集合1
1_集合
1.1.2集合的表示-枚举法
例1.1 下面是枚举法给出集合的例子
① A= {1，3，5，7，…} ② B= {2，4，6，8，…，100} ③ P= {a+1，a+2，a+3，…，a+999} ④ Q= {a，A，b，B，c，C，…，Z}
解释 ① 集合A由所有正奇数组成，是一个无限集； ② 集合B由2到100之间的50个偶数组成，是一个有限集，集合的基 数为card(B)=50； ③ 集合P由a+1到a+999的表达式组成，是一个有限集； ④ 集合Q由大、小写英文字母组成，是一个有限集，集合的基数为 card(Q)=52。
离散数学
第一篇
第1章：集合 第2章：关系 第3章：函数
集合论
1.1 集合的概念及表示
集合（set）作为数学中的基本概念，如同几何中的点、线、面 等概念一样，是不能用其他概念精确定义的原始概念，集合 是什么呢？下面是由康托尔首先给出的经典定义。
定义1.1 集合：集合就是由人们直观上或思想上能够明确区分的一 些对象所构成的一个整体。
, a , , a, a, a
，{a}，{{a}}
练习
P() = ? P(P()) = ? P(P(P())) = ? ……
A
补集合
定义1.10 ：对于任意集合A和全集U，由所有属于全集U但 不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集合（ complement），简称为补集，记作为A。 显然，全集的补集是空集，空集的补集是全集，即 U = ， = U。
1.1.2集合的表示-图形法
(3)图形 法:利用平面上点的对应元素的封闭区域对集合进行 图解标示，一般通过平面上的方形或圆形表示一个集合， 又称为文氏图（Venn Diagrams）法。 例如：图1.1就是集合A、B、C和D的图形表示。
高一数学第一章《集合》教案
高一数学第一章《集合》教案高一数学第一章《集合》教案（通用6篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。
那么什么样的教案才是好的呢？以下是店铺收集整理的高一数学第一章《集合》教案，欢迎大家分享。
高一数学第一章《集合》教案篇1教学目标：(1) 知识与技能：了解集合的含义，理解并掌握元素与集合的“属于”关系、集合中元素的三个特性，识记数学中一些常用的的数集及其记法，能选择自然语言、列举法和描述法表示集合。
(2) 过程与方法：从圆、线段的垂直平分线的定义引出“集合”一词，通过探讨一系列的例子形成集合的概念，举例剖析集合中元素的三个特性，探讨元素与集合的关系，比较用自然语言、列举法和描述法表示集合。
(3) 情感态度与价值观：感受集合语言的意义和作用，培养合作交流、勤于思考、积极探讨的精神，发展用严密谨慎的集合语言描述问题的习惯。
教学重难点：(1) 重点：了解集合的含义与表示、集合中元素的特性。
(2) 难点：区别集合与元素的概念及其相应的符号，理解集合与元素的关系，表示具体的集合时，如何从列举法与描述法中做出选择。
教学过程：【问题1】在初中我们已经学习了圆、线段的垂直平分线，大家回忆一下教材中是如何对它们进行定义的？[设计意图]引出“集合”一词。
【问题2】同学们知道什么是集合吗？请大家思考讨论课本第2页的思考题。
[设计意图]探讨并形成集合的含义。
【问题3】请同学们举出认为是集合的例子。
[设计意图]点评学生举出的例子，剖析并强调集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性。
【问题4】同学们知道用什么来表示一个集合，一个元素吗？集合与元素之间有怎样的关系？[设计意图] 区别表示集合与元素的的符号，介绍集合中一些常用的的数集及其记法。
理解集合与元素的关系。
【问题5】“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}，“方程(x- 1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集[设计意图]引出并介绍列举法。
集合(一、二)
1－2．集合【知识要点归纳】一、基础概念1.集合的定义一般地，指定的某些对象的全体称为集合，记作：A，B，C，D，…2.元素的定义集合中的每个对象叫做这个集合的元素，记作：a，b，c，d，…3.集合的三个特性: 、、4.集合的分类：根据集合中所含元素的个数来分: 、、5.常用数集：非负整数集（即自然数集）：有理数集正整数集实数集整数集二．集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}3、图示法：（1）数轴法：{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10}（2）Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
注：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．两种关系1.元素与集合的关系属于：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作不属于：a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作2.集合与集合的关系说明： 1．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．2．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．四．集合的三种运算常用运算性质：1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ ；A ∩B ＝A ⇔【经典例题】例1：设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是例2：用描述法分别表示（1）抛物线y=x 2上的点.（2）抛物线y=x 2上点的横坐标.（3）抛物线y=x 2上点的纵坐标.例3：已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84例4：已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.例5：有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且c a r d ()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672（B ）640（C ）384（D ）352例6.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．例7：已知集合A ={x |-2£x £5}，集合}12|{-≤≤=p x p x B ，若A B ⊆，求实数p 的取值范围。
集合第一章 习题课
关
∴(∁IM)∩(∁IN)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.
(A ) D．{a，c}
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
5．已知全集 U＝R，集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，下图
中阴影部分所表示的集合为
(B )
本
课
时
栏 目
A．{1}
B．{1,2}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2}
可知没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有 19 名同学没有参加过比赛．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集
本 课
合与集合的包含关系．
时
栏 目
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用
开
关
集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的
同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有 20 名同学参赛，
已知两项都参赛的有 6 名同学，两项比赛中，这个班共有多
本 课
少名同学没有参加过比赛？
时 栏
解
设 A＝{x|x 为参加排球赛的同学}，B＝
目
开 {x|x 为参加田径赛的同学}，则 A∩B＝{x|x 为
关
参加两项比赛的同学}．画出 Venn 图(如图)，
综上所述，满足 B⊆A 时，a 的取值范围是 a≥4.
∴满足 B⊆A 的 a 的取值范围是 a＜4.
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
题型三 集合的交、并、补运算
例 3 设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B) 及(∁RA)∩B. 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下：
人教版高中数学B版必修一《第一章 集合——第1课时 集合》课件
课前篇 自主预习
一
二
三
四
2.填空 (1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这个 整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集).集合通常用英文大 写字母A,B,C,…来表示. (2)元素:组成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素 通常用英文小写字母a,b,c,…来表示. 3.做一做:下列各组对象能构成集合的有( ) ①2019年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非负 奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B
-12-
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
课堂篇 探究学习
延伸探究 若集合A中含有两个元素a-3和2a-1,已知-3是A中的元素, 如何求a的值? 解:∵-3是A中的元素, ∴-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0. 此时集合中含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述:满足题意的实数a的值为0或-1.
-14-
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
课堂篇 探究学习
反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨论 的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元 素的互异性.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
变式训练用符号“∈”和“∉”填空.
(1) 2-1 (2)23 (3)-4
课前篇 自主预习
一
二
三
四
知识点四、常用数集及其表示
1.思考
我们曾经学习了哪些常见的数集?
集合的概念(一)
集合中的元素具有以下三大特征
1. 确定性:集合中的元素必须是确定的. 2. 互异性:集合中的元素必须是互异的， 也就是说，对于一个给定的集合，它的 任何两个元素都是不同的．
如: 方程 x2x 0的解集为{1}而非{1, 1}．
问题：
1.A＝｛1，3｝,问3,5哪个是A的元素? 2.A＝｛素质好的人｝能否表示为集合? 3.A＝｛2，2，4｝表示是否准确? 4. A＝｛太平洋，大西洋｝，
认真想；
认真记； 认真做；
课堂上做到“四认真”
认真想；
认真记； 认真做； 认真总结．
课后要学会“三种复习”
课后要学会“三种复习” (1) 及时复习 理论产生的背景和过程 深抠理论 理论适用的条件 理论的结构特征 理论的本质与功能 怎么想 深抠例题 怎么表达 为什么这样想 还能怎么想
课后要学会“三种复习” (1) 及时复习 理论产生的背景和过程 深抠理论 理论适用的条件 理论的结构特征 理论的本质与功能 怎么想 深抠例题 怎么表达 为什么这样想 还能怎么想
思考
A＝｛2，4｝， B＝｛｛1，2｝，｛2，3｝，
｛2，4｝，｛3，5｝｝，
问：A与B的关系如何？
练习
1.已知A={x}，下列各式正确的是( ) A. x A B. 0 A C. x A D. x 0
2.方程
集是 .
的解
练习
1.已知A={x}，下列各式正确的是( C ) A. x A B. 0 A C. x A D. x 0
2.方程
的解 {(2，－３)｝
集是 . 3.对于A={2，4，6}，若a∈A，
则6－a ∈A，求a的值．
问题：
1.A＝｛1，3｝,问3,5哪个是A的元素? 2.A＝｛素质好的人｝能否表示为集合?
集合1.1.1讲义
精锐教育学科教师辅导讲义练习题2答案 1．A 2.D3.B4.B5.C6.{}1,0,1,2-7.1928.⑴()()()(){}0,3,1,2,2,1,3,0;⑵{}0,1,2,,3;9.a =32-或47-. 10.{}3,2,1,0,1,2,3A =---;{}1,0,3,8B =-;()()()()()()(){}3,8,2,3,1,0,0,1,1,0,2,3,3,8C =----状元智慧树（思维导图）：课后作业一、选择题：1.下列说法中正确的是 （ ）A ．2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合 D.{1,0,5,1,2,5}组成的集合有四个元素2.下列说法中①集合N 与集合N +是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素。
其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列条件中，能构成集合的是 （ ） A ．世界著名的化学家B ．在数轴上与原点非常接近的点C ．所有的等腰三角形D ．全年级成绩优秀的学生4.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合，最多含（ ）A. 2个元素B. 3个元素C. 4个元素D. 5个元素 5.若{}x x 122+∈，，则x 的值为 （ ）A. -2B. 1C. 1或-2D. -1或26.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7. 设a 、b 、c 是非零的实数，则=+++a b c abc y |a||b||c||abc|的值所组成的集合为 （ ）A.{4}B.{4,4}-C.{4,4,0}-D.{0,4} 二、填空题： 8.用符号“∈”，“∉”填空 ① 0N ，-1N ，3N ，21N ②31-Z ，2Q ，πQ ③ 5Z ，-11Q ，5-R9.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？ 集合{1,2}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？ （填“是”或“不是”）10.对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值是 三．解答题11.由0,1,4组成的集合用A 表示，由1，4，(1)x x -组成的集合用B 表示，已知集合A=B ，求x 。
《数学(基础模块)上》—第1章 集 合
1.2 集合的表示方法 2．描述法
例 4 用描述法表示下列集合．
（1）大于 3 的所有奇数组成的集合； （2）不等式 3x 1 0 的解集；
（3）直线 y 2x 1 上的点组成的集合．
解 （1）该集合中元素的共同属性可以描述为
所以这个集合可以表示为
x 3，x 2k 1，k Z ，
{x | x 3，x 2k 1，k Z} ．
{b ，o ，k} ．
（2）解方程 x2 2x 3 0 得 所以该方程的解集为
x1 3 ， x2 1，
{3，1} ．
1.2 集合的表示方法 2．描述法
有些集合无法用列举法表示，例如，由大于 2 的实数组成的集合，这个集合有无穷多个元素， 显然无法一一列举出来．这种情况下，我们可以抓住这一集合中元素所具有的特征，即所有元素 都是实数，并且大于 2，由此可将这个集合表示为 {x | x 2，x R}， 其中，花括号内竖线左侧的 x 表示这个集合中的任意一个元素，竖线右侧写的是元素的共同属性， 即元素所要满足的条件．
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等．集合 A 等于集合 B，记 作 A B，读作“A 等于 B”．
由集合相等的定义可知，{x | x2 3x 2 0} {1，2} ． 显然，若集合 A B，则 A B 且 B A ．
集合概念一
集合的概念(一)由方程的所有解组成的集合叫做这个————————由不等式的所有解组成的集合叫做这个————————．像方程210x-=的解组成的集合那样，由有限个元素组成的集合叫做————————．像不等式x-2>0的解组成的集合那样，由无限个元素组成的集合叫做————————．像平面上与点O的距离为2 cm的所有点组成的集合那样，由平面内的点组成的集合叫做————————由数组成的集合叫做————————．方程的解集与不等式的解集都是————————．所有自然数组成的集合叫做——————，记作—————．所有正整数组成的集合叫做————————，记作———+Ζ．所有整数组成的集合叫做————————，记作—————．所有有理数组成的集合叫做————————，记作—————．所有实数组成的集合叫做————————，记作—————．不含任何元素的集合叫做————————，记作————．例如，方程x2+1=0的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是————————元素a是集合A的元素，记作________（读作“a————A”），a不是集合A的元素，记作__________（读作“a————A”）．集合中的对象（元素）必须是确定的．对于任何的一个对象，或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者————练习1.1.11．用符号“∈”或“∉”填空：（1）−3 ———N，0.5 ———N，3 ———N；（2）1.5 ———Z，−5 ———Z，3 ———Z；（3）−0.2 ———Q，π———Q，7.21——Q；（4）1.5 ———R，−1.2 ———R，π———R．2．指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程210x+=的解集；（2）方程22x+=的解集．2 用列举法表示下列集合：（1）由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合；（2）方程2560x x--=的解集．3 用描述法表示下列各集合：（1）不等式2X+1>5的解集；（2）所有奇数组成的集合；1（3）由第一象限所有的点组成的集合．1．用列举法表示下列各集合：（1）方程2340x x--=的解集；（2）方程430x+=的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合．2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程240x-=的解集；（3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式253x->的解集．4 用适当的方法表示下列集合：（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-7>5的解集；（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；5、选用适当的方法表示出下列各集合：(1)由大于10的所有自然数组成的集合；(2)方程290x-=的解集；(3)不等式465x+<的解集；(4)平面直角坐标系中第二象限所有的点组成的集合；(5)方程243x+=的解集；(6)不等式组330,60xx+>⎧⎨-<⎩的解集．2。
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
第1讲 集合（解析版）
第1讲集合一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理：1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B,并且A≠BA B(或B A)集合相等两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素A＝B运算 自然语言符号语言Venn 图交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A ,且 x ∈B }并集 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素构成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }补集设A ⊆S ,由S 中不属于A的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集∁S A ＝{x |x ∈S ,且x ∉A }集合运算中常用的结论 （1）集合中的逻辑关系 ①交集的运算性质．，， ，，．②并集的运算性质．，， ，，．③补集的运算性质．∁U (∁U A)=A ，∁U ∅=U ，∁U U =∅． ④结合律与分配律．结合律： ． 分配律： ． （2）由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．（3）．三、高考试题：1. （2022.新高考1）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2. （2022.新高考2）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则AB =（ ）A B B A ⋂=⋂A B A ⋂⊆A B B ⋂⊆A I A ⋂=A A A ⋂=A ⋂∅=∅A B B A ⋃=⋃A A B ⊆⋃B A B ⊆⋃A I I ⋃=A A A ⋃=A A ⋃∅=()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃*(N )n n ∈A A 2n 21n -21n -22n -()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂A. {1,2}-B. {1,2}C. {1,4}D.{1,4}-【答案】B【解析】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2AB =，故选：B.3. （2022.全国乙（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ） A. 2M ∈ B. 3M ∈C. 4M ∉D. 5M ∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误，故选:A 4. （2022.全国甲（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则∁U (A ∪B)=（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以∁U (A ∪B )={−2,0}.故选：D.5. （2022.北京）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则∁U A =（ ） A. (2,1]- B.(3,2)[1,3)--C. [2,1)-D.(3,2](1,3)--【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)UA =--，故选：D ．6. （2022.浙江）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ） A. {2} B. {1,2}C. {2,4,6}D. {1,2,4,6}【答案】D 【解析】{}1,2,4,6AB =，故选：D.7．（2021.全国乙卷（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N)=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.8．（2021.全国乙（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S ∩T =（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，ST T =.故选：C.9．（2021.全国甲（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.10．（2021.全国甲（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤< D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.11．（2021.新高考1）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2021.新高考2）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}，则A ∩∁U B =（ ） A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}【答案】B【解析】因为全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，3，6}，{2B =，3，4}， 所以{1UB =，5，6}，故{1UAB =，6}．故选：B ．13.（2020.新高考1）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4} D. {x |1<x <4} 【答案】C 【解析】[1,3](2,4)[1,4)AB ==,故选：C14．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D.15．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}， 且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B. 16．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A ={x ||x |<3，x ⅠZ }，B ={x ||x |>1，x ⅠZ }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.17．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B)=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故AB 中元素的个数为3.故选：B19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.。
集合1.1.1
1.1.1 集合的含义与表示1．集合的含义(1)元素与集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．示例：小于5的自然数组成集合，可以记为B，它的元素是0,1,2,3,4；方程x2－x＝0的实数解组成集合，可以记为A，它的元素是0,1．谈重点对集合的理解(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象．(3)集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．(2)集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．【例1－1】下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)新课标人教A版数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a，b，a，c．点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的．．．判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．(3)∈∉(1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．(2)符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．(3)“∈”和“∉”具有方向性．．．，左边是元素，右边是集合． 【例1－2】设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( )A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M．答案：B(4)相等集合只要构成两个集合的元素是一样的，也就是说它们的元素是完全相同的，我们就称这两个集合是相等的．【例1－3】若方程(x－1)2(x＋1)＝0的解集为A，方程x2－1＝0的解集为B，那么A与B是否相等？解：由题意知集合A中的元素为1，－1；集合B中的元素为1，－1．由定义可知A＝B．2．常用数集谈重点＋)不包括元素0．(2)通常情况下，大写英文字母N，N*，Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”；虽然正整数集有两种字母表示：N*或N＋，但是本书中主要用N*表示正整数集．【例2】用符号∈或∉填空：(1)3____N；3____Z；3____N*；3____Q；3____R．(2)3.1____N；3.1____Z；3.1____N*；3.1____Q；3.1____R．解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．(1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3∈N；3∈Z；3∈N*；3∈Q；3∈R．(2)因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N*；3.1∈Q；3.1∈R．答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈3．集合的表示法(1)自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．(2)列举法(1)当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；(2)元素间用“，”分隔开；(3)元素不能重复，不考虑顺序；(4)集合元素个数较多或无限时(无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号，如正整数集可表示为{1,2,3,4，…}．【例3－1】用列举法表示下列集合：(1)15以内质数的集合；(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点组成的集合．分析：(1)质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此数自身外，不能被其他自然数整除的数；(2)中要明确方程x(x2－1)＝0的实数根有哪些；(3)中要明确一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点有哪些，应怎样表示．解：(1){2,3,5,7,11, 13}；(2)解方程x(x2－1)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，故方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,0,1}；(3)解方程组,21,y xy x=⎧⎨=-⎩得1,1,xy=⎧⎨=⎩因此一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点为(1,1)，故所求的集合为{(1,1)}．(3)谈重点用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系；(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}，{正方形}等．【例3－2】用描述法表示下列集合：(1)所有的偶数组成的集合；(2)不等式2x－4＞0的解集．解：(1)偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数组成的集合用描述法表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设不等式2x－4＞0的解集记为A，x为集合A中元素的代表符号，其共同特征是2x－4＞0，则A＝{x|2x－4＞0}；解不等式2x－4＞0，得x＞2，则也可以表示为A＝{x|x＞2}．【例3－3】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解：(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1＜x＜7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1＜x＜7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．4．集合元素的特征的应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一．考查一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准)．(2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素．例如：方程x 2＝0的两个根x 1＝x 2＝0，用集合记为{0}，而不能记为{0,0}．【例4】下列说法正确的是( )A ．数学成绩较好的同学可以组成一个集合B ．所有绝对值接近于零的数组成一个集合C ．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D ．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合解析：对于A 项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于B 项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于C 项，集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，是相等集合，因此正确；对于D 项，1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故不正确． 答案：C5．元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于．用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A ．用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时相对比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……其次要清楚元素的共同特征是什么；最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．描述法表示的集合形式为{x |x ∈P (x )}，其中P (x )为该集合元素的共同特征．例如，集合B ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }，则该集合元素的一般符号是x ，其共同特征是x ＝3n －1，n ∈Z ，即集合B 中的元素是整数，并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合B 的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可．设3n －1＝16，解得n ＝173，则16不能等于3的整数倍减去1，所以16∉B ．设3n －1＝17，解得n ＝6，则17等于3的6倍减去1，所以17∈B ．【例5－1】设集合6|2B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N N ． (1)试判断元素1,2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B ．分析：判断集合B 与元素1,2的关系，只要代入验证即可．解：(1)当x ＝1时，621+＝2∈N ． 当x ＝2时，62＋2＝63222=∈+N ．因此1∈B,2∉B ． (2)∵62x+∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6． ∴x 只能取0,1,4．∴B ＝{0,1,4}．【例5－2】若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}且－3∈A ，求实数a 的值．错解：若a －3＝－3，则a ＝0；若2a －1＝－3，则a ＝－1；若a 2－4＝－3，则a ＝±1．综上可知，a ＝0或a ＝±1．错因分析：由于－3∈A ，故应分a －3＝－3,2a －1＝－3，a 2－4＝－3三种情况讨论，这是正确的，但求出a 值后，应验证其是否满足集合的互异性，错解在于没有验证，导致出现增解．正解：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意；(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足题意；(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意，当a ＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a ＝0或a ＝1．6．集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，既要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来．如方程x 2＝1组成的集合是{－1,1}，而该集合可描述为x 2＝1的解集，或绝对值为1的数等．(2)使用描述法时，需注意以下几点：①写清楚该集合中的代表元素．例如，集合{x ∈R |x ＜1}不能写成{x ＜1}．②集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关．例如，集合{x ∈R |x ＜1}也可以写成{y ∈R |y ＜1}．③所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表述方式不符合要求，需将k ∈Z 也写进大括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．④在不致引起混淆的情况下，所有的非负数组成的集合可记为{x |x ≥0}．当集合是数集时，在没有标明x 范围的前提下，我们认为x 的值是使式子有意义的所有值．如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x y y 1，此时我们认为x ∈R 且x ≠0．由反比例函数的性质，可知该集合可化为{y |y ∈R ，且y ≠0}．当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为{x |x 是四边形}．在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成{四边形}．“所有四边形组成的集合”不能写成{所有四边形}，因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”“全部”等意义的词．(3)对某一个具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的，如{x |x 是自然数中三个最小的完全平方数}，还可以表示为{0,1,4}．方法的选择要因题而异．【例6(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解． 解：(1)由于|x |≤2且x ∈Z ，所以x 值为－2，－1,0,1,2．故绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{－2，－1,0,1,2}．另外本题用描述法可表示为{x ∈Z ||x |≤2}．(2)解方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩得0,1.x y =⎧⎨=⎩因此用列举法表示方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{(0,1)}． 【例6－2】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界)的点的集合．分析：由于是坐标平面内的点集，所以代表元素可以用有序实数对(x ，y )，x ，y 的范围可结合图形写出．解：(1)设阴影部分的所有点构成集合A ，则集合A 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知－1≤x ≤1，－1≤y ≤1，所以A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}．(2)设阴影部分的所有点构成集合B ，则集合B 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知：－1≤x ≤1，y ∈R ，所以B ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，y ∈R }．【例6－3】下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析：对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．解：(1)它们是互不相同的集合．(2)∵集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，∴{x |y ＝x 2＋1}＝R ；∵集合②{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，∴{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；∵集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，∴{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．点技巧 对用描述法表示的集合的理解 用描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．数集和点集常常会混淆．7．集合相等的应用两个集合相等，是指构成这两个集合的元素完全相同．也就是说，若两个集合相等，则这两个集合中的元素个数相同，并且对于其中一个集合中的任一元素，在另一个集合中都能找到这个元素．例如：若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b ． 解：因为A ＝B ，所以方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集是{－1,3}，那么－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，则13,13,a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩解得2,3.a b =-⎧⎨=-⎩【例7】若含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a 2 012＋b 2 013的值．分析：由题意知，集合,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与集合{a 2，a ＋b,0}相等，由集合相等的定义，列出关于a ，b 的方程组，解出a ，b ，进而求a 2 012＋b 2 013的值．解：由已知集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得a ≠1且a ≠0． 由题意得21,,0a a a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩或21,,0,a b a a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩解得1,0a b =-⎧⎨=⎩或1,0.a b =⎧⎨=⎩ 经检验知1,0,a b =⎧⎨=⎩不满足集合中元素的互异性，应舍去． 因此1,0a b =-⎧⎨=⎩故a 2 012＋b 2 013＝1． 点技巧 由集合相等求参数的技巧 应从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，则需分类讨论．．．．，同时要注意利用集合中元素的互异性．．．对求得的结果进行检验．．．．8．方程、不等式等知识与集合交会问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式的问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的共同特征，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手．例如，集合A ＝{x |ax －1＜0}的元素是关于x 的不等式ax －1＜0的解，当a ＝0时，这个不等式化为－1＜0，此时不等式的解集为实数集R ，当a ≠0时，这个不等式是关于x 的一元一次不等式．如果忽视a ＝0，那么就会导致出现错解．(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及数学思想(转化思想、分类讨论思想)的综合应用．【例8】已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．分析：本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题．(1)A 是单元素集合，说明方程有唯一根或有两个相等的实数根．(2)A 中至少有一个元素，说明方程有一根或两根．解：(1)当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝0，即9－8a ＝0，解得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意．综上所述，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当a ≠0时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． (2)由(1)知，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有实数根，则Δ≥0，即9－8a ≥0，解得a ≤98．综上所述，若A 中至少有一个元素，则a ≤98．辨误区 对方程ax 2＋bx ＋c ＝0的错误认识 “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2－3x ＋2＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在一元二次方程这种情况下，才能用判别式Δ来解决．因此解决二次项系数含参数．．．．．．．．的方程或不等式问题时，应分二次项系数为．．．．．．0．和．不为．．0．两种情况进行讨论． 9．与集合有关的创新题(1)能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用是新课标对本节课的要求．因此高考更多地将集合作为一种语言来考查．其中不乏一些创新题．(2)与集合有关的创新题主要以集合的表示法和元素与集合的关系为背景，常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题．(3)解决这类问题时，要紧扣所给的新背景或新定义．其所用到的集合知识往往是比较基础的，主要是集合的含义和表示法、集合的性质、元素与集合的关系等．【例9－1】定义集合运算A B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：根据A B 的定义，当x ＝0时z ＝0；当x ＝1时，若y ＝2，则z ＝6，若y ＝3，则z ＝12．因此集合A B 的所有元素和为18． 答案：D【例9－2】已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：先分析“孤立元”的含义，再根据不含“孤立元”的条件写出所有不含“孤立元”的集合，最后确定个数．依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合包括：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个，应填6． 答案：6。
数学分析 第一章 集合与映射
4. 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成，则称集合S为有限集， 不是有限集的集合称为无限集。
例如 N、Z、Q、R都是无限集。
S x x2-3x+2=0 是有限集。
如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列
换句话说，这个集合可表示为
a1, a2, , an,
则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义1.1.2 设有集合A, B ,若 x A 必有 x B , 则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若A 是 B 的一个子集，但存在一个元素 xB但 xA,
则称 A 是 B 的一个真子集。
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有下列关系 :Fra bibliotek定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
补集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
例如：有理数关于实数集的补集是无理数集
容易知道，集合补与差满足如下关系
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
第一章
§1 集合
1. 定义及表示法
定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。 通常用大写字母如 A, B, S, T,¨¨表示集合 , 而用小写字母如 a,b,x,y,¨¨表示集合的元素。 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
专题1 集合的概念
专题1 集合的概念【学习目标】1. 掌握集合的概念及其表示，理解集合与元素、集合与集合之间的关系；2．理解集合中元素的确定性、无序性和互异性.集合的有关概念：（1）集合的描述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体叫做集合，简称集（set ）。
称集合中的各个对象叫做这个集合的元素（element ）；（2）集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”；（3）集合的表示方法：列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），用逗号分割，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法。
（4）元素与集合的关系：属于（belong to ）∈与不属于∉（注意方向和辨析）；（5）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：自然数集N （natural numbers ）（包含零），不包含零的自然数集*N ；整数集Z （set of integer ）（正整数集+Z ）、有理数集Q（rational numbers set）（负有理数集-Q）；实数集R（set of real numbers）（正实数集+R）；（6）集合的分类：有限集（finite set）、无限集（infinite set）；空集（empty set）∅（7）．子集子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于B或B 包含（contain）A（8）. 相等的集合：研究下面集合：{}{}25602,3=-+==，E x x x F一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
集合第一讲--集合的概念
第一讲 集合的概念一、知识梳理知识点一 集合的概念一般地，某些指定的对象组合在一起就成为一个集合，简称“集”。
一般用大括号表示集合，如：{}我们学校的篮球队。
知识点二 常见集合及其记法（1）自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合，记作N . （2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记作N *或N +. （3）有理数集：全体有理数的集合，记作Q . （4）实数集：全体实数的集合，记作R . （5）整数集：全体整数的集合，记作Z.知识点三 集合与元素的关系我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素常用小写的拉丁字母....,,c b a 表示，而集合则用大写的拉丁字母......,,C B A 表示.（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈. （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉知识点四 集合中元素的特性⑴确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定。
⑵互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素。
⑶无序性：是指集合与其中元素的排列顺序无关,只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等。
知识点五 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合，如：中国古代的四大发明组成的集合； （2）无限集：含有有限个元素的集合，如:所有自然数组成的集合；（3）空集：不含任何元素的集合，如：{}2|10x R x∈+=。
知识点六 集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 如：由方程210x -=的所有解组成的集合可以表示为{}1,1-.（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法. 格式：(){}|x A P x ∈.如：所有的直角三角形的集合可以表示为{|x x 是直角三角形}. （3）图示法（维恩图）：用一条封闭的曲线的内部表示一个集合的方法.二．典例分析 考点一、集合的概念例1.判断下列对象能否组成集合①高一（1）班成绩较好的同学； ②2010年度诺贝尔经济学奖获得者； ③立方接近0的正数；（错） ④第十一届全运会所有比赛项目； ⑤1,2,3,2考点二、集合中元素的特征例2.已知{}{}22,,,2,2,M a b N a b ==,且M N =，试求,a b 的值。
北师大版高中数学必修一《集合》第一课时课件
§1 集合
第1课时 集合的含义
学习目标
1．通过实例理解集合的有关概念. 2．初步理解集合中元素的三个特性. 3．体会元素与集合的属于关系. 4．了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
新课引入
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为：许多的 人或物聚在一起.
集合中的元素没有前后顺序.
B.我市跑得快的汽车 确定性是判断一组对象能否构成集合的标准.
某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？
“快”的标准不确定
（6）新华中学2014年9月入学的所有的高一学生.
C.上海市所有的中学生 用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
共同特点：都指“所有的”，即研究对象的全体.
探究点1 集合定义
集合定义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合(简称集).
探究点2 集合中元素的特征
【问题】任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么 特征？请思考下列问题：
1. 某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 不能
下列指定的对象，能构成一个集合的是（ ）
在一个给定的集合中能否有相同的元素？
(2){(1,2)，(2,1)}={(2,1)，(1,2)}
C.
重复元素只可算1个
个元素.
探究点4 集合的表示、常用数集
集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合， 用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
C.
9月2日上午8时，高一年级的学生在
D.香港的高楼 ⑤所有无理数
（5）到直线l的距离等于定长d的所有的点. 此时集合A中含有两个元素3、1，符合题意；
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课题：集合含义及表示方法
学习目标：
1. 在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
2. 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;
理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;
掌握常用数集及其记法;掌握集合的表示方法；
学习重难点：
1.掌握集合、元素的基本概念，集合表示方法
2.集合中元素的三个特征
师生合作（集体备课）补充完善（二次备课）
一、导学引领
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。
例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?
你能说出数学中其他分类
实例吗？试着分析为什么
要进行分类.
二、展示交流
一、集合的概念
把一些确定的、不同的对象全体组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。
如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”. 由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．
【尝试与发现】你能举出几个用
集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.。