第二章22线性规划解的概念、性质及图解法-文档资料
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划问题的图解法
这种情况通常称为无“有限最优解” 或“最优 解无界”。
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规 划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是 某些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应 重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一
最优解或无穷多个最优解。
x1 2x2 ≤8 代表一个半平面
其边界: x1+2 x2 =8
x1+2 x2 =8 及x1，x2 ≥0
x2 B
Q4
3
2
x12x28
△ AOB
点A、B 连线AB △A0B
1
A x1
0 1 2345678
经济含义 ？
点A(8,0)：
全部的设备都用来生产Ⅰ产品而不生产Ⅱ 产品,那么Ⅰ产品的最大可能产量为8台,计 算过程为： x1+2×08 x18
maxZ2x13x2
x1 2 x2 ≤ 8
4
4
x1 x2
≤ ≤
16 12
x 1 , x 2 ≥ 0
x2 B 4x1 16
3E F
2
1
4x2 12
C
最优点
x12x28
A
D
x1
0
1 2345 678
结果
有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域
讨论 可行域有几种可能 ? 解有几种可能 ?
结果表明，该线性规划有无穷多个 最优解－－线段AB上的所有点都是最优
点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。
无界解
maxZx1x2
x
2
1
x
1
x2
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第二章 线性规划的图解法
x2
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
线性规划图解法
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
[管理学]第2章 线性规划的图解法
![[管理学]第2章 线性规划的图解法](https://img.taocdn.com/s3/m/adb09ff987c24028915fc3fc.png)
2 x1 + x2 ≤ 400 （原料A数量约束） x2 ≤ 250 （原料B数量约束）
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
线性规划图解
六、线性规划模型的建立与图 解法求解
1、建模 2、线性规划的求解——图解法
1、建模 [例1]某小流域有耕地20公顷，可采用甲 乙两种种植方式。甲种植方式每公顷需 投资280元，每公顷排放TP6kg/a，可获 收入1000元，乙方式每公顷需投资150 元 ， 每 公 顷 排 放 TP15kg/a ， 可 获 收 入 1200元，该户共有可用资金4200元、小 流 域 内 的 湖 泊 每 年 可 接 纳 的 TP 为 240kg/a。问如何安排甲乙两种方式的 生产，可使总收入最大? 解：设甲方式种 x1 公顷，乙方式种 x2 公顷， 总收入为Z，则有：
A B x1+x2=10 x1+6x2=15 D 15 x1 3x1+x2=15 可行域
10 5
C
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
O
5
10
10x1+20x2＝0
Z=1000x1+1200x2
2、线性规划的求解——图解法 （六）最小化问题的图解法 例：Min Z=10x1+20x2 s.t. x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15 x1≥0, x2≥0
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1)
x2 15
D (15,0)
三、线性规划模型的基本结构
1. 决策变量 —— 未知数。它是通过模型计算来 确定的决策因素。又分为实际变量 —— 求解 的变量和计算变量，计算变量又分松弛变量 （上限）和人工变量（下限）。 2.目标函数——经济目标的数学表达式。目标函 数是求变量的线性函数的极大值和极小值这 样一个极值问题。 3.约束条件——实现经济目标的制约因素。它包 括：生产资源的限制（客观约束条件）、生 产数量、质量要求的限制（主观约束条件）、 特定技术要求和非负限制。
运筹学线性规划图解法
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
第二节 线性规划解的概念、性质及图解法
5
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
第二章 线性规划的图解法
s
.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
第10页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
什么是线性规划模型：
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Ma7 xx1f1x2 2
4x1 16
4 x2 12
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
最优生产方案 :产品1生产 4kg，产品2生 产2kg，最大利 润14元(最优 值）。
第22页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 结论：
• 线性规划问题如果有最优解,则最优
解一定在可行域的边界上取得.
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第12页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
位于同一直线 上的点，具有 相同的目标函
数，称为“等 值线”。
|||| 6789
x1
第21页，本讲稿共64页
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4—
3 —A
B
2—
1—
0
|| |
O
12 3
C
| D|
45
22线性规划解的概念、性质及图解法
O
A(1,0)
x1
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习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z 则最优解为 x1 3 ?点
x1 3x2 3
D(0,1)
C(3,2)
的唯一可
行点
最优解：
x1=30 x2 =10
B (30,10)
x1 3x2 60
最优值：zmax=700
x1
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0
L1
Z=250
C（40, 0）
习题：用图解法求下列线性规划: 习题2 max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0 习题4 max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1 x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0 习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
上页 下页 返回
二、线性规划解的有关概念
可行解、最优解 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行基、最优基
上页 下页 继续 返回
（1）线性规划的基
定义 线性规划的标准型： 行满秩 的矩阵
max Z CX (1) AX b (2) s.t X 0 (3)
约束条件
x2
A(1,0)
x1
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习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z 则最优解为 x1 3 ?点
x1 3x2 3
D(0,1)
C(3,2)
的唯一可
行点
最优解：
x1=30 x2 =10
B (30,10)
x1 3x2 60
最优值：zmax=700
x1
上页 下页 返回
0
L1
Z=250
C（40, 0）
习题：用图解法求下列线性规划: 习题2 max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0 习题4 max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1 x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0 习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
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二、线性规划解的有关概念
可行解、最优解 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行基、最优基
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（1）线性规划的基
定义 线性规划的标准型： 行满秩 的矩阵
max Z CX (1) AX b (2) s.t X 0 (3)
约束条件
x2
线性规划解的概念
x1
1
x2
1
… 1m1
1n 1
2m1
2n 2
…
…
……
xm
1
mm 1
mn m
z
0 0 …0
… z m 1
n 0
最优性检验与解的判别
定理1（最优解的判别定理）设 x(0)为(LP)的 一基可行解，若对任意的非基变量，都 有 j 0，则 x(0)为最优解，称 j 为检验数。
定理2 若对某非基变量，有
z
0 0 -5/3 -2/3 -46/3
主元
×（2/3）
例2 用单纯形法求线性规划问题的解
min z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
s.t.
2x2 4x3 x4
12
4x2 3x3 8x5 x6 10
xj 0,( j 1,,6).
主元
基 x1 x2 x3 x4 x5 x6 b x1 1 3 -1 0 2 0 7 x4 0 -2 4 1 0 0 12 3 x6 0 -4 3 0 8 1 10 10/3 z 0 -1 3 0 -2 0 0
x y6s.t.x2y8
x , y 0
最优解
可行域
继续
等值线 x+3y=C
解的概念
可行解(feasible solution) ：满足线性规划问题(LP) 的所有约束条件的解，称为线性规划问题的一 个可行解。
可行域：(LP)的所有可行解组成的集合K称为(LP) 的可行域。若可行域为空，则称不可行。对标 准型线性规划问题，其可行域为 K {x|A x b ,x0 }
x4
-1 ○2 0 1 8 8/2
z
1 ○3 0 0 0
第二章 线性规划图解法.ppt
则有：
目标函数 Min Z = 1000 x1 +800 x2
约束条件
x1
≥1
0.8x1 + x2 ≥ 1.6
x1
≤2
x2 ≤ 1.4
x1，x2 ≥ 0
（ A点） （ B 点） （甲排放量限制） （乙排放量限制）
练习3：生产计划问题
某车间在每个生产期5天所需要的某种刀具的 统计资料如下：
日期
1
（2）数学模型：运筹学模型是数学模型或计算机模 型。在运筹学模型中，反映现实世界的关系用 数学等式或逻辑描述表示。
（3）线性规划模型：属于最优化模型。最优化模型 解决求最大利润、最小成本、最大回报率等问 题。例如：P11的例1。
2. 几个概念：
（1）线性——变量之间呈正比例关系或一次相
加关系；如：y=2x；y=x+6；y=5x1+9x2 等。
• 图解法——通过在平面上作图求解 的方法；
• 可行解——满足约束条件（包括非 负条件）的解， 即可行方案；
• 可行域——全体可行解； • 最优解——使目标函数取得最优的
可行解。
2. 图解法步骤：
（1）在直角坐标系中分别作出各 约束条件，从而确定可行域；
（2）作出一条目标函数等值线；
（3）将目标函数等值线沿目标函数 值增大（或减小）方向移动，以 求得最优解或确定线性规划无解。
• 其它形式转换成标准型：
（1）求 Min Z = CX
则只须令 Z ′= - Z = - CX =（ - C）X = C′X 可转换为求 Max Z ′ = C′X
而最优解为 :
X* 不变
Z* = －(Z ′)*
(2) 约束条件：
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
x2
9—
8—
7—
6—
5—
(0, 4)
4—
3—
2—
1 — 可行域
0 || | 12 3
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
4x1 16
A
12 3
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
4x1 16
4 x2 12
D
2x1 + 3x2 = 6
x1 + 2x2 8
| E| | | | |
4 56 7 8 9
x1
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返回
图解法
步骤 三： 平移 目标 函数 的等 值线 ，找 出最 优点 ，算 出最 优值 。
x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0
习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1
x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3
x1，x2 ≥ 0
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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界
区域一定无最
x2
优解吗？
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2
Max Z=14
|||| 6789
x1
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点，
算出最优值。
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线性规划问题求解的
(a) 唯一最优解 x2 9—
几种可能结果
8—
改变约束条件
7—
或目标函数，
解的结果如何
6—
？
5—
4—B
C
3—
最优解 (4, 2)
2—
D
1—
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
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返回
(b)无穷多最线优性解规划问目约题标束几函求条数种件解可的Mx能1ax+结Z2x=果2 x18+ 2x2
x2
9—
4x1
16
可以在可行域的顶点得到。 – 若两个顶点同时得到最优解，则其连
线上的所有点都是最优解。 – 解题思路：找出凸集的顶点，计算其
目标函数值，比较即得。
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练习：
用图解法求解LP问题
Max Z = 15 x1 + 25
x1 + 3x2 60 x1 + x2 40 x1、 x2 0
8—
4x2 12
7—
x1、 x2 0
6—
5—
4—B
C
3—
2—
D x1 + 2x2 = 8
1—
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
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返回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(c)无界解
x2
Max Z = x1 + x2 -2x1 + x2 4 x1 - x2 2 x1、 x2 0
4x2 12
x1、 x2 0
4x1 16
4 x2 12
D
x1 + 2x2 8
| E| | | | |
4 56 7 8 9
x1
上页 下页
返回
图解法
步骤 二： 作目 标函 数等 值线 ，确 定使 目标 函数 最优 的移 动方 向；
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4 —B
C
3—
2—
1—
0 || |
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4 —B
3—
2—
1—
0|
A
1
C
|| 23
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
D
| E|
45
4x1 16 4 x2 12
x1+ 2x2=8 4x1 =16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
2.2 线性规划解的概念、性质 及图解法
图解法 线性规划问题求解的
几种可能结果 由图解法得到的启示
上页 下继页续 返回
上页 下页 返回
例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
x1 x2
最优值：zmax=700
0
Z=250
L1
C（40, 0）
x1
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习题：用图解法求下列线性规划:
习题2 max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2
-x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
习题4 max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1
上页 下页 返回
目标函数变形：
x2=-3/5 x1+z/25
x2
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
B点是使z
x1 x2 40
A（0,20）
达到最大 的唯一可
行点
B (30,10)
x13x2 60
最优解：
x1=30 x2 =10
x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z
则最优解为
?点x 1 3
x13x2 3 C(3,2)
D(0,1)
(多解) 线段AD上的任一
点都是最优解 minZ = 2
0 A (1,0)
4 x2 12 x1 + 2x2 8
(8, 0)
| || | | | 4 56 7 8 9
x1
上页 下页
返回
图解法
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4 —B
C
B 3—
2—
1 — 可行域
0 || |
A
12 3
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
上页
x1
下页 返回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 +2 x2 8
4 x1
16
4x2 12
-2x1 + x2 4
x1、 x2 0
可行域为空集
上页 下页 返回
图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定
-x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
2x1 x2 2
O A(1,0)
x14x2 4
x1
Note: 可行域为无界区域， 目标函数值可无限 增大，即解无界。 称为无最优解。
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习题3
max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1
x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3