沪科版数学八年级上15.4角的平分线课件(共14张PPT)
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八年级数学上册第15章角的平分线第2课时角平分线的性质课件新版沪科版ppt
AOP BOP, (已证) PCO PDO（, 已证） OP OP, (公共边)
∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD.
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD， DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证： EB=FC.
运用新知
证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC， ∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等) 且∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中
4.如图,已知AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB, BC=8cm,BD=5cm,则DE的长为( A ). A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
1.什么叫角平分线？ 2.你还能得到哪些结论？
课堂小结
第2课时 角平分线的性质
活动1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组 间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.
活动2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪 一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把 纸片展开,看到了什么?
பைடு நூலகம்新课导入
由上述活动及交流情况,总结以下新知识: 1.角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.
∵ BD = CD ED = FD
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
随堂演练
1.角的平分线上的点到这个角的两边__距__离___相 等.
2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分 线相交于点I,则∠BIC=_1_3_0_°___.
3.已知△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平 分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则 ∠BDE=__∠_E__D_A_=_∠__C_D_A__=_∠__C_A_B__.
∴△PCO≌△PDO.(AAS) ∴PC=PD.
1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD， DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证： EB=FC.
运用新知
证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC， ∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等) 且∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中
4.如图,已知AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB, BC=8cm,BD=5cm,则DE的长为( A ). A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
1.什么叫角平分线？ 2.你还能得到哪些结论？
课堂小结
第2课时 角平分线的性质
活动1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组 间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.
活动2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪 一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把 纸片展开,看到了什么?
பைடு நூலகம்新课导入
由上述活动及交流情况,总结以下新知识: 1.角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.
∵ BD = CD ED = FD
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
随堂演练
1.角的平分线上的点到这个角的两边__距__离___相 等.
2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分 线相交于点I,则∠BIC=_1_3_0_°___.
3.已知△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平 分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则 ∠BDE=__∠_E__D_A_=_∠__C_D_A__=_∠__C_A_B__.
沪科数学八年级上册《15.4角的平分线的性质》课件
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。 求证：∠BDP=∠CDP。
15.4 角平分线的性质
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
沪科版八年级数学上册：15.4.2角平分线的性质及判定课件
的点 )
A D
距离相等
C
P
O
E B
灿若寒星
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
O
P
PD=PE
\ OP是的平A分O线B
E B
（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分
线上）
灿若寒星
定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（1）DE=DF （2）AE=AF （3）AD⊥EF
A E
GF
B
D
C
灿若寒星
练一练
8、三角形三条______________的交点，到三 边距离相等。
9、三角形三条______________的交点，到三 个顶点的距离相等。
10、如图，P是△ABC的∠A和∠B的平
A
分线的交点，过P做AB、AC、BC的垂 M
A
F
E
灿若寒星
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理PE=PF.
线垂足分别是M、N、H，则：
N
（1）PH与PN的数量关系是
___________
B
P
H
C
（2）CP________∠ACB(填平分或不
平分）
15.4角的平分线第2课时角的平分线的性质课件(共13张PPT)八年级上册沪科版数学
使用定理时这样书写：
∵ OC 平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE.
推理的条件有三个，必须 写全，不能少.
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作 PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系 吗？证明你的猜想.
PC=PD， 猜想：角平分线的点到角两边的距离相等
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）
2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，
DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 ( D )
A. 6 B. 5
C. 4
D. 3
分析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
C
F
D
∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴ DF ＝ DE ＝ 2.
15.4.2 角的平分线的性质
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相
等.
难点
3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
难点
新课引入
利用尺规我们可以作一个角的平分线， 那么角的平分线有什么性质呢？
新知学习
∵ OC 平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE.
推理的条件有三个，必须 写全，不能少.
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作 PC⊥OA,PD ⊥ OB,点C,D是垂足.你能猜想PC，PD长度间有什么关系 吗？证明你的猜想.
PC=PD， 猜想：角平分线的点到角两边的距离相等
下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明：∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.(角平分线定义）
2. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，
DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 ( D )
A. 6 B. 5
C. 4
D. 3
分析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
C
F
D
∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB. ∴ DF ＝ DE ＝ 2.
15.4.2 角的平分线的性质
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相
等.
难点
3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
难点
新课引入
利用尺规我们可以作一个角的平分线， 那么角的平分线有什么性质呢？
新知学习
角的平分线ppt 沪科版
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
角平分线 的性质：
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
选择题
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角 的边上的距离的是（ ） 图1
M
N
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
沪科版八年级数学上册(课件)：15.4角的平分线(第1课时)教学PPT
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的 距离,这两个距离相等.
新课讲解
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
FC
∠1=∠2，且AC=6cm，那 么线段BE是△ABC
C E
角的的平分线
，
A6cEm+DE=
.
1
A
2
D
B
课堂练习
作业
练习
1、2题
课堂小结
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法； 2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
青春虚度无所成，白首衔悲补何
及。
—— 权德兴
已知：如图，∠ AOC= ∠ BOC,点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90º（垂直的定义）
A D
在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO
C P
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
角的平分线（一）
新课引入 复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线.
A
1
C
o
2
B
新课引入 复习提问
从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离.
P
线段的长度
A
沪科版八年级上册 15.4.3 角平分线的判定(共15张PPT)
15.4.3 角平分线的判定
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的
平分线. 2、角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
A D
∵ OC是∠AOB的平分线
1
PD⊥OA，PE⊥OB
O2
P C
∴ PD＝PE
E B
想一想
• 把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相 等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
北
比例尺1：20000
BHale Waihona Puke C·P┒O
A
2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
M H
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝ CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
走进生活
1、如图，为了促进当地 旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考
的?你是如何证明的?
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
用一用
1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出 工厂的位置，并说明理由。
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的
平分线. 2、角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
A D
∵ OC是∠AOB的平分线
1
PD⊥OA，PE⊥OB
O2
P C
∴ PD＝PE
E B
想一想
• 把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相 等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
北
比例尺1：20000
BHale Waihona Puke C·P┒O
A
2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
M H
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝ CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
走进生活
1、如图，为了促进当地 旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考
的?你是如何证明的?
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
用一用
1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出 工厂的位置，并说明理由。
沪科版八年级数学上册教学课件《角的平分线》ppt
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3 .
三 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这个 结论吗？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC 于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
FG⊥AE， FHA ⊥AD，
E G
C
M
F
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，
的两边分别交于M、N两点； 2.分别以 _M__、__N为圆心，
_大__于___12__M__N的长为半径作弧，两条
B
N P
圆弧交于
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
M
A
3.作射线__O__P_； __O__P_就是所求作∠AOB的平分线.
想一想：为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到 木板、钢板的角平分线吗？
秋八年级数学上册15.4角的平分线15.4.2角的平分线的判定课件新版沪科版01152116【精品课件】
的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
(1知)书识写点格式：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在
∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相
等或一条射线是角的平分线．
2．角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图，都与距离有关： 即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角平分线上 性质 点
解：如图，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，
EP⊥CB交CB的延长线于点P，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，∠PBA＝
180°－100°＝80°，所以∠PBA＝∠ABD.
因为EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，所以EP＝EM.
又因为点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
（来自《点拨》）
知1－练
1 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相
等的点应是( ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2 如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点
P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( ) A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定
等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成． 证明：∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
BDE CDF, 在△BDE和△CDF中，DEB DFC, ∴△BDE≌△CDF(AASB)，E CF ,
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
（来自《点拨》）
知2－练
1 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其
(1知)书识写点格式：如图，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在
∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相
等或一条射线是角的平分线．
2．角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图，都与距离有关： 即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；(2)点在角平分线上 性质 点
解：如图，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，
EP⊥CB交CB的延长线于点P，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，∠PBA＝
180°－100°＝80°，所以∠PBA＝∠ABD.
因为EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，所以EP＝EM.
又因为点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
（来自《点拨》）
知1－练
1 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相
等的点应是( ) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2 如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点
P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( ) A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定
等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成． 证明：∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
BDE CDF, 在△BDE和△CDF中，DEB DFC, ∴△BDE≌△CDF(AASB)，E CF ,
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
（来自《点拨》）
知2－练
1 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其
沪科版八年级数学上册《15.4.1角的平分线》课件1ppt
2.当C在直线AB外时.
作法：
1)任意取一点K，使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和C在AB的两旁；
2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
3)分别以点D和点E为圆心，大于 作弧，两弧交于点F；
4)作直线CF.
的1 长为半径 DE
2
C
直线CF是所求的垂线.
经过已知直线外一点 作这条直线的垂线.
AD K
B E F
大显身手
∠AOB内一点_P___； Ｏ
Ｂ N
P
MA
3、作射线__O_P__； __O__P_就是所求作∠AOB的平分线.
想一想
为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP（SSSＯ） ∴∠MOP=∠NOP 即：OP平分∠AOB
15.4.1 角的平分线
温故知新
温故知新
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
1、折纸法
B
2、度量法
3、尺规作图
O
A
尺规作图
作法：1、以点_O___为圆心， _任__意___长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于M、
大2_作N于_、两_弧适_分_，当点_别12_两_以M；_条N__M圆_的、_弧_长N_交为为于半圆径心，
任作两条长度不等的线段a，b（b>a）， 你能用尺规作图的方法作出以a为直角边，以b 为斜边的直角三角形吗？
a
C
b
G
b
E A Fa B
总结收获
1、角平分线的三种作法. 2、两个尺规作图. 3、一个问题意识.
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A
1 、折痕 PE 和 PD 与角的两边 OA 、 OB 有什么 关系？ O PD和PE相等吗？ 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等 吗？ 3 、由此你能得出关于角平分线的结论吗？ 并证明你的结论。
点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
A D P C
O
E
B
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
解：
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
s
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， A 求证：CF=EB。 证明： ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90°（已知） E F ∴ CD＝DE (角平分线的性质) C D 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
A
E B D
F C
驶向胜利 的彼岸
小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些
用到了我们今天学到的知识。
1、 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 3、角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
作业：课堂内外 思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
A M C
N
B
思考：
• 当∠AOB的两边成一条直线（即∠AOB=180° ）， 通过上面的步骤得到射线OC后， OC是这个角的平 分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
3、观察折纸，思考问题：
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三 条折痕,你能得到什么结论?
解决问题 问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
1、 观察下面简易的平分角的仪器，其 中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点， AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条 射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说 明它的道理吗？
B
提高与拓展
A
1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么?
B
D
C
2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？
角平分线可以看作是到角两边距 离相等的点的集合。
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
求证:PD=PE 证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知） ∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义） ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD和△OPE 中 ∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS) ∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
B C E
A D
已知：AB=AD，BC=DC。 求证：AC是∠BAD的平分线
证明 ： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边） DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等） ∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）
2、基本作图：平分已知角
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 1 MN 的长为半径在角的内部作 2 弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) O ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
1 、折痕 PE 和 PD 与角的两边 OA 、 OB 有什么 关系？ O PD和PE相等吗？ 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等 吗？ 3 、由此你能得出关于角平分线的结论吗？ 并证明你的结论。
点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
A D P C
O
E
B
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
解：
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
s
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， A 求证：CF=EB。 证明： ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90°（已知） E F ∴ CD＝DE (角平分线的性质) C D 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
A
E B D
F C
驶向胜利 的彼岸
小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些
用到了我们今天学到的知识。
1、 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 3、角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
作业：课堂内外 思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
A M C
N
B
思考：
• 当∠AOB的两边成一条直线（即∠AOB=180° ）， 通过上面的步骤得到射线OC后， OC是这个角的平 分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
3、观察折纸，思考问题：
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三 条折痕,你能得到什么结论?
解决问题 问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
1、 观察下面简易的平分角的仪器，其 中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点， AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条 射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说 明它的道理吗？
B
提高与拓展
A
1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么?
B
D
C
2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的？
角平分线可以看作是到角两边距 离相等的点的集合。
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
求证:PD=PE 证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知） ∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义） ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD和△OPE 中 ∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS) ∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等）
B C E
A D
已知：AB=AD，BC=DC。 求证：AC是∠BAD的平分线
证明 ： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边） DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等） ∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）
2、基本作图：平分已知角
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 1 MN 的长为半径在角的内部作 2 弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) O ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.