第四章(II)弯曲应力 - 副本
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材料力学第4章 弯曲应力
例题4.5 作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
E FB 2kN 1m
7
3
x 1.56
2
3
kN
2
2
kNm
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.6
4kN m
6kN
2kN m
4.5
1m
1m
1.5
4
2m
kN
5.5 kNm
7 8.5
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.7 叠加法作弯矩图
F
q
＋
F
F
q
A
B
l
F+qL
A
B
l
1/2qL2+FL
A
B
l
F
qL
1/2qL2
FL
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.8 叠加法作弯矩图
F
m 1 Fl 4
A
CA
F
B
B
l2 l2
l2 l2
1 Fl
4
A C
-
+
+
1 Fl 8
弯矩图：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位
置变化的图线，规定正值的弯矩画在梁的受拉侧， 即x轴的下侧。
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
q
A
FA
l
x
ql 2
B
FS
ql 2
qx
FB
M ql x qx2
22
ql
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
弯曲应力符号
弯曲应力符号弯曲应力符号弯曲应力是指在杆件或梁上，由于受到外力作用而导致产生的内部力。
在工程学中，弯曲应力是一种常见的内部应力类型。
为了描述这种内部应力，我们需要使用一些符号和术语。
I. 弯曲应力的定义弯曲应力是指杆件或梁在受到外部载荷时，由于其截面形状不同而产生的内部应力。
这种内部应力会导致杆件或梁发生变形或破坏。
II. 弯曲应力的计算公式1. 弯曲应力公式弯曲应力可以通过以下公式进行计算：σ = M*y/I其中，σ表示弯曲应力；M表示外部载荷产生的弯矩；y表示距离中性轴最远点的距离；I表示截面惯性矩。
2. 中性轴和截面惯性矩中性轴是指杆件或梁在受到外部载荷后，其截面上拉伸区域和压缩区域之间分界线的位置。
截面惯性矩是指杆件或梁在某个方向上抵抗扭转变形的能力。
III. 弯曲应力符号在计算弯曲应力时，我们需要使用一些符号来表示不同的量。
以下是一些常用的符号：1. σ：表示弯曲应力。
2. M：表示外部载荷产生的弯矩。
3. y：表示距离中性轴最远点的距离。
4. I：表示截面惯性矩。
5. E：表示杨氏模量，即杆件或梁在拉伸或压缩时的变形程度与受力程度之比。
6. ε：表示应变，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的变形程度与其原始长度之比。
7. δ：表示挠度，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的纵向位移量。
IV. 弯曲应力的影响因素弯曲应力受到很多因素的影响，以下是一些常见的影响因素：1. 外部载荷大小和方向：外部载荷越大，产生的弯矩就越大，从而导致弯曲应力增加。
外部载荷方向也会影响弯曲应力大小和分布情况。
2. 杆件或梁截面几何形状：不同形状的截面对弯曲应力的影响不同。
一般来说，惯性矩越大的截面抵抗弯曲应力的能力越强。
3. 材料性质：材料的弹性模量和屈服强度等性质会影响杆件或梁的变形和破坏情况。
V. 弯曲应力的应用弯曲应力是工程学中常见的内部应力类型，其在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 结构设计：在设计建筑物、桥梁、机器等结构时，需要考虑弯曲应力对结构安全和稳定性的影响。
04 弯曲应力-2课件
dx
FQ(x) FQ+dFQ
C
M(x)
M+dM q(x)
设 q 向上为正
∑Fy = 0 FQ+qdx－(FQ＋dFQ) = 0
∴
d FQ q dx
（5-1）
∑MC = 0 (M＋dM) －M－FQdx－q(dx)2/2 = 0
dM－FQdx－ q(dx)2/2 = 0
忽略高阶小量
∴
dM dx
FQ
（5-2）
FQ , M 与 q 的微分关系
d FQ q dx
dM d x FQ
dx
FQ(x) FQ+dFQ
d2 M d x2
q
（5-3）
M(x)
M+dM q(x)
理解：
1. 它们反映了梁的内力与外力之间的关系， 实际上就代表了梁微段上的平衡方程；
2. 依据这些关系，使得根据外力直接画内力 图成为可能。
FQ , M 图形。
例题 q
求图示结构剪力 A
弯矩图。
解： 1. 求支反力
2a
FA= qa
qa
FA= qa (↑) FB= 2qa (↑)
FQ a
2. 计算控制截面的 内力值
3. 绘内力图
qa 2 2
qa2
qa
B
C
a
FB = 2qa
qa
qa qa2
例题
q = 3 kN/m
Me= 3 kN·m
求图示梁的剪力图 和弯矩图
a l
x1
Fb l
M
B b
FB x2
Fa l
Fab l
d FQ dx
q
dM dx
弯曲应力clPPT教案
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） M(kN.m) 2.5
C
B
4 y1 y2
y1 x
y2
80
2 0
120
20
C截面 B截面
MC=2.5kN·m。最大负弯矩在截面 B 上，
MB=-4kN·m。
第33页/共102页
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） M(kN.m) 2.5
C
B
4 y1
y1 x
y2
80
2 0
120
b’
m
o’ b’ n
b'b' ( y)d
bb dx oo o'o' d
( y)d d y
d 第5页/共102页
弯曲内力（纯弯曲时的正应力） M
2、物理关系
M 中性轴（应力为零的点的连线）
E
E y
第6页/共102页
z
x
y
σdA
z
y
弯曲内力（纯弯曲时的正应力）
3、静力关系
弯曲内力（横力弯曲时的正应力） FA
FB F
Fa M
（+） x
20 φ14
30
解：1.计算抗弯截面模量 Mmax=MB=Fa
Iz
3 23 12
1.4 23 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07 1
1.07cm3
第27页/共102页
弯曲内力（横力弯曲时的正应力）
Wz
Iz ymax
1.07 1.07cm3 1
E
A yzdA
0
☆说明：有对称轴，y 为对称轴
M
A ydA
E
A y2dA
材料力学 弯曲应力
材料力学
工程实例
F1
F2
第四章 弯曲应力
第4页 / 共158页
材料力学
纵向对称面
第四章 弯曲应力
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵向对称面内的 平面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
l
第29页 / 共158页
材料力学
第四章 弯曲应力
3. 作剪力图和弯矩图
FSxFl b0xa
FSxFl aaxl
(b)
MxFb x 0xa
l
M (x)Fa lx axl
l
(c)
如图b及图c。由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在
0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大，FS,max 集中荷载作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，Mmax
F
(a)
解：1. 求约束力
FA
Fb, l
FB
Fa l
第27页 / 共158页
材料力学
第四章 弯曲应力
2. 列剪力方程和弯矩方程
此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内 任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁
的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
F
FA
Fb, l
FB
Fa l
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment)
截面法
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
FAFlla, FBF l a
ch4II弯曲应力1-3-2013
Normal Stress of Beam
4-4-2,弯曲正应力的公式推导
N
dA 0
A
Sz 0
表示中心轴应通过横截面的形心。
M y
z dA
A
I yz 0 表示横截面上的zy坐标轴为形心主轴。
M z
y dA M :
A
y.....( c)
M
A
y2dA
z
简记为
1 M ....( 4 4)
+
M
Pa
平面横力弯曲== 平面弯曲 +横力弯曲
现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁
的正应力公式:
§4-4I 纯弯曲时梁横截面上的正应力
Normal Stress of Beam 4-4-1,平面纯弯曲的实验研究
变形特点:
①１－１与２－２变
1
2
形后仍为直线,仍与变形
a dx b
后的轴线垂直。只是相对 A
量。(即σ不能在面内合成FS)。同理,因为τ在截
面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生
绕此面内水平轴的合力矩M。因此,dA M; 。 dA FS
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为 常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure Bending)。 平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况。
§4-4I 纯弯曲时梁横截面上的正应力
y
z(中 性 轴 ）
①平面假设(Plane m
xm
section assumption):
在纯弯曲时，
变形前为平面的
横截面。变形后仍为平面。
②纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。
(即: 0 ; 依横截面的高度y改变） z
4-2弯曲应力公开课教案课件
1.5 5400 0.12 0.18
x 0.375MPa 0.9MPa
-qL/2 应 力 之 比
x
max Mmax 2 A L 16.7 max Wz 3FS h
M
qL2/8
[ ] 7
7.8
[ ] 0.9
35
弯曲应力
q= 3.6kN/m
A
Q q L/2
L = 3m
求最大应力并校核强度
a
解：：确定计算简图如图b
2m
8m
2m
z 动静法:
图a
y
qd
A1a
g
qj
a g
PA
q=q j + q d
PB
615 10 628N / m 9.8
图b
q q j qd 1243 N / m
20
弯曲应力
PA
q=q j + q d
PB
图b
：由平衡方程求吊索动反力
qL PA PB 2 124312 7460N
M max Wz
max
F S S max z max bIz
3、三种应用：
、、校校核核强强度度：： max ； max
、设计截面尺寸：
Wz
M max
、设计载荷： Mmax Wz ; P f (Mmax )
32
弯曲应力
4、需要校核切应力的情况： 、梁的跨度较短，FS较大时，要校核切应力。 、薄腹板梁，剪力较大； 、铆接、焊接、胶合的组合截面梁，对焊缝、铆钉、 胶合面需要校核切应力； 、抗剪能力较差的各向异性材料（如木材）， 需要校核切应力。
M
qL2/8
[ ] 7
7.8
[ ] 0.9
蔡中兵《材料力学》4弯曲应力
FS
m 盐城工学院力dx学课程组
材料力学
2.弯矩符号
mechanics of materials
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲上凹下凸（即该段的下 半部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
- 当dx 微段的弯曲上凸下凹（即该段的
下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
（受拉）
m
m（受压）
盐城工学院力学课程组
材料力学
mechanics of materials
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
盐城工学院力学课程组
材料力学
mechanics of materials
q
P
受力特点：外力垂直于杆件的轴线。 —— 称为横向力
变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件——梁
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
盐城工学院力学课程组
材料力学
mechanics of materials
q
FS
(x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
，
FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
B
FRB
ql/2
材料力学
mechanics of materials
例题 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
化工设计课件-7压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
横截面。
注意横截面与
锥截面的区别！
D
CHAP. 7 压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
2) 回转壳体中的拉伸应力 回转壳体在其内表面受到介质均匀的内压作用时，（介质是气体或流
体，当介质流体时不考虑其静压），壳壁将在二个方向上产生拉伸应力。
一是壳壁的环向纤l 维将受到拉伸，在壳壁的纵向截面上将l 产生环向拉伸应
)
pR2
2
对于钢 0.3
则 , M max
1.24 pR2
2
带“-”号的是圆板上表面的应力，带“+”号的是圆板下表面的应力。
b. 周边固定，承受均D 匀载荷的圆平板，其最大应力出现在板的周围。
max
( r,M
)rR
0.75
pR2
2
CHAP. 7 压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
力，用 表示；由于壳体壁厚相对直径说很小，可近似比作薄膜，并认为沿
、壁厚均匀分布，称环向薄膜应力。 二是壳壁的径向纤维也受到拉伸，因而在壳壁的锥截面内将产生径向拉伸
应力，用 m 表示。也可视为沿壁厚均匀分布。
m 如何求呢?
D
CHAP. 7 压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
2) 回转壳体中的拉伸应力
l
l
D
从球截面变形看 ,M ,M 的产生
CHAP. 7 压力容器中的薄膜应力、弯曲应力与二次应力
3. 圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力
1）平板的变形与内力分析
（2）相邻环形截面的相对转动及由此产生的径向弯曲应力
l
l
r,M
在前述半径r的圆环外面，再取一个半径r+dr的圆环，加载后发现：当圆平
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x y M ( x) Fs(x) dx dx 图a Fs(x)+d Fs(x) 图b
(M dM )S z N2 Iz dM S z Fs S z 1 dx bIz bIz
MS z y d A A Iz
由切应力互等
M(x)+d M(x)
z x 图c
1
y
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1截面 的曲率半径。
120 y + qL2 8 Mmax
z
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
M
M1
60kNm
22
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
x
Fs
My Iz
F
F
横力弯曲： 当梁上有横行 x x
FL 4
20
力作用时,横截面上既有弯矩 又有剪力，梁在此情况的弯 曲成为横力弯曲。它是弯曲 问题中最常见的情况。
+
M
横力弯曲与纯弯曲的区别：
纯弯曲
1 .横截面上只有正应力
2 .平面假设成立 3 .各纵向纤维间不挤压
横力弯曲
1 .横截面上有正应力，而且有切应力
N
D
30kN FS(x) + 30kN – 10kN
10kN
=10kN
x
30kNm
– + 15kNm
4
M(x)
q
4- 3(c) 解：求约束反力
N A =1.5qa
N
B
=1.5qa
1.5qa FS(x) 1.5qa + – 1.5qa
1.5qa
+
3qa2
M(x)
21qa
2
2
5
8
m 4-3(d) 解：求约束反力
结论： 翼缘部分max1<<腹板上的max，只计算腹板上的max。
qa 2 2
+
ql 2 8
qla 2
ql 2 8
qa 2 qa2 = 2 2
26
解得a=0.207 l
III、 梁的正应力强度条件 强度条件
max
M WZ
[ ]
校核强度： 、校核强度：
max [ ]
M max 设计截面尺寸： Wz [ ]
设计载荷：
M max Wz [ ]
弯曲内力作业
1
解：任一截面 处的扭矩：
T ( x ) m x
2 Mn l 由 V 得微元的变形能为 2GI p
x
T 2 dx m2 x 2 dx dV 2GI p 2GI p
m2 x 2 dx m 2l 3 V 2GI p 6GI p 0
2 R l
l
或
V
§4–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
9
§4－4 梁横截面上的正应力、梁的正应力强度条件
1、纯弯曲时梁横截面上的正应力 剪力Fs 内力 切应力
弯矩M
正应力
10
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Fs的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
剪切弯曲横截面上既有Fs又有M的情况
M M1
25
q=60kN/m D A A a l
例：受均布荷载作用 B a 解：先做出梁的弯矩
图。由图可见，支座 位置直接影响A或B和 中央C截面的弯矩值， 只有当它们相等时， 才能使梁的最大弯矩 最小。即最大正应力 最小。
C
E
的等直外伸梁如图所示 max 。试求当最大正应力为 最小时的支座位置。
1
h/2 y h S y A b( y ) 2 2 b h2 ( y2 ) 34 2 4
z c
FS S ( y) 1 bIz
Fs
矩
Fs h 2 ( y2 ) 2I z 4
3 Fs max 1.5 2 A 方向：与横截面上剪力方向相同；
纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
13
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3 . 推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大切应力为平均切应力的1.5倍。 1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：
1
FsS z bI z
其中Fs为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩； 35
二、工字形截面梁
max
min max
Fs
Af
; Af —腹板的面积。
23
M
M1
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
120 + qL2 8 Mmax x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M M1
24
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
120 + qL2 8 Mmax x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
Mymax M… …(5) Iz Wz
抗弯截面系数。
ad D
I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
18
b
B
19
II、 纯弯曲理论的推广 横力弯曲 F
0 0 0
2 dxdd 2G
2 R l
2GI
0 0 0
T 2
2 p
dxdd
2
15kN/m
4-2(b)
30kNm
Fs(x) + 127.5kNm –
45kN 30kN x
37.5kNm
M(x)
3
30kNm
4-2(h) 解：求约束反力
40kN
N C =30kN
28
4
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
-4kNm
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60
MPa，其截面形心位于C点，
y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 x 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
在梁上取微段如图b；
x 在微段上取一块如图c，平衡 图c
1
y
1
X N
2
N1 1b(dx) 0
31
§4－5 梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件 I、 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁 x y
dx
图a Fs(x)+d Fs(x) 图b dx
1、两点假设： 切应力与剪力平行；
A
yzdA
EI yz
0
(对称面)
M (dA) y
z A
Ey2
A
dA
E
A
y dA
2
EI z
M
Mz EI z
1
… …(3)
EIz
杆的抗弯刚度。
x M y
Iz
...... (4)
17
（四）最大正应力：
max
Iz Wz ymax
d
D
T字头在上面合理。
G
y1 A4
30
§4－ 5 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力 x y
dx
图a
1、两点假设：
切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
M ( x)
FS(x) dx
Fs(x)+dFs(x)
图b M(x)+d M(x) z
⊕
M 2.5kNm A1 A3
x
AL
3
M B y1 Iz
M B y2 Iz
4 52 27.2MPa 8 76310
4 88 46.2MPa 8 76310
A y
4
G
y1
y2
校核强度
A2
A3 y2
A4
L max 28.2 L
y max 46.2 y
⊕
M y1 2.5kNm A1 A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
29 画危面应力分布图，找危险点
G
y2
A2 A4
-4kNm
A L
2
(M dM )S z N2 Iz dM S z Fs S z 1 dx bIz bIz
MS z y d A A Iz
由切应力互等
M(x)+d M(x)
z x 图c
1
y
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1截面 的曲率半径。
120 y + qL2 8 Mmax
z
x
解：画M图求截面弯矩
qLx qx2 M1 ( ) 2 2
x 1
M
M1
60kNm
22
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
x
Fs
My Iz
F
F
横力弯曲： 当梁上有横行 x x
FL 4
20
力作用时,横截面上既有弯矩 又有剪力，梁在此情况的弯 曲成为横力弯曲。它是弯曲 问题中最常见的情况。
+
M
横力弯曲与纯弯曲的区别：
纯弯曲
1 .横截面上只有正应力
2 .平面假设成立 3 .各纵向纤维间不挤压
横力弯曲
1 .横截面上有正应力，而且有切应力
N
D
30kN FS(x) + 30kN – 10kN
10kN
=10kN
x
30kNm
– + 15kNm
4
M(x)
q
4- 3(c) 解：求约束反力
N A =1.5qa
N
B
=1.5qa
1.5qa FS(x) 1.5qa + – 1.5qa
1.5qa
+
3qa2
M(x)
21qa
2
2
5
8
m 4-3(d) 解：求约束反力
结论： 翼缘部分max1<<腹板上的max，只计算腹板上的max。
qa 2 2
+
ql 2 8
qla 2
ql 2 8
qa 2 qa2 = 2 2
26
解得a=0.207 l
III、 梁的正应力强度条件 强度条件
max
M WZ
[ ]
校核强度： 、校核强度：
max [ ]
M max 设计截面尺寸： Wz [ ]
设计载荷：
M max Wz [ ]
弯曲内力作业
1
解：任一截面 处的扭矩：
T ( x ) m x
2 Mn l 由 V 得微元的变形能为 2GI p
x
T 2 dx m2 x 2 dx dV 2GI p 2GI p
m2 x 2 dx m 2l 3 V 2GI p 6GI p 0
2 R l
l
或
V
§4–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
9
§4－4 梁横截面上的正应力、梁的正应力强度条件
1、纯弯曲时梁横截面上的正应力 剪力Fs 内力 切应力
弯矩M
正应力
10
2、研究方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Fs的情况)
平面弯曲时横截面
例如： P1
剪切弯曲横截面上既有Fs又有M的情况
M M1
25
q=60kN/m D A A a l
例：受均布荷载作用 B a 解：先做出梁的弯矩
图。由图可见，支座 位置直接影响A或B和 中央C截面的弯矩值， 只有当它们相等时， 才能使梁的最大弯矩 最小。即最大正应力 最小。
C
E
的等直外伸梁如图所示 max 。试求当最大正应力为 最小时的支座位置。
1
h/2 y h S y A b( y ) 2 2 b h2 ( y2 ) 34 2 4
z c
FS S ( y) 1 bIz
Fs
矩
Fs h 2 ( y2 ) 2I z 4
3 Fs max 1.5 2 A 方向：与横截面上剪力方向相同；
纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
13
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3 . 推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。
大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大切应力为平均切应力的1.5倍。 1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：
1
FsS z bI z
其中Fs为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩； 35
二、工字形截面梁
max
min max
Fs
Af
; Af —腹板的面积。
23
M
M1
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
120 + qL2 8 Mmax x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
M M1
24
1 A 1m 1
q=60kN/m B 2m 1 2 180 30
M1 60 1max 104 92.6MPa Wz 6.48
max
M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48
120 + qL2 8 Mmax x
求曲率半径
EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60
Mymax M… …(5) Iz Wz
抗弯截面系数。
ad D
I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32
b
Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BH
B
18
b
B
19
II、 纯弯曲理论的推广 横力弯曲 F
0 0 0
2 dxdd 2G
2 R l
2GI
0 0 0
T 2
2 p
dxdd
2
15kN/m
4-2(b)
30kNm
Fs(x) + 127.5kNm –
45kN 30kN x
37.5kNm
M(x)
3
30kNm
4-2(h) 解：求约束反力
40kN
N C =30kN
28
4
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
-4kNm
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60
MPa，其截面形心位于C点，
y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 x 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
在梁上取微段如图b；
x 在微段上取一块如图c，平衡 图c
1
y
1
X N
2
N1 1b(dx) 0
31
§4－5 梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件 I、 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁 x y
dx
图a Fs(x)+d Fs(x) 图b dx
1、两点假设： 切应力与剪力平行；
A
yzdA
EI yz
0
(对称面)
M (dA) y
z A
Ey2
A
dA
E
A
y dA
2
EI z
M
Mz EI z
1
… …(3)
EIz
杆的抗弯刚度。
x M y
Iz
...... (4)
17
（四）最大正应力：
max
Iz Wz ymax
d
D
T字头在上面合理。
G
y1 A4
30
§4－ 5 梁横截面上的切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力 x y
dx
图a
1、两点假设：
切应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
M ( x)
FS(x) dx
Fs(x)+dFs(x)
图b M(x)+d M(x) z
⊕
M 2.5kNm A1 A3
x
AL
3
M B y1 Iz
M B y2 Iz
4 52 27.2MPa 8 76310
4 88 46.2MPa 8 76310
A y
4
G
y1
y2
校核强度
A2
A3 y2
A4
L max 28.2 L
y max 46.2 y
⊕
M y1 2.5kNm A1 A3
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
M C 2.5kNm(下拉、上压 )
M B 4kNm（上拉、下压）
29 画危面应力分布图，找危险点
G
y2
A2 A4
-4kNm
A L
2