位错的弹性行为

同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分 量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。 （2）应变分量 与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分 量。直角坐标系中：εxx，εyy，εzz，εxy，εxz和εyz。 柱面坐标系中：εrr，εθθ，εzz，εrθ，εrz和εθz。
二 位错的应力场
螺型位错的应力场(如图2所示)具有以下特 点： 1).只有切应力分量，正应力分量全为零， 这表明螺位错不引起晶体的膨胀和收缩。 2).螺型位错所产生的切应力分量只与r有关 （成反比），而与θ、z无关。只要r一定，z 就为常数。因此，螺型位错的应力场是轴对 称的，即与位错等距离的各处，其切应力值 相等，并随着与位错距离的增大，应力值减 小。
4).y=0时，σxx=σyy=σzz=0，说明在滑移面 上，没有正应力，只有切应力，而且切应力 τxy达到极大值。 5).y＞0时，即滑移面以上，σxx＜0；而y ＜0时，即滑移面以下，σxx＞0。这说明正刃 型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面 下侧为拉应力。 6).在应力场的任意位置处，|σxx|＞|σyy| 。
γ 为泊松比，
G
D=
Gbwenku.baidu.com2π (1−γ )
为切变模量。
由上式可看出，刃型位错应力场具有以下特 点： 1).同时存在正应力分量与切应力分量， 而且各应力分量的大小与G和b成正比，与r成 反比，即随着与位错距离的增大，应力的绝 对值减小。 2).各应力分量都是x，y的函数，而与z无 关。这表明在平行于位错线的直线上，任一 点的应力均相同。 3).刃型位错的应力场对称于多余半原子面 （y-z面），即对称于y轴。
（1）螺位错的应力场 取外半径为R，内半径为ro的各向同性材料的 圆柱体两个。圆柱中心线选为Z轴，将圆柱 沿XOZ面切开，使两个切面分别沿Z轴方向 相对位移b，再把切面胶合起来，这样在圆柱 体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。
图2 螺位错的连续介质模型
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展 开，便能看出在离开中心r处的切应变为ε = b / 2πr
晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离 了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力 场。在位错的核心区，原子排列特别紊乱， 超出弹性变形范围，虎克定律已不适用。中 心区外，位错所形成的弹性应力场可用各向 同性连续介质的弹性理论来处理。该模型首 先假设晶体是完全弹性体，服从虎克定律； 其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近 似地认为晶体内部由连续介质组成，晶体中 没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移 等量是连续的，可用连续函数表示。
2.应力与应变的表示方法
(1)应力分量 如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一 个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描 述。它们是： σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz
第一个符号表示应力作用面的外法线方向 ，第二个下标符号表示该应力的指向。 图1 物体中一受力单元的应力分析
σ xx = − D
r (3 x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 )2
σ yy = D ( x
r ( x2 − y2 )
2
+ y 2 )2
σ zz = r (σ xx + σ yy )
σ xy = σ yx = D ( x
x( x2 − y2 )
2
+ y 2 )2
σ xz = σ zx = σ yz = σ zy = 0
2
r + y2 )
σ yz = σ zy = σ zθ cosθ =
Gb x 2 2π ( x + y 2 )
σ xx = σ yy = σ zz = σ xy = σ yx = 0
由前面的式子知，螺位错应力场中不存在正 应力分量。切应力分量只与r有关，与θ 无关
所以螺位错应力场是径向对称的，即同一半 径上的切应力相等。当r趋向0时， 与 σ θz σ zθ 趋于无限大，显然不符合实际情况，这是 因为线弹性理论不适用于位错中心的严重畸 变区。
7).x=±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角 坐标的两条对角线处，只有σxx，而且在每条 对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。 显然，同螺位错一样，上述公式也不适用于 刃位错中心区。刃位错周围的应力场如图4所 示。
图4 刃位错周围的应力场
1. 位错的连续介质模型基本思想
将位错分为位错心和位错心以外两部分。 在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考 虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得 非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时， 将这一部分忽略。在远离位错中心的区域， 畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续 介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能 可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。 对此，我们仅作一般性的了解。
如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上， 而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切 应力分量。同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3 个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部 是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力 物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的， 它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx， σxz =σzx，σyz =σzy。
θz
σ θz = σ zθ = G.ε θz =
Gb 2πr
式中G为切变模量。由于圆柱只在Z方向有位 移，X，Y方向无位移，所以其余应力分量为 零 σ = σ θθ = σ = σ θ = σ θ = σ = σ = 0 如果采用直角坐标系表示，则
rr zz r r rz zr
σ xz = σ zx = −σ zθ sin θ = − Gb ( x 2π
（2）刃位错应力场 取外半径为R，内半径为ro的各向同性材料 的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z轴，将圆 柱沿XOZ面切开，使两个切面分别沿X轴方 向相对位移b，再把切面胶合起来，这样在圆 柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图3。
图3 刃位错的连续介质模型
图3 刃位错的连续介质模型
刃位错应力场比螺位错复杂，按图3，根据弹 性理论可求得