。
辽宁省阜新市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(押题卷)完整试卷
辽宁省阜新市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题“”是函数满足：对任意的，都有”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(3)题公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（）A．240B．360C．480D．720第(4)题现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A．12B．24C．48D．60第(5)题为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13), [13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A．6B．8C．12D．18第(6)题命题“”的否定是A．B．C．D．第(7)题已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A．B．C．D．第(8)题如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是矩形，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，在平行六面体中，为正方形的中心，分别为线段的中点，下列结论正确的是（）A．平面B．平面平面C．直线与平面所成的角为D．第(2)题如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．边所在直线的斜率的取值范围是B．边所在直线在轴上截距的取值范围是C．边与边所在直线的交点为D．当的中垂线为时，第(3)题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）A．存在点，使得B．C．对于任意的点，必有向量与向量共线D．面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为 _____第(2)题已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x024531 2.513的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：①在区间上单调递增；②有2个极大值点；③的值域为；④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．其中，所有正确结论的序号是______．第(3)题某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设数列的前n项和，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列的前n项和，，求数列的前n项和．第(2)题已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若，且当时，，求的最大值.第(3)题如图，在四棱锥中，，，，，二面角为直二面角．(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值．第(4)题一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．(1)若，求的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．第(5)题已知函数的图像与直线相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求与的函数关系；(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．。
江苏省徐州市2024高三冲刺(高考数学)人教版能力评测(押题卷)完整试卷
江苏省徐州市2024高三冲刺（高考数学）人教版能力评测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1．3．610……这样的数称为“三角形数”，而把1．4．9．16……这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（）①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36A．③⑤B．②④⑤C．②③④D．①②③⑤第(4)题已知实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题定义在上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（）A．B．C．D．第(8)题根据右边的图，当输入为时，输出的（）A．28B．10C．4D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设正实数满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为6B．的最大值为C．的最小值为2D．的最小值为第(2)题中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（）A．B．C．D．第(3)题在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若的面积为，则C的离心率为__________．第(2)题已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是__．第(3)题二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，，，是棱上的点．(1)求证：四棱柱为直棱柱；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．第(2)题a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．第(3)题如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．(1)求证：；(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．第(4)题如图，在几何体中，底面为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面，平面，，，为垂足，，为垂足.(1)证明：平面；(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的正切值.第(5)题已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为，过上一点引圆的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交于点（异于）.(1)求直线与的斜率之积的值；(2)记为坐标原点，试判断三点是否共线，并说明理由.。
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高考数学三轮考前通关 填空题押题练B 组 理
填空题押题练B 组
1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2
≤4}，则M ∩N ＝________.
解析 M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2
≤4}＝{x |－2≤x ≤2}． 答案 M ∩N ＝{x |1＜x ≤2} 2．设i 为虚数单位，则复数
3＋4i
i
＝________. 解析 依题意：3＋4i i ＝3＋4i
i
i 2
＝4－3i.
答案 4－3i
3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2
＝16内的概率为________．
解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，
而点P 落在圆x 2
＋y 2
＝16内包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝2
9.
答案 29
4．高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________． 解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17. 答案 17
5．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，
A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图
输出的结果是________．
解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10. 答案 10
6．若命题“∃x ∈R ，使得x 2
＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________．
解析 由题意：x 2
＋(a －1)x ＋1＞0恒成立． 则对应方程x 2
＋(a －1)x ＋1＝0无实数根． 则Δ＝(a －1)2－4＜0，
即a 2
－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3. 答案 －1＜a ＜3
7．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.
解析 因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝4
5.
答案 4
5
8．设f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．
解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x
＝
2
x －2
x ＋1
x
＞0，解得
－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集(2，＋∞)． 答案 (2，＋∞)
9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________.
解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 2
4＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3
⇒q ＝2，所以S 8＝
1－2
8
1－2
＝15(2＋1)．
答案 15(2＋1)
10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2
＋ac ＋c 2
－b 2
＝________.
解析 利用余弦定理，再变形即得答案． 答案 0
11．当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________．
解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y
∈(1,2]，所以值域为(1,2]． 答案 (1,2] 12. 曲线y ＝
x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析 y ′＝
2
x ＋2
2
，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.
答案 y ＝2x ＋1
13．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．
解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，若双
曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞
2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2
＝c 2a
2＞5，e ＞ 5.
答案 e ＞ 5
14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如
果实数m 、n 满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞3，f m 2
－6m ＋23＋f n 2
－8n
＜0，
那么m 2＋n 2
的取值范围
是________．
解析 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2
－8n )＝f [(n 2
－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2
－8n －1)]＝－f (－n 2
＋8n ＋2)，所以f (m 2
－6m ＋23)＜－f (n 2
－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2
－6m ＋23＜－n 2
＋8n ＋2，即为(m －3)2
＋(n －4)2
＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m 2
＋n 2
＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时
m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13,49)．
答案 (13,49)。