控制数学模型

第二章 控制系统的数学模型

2—1 数字模型

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。 自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统

其内在共性运动规律。

系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。 常用的数学模型有：

数学模型

的建立方法

一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。

建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。

电气的、 机械的、 液压的

气动的等 微(差)分方程 传递函数(脉冲传递函数研究线性离散系统的数学模型) 经典控制理论 频率特性(在频域中研究线性控制系统的数学模型) 状态空间表达式(现代控制理论研究多输入—多输出控制系统) 结构图和信号流图，数学表达式的数学模型图示型式 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，

列写出各变量之间的数学关系式

实验法：对系统施加典型信号(脉冲、阶跃或正弦)，记录系统的时间响应

曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。

图2-1 求取性能指标的主要途径

2－2运用微分方程建立数学模型

控制系统中的输出量和输入量通常都是时间的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输人量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 建立系统微分方程的一般步骤或方法是：

1)根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。

2)对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。

3)根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。若系统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下，必须注意各分段之间的负载效应问题。

4)消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。

列写微分方程的关键是元件或系统所属学科领域的有关规律而不是数学本身。但求解微分方程需要数学工具。

下面分别以电路系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。

2－2－1 电路系统

电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电流定律∑i = 0,以及基尔霍夫电压定律 ∑u =0 。

元件与电压电流的关系

电阻：Ri u = 电感：dt di L

u = 电容：⎰=idt C

u 1

以下举例说明电路系统方程的建立。

例2—1 如图2—2所示为一个RLC 串联电路，试求其数学模型。 解 设输入信号)()(t u t x i =

输出信号)()(0t u t y =。 按照基尔霍夫电压定律得

0u u u u L R i ++=,

Ri

u R =

dt

di L u l = ⎰=

idt C

u 1

0 消去中间变量i 得系统的微分方程为：

i u u dt du RC dt

u d LC =++00

2

02 （２－１） 令T 1＝LC ，T 2＝RC ，同时将)()(t u t x i =与)()(0t u t y =代人可得

图2—2 RLC 电路

)()()()(22

21t x t y dt t dy T dt

t y d T =++ （２－２） 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统也称为二阶线性定常系统。

例2—2 如图2-3所示为由两个ＲＣ电路串联而成的滤波网络，试建立输入电压u i 和输出电压u 。之间动态关系的微分方程。

解 设回路电流i 1，和i 2为中间变量。 根据基尔霍夫电压定律对前一回路、 后一回路有：

⎰-+

=dt i i C i R u i )(1

211

11 ⎰⎰+=-dt i C i R dt i i C 222

22111

)(1 ⎰=

dt i C u 22

01

由上三式消去中间变量i 1，和i 2，整理即得u i 和u 0之间动态关系的微分方程：

i u u dt du C R C R C R dt u d C R C R =++++002

122112

022211)( （２－３） 由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应,反映在流过前一回路电容C １

的电流上，没有后一回路时为i 1，而当串联上后一回路则为i 1-i 2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。

2－2－2 机械系统

机械系统指的是存在机械运动的装置，常用的基本要素是质量、弹簧和阻尼器。它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动(相应的位移称为线位移)和转动(相应的位移称为角位移)两种。

做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律

22dt y

d m F =∑

式中F 为物体所受到的力，m 为物体质量，y 是线位移，t 是时间。

转动的物体要遵循如下的牛顿转动定律

22dt d J T θ

=∑

式中T 为物体所受到的力矩，J 为物体的转动惯量，θ为角位移。

图2—3 两个RC 串联网络