3.2边缘分布

3
7
7
p• j 4
P{Y
yj } 注意 联合分布
7
3
7
1
边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量( X , Y ) , 设它的概率密
度为 f (x, y),由于
x
FX (x) F (x,)
[ f (u, v) d v]d u ,
记
f X (x)
f (u, v) d v ,
σ2
σ1
2 dy,
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
x μ1 2σ12
)2
2πσ1
同理可得 fY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2σ
2 2
)2
2πσ2
x . y .
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
y x
O
y x2
x
当0 y 1时,
y
fY ( y)
f (x, y)d x
y
6d x 6(
y y).
当 y 0 或 y 1时,
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.得
6( fY ( y)
y y), 0,
3.2边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布
一、边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X ,Y 的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x},
P{X x} P{X x,Y } F(x,) FX ( x)
解: 1.F X (x) F(x,)
1 ( arctan x ) •
2 2
2
1 1 arctan x
2
2
FY
( y)
F (,
y)
11
2
arctan y 3
1 2.P(X 2) 1 P(X 2) 1 F X (2) 4
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y ) 的联合分布
试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解
fX (x)
f
(
x,
y)d
y,由于(
y
μ2 )2 σ22
2ρ(x
μ1 )( y σ1σ2
μ2 )
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
ρ2
(
x
μ1 )2 σ12
,
fX (x)
1
2πσ1σ2 1 2
e
(
x μ1 2σ12
)2
1
e 2(12)
y μ2 ρ x μ1
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
当0 x 1时,
fX ( x)
f (x, y)d y
x
6d y 6( x x2 ). x2
y y x
O
(1,1)
y x2
x
当 x 0 或 x 1时,
y
(1,1)
fX ( x)
f ( x, y)d y 0.
律为 P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1, 2,.
记
pi• pij P{X xi}, i 1, 2,,
j 1
p• j pij P{Y y j}, j 1, 2,, i 1
分别称 pi• (i 1, 2,) 和 p• j ( j 1, 2,) 为 ( X ,Y )
0 y 1, 其他.
例4 设二维随机变量( X , Y ) 的概率密度为
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2ρ(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2
σ
2 2
)2
x , y ,
其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
f (u, v) d u d v,
Y 的边缘概率密度
fY ( y)
f (u,v)d u.
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),
2π
显然, ( X ,Y ) 不服从正态分布,但是
fX
(x)
1
x2
e2
2π
,
fY
(
y)
1
y2
e2
2π
.
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布
记为 FX (x) F(x,).
同理令 x ,
FY ( y) F(, y) P{X ,Y y} P{Y y} 为随机变量 ( X, Y ) 关于Y 的边缘分布函数.
例1.设（X,Y）的分布函数为
F(x,
y)
1
2
(
2
arctan x)(
22
arctan
y 3
)
1.关于X和Y的边缘分布函数 2.求 P(X 2)
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
p2 j pij
P{X xi} pij , i 1,2,; P{Y y j} pij , j 1,2,.
j 1
i 1
因此离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且都不依赖于参数ρ .
思考:边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布 一定是二维正态分布吗?
附录
• 思考题解答
思考:边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布 一定是二维正态分布吗?
思考题解答：令 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
f (x, y)
( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数.
定义 设 F(x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F(x , y) P{ X x , Y y}. 令 y , 称 P{X x} P{X x ,Y } F(x,) 为随机变量(X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数.
FX (x) F(x,)
pij , FY ( y) F(, y)
pij .
xi x j1
y j y i1
例2 已知下列 Y X
0
1
分布律求其边缘 0 12
12
分布律.
42 42
12
6
1
解
42 42
YX 0
1
012 12
42
12
1 42
42 6
42
pi• P{X xi } 4