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2016年高三数学综合课时练习(三套,适合浙江及全国卷)

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2016年高考理科数学浙江卷(word版含答案)

2016年高考理科数学浙江卷(word版含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=（）A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面 ， 交于直线l，若直线m,n满足 ， ，则（）A. B. C. D.3.在平面上，过点作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A. B.4 C. D.64.命题“，，使得”的否定形式是（）A.，，使得B.，，使得C.，，使得D.，，使得5.设函数，则的最小正周期（）A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列、分别在某锐角的两边上，且，，，，，.（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆；与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且 8.已知实数 ， ， . （ ）A.若 ，则B.若 ，则C.若 ，则D.若 ，则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 . 10.已知 ，则A= ，b= . 11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3. 12.已知 ，若， ，则a= ，b= .13.设数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，则 = ， = .14.如图，在 中，AB=BC=2， .若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15.已知向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e ，均有|a ·e|+|b ·e| ，则a ·b 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2016年新课标高考真题全国三卷文科数学

2016年新课标高考真题全国三卷文科数学

2016年新课标高考真题全国三卷文科数学一、单选题1.设集合4 = {0,2,4,6,8,10}1 = {4,8},则QB =A. {4,8}B. {0， 2,6}C. {0, 2, 6,10}D. {0，2, 4, 6, 8,10}2.若z = 4 + 3i,则高=()A. 1B. -1C. l+UD.D D D D3. (2016高考新课标HI,理3)已知向量方1 堂)前=(今］则乙4c=A. 30 °B. 45 0C. 60 °D. 120 °4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15:B点表示四月的平均最低气温约为5二.下面叙述不正确的是( )▼.均・低气* 一▼均MT*A.各月的平均最低气温都在0匚以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20：j的月份有5个5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M, 1,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是6.若tan6 =：,则cos26 =( )D- IA. B- 一！ C.青7.已知a = = 3^c = 252,则D. c < a < b8 .执行下面的程序框图，如果输入的a=4, b=6,那么输出的n=() (W)n = =5][。

=6-0]■:[a = b + 司CWA. 3B. 4C. 5D. 69 .在△4BC 中，F = p BC 边上的高等于则sin/=10 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多11 .在封闭的直三棱柱— 内有一个体积为V 的球，若48 = 6,BC = 8,/& = 3,则该球体枳V 的最大值是932A. 4TTB. -7TC. 67rD. —n2312 .己知。

2016年4月2016届高三第三次全国大联考(浙江卷)理数卷(正式考试版)

2016年4月2016届高三第三次全国大联考(浙江卷)理数卷(正式考试版)

绝密★启用前【学易大联考】2016年第三次全国大联考【浙江卷】理科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}ln(1)M x y x ==-，{}2|230N x x x =--<，则U M N =I ð（ ） A ．(1,3) B ．[1,3) C ．(3,)+∞ D ．(,1)-∞ 2.已知倾斜角为θ的直线l 与直线:23=0m x y -+垂直，则sin 2θ=（ ） A ．54 B ．45 C ．45- D ．54- 3.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74Sa =（ ）A ．74 B ．145C ．7D ．14 4.已知命题p ：(0,)x π∃∈，sin tan x x =，命题q ：ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+” 是“2C π=”的充要条件，则以下为真命题的是（ ）A.p q ∨⌝B.p q ∧C.()p q ∧⌝D.()p q ⌝∨ 5.设函数()f x =，若()f x 的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 6.在n 元数集12{,,...,}n S a a a =中，设12()na a a S nχ+++=，若S 的非空子集A 满足()()A S χχ=，则称A 是集合S 的一个“平均子集”，并记数集S 的k 元“平均子集”的个 数为()S f k ，已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}S =，{}4,3,2,1,0,1,2,3,4T =----，则下列说 法错误．．的是（ ） A.(4)6S f = B ．(4)6T f =C.(2)(21)S S f n f n =+（1n =，2，3，4） D ．(21)(2)T T f n f n -=（1n =，2，3，4）7.已知F 为抛物线2(0)y ax a =>的焦点，M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为1k 的直线与抛 物线交于A ，B 两点，延长AM ，BM 交抛物线于C ，D 两点，设直线CD 的斜率为2k ，且12k =，则a =（ ）A.8B. C.16D.8.在正三棱锥P ABC -中，底面边长AB =，侧棱1PA =，M ，N 分别是线段PA ，BC 上的动点（可以和端点重合），则||MN 的取值范围是（ ）A.B.1[2C.D.1[2第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为_________，函数[()]f f x 的值域是______.10.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a = ， 该几何体的表面积为 ．11.将函数()f x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 再将y 轴向左平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π=________，()f x 的单调递增区间是________．12.不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域的面积为_______，22x y z xy +=的最大值是______.13.10=仅有一解，则实数a 的取值范围是______.14.若实数x ，y 满足22224442x xy y x y -++=，则当2x y +的最大值为 .15.已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 23,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则64124S S S --=________．三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且22b ac a -=． （1）求证：sin sin 2B A =； （2）若12A π=，1a =，求c 的值．17.（本题满分15分）如图，已知圆柱的高为4，1AA ，1BB ，1CC 是圆柱的三条母线，AB 是底面圆O 的直径， 3AC =，5AB =.（1）求证：1//AC 平面1COB ； （2）求二面角1A BC C --的正切值．18.（本题满分15分）已知a ，b ，c R ∈，2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+均为定义在[1,1]-上的关于x 的 函数，且[1,1]x ∀∈-，|()|1f x ≤. （1）证明：|()|2g x ≤；（2）若()g x 的最大值为2，求()f x19.（本题满分15分）已知已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 是椭圆的右顶点，点(,0)P t 是线段OA 上的动点，直线l 过点P ，且与椭圆交于B ， C 两点，求OBC ∆面积的最大值20.（本题满分15分）已知各项都为正的数列{}n x 的首项11x =，以后每项按如下方式取定：直线21+1(32)1n n y x x x +=++与经过(0,0)和32(,)n n n x x x +两点的直线平行，并记数列{}n x 的前n 项 和为n S .（1）证明：221132n n n n x x x x +++=+，*n N ∈； （2）证明：12112422n n n S ---≤<-，*n N ∈.。

2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)

2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)

2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)A）a+b>c （B）a+c>b （C）b+c>a （D）a+b+c>08）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=ax2+bx+c，满足g（1）=f（1），g（2）=f（2），g（3）=f（3）。

则a+b+c的值为A）0 （B）1 （C）2 （D）39）已知函数f（x）=x2-2x+1，g（x）=f（x-1），则g（-1）的值为A）-2 （B）-1 （C）0 （D）110）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10的值为A）155 （B）165 （C）175 （D）18511）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=f（x-1），则g（2）的值为A）-5 （B）-1 （C）1 （D）512）已知点A（1，2），B（3，4），C（5，6），则三角形ABC的周长为A）2 （B）4 （C）6 （D）81.设集合 $A=\{0,2,4,6,8,10\},B=\{4,8\}$。

则 $A\capB=\{4,8\}$。

2.若 $z=4+3i$。

则$\frac{z}{|z|}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$。

3.已知向量 $\overrightarrow{BA}=(1,3,3,1)$。

$\overrightarrow{BC}=(3,3,2,2)$。

则$\angle ABC=60^{\circ}$。

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是：（A）各月的平均最低气温都在5℃以上；（B）七月的平均温差比一月的平均温差大；（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同；（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个。

5.XXX打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则XXX输入一次密码能够成功开机的概率是$\frac{2}{15}$。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版

⎨⎩一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 P = {x ∈ R 1≤ x ≤ 3}, Q = {x ∈ R x 2≥ 4}, 则P ⋃ (ðR Q ) = （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ． (-∞, -2] ⋃[1, +∞)【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时， x 2 的系数一定要保证为正数，若 x 2的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．2. 已知互相垂直的平面α，β交于直线 l .若直线 m ，n 满足 m ∥α, n ⊥βA ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C 【解析】试题分析：由题意知α β= l ,∴l ⊂ β， n ⊥ β,∴ n ⊥ l ．故选 C ． 考点：空间点、线、面的位置关系．则（）【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影．由区域⎧x - 2 ≤ 0 ⎪x + y ≥ 0 中的点在直线 x +y - 2=0 上的投影构成的线段记为 A B ，则│AB │=（ ） ⎪x - 3y + 4 ≥ 0A ．2 【答案】C 【解析】B ．4C ．3D ． 62 2考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．4. 命题“ ∀x ∈ R ，∃n ∈ N * ，使得 n > x 2”的否定形式是（ ）A ． ∀x ∈ R ，∃n ∈ N *，使得 n < x 2C ． ∃x ∈ R ，∃n ∈ N * ，使得 n < x 2【答案】D B ． ∀x ∈ R ，∀n ∈ N *，使得 n < x2D ． ∃x ∈ R ，∀n ∈ N *，使得n < x2【解析】试题分析： ∀ 的否定是∃， ∃的否定是∀ ， n ≥ x 2 的否定是 n < x 2．故选 D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称） 量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5. 设函数 f (x ) = sin 2x + b sin x + c ，则 f (x ) 的最小正周期（ ）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关n 1 【答案】B考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 f (x )，再判断b 和c 的取值是否影响函数 f (x )的最小正周期．6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 A A= A A, A ≠ A, n ∈ N * ，n n +1 n +1 n +2nn +2B B= B B, B ≠ B, n ∈ N * ，（ P ≠ Q 表示点P 与Q 不重合）.n n +1n +1 n +2nn +2若 d n = A n B n ，S n 为△A n B n B n +1的面积，则（）2A ．{S n }是等差数列B ．{S }是等差数列C ．{d }是等差数列D ．{d 2}是等差数列nn【答案】A 【解析】试题分析： S n 表示点 A n 到对面直线的距离（设为 h n ）乘以 B n B n +1 长度一半，即1S n = 2h n B n B n +1 ，由题目中条件可知 B n B n +1 的长度为定值，那么我们需要知道 h n 的关系式，过 A 1 作垂直得到初始距离h 1 ，那么 A 1 , A n 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 h n = h 1 + A n A n +1 ⋅ tan θ，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么S = 1 (h + n2 1 1A 1 A n ⋅ tan θ)B n B n +1 ， S n +1 = 2(h 1 + A 1 A n +1 ⋅ tan θ) B n B n +1 ，作差后： S n +1 - S n = 2( A n A n +1 ⋅ tan θ) B n B n +1 ，都为定值，所以 S n +1 - S n 为定值．故选A ． 考点：等差数列的定义．1 2【思路点睛】先求出 ∆A n B n B n +1 的高，再求出 ∆A n B n B n +1 和 ∆A n +1B n +1B n +2 的面积 S n 和S n +1 ，进而根据等差数列的定义可得 S n +1 - S n 为定值，即可得{S n }是等差数列．7. 已知椭圆 C 1： x 2 +y 2=1(m >1)与双曲线 C 2： m x 2 –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2 分别为 C 1，nC 2 的离心率，则（ ）A ．m >n 且 e 1e 2>1B ．m >n 且 e 1e 2<1C ．m <n 且 e 1e 2>1D ．m <n 且 e 1e 2<1【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆C 的焦点时，要注意c 2= a 2- b 2；计算双曲线C 的焦点时，要注意c 2 = a 2 + b 2 ．否则很容易出现错误．8. 已知实数 a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法： A.令a = b = 10, c = -110，排除此选项， B.令a = 10, b = -100, c = 0，排除此选项， C.令a = 100, b = -100, c = 0，排除此选项，故选 D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个 选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9.若抛物线 y 2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是．【答案】9222【解析】试题分析： x M + 1 = 10 ⇒ x M = 9 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 y 轴的距离．10. 已知 2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则 A =，b=．【答案】 1考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简cos 2x ，再用辅助角公式化简cos 2x + sin 2x +1，进而对照 A sin (ωx +ϕ)+ b 可得 A 和b ．11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是cm 3.【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为 4,2,2，所以体积为 2 ⨯ (2 ⨯ 2 ⨯ 4) = 32 ，由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为 2(2 ⨯ 2 ⨯ 2 + 2 ⨯ 4 ⨯ 4) - 2(2 ⨯ 2) = 72考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．512.已知a >b >1.若 log a b +log b a = 5，a b =b a ，则 a = ，b = .2【答案】 42考点：1、指数运算；2、对数运算．5【易错点睛】在解方程log a b + log b a = 2时，要注意log b a > 1，若没注意到log b a > 1，方程log a b + log b a = 2的根有两个，由于增根导致错误．13.设数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5=.【答案】1 121【解析】试题分析： a 1 + a 2 = 4, a 2 = 2a 1 + 1 ⇒ a 1 = 1, a 2 = 3 ，再由 a n +1 = 2S n + 1, a n = 2S n -1 + 1(n ≥ 2) ⇒ a n +1 - a n = 2a n ⇒ a n +1 = 3a n (n ≥ 2) ，又 a 2 = 3a 1 ，1 - 35 所以 a n +1 = 3a n (n ≥ 1),S 5 = 1 - 3= 121.考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前 n 项和．【易错点睛】由 a n +1 = 2S n +1转化为 a n +1 = 3a n 的过程中，一定要检验当 n = 1时是否满足a n +1 = 3a n ，否则很容易出现错误．14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD =DA ，PB =BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .x2 + 22 - (x2 - 2 3x + 4) 3x2 - 2 3x + 431 1x1 11【答案】2PD2 +PB2 -BD2由余弦定理可得cos ∠BPD ===，所以∠BPD = 30 .2PD ⋅PB 2 ⋅x ⋅2 2过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO =d则S∆PBD=2BD ⨯d =2PD ⋅PB sin ∠BPD ，即1x2 - 2 3x + 4 ⨯d =1x ⋅2 s in 30 ，2 2解得d =.而∆BCD的面积S =CD ⋅BC sin ∠BCD =(2 -x) ⋅2 sin 30 =1(2 -x).2 2 233t 2 - 1 3 (（2）当故 x = + < x ≤ 2.时，有| x - |= x - = ，此时，V = 6 t= 1 ⋅ 4 - t 2 = 1 4 -t ).6 t 6 t1 4 1 由（1）可知，函数V (t ) 在(1, 2]单调递减，故V (t ) < V (1) = ( -1) = .6 12综上，四面体 PBCD 的体积的最大值为 1.2考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．3 3 3 t 2 -1 1 ( 3 + t 2 -1)[2 3 - ( 3 + t 2-1)]6 6 6 a 1 【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对 x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．15. 已知向量 a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量 e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜ ≤ ,则 a ·b 的最大值是．1 【答案】2考点：平面向量的数量积．2 2 【易错点睛】在 a + b ≤ 两边同时平方，转化为 a + b + 2a ⋅b ≤ 6 的过程中，很容易忘记右边的 进行平方而导致错误．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分 14 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积 S = a 4，求角 A 的大小.π π【答案】（I ）证明见解析；（II ） 或 ．2 4试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin B + sin C = 2sin A cos B ，进而由两角和的正弦公式可得sin B = sin (A - B )，再判断 A - B 的取值范围，进而可证 A = 2B ；（II ）先由三角形2的面积公式可得 ab sin C = ，进而由二倍角公式可得sin C = cos B ，再利用三角形的 2 4内角和可得角 A 的大小．试题解析：（I ）由正弦定理得sin B + sin C = 2sin A cos B ，故 2sin A cos B = sin B + sin (A + B ) = sin B + sin A cos B + cos A sin B ， 于是sin B = sin (A - B )．23又 A ， B ∈(0,π)，故0 < A - B < π，所以B =π- (A - B )或B = A - B ，因此 A = π（舍去）或 A = 2B ， 所以， A = 2B ．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有 A ，B 的式子，根据角的范围可证 A = 2B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ， C 的式子，再利用三角形的内角和可得角 A 的大小．17. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC - DEF 中,平面 BCFE ⊥ 平面ABC , ∠ACB =90 ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面 ACFD ；(II)求二面角 B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ） ．4【解析】3 133 1333试题分析：（I）先证B F ⊥A C，再证B F ⊥ C K，进而可证B F⊥平面A CFD ；（II）方法一：先找二面角B-A D - F 的平面角，再在Rt∆B QF 中计算，即可得二面角B-A D - F 的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面A C K和平面ABK的法向量，进而可得二面角B-A D - F 的平面角的余弦值．（II）方法一：过点F作FQ ⊥AK，连结B Q ．因为B F ⊥平面A C K，所以B F ⊥AK，则AK⊥平面B QF ，所以B Q ⊥AK．所以，∠B QF是二面角B-A D - F 的平面角．在Rt∆A C K中，A C = 3，C K= 2，得FQ =．13在Rt∆B QF 中，FQ =，B F =，得cos ∠B QF =．13 4所以，二面角B-A D - F 的平面角的余弦值为3．4方法二：如图，延长A D ，BE，CF相交于一点K，则∆B C K为等边三角形．取B C 的中点O ，则KO ⊥ B C ，又平面B CF E ⊥ 平面 AB C ，所以， KO ⊥ 平面AB C ． 以点O 为原点，分别以射线OB ， OK 的方向为 x ， z 的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ． 由题意得B (1, 0, 0)，C (-1, 0, 0)， K (0, 0, 3 )，A (-1, -3, 0)， E ⎛ 1 , 0,3 ⎫ ， F ⎛ - 1 , 0,3 ⎫． 2 2 ⎪ 2 2 ⎪因此，⎝ ⎭ ⎝ ⎭A C = (0, 3, 0)， AK = (1, 3, 3 )， AB = (2, 3, 0)．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证 明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的 “三线合一”和菱形、正方形的对角线．18. （本小题 15 分）已知 a ≥ 3，函数 F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，2 ⎩⎨ ⎨2, a ≥ 4 min min⎨ ⎧ p ，p ≤ q ，其中 min{p ，q }= ⎨q , p > q.（I ）求使得等式 F （x ）=x 2−2ax +4a −2 成立的 x 的取值范围； （II ）（i ）求 F （x ）的最小值 m （a ）；（ii ）求 F （x ）在区间[0,6]上的最大值 M （a ）.【答案】（I ） [2, 2a ]；（II ）（i ） m (a ) = ⎧⎪0, 3 ≤ a ≤ 2 + ⎪⎩-a 2+ 4a - 2, a > 2 +；（ii ）M (a ) = ⎧34 - 8a , 3 ≤ a < 4 ．⎩f (x ) = f (1) = 0，g (x ) = g (a ) = -a 2+ 4a - 2， 所以，由 F (x )的定义知 m (a ) = min {f (1), g (a )}，即m (a ) = ⎧⎪0, 3 ≤ a ≤ 2 + ．⎪⎩-a 2+ 4a - 2, a > 2 + （ii ）当0 ≤ x ≤ 2时，F (x ) ≤ f (x ) ≤ max {f (0), f (2)}= 2 = F (2)，（II ）（i ）设函数 f (x ) = 2 x -1 ， g (x ) = x 2- 2ax + 4a - 2，则2222a2 k 2 + 2 当 2 ≤ x ≤ 6时，F (x ) ≤ g (x ) ≤ max {g (2), g (6)}= max {2, 34 - 8a } = max {F (2), F (6)}．所以，⎧34 - 8a , 3 ≤ a < 4 M (a ) = ⎨ ．⎩2, a ≥ 4考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I ）根据 x 的取值范围化简 F (x )，即可得使得等式F (x ) = x 2- 2ax + 4a - 2成立的 x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数 f (x )和 g (x )的最小值，再根据F (x )的定义可得m (a )；（ii ）根据 x 的取值范围求出 F (x )的最大值，进而可得M (a )．19. （本题满分 15 分）如图，设椭圆x 2a2y= 1（a ＞1）.（I ）求直线 y =kx +1 被椭圆截得的线段长（用 a 、k 表示）；（II ）若任意以点 A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）1+ a 2 k 2 ⋅ ；（II ） 0 < e ≤ ． 21+ k 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2（II ）假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ， Q ，满足AP = A Q ．记直线 AP， A Q 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，且 k 1 ， k 2 > 0 ， k 1 ≠k 2 ． 由（I ）知，2a 2 k 1 + k 2 2a 2 k 1 + k 2AP = 1 1 ， A Q =22 ，1+ a 2k 2故1+ a 2k 22a 2 k 1 + k 22a 2 k 1 + k 21 1 = 2 2 ， 1+ a 2k 2 1+ a 2k 212所以(k 2 - k 2 )⎡⎣1+ k 2 + k 2 + a 2 (2 - a 2 )k 2k 2⎤⎦ =0 ．由于 k 1 ≠ k 2 ， k 1 ， k 2 > 0 得1+ k 2 + k 2 + a 2 (2 - a 2 )k 2 k 2= 0， 因此⎛ 1 +1⎫ ⎛ 1 +1⎫= 1+ a 2 (a 2 - 2)，①k 2 ⎪ k2 ⎪ ⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭因为①式关于 k 1 ， k 2 的方程有解的充要条件是1+ a 2 (a 2 - 2) > 1，2a2 -1 2an+12c2n所以a >．因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 <a ≤ 2，由e ==得，所求离心率的取值范围为0 <e ≤．a a 2考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．x22【思路点睛】（I）先联立y =kx +1和+ya2= 1，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线y=kx+1被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．20.（本题满分15 分）设数列{a }满足a-≤1，n ∈N*．n n（I）证明：an≥ 2n-1 (a- 2)，n ∈N*；（II）若an⎛3 ⎫n≤ ⎪⎝⎭，n ∈N*，证明：a ≤ 2，n ∈N*．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．1a m a n a n +1 a n +1a m -1 a m a m 4 ⎪（II ）任取 n ∈ N *，由（I ）知，对于任意m > n ，- = ⎛- ⎫ + ⎛ - ⎫ + ⋅⋅⋅ + ⎛ - ⎫2n 2m 2n 2n +1⎪ 2n +1 2n +2 ⎪ 2m -1 2m ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭≤ 1 + 2n1 1 2n +1 + ⋅⋅⋅ +1 2m -1 < ， 2n -1故a <⎛ 1+⎫⋅ 2nn2n -1 2m ⎪⎝⎭ ⎡ 1 1 ⎛ 3 ⎫m⎤ ≤ ⎢ + ⋅ ⎪ ⎥ ⋅ 2n⎢⎣ 2n -12m ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦⎛ 3 ⎫m= 2 + ⎪ ⎝ ⎭⋅ 2n．从而对于任意 m > n ，均有⎛ 3 ⎫ma < 2 + ⋅ 2n． n⎝ 4 ⎭a n a n +2a n +1 a n 1 4考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式．【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得- ≤ ，再用累加法可得2n2n +12n- < 1，进而可证 a 2 2nn ⎛ 3 ⎫m≥ 2n -1( a - 2)；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得 a < 2 + ⋅ 2n ，再利用 m 的任意性可证 a ≤ 2． n ⎪ n⎝ ⎭a n a 1 1。

2016年3月2016届高三第二次全国大联考(浙江卷)理数卷(解析版)

2016年3月2016届高三第二次全国大联考(浙江卷)理数卷(解析版)

第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.定义集合{}|A B x x A x B x A B ⊗=∈∈∉ 或且，设全集{}|110U x x =<<，集合{}|26A x x =<<，{}|57B x x =<<，则()U A B ⊗=ð（ ）A.[6,7)B.(1,2](5,6)[7,10)C.(1,6)D. (1,2](5,6](7,10) 【命题意图】本题主要考查集合的运算，属于容易题。

【答案】B2.下列说法正确的是（ ）A.“29a >”是“3a >”的充分不必要条件B.“0x R ∃∈，使得002sin 22sin x x +>2,sin 22sin x R x x ∀∈+<” C.若A B ∧是假命题，则A B ∨是假命题D.“若0a <，则20x ax a ++<有解”的否命题为“若0a ≥，则20x ax a ++<无解” 【命题意图】本题主要考查常用逻辑用语的各类形式及其真假判断，属于容易题 【答案】D【解析】本题宜采用排除法，选项A 中，29a >可得3a >或3a <-，则29a >不一定得到3a >，而3a >可以得到29a >，故是必要不充分条件，故排除；选项B 中，否定应为2,sin 22sin x R x x∀∈+≤，故排除；选项C 中，设命题A ：6是3的倍数；命题B ：6是4的倍数.则命题A 是真命题，命题B 是假命题，则A B ∧为假命题，但A B ∨是真命题，故排除；故选项D 正确，故选D.3.已知数列{}n a 满足11a =，若n 为奇数时，121n n a a +=+；若n 为偶数时，1n n a a n +=+.则该数列的前7项和为（ ）A.103B.102C.100D.98 【命题意图】本题主要考查数列递推关系式及求和问题，属于容易题. 【答案】A【解析】因为11a =，所以21213a a =+=，3225a a =+=，432111a a =+=，54415a a =+=，652131a a =+=，76637a a =+=.所以1234567a a a a a a a ++++++103=.故选A.4.设三条不同的直线分别为,,m n l ，两个不同的平面分别为,αβ.则下列说法正确的是（ ） A.若//,m n n α⊂，则//m αB.若,m n 为异面直线，且,m n αβ⊂⊂，则//αβC.若,,m n m αβα⊥⊥⊥，则n β⊥D.若//,//,m m l αβαβ= ，则//m l【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中等题. 【答案】D【解析】本题宜采用排除法进行判断.选项A 中，该条件下，m α⊂也可能；选项B 中，l αβ= 也可能；选项C 中，直线n 与平面β不一定垂直，也可能平行.故选D.5.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象与x 轴的一个交点(,0)12π-到其相邻的一条对称轴的距离为4π.若3()122f π=，则函数()f x 在[0,]2π上的值域为（ ）A.[1,2]-B.[C.[D.[- 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用.属于中等题. 【答案】C6.已知平面向量,a b满足2a = ，1a b ⋅= .则对于任意的实数m ，(24)ma m b +- 的最小值为（ ）A.2B.1C.12 D.23【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中等题. 【答案】B【解析】由题，2[(24)]242a ma m b ma a b ma b ⋅+-=+⋅-⋅=(24)2cos ma m b θ=+- ，其中θ为向量a 与(24)ma mb +- 的夹角，且[0,)2πθ∈.所以1(24)1cos ma m b θ+-=≥ .故选B.7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ）B.3D.5 【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于中等题. 【答案】C【解析】由题可得，设左焦点1(,0)F c -关于渐近线b y x a =-的对称点为(,)P m n .则22n a m c bn b m c a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得2222,c a ab m n c c -==，即2222(,)c a abP c c -.因为点P 在双曲线上，所以满足2222222(2)41c a a a c c --=，解得2250c a -=，即2225c e a==，所以e =故选C.8.在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -中，12AB AA ==.若点M 在ABC ∆所在平面上运动，且使得1AC M ∆的面积为1，则动点M 的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【命题意图】本题主要考查空间动点的轨迹问题，属于较难题. 【答案】B【解析】由题可得，因为12AB AA ==，所以1AC =.若点M 在空间运动，要使1AC M ∆的面积为定值1，则点M 的轨迹为以1AC 为轴，的圆柱，因为点M 在ABC ∆所在平面上运动，所以可得该点M 的轨迹为椭圆.故选B.第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知函数221(2),1()2,1x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则(3)f = ；当0x <时，不等式()2f x <的解集为 .【命题意图】本题主要考查分段函数求值问题，属于容易题. 【答案】2；(1,0)-【解析】1(3)(32)(1)22f f f =-===；因为0x <，所以2211()222x f x -=<=，所以2211x -<，化简得10x -<<，所以不等式的解集为(1,0)-.10.若函数()tan()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为2π，则ω= ；()3f π= . 【命题意图】本题主要考查正切函数求值问题，属于容易题. 【答案】12；2+ 【解析】由题可得，2ππω=，所以12ω=.所以1()tan()24f x x π=+. 所以()tan()364f πππ=+tantan6421tan tan 64ππππ+===-11.已知实数,x y 满足不等式组14020x x y ax y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，若实数12a =，则不等式组表示的平面区域的面积为 ；若目标函数43z x y =+的最大值为15，则实数a 的值为 . 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划的应用，属于容易题. 【答案】274；112.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ；表面积为 .【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图以及表面积、体积问题，属于中等题.【答案】4；12+【解析】由题可得，该几何体为一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -被一个截面1BED F （E 为CC 1中点，F 为AA 1中点）所截后剩余部分的几何体，由三视图可知，该几何体的体积为正方体体积的一半，故31242V =⨯=.其表面积为1211621222BED F S S S =+=⨯⨯+=+正方体.13.已知正方形ABCD 中，点(2,1),(6,3)A C -.若将点A 折起，使其与边BC 的中点E 重合，则该折线所在直线方程为 .【命题意图】本题主要考查平面内直线、点的有关对称问题属于中等题. 【答案】28y x =-或250x y --=【解析】因为(2,1),(6,3)A C -，所以AC =，点B 在直线AC 的垂直平分线50x y --=上，且满足点B 到直线:30AC x y +-=的距离为，设(,5)B a a -，则d ，解得6a =或2a =，所以(6,1)B 或(2,3)B -.若(6,1)B ，则边BC 的中点(6,1)E -，所以此时折线所在直线方程为28y x =-；若(2,3)B -，则(4,3)E -，所以此时折线所在直线方程为250x y --=.故满足条件的折线方程为28y x =-或250x y --=.14.若正数,,x y z 满足3456x y z ++=，则1422y zy z x z++++的最小值为 . 【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用.属于较难题. 【答案】73【解析】设2,y z m x z n +=+=，则3453()2(2)326x y z x z y z n m ++=+++=+=，所以132m n+=.所以1421232212172263233y z m n m m n m y z x z m n m n m n +++=+=+=++≥+=++.当且仅当2,22n m n m m n ==时取等号.所以1422y z y z x z++++的最小值为73. 15.已知函数2,0()165,0x x f x x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪-+->⎩，若函数[()]y f f x a =-有6个零点，则实数a 的取值范围是 .【命题意图】本题主要考查分段函数求零点问题，属于较难题. 【答案】41a -≤≤-【解析】由题可知，函数()f x 的图象如图所示.令()f x a t -=，则要使[()]y f f x a =-有6个零点，则由()0f t =，解得0,1,5t =.所以有()f x a =或()1f x a =+或()5f x a =+，且15a a a <+<+.对于上述方程，要满足条件，则其零点的个数可能为2,2,2或1,2,3或3,3,0三种可能.若零点个数分别为2,2,2，则有5150a a a -<<+<+<或510,154a a a -<<+<≤+<，解得41a -≤<-；若零点个数分别为1,2,3，由图知，若54a +=，则1a =-，所以10a +=，满足条件，所以1a =-；若5a <-，510,051a a -<+<≤+<，无解；若零点个数分别为3,3,0，则有011,54a a a ≤<+<+>，无解.综上可知，满足条件的实数a 的取值范围是41a -≤≤-.三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本大题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos b C B a =. (1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆b 的最小值.【命题意图】本题主要考查解三角形，考查正、余弦定理及三角形的面积公式，考查与基本不等式的综合应用，属于中等题. 【解析】(1)因为cos b C a =，由正弦定理可知：sin cos sin B C A =.…………1分因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，…………3分 cosB =，…………5分即tan B =3B π=…………7分17. （本大题满分15分）如图所示，平面ABC ⊥平面BCDE ，//BC DE ，122BC DE ==，2BE CD ==，AB BC ⊥，,M N 分别为,DE AD 中点.(1)证明：平面MNC ⊥平面BCDE ；(2)若EC CD ⊥，点P 为棱AD 的三等分点（近A ），平面PMC 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为AB 的长度.【命题意图】本题主要考查空间直线、平面的垂直、平行的证明，以及二面角的成角问题，属于中等题. 【解析】(1)证明：因为,M N 分别为,DE AD 中点， 所以//MN AE ，所以//MN 平面ABE . 因为//BC DE ，且122BC DE ==， 所以//BC EM …………2分 所以四边形BCME 为平行四边形.所以//CM BE ，所以//CM 平面ABE . 因为CM MN M = ， 所以平面//MNC 平面ABE .因为平面ABC ⊥平面BCDE ，AB BC ⊥ 所以AB ⊥平面BCDE ，…………5分 所以平面ABE ⊥平面BCDE .所以平面MNC ⊥平面BCDE .…………7分 (2)由题可得，四边形BCDE 是等腰梯形. 因为EC CD ⊥，所以有BD BE ⊥.故可以点B 为坐标原点，以,,BE BD BA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系. 因为4,2ED BE ==，所以BD =.设3AB a =，则(2,0,0),(0,(0,0,0),(0,0,3)E D B A a ，因为点M 为ED中点，所以M .点P 为棱AD 的三等分点（近A ），所以13AP AD =，所以2)P a .因为12BC ED =，所以(C -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则有30m BA az m BC x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取x =所以m = .…………9分 设平面PMC 的一个法向量为 (,,)n x y z =′′′，则有n 2020PC x y az n MC x ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=-=⎩′′′′，取'1z =，所以(0,,1)n = .…………12分 设平面PMC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则cos m n m n θ⋅===⋅ 1a =. 所以3AB =…………15分18.（本大题满分14分）已知二次函数()f x ,若()0f x <时的解集为{}|14x x -<<，且(6)28f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()(1)f x m g x m x-=>在区间上是单调递增函数，试求函数()g x 在该区间上的最大值的取值范围.【命题意图】本题主要考查二次函数求解析式问题以及函数的性质的应用，属于中等题.(2)(4)(1)()2[(23)]m m g x x m x+-=+-+因为1m >，故可知函数()g x 在区间(0,上单调递减，在)+∞上单调递增.…………10分因为()g x 在区间上单调递增，所以≤，化简得23280m m +-≤， 解得74m -≤≤.因为1m >，所以14m <≤.…………12分因为函数()g x 的最大值为229460(16)16m m g -+=，所以当14m <≤时，229460(16)16m m g -+=在(1,4]上单调递减.所以3(16)[,27)4g ∈.所以函数()g x 的最大值的取值范围是3[,27)4.…………15分19.（本大题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点64(,)55,,A B M是椭圆C 上的三点，且满足cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ ((0,))2πα∈，其中O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明:OAB ∆的面积是一个常数．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系，属于较难题.【解析】(1)由方程组22361612525a bc a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩及222c a b =-，解得2,1a b ==.…………3分所以椭圆的标准方程C :2214x y +=.…………6分 (2)由题可得，当AB 与x 轴垂直时，可设直线AB 的方程为：x t =.则11(,),(,)A t y B t y -，且22114t y +=，由cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ 得22104t y -=，解得22112,2t y ==. …………8分 所以OAB ∆面积为11122S AB d =⋅⋅==. 当直线AB 与x 轴不垂直时，则设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元化简得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则由韦达定理可得122841kmx x k -+=+，21224(1)41m x x k -=+.…………10分设00(,)M x y ，由cos sin OM OA OB αα=⋅+⋅ 可得012012cos sin cos sin x x x y y y αααα=⋅+⋅⎧⎨=⋅+⋅⎩， 代入2214x y +=，得121204x x y y +=，所以有22412k m +=，…………13分=， 点O 到直线AB的距离为d =， 所以OAB ∆的面积为11122S AB d =⋅==. 综上可知，OAB ∆的面积是常数，其值为1. …………15分20.（本大题满分15分）已知数列{}n a 满足2*11,n n a ca c n N +=+-∈，其中常数1(0,)2c ∈. (1)若21a a >，求1a 的取值范围；(2)若1(0,1)a ∈，求证：对任意*n N ∈，都有01n a <<；(3)若1(0,1)a ∈，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证：212n S n c>--. 【命题意图】本题主要考查数列的性质的应用，属于难题.【解析】(1)当1n =时，2211a ca c =+-.因为21a a >，所以22111a ca c a =+->，有11(1)(1)0ca c a +--> 因为102c <<， 所以可解得111a c>-或11a <.…………2分 所以1a 的取值范围为1(,1)(1,)c -∞-+∞ …………4分(2)因为2*11,n n a ca c n N +=+-∈，且1(0,)2c ∈，所以20,10n ca c >->，所以10n a +>.即0n a >，由211(1)(1)n n n n a ca c c a a +-=-=-+， 因为0,0n a c >>，所以可知11n a +-与1n a -同号. 所以也与11a -同号.…………7分因为101a <<，所以110a -<. 所以10n a -<， 即1n a <. 综上可知，01n a <<.得证.………… 9分：。

2016浙江理高考数学试题

2016浙江理高考数学试题

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江理）一、选择题1．已知集合P ＝{x | 1≤x ≤3}，Q ＝{x | x 2≥4}，则P ∪∁R Q ＝( )A ．[2，3]B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，且直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．64．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 5．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( )A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n}是等差数列 7．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 8．已知实数a ，b ，c ( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 二、填空题9．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是 ． 10．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ；体积是12．已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝ ．14．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．15．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 三、解答题16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b ＋c ＝2a cos B ． (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．17．如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3．⑴．求证：BF ⊥平面ACFD ； ⑵．求二面角B －AD －F 的余弦值．18．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．19．如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．20．设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *．(1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤(32)n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *．参考答案一、选择题1．B 解析：因为Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，所以∁R Q ＝{x ∈R|x 2＜4}＝{x ∈R|－2＜x ＜2}．因为P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，所以P ∪(∁R Q )＝{x ∈R|－2＜x ≤3}＝(－2，3]． 2．解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，③正确． 3．已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行，故区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0解得Q (2，－2)．∴|AB |＝|PQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝32．4．D 解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．5．B 因f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π，即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B ．6．由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，故{S n }是等差数列，故选A ． 7．解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n ．又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1． 8．解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项．对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项；对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项；对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项．故选D ．二、填空题9．设点M 的横坐标为x 0，易知准线x ＝－1，∵点M 到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x 0＋1＝10，∴x 0＝9，因此点M 到y 轴的距离为9． 10．∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1．11．解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，故表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)．12．解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，故a ＝b 2，因此a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，∴a＝2b ，b 2＝2b ，又b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．13．解析 ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3．又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121．14．解设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )．要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x ，则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12． 解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，62，0，B ⎝⎛⎭⎫302，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－62，0.作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝⎛⎭⎫－306cos α，－63，306sin α，则BD ′→＝⎝⎛⎭⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0，1，0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→|·|n |＝639＋5cos α，所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66. 15．法一 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |，由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ，即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12．法二 由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6可得|cos α|＋2|cos β|≤6①．令sin α＋2sin β＝m ②，①2＋②2得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，故4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1．故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤12．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋b ·(a ＋b )|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |．因为|a ·e |＋|b ·e |≤6，所以|a ＋b |≤6，所以(a ＋b )2≤6，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6．因为|a |＝1，|b |＝2，所以1＋4＋2a ·b ≤6，所以a ·b ≤12，所以a ·b 的最大值为12．三、解答题16．【解】(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，故B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，故A ＝2B ．(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cosB ．又B ，C ∈(0，π)，故C ＝π2±B ．当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4．综上，A ＝π2或A ＝π4．17．【解】(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，故AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC ．又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，故△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，且CK ∩AC ＝C ，CK ，AC ⊂平面ACFD ，故BF ⊥平面ACFD ．(2)解 法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ ．因为BF ⊥平面ACK ，故BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，故BQ ⊥AK ．故∠BQF 是二面角B －AD －F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得AK ＝13，FQ ＝31313．在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34．故二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34． 法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，故KO ⊥平面ABC ．以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ．由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32．因此，＝(0，3，0)，＝(1，3，3)，＝(2，3，0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．由得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34．故，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34． 18．【解】(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0，当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．故使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2，2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，故由F (x )的定义知m (a )＝min {}f （1），g （a ），即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max {}f （0），f （2）＝2＝F (2)．当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{}g （2），g （6）＝max{}2，34－8a ＝max{}F （2），F （6）．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4. 19．【解】(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0．故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2． (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |．记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2．由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0．由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，故a ＞2．因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2．由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是(0，22]． 20．【解】(1)由|a n －a n ＋12|≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *，故|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＝1－12n －1＜1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＝12n －1⎝⎛⎭⎫1－12m －n ＜12n －1，故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋(34)m ·2n ．从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋(34)m 2n ．①由m 的任意性得|a n |≤2．否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|＞2，取正整数m 0＞log 34|a n 0|－22n 0且m 0＞n 0，则2n 0·(34)m 0＜2n 0·(34)log 34|an 0|－22n 0＝|a n 0|－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2．2016新课标I 文一. 选择题1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝ A ．{1，3} B ．{3，5} C ．{5，7} D ．{1，7} 2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．564．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝A ． 2B ． 3C ．2D ．35．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．346．若将函数y ＝2sin (2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log cC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 9．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图像大致为10．执行右面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n 开始A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x11．平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22 C ．33D ．1312．若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是A ．[ －1，1]B ．[－1，13]C ．[－13，13]D ．[－1，－13] 二、填空题13．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a b ，则x ＝___________． 14．已知θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，则tan(θ－π4)＝___________．15．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为_________．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为_____元．三．解答题17．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ．(I)求{a n }的通项公式； (II)求{b n }的前n 项和．18．如图，在已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．PABD CGE(I)证明：G是AB的中点；(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．19．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(I)若n＝19，求y与x的函数解析式；(II)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值；(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ． (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．21．已知函数f (x )＝a (x －1)2＋(x －2)e x ． ⑴．讨论f (x )的单调性；⑵．若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．23．选修4—4：[坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ． (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题(1)B (2) A (3)C 解析 (1)将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为23．(4)D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．(5)B 【解】解析 法一 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)． 法二 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12． (6)D 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2 ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． (7)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π． (8)B 解析：对于A ，log a c ＝1log c a ，log b c ＝1log c b.∵0＜c ＜1，∴对数函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上为减函数，∴若0＜b ＜a ＜1，则0＜log c a ＜log c b ，1log c a ＞1log c b ，即log a c ＞log b c ；若0＜b ＜1＜a ，则log c a ＜0，log c b ＞0，1log c a ＜1log c b ，即log a c ＜log b c ；若1＜b ＜a ，则log c a ＜log c b ＜0，1log c a＞1log c b，即log a c ＞log b c .故A 不正确；由以上解析可知，B 正确；对于C ，∵0＜c ＜1，∴幂函数y ＝x c 在(0，＋∞)上为增函数．∵a ＞b ＞0，∴a c ＞b c ，故C 不正确；对于D ，∵0＜c ＜1，∴指数函数y ＝c x 在R 上为减函数．∵a ＞b ＞0，∴c a ＜c b ，故D 不正确．(9)D 【解】令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x ，又g ′(0)<0，g ′(2)>0，所以g (x )在(0，2)内至少存在一个极值点，故f (x )＝2x 2－e |x |在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C ．(10)C (11)A 解析：如图，延长B 1A 1至A 2，使A 2A 1＝B 1A 1，延长D 1A 1至A 3，使A 3A 1＝D 1A 1，连接AA 2，AA 3，A 2A 3，A 1B ，A 1D .易证AA 2∥A 1B ∥D 1C ，AA 3∥A 1D ∥B 1C . ∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1，即平面AA 2A 3为平面α.于是m ∥A 2A 3，直线AA 2即为直线n .显然有AA 2＝AA 3＝A 2A 3，于是m 、n 所成的角为60°，其正弦值为32.选A. (12)根据选项特点验证a ＝1，a ＝－1是否符合题意．当a ＝1时，f (x )＝x ＋sin x －13sin 2x ，则f ′(x )＝1＋cos x －23cos 2x ，当x ＝π时，f ′(π)＝－23<0，不符合题意，排除选项A ．当a ＝－1时，f (x )＝x－sin x －13sin 2x ，则f ′(x )＝1－cos x －23cos 2x ，当x ＝0时，f ′(0)＝－23<0，不符合题意，排除选项B ，D ．只有选项C 满足．解析：f (x )＝x －13sin 2x cos x ＋a sin x 知，f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在R 上恒成立．解法一：由题意可得，当cos x ＝1时，f ′(x )≥0，当cos x ＝－1时，f ′(x )≥0，即⎩⎨⎧－43＋a ＋53≥0，－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.解法二：令t ＝cos x ∈[－1,1]，当t ＝0时，53＞0恒成立；当0＜t ≤1时，a ≥43t －53t .令h (t )＝43t－53t ，则h ′(t )＝43＋53t 2＞0，所以h (t )在(0,1]上单调递增，所以h (t )max ＝h (1)＝－13，所以a ≥－13.当－1≤t ＜0时，a ≤43t －53t .令g (t )＝43t －53t ，则g ′(t )＝43＋53t 2＞0，所以g (t )在[－1,0)上单调递增，所以g (t )min ＝g (－1)＝13，所以a ≤13.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－13，13. 二、填空题 (13) －23(14) 【解】由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，且θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，又tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43． (15)【解】圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2．又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π．(16) 【解】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y ．作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域．由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 三、解答题(17) (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，∴a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，因此{a n }的通项公式a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1． (2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝nb n 1＋a n ＝b n3≠0，则b n ＋1b n ＝13，因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1． (18(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE ，且PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，又PG ⊂平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知可得，P A ＝PB ，从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，又P A ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2.所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.(19)解析：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0．46，不大于19的频率为0．7，故n 的最小值为19．(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100 (4 000×90＋4 500×10)＝4050．比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件． (20) 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t ．所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2．(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y－t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点． (21)【解】⑴．f ′(x )＝(x －1)(e x ＋2a )．①．当a ≥0时，则当x ＞1时，f ′(x )＞0；当x ＜1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．②．当a ＜0时，由f ′(x )＝0解得，x ＝1或x ＝ln(－2a )(i)．若ln(－2a )＝1，即a ＝－e2，则∀x ∈R ，f ′(x )＝(x －1)(e x ＋e)≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．(ii)．若ln(－2a )＜1，即a ＞－e2，则当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0，故函数在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增；在(ln(－2a )，1)上单调递减．(iii)．若ln(－2a )＞1，即a ＜－e2，则当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0；故函数在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)单调递增；在(1，ln(－2a ))单调递减． ⑵．①．当a ＞0时，由⑴知，函数f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝e ，f (2)＝a ，取实数b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a (b 2－32b )＞0，故f (x )有两个零点．②．若a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，故f (x )只有一个零点．③．若a ＜0，由⑴知，当a ≥－e2，则f (x )在(1，＋∞)单调递增，又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；当a ＜－e2，则函数在(ln(－2a )，＋∞)单调递增；在(1，ln(－2a ))单调递减．又当x ≤1时，f (x )＜0，故不存在两个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．(23)⑴．消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．⑵．曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2得，16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 理)二. 选择题1．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－3，－32) B ．(－3，32) C ．(1，32) D ．(32，3)2．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．23．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．974．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 7．函数y ＝2x 2–e |x |在[–2，2]的图像大致为( )8．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则A ．a c ＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．b log a c ＜log b c 9．执行右面的程序图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足 A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝4x D ．y ＝5x10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的标准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A ．32 B ．22 C ．33 D ．1312．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝ ． 14．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是 ．(用数字填写答案)15．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(12分)ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ． (I)求C ；(II)若c ＝7，ΔABC 的面积为332，求ΔABC 的周长．18．(本小题满分为12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°． (1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E －BC －A 的余弦值．19．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(I)求X 的分布列；(II)若要求P (X ≤n )≥0．5，确定n 的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？20．(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(I)证明| EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． ⑴．求a 的取值范围；⑵．设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°．以⊙O 为圆心，12OA 为半径作圆．(I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD ．ODCBA23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(I)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24．(本小题满分10分)，选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝∣x ＋1∣－∣2x －3∣．(I)在答题卡第(24)题图中画出y ＝f (x )的图像； (II)求不等式∣f (x )∣﹥1的解集．理科数学参考答案一、 选择题(1)由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |x ＞32}，则A ∩B ＝(32，3)．选D ．(2)B 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B ．(3)C 解析 由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98解析：因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，所以S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，所以a 5＝3．又因为a 10＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98．(4)B 解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B ．(5)A 解析∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2．由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1＜n ＜3．(6)A 解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π．(7) 解析 (1)令f (x )＝2x 2－e |x |(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，故排除A ，B ；当x ＞0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x ，又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，故g (x )在(0，2)内至少存在一个极值点，故f (x )＝2x 2－e |x |在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C ．(8)对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c ，因为c ＞0，所以y ＝x c 为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c ＞b c ，A 错．对于选项B ，ab c＜ba c⇔⎝⎛⎭⎫b a c＜b a ，又y ＝⎝⎛⎭⎫b a x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．(9) 运行程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2，第2次循环得x ＝12，y ＝2，n ＝3，第3次循环得x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2≥36，输出x ，y ，满足C 选项． (10)B 【解】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∵|AB |＝42，点A 是圆与抛物线交点，由对称性设A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p ．又|DE |＝25，且点D 是准线与圆的交点，∴D ⎝⎛⎭⎫－p2，5且|OD |＝|OA |．从而⎝⎛⎭⎫4p 2＋(22)2＝⎝⎛⎭⎫－p 22＋(5)2，解得p ＝4．因此C 的焦点到准线的距离是4． (11)A 解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，因为α∥平面CB 1D 1，故m 1∥m ，又因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，结合平面B 1D 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，故B 1D 1∥m 1，故B 1D 1∥m ．同理可得：CD 1∥n ．故m ，n 所成角即直线B 1D 1与CD 1所成角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32． (12)【解】因x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，故π4－(－π4)＝T 4＋kT (k ∈Z )，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω(k ∈Z )，故ω＝4k ＋1(k ∈Z )，又f (x )在(π18，5π36)上单调，故5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9．因x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，故π4－(－π4)＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，故ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又f (x )在(π18，5π36)上单调，故5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin(11x －π4)在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减)，由此得ω的最大值为9． 二、填空题(13)解析(1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，故a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2．(14)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r C r 5x 5－r 2，令5－r 2＝3得r ＝4，此时系数为10． (15)64由于{a n }是等比数列，设a n ＝a 1qn －1，其中a 1是首项，q 是公比．故⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.故a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －4，故a 1·a 2·…·a n ＝⎝⎛⎭⎫12（－3）＋（－2）＋…＋（n －4）＝⎝⎛⎭⎫1212n （n －7）＝⎝⎛⎭⎫1212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494．当n ＝3或4时，12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取得最小值－6，此时⎝⎛⎭⎫1212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取得最大值26．故a 1·a 2·…·a n 的最大值为64设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64.(16)解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ，y ∈N ，，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．三、解答题(17)【解】(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A ·cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，即2cos C ·sin(A ＋B )＝sin C ．因A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π)，故sin(A ＋B )＝sin C ＞0，故2cos C ＝1，cos C ＝12．故C ＝π3． (2)由余弦定理及C ＝π3得，7＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝7，又S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝332，故ab ＝6，故(a ＋b )2－18＝7，a ＋b ＝5，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7．(18)解：(1)证明 在正方形ABEF 中，AF ⊥EF ．因∠AFD ＝90°，故AF ⊥DF ．因为DF ∩EF ＝F ，DF ，EF ⊂平面EFDC ，故AF ⊥平面EFDC ，AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ． (2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ．由(1)知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G －xyz ．由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3．可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知得AB ∥EF ，故AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ．由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，故∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°．从而可得C (－2，0，3)．故EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，故可取n＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919．易知二面角E －BC －A 为钝角，故二面角E －BC －A 的余弦值为－21919． (19)(本小题满分12分)(1)每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件A i 为第一台机器3年内换掉i ＋7个零件(i ＝1，2，3，4)，记事件B i 为第二台机器3年内换掉i ＋7个零件(i ＝1，2，3，4)，由题知P (A 1)＝P (A 3)＝P (A 4)＝P (B 1)＝P (B 3)＝P (B 4)＝0．2，P (A 2)＝P (B 2)＝0．4．设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22， P (X ＝16)＝P (A 1)P (B 1)＝0．2×0．2＝0．04，P (X ＝17)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＝0．2×0．4＋0．4×0．2＝0．16，P (X ＝18)＝P (A 1)P (B 3)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 1)＝0．2×0．2＋0．4×0．4＋0．2×0．2＝0．24，P (X ＝19)＝P (A 1)P (B 4)＋P (A 2)P (B 3)＋P (A 3)P (B 2)＋P (A 4)P (B 1)＝0．2×0．2＋0．4×0．2＋0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．24，P (X ＝20)＝P (A 2)P (B 4)＋P (A 3)P (B 3)＋P (A 4)P (B 2)＝0．4×0．2＋0．2×0．2＋0．2×0．4＝0．2， P (X ＝21)＝P (A 3)P (B 4)＋P (A 4)P (B 3)＝0．2×0．2＋0．2×0．2＝0．08． P (X ＝22)＝P (A 4)P (B 4)＝0．2×0．2＝0．04． 所以X 的分布列为X 16171819202122P0．04 0．16 0．24 0．24 0．2 0．08 0．04(2)要令P (X ≤n )≥0．5，因为0．04＋0．16＋0．24＜0．5，0．04＋0．16＋0．24＋0．24≥0．5，则n 的最小值为19．(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n ＝19时，费用的期望为19×200＋500×0．2＋1 000×0．08＋1 500×0．04＝4 040，当n ＝20时，费用的期望为20×200＋500×0．08＋1 000×0．04＝4 080． 所以应选用n ＝19． 20．(本小题满分12分)(1)证明 因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |．又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4．由题设得A (－1，0)，B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由。

2016年浙江高考数学试题及答案

2016年浙江高考数学试题及答案
3
16．（本题满分 14 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 b+c=2acos B． （Ⅰ）证明：A=2B；
2
（Ⅱ）若 cos B= ，求 cos C 的值．
3 17. （本题满分 15 分）设数列{ an }的前 n 项和为 Sn .已知 S2 =4， an1 =2 Sn +1， n N* . （I）求通项公式 an ； （II）求数列{| an n 2 |}的前 n 项和.
2016 年高考浙江卷数学试题
1.已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（CUP) ∪Q=（ ）
A.{1}
B.{3，5}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
2. 已知互相垂直的平面， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则（ ）
A.Sn 是等差数列
B. Sn2 是等差数列
C. dn 是等差数列
D.
d
2 n
是等差数列
9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是 ______cm3.
2
10. 已知 a R ，方程 a2x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是_____，半
径是______.
11. 已知 2 cos2 x sin 2x Asin(x ) b( A 0) ，则 A ______．b=__________
12．设函数 f(x)=x3+3x2+1．已知 a≠0，且 f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数 a=_____，b=______．

2016级高三理科数学综合训练试题含答案

2016级高三理科数学综合训练试题含答案

2016级高三理科数学综合训练试题（34）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．设集合{|2}A x x =>，若ee m ln =（e 为自然对数底），则A ．A ∅∈B ．A m ∉C ．A m ∈D ．{}m x x A >⊆ 2． 若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为A ．4-B ．45- C ．4 D ．453．5232x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3426235a a a +-=,则7S 等于A ．28B ．21C ．14D ．75．设命题:p ()3,1a = ，(),2b m = ，且//b a ；命题:q 关于x 的函数()255xy m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 成立是命题q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =A ．1111+2310+++……B ．1111+2310+++……！！！C ．1111+2311+++…… D．1111+2311+++……！！！7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3+D ．4ln -8．函数e x y m =+（其中e 是自然对数的底数）的图象上存在点(,)x y 满足条件：2e x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则实数m 的取值范围是 A ．2[1,2e e ]--B ．2[2e ,1]--C ．22[2e ,2e e ]--D ．2[2e ,0]-9．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π10． 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A ．21B ．18C ．21D ．18第9题图 第10题图11．过曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作曲线2222:a y x C =+的切线，设切点为M ，延长FM交曲线)0(2:23>=p px y C 于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若点M 为线段FN 的中点，则曲线C 1的离心率为 A ．5 B ．25 C ．5+1 D ．215+ 12．设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-,其中0,x a R >∈,存在0x R ∈,使得04()5f x ≤成立,则实数a 的值是A ．15 B ．25 C ．12D ．1 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13．已知,a b 均为正数，且2是2a 与b 的等差中项，则1ab的最小值为 . 14．一个五面体的三视图如右图所示，正视图与侧视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 。

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =I （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞U （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞U 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥I 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量13(,)2BA =uu v ，31(,)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 11BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·r r r ，·cos a ba b θ=r rr r ，·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OBE ∆CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．B ．4C ．D ．6 【答案】C 【解析】考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D 【解析】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．8. 已知实数a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c ，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9 【解析】试题分析：1109M M x x +=⇒= 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离．10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．1考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32 【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2考点：1、指数运算；2、对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误．13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==- 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅， 所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d .而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=.（2x ≤|x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，很容易三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π． 试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin sin C 2sin cos B +=A B ，进而由两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式可得21sin C 24a ab =，进而由二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．试题解析：（I ）由正弦定理得sin sin C 2sin cos B +=A B ，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ， 于是()sin sin B =A-B ．又A ，()0,πB∈，故0π<A -B <，所以()πB =-A-B 或B =A -B ，因此πA =（舍去）或2A =B ，所以，2A =B ．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ，C 的式子，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B -A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B -A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B -A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ =．在Rt QF ∆B 中，FQ =，F B =cos QF ∠B =．所以，二面角D F B -A - 方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ． 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(K ，()1,3,0A --，12⎛E ⎝⎭，1F 2⎛- ⎝⎭． 因此， ()C 0,3,0A =，(AK =，()2,3,0AB =．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩，， （I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ii ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.【答案】（I ）[]2,2a ；（II ）（i ）()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii ）()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．（II ）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则 ()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ii ）当02x ≤≤时，()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=． 所以，()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩．考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（ii ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()a M ．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）22221a k a k +（II ）02e <≤（II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（I ）知，1AP =，2Q A =， 故12=， 所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦． 由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤ 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．【思路点睛】（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ； （II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1121112122222222nm n n n n m m nm n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭． 从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式．【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得3224m n n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3 数学试卷含答案(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3 数学试卷含答案(理科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)2.若z=1+2i,则4izz -1=( )A.1B.-1C.iD.-I3.已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120°4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 5.若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425B.4825C.1D.16256.已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )A.3B.4C.5D.68.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=( )A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10109.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.13B.12C.23D.3412.定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .14.函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.15.已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .16.已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (Ⅰ)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若S 5=3132,求λ.18.(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:∑i=17y i =9.32,∑i=17t i y i =40.17,√∑i=17(y i -y )2=0.55,√7≈2.646.参考公式:相关系数r=∑i=1n(t i -t )(y -y )√∑i=1(t i -t )2∑i=1(y i -y )2,回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (Ⅰ)证明MN∥平面PAB;(Ⅱ)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (Ⅰ)求f '(x); (Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明|f '(x)|≤2A.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O 中AB⏜的中点为P,弦PC,PD 分别交AB 于E,F 两点. (Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小;(Ⅱ)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时, f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x ≤2或x ≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S ∩T=(0,2]∪[3,+∞), 故选D.2.C ∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴zz -1=4i4=i,故选C. 3.A cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32,所以∠ABC=30°,故选A. 4.D 由雷达图易知A 、C 正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B 正确;由雷达图知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.5.A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×4916+1=6425,故选A.6.A 因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x 23在(0,+∞)上单调递增,所以423<523,即a<c,又因为函数y=4x 在R 上单调递增,所以425<423,即b<a,所以b<a<c,故选A.7.B 第一次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; 第二次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; 第三次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.结束循环, 输出n 的值为4,故选B.8.C 解法一:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,在△ABC 中,由余弦定理的推论可知,cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=29BC 2+59BC 2-BC 22×√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法二:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在Rt △ADC 中,AC=√53BC,sin ∠DAC=2√55,cos ∠DAC=√55,又因为∠B=π4,所以cos ∠BAC=cos (∠DAC +π4)=cos ∠DAC ·cos π4-sin ∠DAC ·sin π4=√55×√22-2√55×√22=-√1010,故选C.解法三:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC, 则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC 2-29BC 2=-19BC 2,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-19BC 2√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法四:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,设BC=3a(a>0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D 为原点,DC,DA 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,-a),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,-a),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2a,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5a,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=22√2a×√5a=-√1010,故选C.9.B 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3√5,则该几何体的表面积S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故选B.10.B 易知AC=10.设底面△ABC 的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43πR 3=9π2.故选B.11.A 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0,故可设直线l 的方程为y=k(x+a),当x=-c 时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE 的中点为N,则N (0,ka 2),由于B,M,N 三点共线,所以k BN =k BM ,即ka 2-a=k(a -c)-c -a,所以12=a -ca+c,即a=3c,所以e=13.故选A.12.C 当m=4时,数列{a n }共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k ≤8,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,则必有a 1=0,a 8=1,a 2可为0,也可为1.(1)当a 2=0时,分以下3种情况:①若a 3=0,则a 4,a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,则有C 41=4种情况;②若a 3=1,a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,有C 31=3种情况;③若a 3=1,a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况;(2)当a 2=1时,必有a 3=0,分以下2种情况:①若a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 31=3种情况;②若a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.二、填空题 13.答案32解析 由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B (1,12),C(0,1),由z=x+y 知y=-x+z,当直线y=-x+z 过点B (1,12)时,z 取最大值32.14.答案23π解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin (x +53π),g(x)=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin (x -φ+π3)=2sin (x +5π3)=f(x)的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k ∈Z ,此时φ=-2kπ-4π3,k ∈Z ,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.15.答案 y=-2x-1解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0),则f '(x)=1x -3(x>0),∴f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.16.答案 4解析 由题意可知直线l 过定点(-3,√3),该定点在圆x 2+y 2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所以圆心到直线AB 的距离为d=√(2√3)2-(√3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=√3|√m 2+1=3,解得m=-√33,所以直线l 的斜率k=-m=√33,即直线l 的倾斜角为30°.如图,过点C 作CH ⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2√3,在Rt △CHD 中,∠HCD=30°,所以|CD|=2√3cos30°=4.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.(2分)由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,即a n+1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0, 所以a n+1a n=λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ(λλ-1)n -1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n =1-(λλ-1)n.由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132. 解得λ=-1.(12分)18.解析 (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t =4,∑i=17(t i -t )2=28,√∑i=17(y i -y)2=0.55,∑i=17(t i -t )(y i -y )=∑i=17t i y i -t ∑i=17y i =40.17-4×9.32=2.89, r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分)因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(6分)(Ⅱ)由y =9.327≈1.331及(Ⅰ)得b ^=∑i=17(t i -t)(y i -y)∑i=17(t i -t)2=2.8928≈0.10, a ^=y -b ^t =1.331-0.10×4≈0.93.所以,y 关于t 的回归方程为y ^=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得y ^=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)19.解析 (Ⅰ)由已知得AM=23AD=2. 取BP 的中点T,连结AT,TN,由N 为PC 中点知TN ∥BC,TN=12BC=2.(3分)又AD ∥BC,故TN AM,故四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB,MN ⊄平面PAB,所以MN ∥平面PAB.(6分)(Ⅱ)取BC 的中点E,连结AE.由AB=AC 得AE ⊥BC,从而AE ⊥AD,且AE=√AB 2-BE 2=√AB 2-(BC 2)2=√5.以A 为坐标原点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(√5,2,0),N (√52,1,2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,-2),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,2). 设n =(x,y,z)为平面PMN 的法向量,则{n ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y -4z =0,√52x +y -2z =0,(10分) 可取n =(0,2,1).于是|cos<n ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√525. 即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525.(12分)20.解析 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,则ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b 2).记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故1+ab=0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b=k 2.所以AR ∥FQ.(5分)(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2.由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2,所以x 1=0(舍去),或x 1=1.(8分)设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2a+b =y x -1(x ≠1).而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2分)(Ⅱ)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.(4分)当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos 2x+(α-1)cos x-1.设t=cos x,则t ∈[-1,1],令g(t)=2αt 2+(α-1)t-1,则A 是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得最小值,最小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α. 令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),或α>15.(5分)(i)当0<α≤15时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α. (ii)当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A=|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A={2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(9分)(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f '(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f '(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当15<α<1时,A=α8+18α+34>1,所以|f '(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f '(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f '(x)|≤2A.(12分)22.解析 (Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP⏜=BP ⏜,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD, 所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E 四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,故G 就是过C,D,F,E 四点的圆的圆心,所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上,因此OG ⊥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23+y 2=1.C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为(√3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=√3cosα+sinα√2=√2|sin (α+π3)-2|.(8分) 当且仅当α=2kπ+π6(k ∈Z )时,d(α)取得最小值,最小值为√2,此时P 的直角坐标为(32,12).(10分)24.解析 (Ⅰ)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}.(5分)(Ⅱ)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=1时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分) 2当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)。

浙江省 2016届 高三 调研考试数学 (文) 试题附详细答案

浙江省 2016届 高三 调研考试数学 (文) 试题附详细答案

2016年高三测试卷 数 学(文)一、选择题:1．已知集合{12}P x x =∈-<Z ，{12}Q x x =∈-≤≤Z ，则P Q = A. {0,1,2} B. {1,0,1}- C. {1,0,1,2}- D. {1,2} 2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 33．为得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin 2y x =的 图象A. 向左平移π4单位 B. 向右平移π4单位 C. 向左平移π8单位 D. 向右平移π8单位 4．已知,a b 为实数，则A. 2()4a b ab +≤，a b +≤ B. 2()4a b ab +≥，a b +≤ C. 2()4a b ab +≤，a b +≥ D.2()4a b ab +≥，a b +≥5．若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则A. 1a >，1b >B. 1a >，01b <<C. 01a <<，1b >D. 01a <<，01b << 6．设()f x 是定义在R 上的函数，则“函数()f x 为偶函数”是“函数()xf x 为奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：1322=-y x 与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A ．31B ．32C ．51D ．528．已知平面向量,,a b c 满足(,)x y x y =+∈R c a b ，且0⋅>a c ，0⋅>b c ． A. 若0⋅<a b ，则0x >，0y >B. 若0⋅<a b ，则0x <，0y <C. 若0⋅>a b ，则0x <，0y <D. 若0⋅>a b ，则0x >，0y>俯视图(第2题图)第7题图非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年高考全国数学卷三及答案解析

2016年高考全国数学卷三及答案解析

2016年高考全国数学卷三班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共12小题）1．设集合，则=( )A．B．C．D．2．若，则=( )A．1B．-1C．D．3．已知向量 ,则（）B．C．D．A．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为。

下面叙述不正确的是（ ）A ．各月的平均最低气温都在以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于的月份有5个5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）A．B． C． D． 6．若，则=( )A．B． C． D．7．执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的( )A．3B ．4C ．5D ．6 8．在中，，BC 边上的高等于,则（ ）A．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．9D．8110．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是( )A B C D．．．．11．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点为上一点，且⊥轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）A．B． C． D． 12．已知，则（ ）A ．b<a<c B ．a<b<c C ．b<c<a D ．c<a<b二、填空题（共4小题）13.设满足约束条件则的最小值为______.14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_________个单位长度得到。

15.已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则________.16.已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,2)处的切线方程式______________．三、解答题（共8小题）17.已知各项都为正数的数列满足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通项公式.18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

浙江省2016届高三数学专题复习 中档题满分练(3)理

浙江省2016届高三数学专题复习 中档题满分练(3)理

中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3 时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2.如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在PD 上，且PE ＝2ED .(1)求二面角P －AC －E 的大小；(2)试在棱PC 上确定一点F ，使得BF ∥平面AEC .3．(2015·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)，g (x )＝ax 2－x ＋5，其中a ∈R . (1)若函数f (x )，g (x )存在相同的零点，求a 的值．(2)若存在两个正整数m ，n ，当x 0∈(m ，n )时，有f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，求n 的最大值及n 取最大值时a 的取值范围．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ， ∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝ 3.2．解 (1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝AD ＝AC ＝1，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2＝PB 2，知PA ⊥AB . 同理，PA ⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD . 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，P (0，0，1)，D (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13.∴AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13.设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋12y ＝0，23y ＋13z ＝0.取y ＝－3，则n ＝(1，－3，23)． 同理，平面ACP 的一个法向量为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，0，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝1×32＋3×324×3＝12，∴〈n ，m 〉＝60°.故二面角P －AC －E 的大小为60°.(2)设PF →＝λPC →(0＜λ＜1)，∵PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1，∴BF →＝BP →＋PF →＝BP →＋λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，12λ，－λ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32（λ－1），12（λ＋1），1－λ，由BF ∥平面AEC ，知BF →⊥n ， ∴32(λ－1)×1＋12(λ＋1)×(－3)＋(1－λ)×23＝0， 解得λ＝12.∴当点F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .3．解 (1)解方程x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得：x ＝－4，或x ＝a ＋5，由函数f (x )，g (x )存在相同的零点， 则－4，或a ＋5为方程ax 2－x ＋5＝0的根，将－4代入ax 2－x ＋5＝0：得16a ＋9＝0，解得：a ＝－916，将a ＋5代入ax 2－x ＋5＝0得：a 3＋10a 2＋24a ＝0，解得：a ＝－6，或a ＝－4，或a ＝0， 综上a 的值为－916，或－6，或－4，或0.(2)令f (x )<0，则－4<x <a ＋5， ∵正整数m ，n ， ∴a ＋5>0， 即a >－5， 即N ＝(0，a ＋5)，令g (x )<0，即ax 2－x ＋5<0的解集为M ， 则由题意得区间(m ，n )⊂M ∩N . ①当a <0时，因为g (0)＝5>0， 故只能g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]<0， 即a >－4，或a <－6， 又因为a >－5， 所以－4<a <0， 此时n ≤a ＋5<5. ∵正整数m ，n ， ∴m <n ≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <0，4≤a ＋5<5，g （3）＝9a ＋2≤0，即－1≤a ≤－29时，n 的最大值为4.②当a ＝0时，M ∩N ＝∅，不合题意， ③当a >0时，因为g (0)＝5>0， 所以g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]>0， 故⎩⎪⎨⎪⎧0<12a <a ＋5，Δ＝1－20a >0无解，综上，n 的最大值为4，a 的取值范围是－1≤a ≤－29.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1.(2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n， 依题意，d n ＝2·3n－2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1.∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*) 则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n＝12＋14·13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n . ∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1.②16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ，解不等式15－153n ≤40027，3n≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.。

浙江省嘉兴市2016届高三数学下学期教学测试试题(二)理(扫描版)

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2016年高三教学测试（二）理科数学参考答案（2016.4）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. D ；2. B ；3. A ；4. C ；5. B;6. D;7. C;8. C. 8．解析：因为0>x ，2522<+<+y x x x ，所以2.121110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又25<y ，所以251<<y ． 由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25sin(sin 2y x -<，故A 正确； 由y x +<22得221244.122ππ->->->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取222π=-x ，212ππ+<<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12sin(sin 2y y x -=-+<π，故D 正确．二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9.0，89-；10. 0；-2或4；11.411,2ππ；12.38；2；13. 2；14.21； 15.21-. 15．解析：因为||||21||(||||(2AC AD AB -=⋅=⋅ 21)1|(|212--=AC ,因为R R 2||3≤≤，所以1||=时，取到最小值21-．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a ac b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+028222222=-+⋅--+bca cb ac b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ， 所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ． 所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值． 解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，AB BC BC CP =，解得21=CP ，31=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，232=C P ，22=CH∴23tan 1=∠HC P ，2tan 2=∠HC PABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82，所求余弦值为3324.法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B设)0,12,0(λ+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→C A ，)1,0,1(1-=→BC ，)0,122,1(λ+--=→BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00111BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→01111BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→001222BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为1223≥-=mx ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --=ABCD P1A 1B 1C 1D xyzABCD 1P 1A 1B 1C 1D xyz2P又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(.（Ⅱ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①0223≤-m ，即23≥m （舍去）， ②m m<-<2230，即143≤<m ，4172)223()(2+-=-=m m m f m h ③m m >-223，即430≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值31019．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值；（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入1416:221=+y x C 得0)4(48)41(222=-+++m kmx x k ，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11||2=++=k m k d ，得m m k 212-=②，联立①②得0224=--m m ，解得2=m ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以22224141641||k m k k AB ++-⋅+=，OxyAB CD（第19题）把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以224181||k k CD +⋅+=， 所以2222241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ222)21(41421mm m -+-= 3643)211(1421142122244≥+--=+--=mm m m ， 当42,2-==k m ，λ取最小值36． 20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且11++=n n n n P A P P ，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .解：（Ⅰ）)22,(111n n n n n n x x x x P P --=+++,)2,(111+++-=n n n n n x a x P A )22,(11n n n n x x x x --++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得nn n n x x a x ⋅=-++2114①， 又=-+-++2121)22()(n n n n x x x x 21214)(+++-n n n x a x ②把①代入②，得)41(4)41()(2212122121nn n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得21214)(++=-n n n x x x ，所以112++=-n n n x x x ．（Ⅱ）112++=-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，所以()n x xx ni ii n 21122121>-=-∑=++，所以121+>+n xn ，2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ ．（第20题）Oxy1A 1P 2P 3P 2A又2≥n 时，∑∑∑==+=+++<=-=-ni ni i ni i i n i xx x x x 22121211222)(，因为)1(22222412124122i i i i i i i -+=++<+++=+，所以)21(22)1(22(221-+=-+≤-∑=+n i i x x ni n所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ， 又22=x ，所以22123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ ．。

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2016学年第一学期高三期中综合练习一
1、已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.6)B ξ，则,E D ηη分别是（ ）
（A ） 6和2.4
（B ）)2和2.4
（C ）2和5.6
（D ） 6和5.6
2、已知等差数列{}n a 的公差为2，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为25，则这个数列的项数为（ ）
A.10
B.20
C.30
D.40
3
0y +-=截圆422=+y x 所得劣弧所对的圆心角的大小为（ ）
A.6π
B.4π
C.3π
D.2
π
4、设n
x
x )13(3+的展开式中的各项系数之和为P ，而它的二项式系数之和为S ，
若272P S +=，那么展开式中2
x -项的系数是（ ）
（A ）81
（B ）54
（C ）12-
（D ）1
5、双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线与抛物线21y x =+有且仅有一个公共点,则双曲线
的离心率为（ ）
B.
2
C.5
D.54
6、已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的
尺寸，可得这个几何体的体积等于_______，全面积为_______.
7、若()2,
02,
0x
x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则()()1f f -=____ ，
()()1f f x ≥的解集为__ __.
8、
已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 满
足0200y x y ⎧-≤⎪⎪
+≥⎨⎪≥⎪⎩
,则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为_____,||
OA OP
OA ⋅ 的最大值是 __. 9、设二次函数()2
4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，且()14f ≤，则2244
a c
u c a =
+++的取值范围是
____________.
10、已知ABC △的面积为3，且满足60≤∙≤，设AB 和AC
的夹角为θ．
（I ）求θ的取值范围；（2
）求2()2sin 24f θθθ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
π的最大值与最小值．
11、如图，三棱柱111ABC ABC -中，点1A 在平面
ABC 内的射影D 在线段AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.
（I ）证明：11AC A B ⊥；
（II ）设直线1AA 与平面ABC 所成角为0
60，
求二面角1A AB C --的平面角的余弦值．
12、如图，已知抛物线C ：px y 22= )0(>p 上有两个动点A ，B ，它们的横坐标分别为a ，2+a ，当1=a 时，点A 到x 轴的距离为2，M 是y 轴正半轴上的一点． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)若A ，B 在x 轴上方，且OM OA =，直线MA 交x 轴于N ，求证：直线BN 的斜率为定值，并求出该定值．
2016学年第一学期高三期中综合练习二
1、已知直线1:(1)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
2、若,,l m n 是不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.//,,//l n l n αβαβ⊂⊂⇒
B. ,//l n m n l m ⊥⊥⇒
C. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥
D. ,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥ 3、为了得到函数cos(2)6
y x π
=-的图像，可以将函数sin 2y x =的图像（ ）
A.向右平移
3π B.向右平移6π C.向左平移3π D.向左平移6
π 4、十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率为（ ）
（A ）
115 （B ）190
（C ）1120 （D ）1720 5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c>b>a ，若向量m
＝（a
－b ，1）和n ＝（b －c ，1）平行，且sin B ＝45
，当△ABC 的面积为3
2
时，则b ＝（ ）
A
B ．2
C ．4
D ．2
6、已知,x y 满足方程2
10x y --=
，当x >3537
12
x y x y m x y +-+-=
+--的
最小值__
7、将序号分别为1,2, 3,4, 5的5张参观券全部分给4人, 每人至少1张. 如果分给同一人的2张参观券连号, 那么不同的分法种数是 .
8、过抛物线2
2y x =的焦点作一条倾斜角为锐角α，长度不超过4的弦，且弦所在的直线与圆2
2
3
16
x y +=
有公共点，则角α的最大值与最小值之和是__ _． 9．已知ABC ∆中，||1BC = ，2BA BC ⋅=
，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++ ，则PQ PB ⋅
的最小值等于 ．
10、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，221(1),n n S a n n ⎛⎫
=-+≥ ⎪⎝⎭
（1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）设数列{}
2n n a 的前n 项和为n T ，12111
,n n
A T T T =+++ ，试求n A
D
B
11、如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA
的中点，且1AB AC ==，AD = （Ⅰ）证明：//MN 平面PCD ；
（Ⅱ）设直线AC 与平面PBC 所成角为α， 当α在(0,)6
π
内变化时，求二面角P BC A --
12、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点3(1,)2P ，离心率为21.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同两点
,M N ，记1F MN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最
大值．
2016学年第一学期高三期中综合练习三
1．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，
要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
2、已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段
AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 11 3、将函数f(x)=2sin(2x+4
π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐
标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=4
π对称，则φ的最小值为
（ ）
A.18
π
B. 12
π
C. 34π
D. 38
π
4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆)42(042
2≤≤=+-x y x x 上的一个
动点，点C 在线段OA 的延长线上，当OA OC ⋅
＝20时，点C 的轨迹为（ ）
A. 椭圆一部分
B.抛物线一段
C. 线段
D. 圆弧
5、已知点(x ，y)的坐标满足条件30
2602290
x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数。

若4x －y
取到最大值8，则整数a 的最大值为（ ）
A. 4
B. 5
C.
6
D. 7
6、已知tan()3πα+=，则αtan 的值是 __，α2cos 的值是 __
7、设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，a 1=1，a 2=3，S k+2+S k －2S k+1=2对任意正整数k 成立，则a n = ，S n = .
8、已知a b ⊥ ，2c a b =+
，若||c
c 与a b + 夹角的余弦值的最小值等于
9、若对任意α∈R ，直线l : xcosα+ysinα=2sin(α+6
π)+4与圆C: (x －m)2+(y
2=1
均无公共点，则实数m 的取值范围是
10、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，3
3
42tan 2tan
=
++C B A . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）已知△ABC 不是．．
钝角三角形，且c=32， ,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求△ABC 的面积。

11、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
12、已知m 为实数，且29-
≠m ，数列{}n a 的前n 项和S n 满足m a S n
n n +⨯+=32
134 （Ⅰ）求证：数列{}
13+-n n a 为等比数列，并求出公比q ；
（Ⅱ）若15≤n a 对任意正整数n 成立，求证：当m 取到最小整数时，对于n≥4，n ∈N ，都有 4811...n
++>-。

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