浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题3概率及期望与方差突破点6古典概型教学案20180305122

专题三概率及期望与方差
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[高考点拨]本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在浙江新高考中的考查方式十分灵活，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“古典概型”“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，强化突破．
突破点6 古典概型
(对应学生用书第24页)
[核心知识提炼]
提炼1古典概型问题的求解技巧
(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出
来，然后进行求解．
(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举
过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．
(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先
求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．
(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古
典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.
提炼2求概率的两种常用方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正
难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
[高考真题回访]
回访 古典概型
1．(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.
1
10
B.310
C.35
D.910
D [“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求的概率P ＝1－C 3
3C 35＝1－110＝9
10
.]
2．(2014·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
1
3
[记“两人都中奖”为事件A ， 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．
其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，所以P (A )＝26＝1
3
.]
3．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．
1
5
[用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab ，ac ，bc ，故所求概率为315＝1
5
.]
(对应学生用书第25页) 热点题型1 古典概型
题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小.
【例1】 (1)(2017·浙东北教学联盟高三一模考试7)袋子里有大小、形状相同的红球m 个，黑球n 个(m ＞n ＞2)．从中任取1个球是红球的概率记为p 1.若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 2；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 3，则( ) A ．p 1＞p 2＞p 3
B ．p 1＞p 3＞p 2
C ．p 3＞p 2＞p 1
D ．p 3＞p 1＞p 2
(2)已知M ＝{1,2,3,4}，若a ∈M ，b ∈M ，则函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋x －3在R 上为增函数的概率是( )
【导学号：68334080】
A.916
B.716
C.
416
D.316
(1)B (2)A [(1)由题意得p 1＝m
m ＋n
，p 2＝
m ＋1m ＋n ＋2，p 3＝m －1m ＋n －2，则1p 1＝m ＋n m ＝1＋n m ，
1
p 2
＝m ＋n ＋2m ＋1＝1＋n ＋1m ＋1，1p 3＝m ＋n －2m －1＝1＋n －1m －1，则1p 1－1p 2＝n m －n ＋1m ＋1＝n －m m m ＋1 ＜0，1
p 1－1
p 3
＝n m －
n －1m －1＝m －n m m －1 ＞0，所以1p 2＞1p 1＞1
p 3
，所以p 3＞p 1＞p 2，故选D.
(2)记事件A 为“函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋x －3在R 上为增函数”． 因为f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋1. 因为函数f (x )在R 上为增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 又a >0，所以Δ＝(2b )2
－4×3a ＝4b 2
－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 2
3.
所以当b ＝1时，有a ≥1
3，故a 可取1,2,3,4，共4个数；
当b ＝2时，有a ≥4
3，故a 可取2,3,4，共3个数；
当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数； 当b ＝4时，有a ≥16
3
，故a 无可取值．
综上，事件A 包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)． 又a ，b ∈{1,2,3,4}，所以(a ，b )共有4×4＝16(种)． 故所求事件A 的概率为P (A )＝9
16.故选A.]
[方法指津]
利用古典概型求事件概率的关键及注意点
1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．
2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
[变式训练1] (2016·温州调研)若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．
2
9
[将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有3×3＝9种不同放法，其中在1,2号盒子中各有一个球的结果有2种，故所求概率是29
.] 热点题型2 互斥事件与对立事件的概率
题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.
【例2】 现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的． (1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；
(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．
[解] 甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：
共有 (1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个， 故所求概率为1416＝7
8
.
9分
(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为4
16
＝1
4
. 12分
[方法指津]
1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．
提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．
[变式训练2] (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【导学号：68334081】[解]记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4分
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分
又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. 12分
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 15分。