复习3.1

解析：如图，∠AOB＝2 弧度，过 O 点作 OC⊥AB 于 C， 1 并延长 OC 交 AB 于 D.∠AOD＝∠BOD＝1 弧度，且 AC＝ AB 2 ＝1， AC 1 在 Rt△AOC 中，AO＝ ＝ ，从而弧 AB 的长 sin∠AOC sin1 2 为 l＝|α|· R＝ .故选 C. sin 1 答案：C
题型探究 题型一 角的集合表示 例 1.(1)写出终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合； 6π (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同，求在[0,2π)内终边与 7 θ 角的终边相同的角． 3
π 解析：(1)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是 ，∴终 3 π 边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 6π θ 2π 2kπ (2)∵θ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝ ＋ (k∈Z)． 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ ＋ ＜2π(k∈Z)⇒－ ≤k＜ (k∈Z)． 7 3 7 7 θ 2π ∴k＝0,1,2， 即在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 ， 3 7 20π 34π ， . 21 21
(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝20， 即 l＝20－2r(0＜r＜10)① 1 扇形的面积 S＝ lr，将①代入，得 2 1 S＝ (20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25， 2 所以当且仅当 r＝5 时，S 有最大值 25.此时 l l＝20－2×5＝10，α＝ ＝2. r 所以当 α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．
解析：小于 90° 的角由锐角、零角、负角组成，而第一 象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角，所以 A∩B 是 由锐角和终边在第一象限的负角组成，又 0° ～ 90° 的角为 θ|0° ≤θ＜90° ，故上述 A、B、C 项都不对． 答案：D
(
2． 将表的分针拨慢 10 分钟， 则分针转过的角的弧度数是 ) π π π π A. B. C．－ D．－ 3 6(1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的 半圆的长， 那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的 面积是多少？ (2)一扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？
解析： (1)设扇形的圆心角是 θ rad， 因为扇形的弧长是 rθ， 所以扇形的周长是 2r＋rθ. 依题意，得 2r＋rθ＝πr， 180 ∴θ＝π－2＝(π－2)× π ° ≈1.142×57.30° ≈65.44° ≈65° 26′， 12 1 ∴扇形的面积为 S＝ r θ＝ (π－2)r2. 2 2
2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制) 的集合到一个比值的集合的函数． 也可以看成是以实数为自变 量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝ 有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x， y)的横 x 坐标不等于零， 也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合， 故正切函 π 数的定义域为{α|α≠kπ＋ ，k∈Z}． 2
解析：∵角 α 终边上一点 P(2sin2，－2cos2)， ∴x＝2sin2，y＝－2cos2， r＝ x2＋y2＝ 4sin22＋4cos22＝2， y －2cos2 ∴sinα＝ ＝ ＝－cos2. r 2 答案：D
4 5．已知角 α 的终边经过点 P(m，－3)，且 cosα＝－ ，则 5 m 等于( ) 11 11 A．－ B. C．－4 D．4 4 4
点评：①利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范 围内的一个角 α 与 2π 的整数倍， 然后判断角 α 所在的象限． ② 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角， 方法是先 写出与这个角的终边相同的所有角的集合， 然后通过对集合中 的参数 k 赋值来求得所需角．
3．三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下 为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负． (3)当角 α 的终边在 x 轴上时，点 T 与点 A 重合，此时正 切线变成了一个点，当角 α 的终边在 y 轴上时，点 T 不存在， 即正切线不存在． (4)在“数 ”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还 可以从图形角度考察任意角的三角函数， 即用有向线段表示三 角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.
二、任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于 定义 点 P(x，y)，那么 y ____ y 叫做 α x 叫做 α _____ x ____叫做 α 的 定义 的正切，记 的正弦，记作 余弦， 记作 cosα sinα 作 tanα
各 象 限 符 号
3.角的度量 半径 长的圆弧所对的圆心角叫做 1 (1)弧度制：把等于_______ 弧度的角． (2)角的度量制有：_______ 角度制，_______ 弧度 制． 180 π π ° (3)换算关系：1° ＝_______rad,1 rad＝_______. 180 l＝|α|r ，扇形面 (4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为________ 1 1 2 S＝ lr＝ |α|r 积公式为______________. 2 2
点评：弧长和扇形的核心公式是圆周长公式 C＝(2π)r 和 1 圆面积公式 S＝ (2π)r2.当用圆心角的弧度数 α 代换 2π 时，即 2 可得到一般弧长和扇形面积公式．
变式探究 2 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么 这个圆心角所对弧长是( ) 2 A．2 B．sin2 C. D．2sin1 sin1
α α 点评：(1)若由 90° ＜α＜180° ，得 45° ＜ ＜90° ，得 是第 2 2 一象限角， 则混淆了象限角与区间角的概念， 犯了以偏概全的 错误． α (2)已知角 α 所在象限，应熟练地确定 所在象限： 2 α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 α 第一或第三象限 第二或第四象限 2 区域
2．象限角 第一象限角 的集合 第二象限角 的集合 第三象限角 的集合 第四象限角 的集合
π {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} 2 __________________________________ π {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π，k∈Z} 2 __________________________________ 3π {α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} 2 __________________________________ 3π {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋2π，k∈Z} 2 __________________________________
α 变式探究 3 已知 α 是第三象限角， 问 是哪个象限的角？ 3
解析：方法一：∵α 是第三象限角， ∴180° ＋k· 360° ＜α＜270° ＋ k· 360° ，k∈Z， α 60° ＋k· 120° ＜ ＜90° ＋k· 120° . 3 α ①当 k ＝ 3m(m ∈ Z) 时，可得 60° ＋ m· 360° ＜ ＜ 90° ＋ 3 m· 360° (m∈Z)． α 故 的终边在第一象限； 3
变式探究 1 (1)若角 α 的终边和函数 y＝－|x|的图象重合， 试写出角的集合； (2)若 θ 角的终边与 168° 角的终边相同，求在[0° ，360° ) θ 内终边与 角的终边相同的角． 3
解析：(1)由于 y＝－|x|的图象是三、四象限的角平分线， 故在 0° ～360° 间所对应的两个角分别为 225° 及 315° ，从而角 α 的集合为 S＝{α|α＝k· 360° ＋225° 或 α＝k· 360° ＋315° ， k∈Z}． θ (2)θ＝k· 360° ＋168° ，k∈Z， ＝k· 120° ＋56° ，k∈Z. 3 依题意得 0≤k· 120° ＋56° ＜360° ，当 k＝0,1,2 时， θ k· 120° ＋56° 在[0° ，360° )内，所以 ＝56° ，176° ，296° . 3
3．1 任意角和弧度制 及任意角的三角函数
考点梳理 一、任意角 1．角的分类 (1)任意角可按旋转方向分为_______ _______. 正角 、_______ 负角 、 零角 象限角 和终边在坐标轴上的角． (2)按终边位置可分为_______ (3)与角 α 终边相同的角连同角 α 在内可以用一个式子来 k· 360° ＋α(k∈Z) 表示，即 β＝____________________.
α (2)∵k· 120° ＋30° ＜ ＜k · 120° ＋60° (k∈Z)， 3 当 k＝3n(n∈Z)时， α n· 360° ＋30° ＜ ＜n· 360° ＋60° ； 3 当 k＝3n＋1(n∈Z)时， α n· 360° ＋150° ＜ ＜n· 360° ＋180° ； 3 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， α n· 360° ＋270° ＜ ＜n· 360° ＋300° . 3 α ∴ 是第一或第二或第四象限的角． 3
解析：设此扇形的半径为 r，弧长是 l， 2r＋l＝6， r＝1， r＝2， 则1 解得 或 rl＝2， l＝4， l＝2. 2 l 4 l 2 从而 α＝ ＝ ＝4 或 α＝ ＝ ＝1. r 1 r 2 答案：C
4．已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则 sinα 等于( ) A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
有向线段 有向线段 有向线段_____ OM _____ MP 为正弦 AT 为正 _____ 为余弦线 切线 线
考点自测 1.设集合 A＝{小于 90° 的角}，B＝{第一象限的角}，则 A∩B 等于( ) A．{小于 90° 的角} B．{0° ～90° 的角} C．{第一象限的角} D．以上都不对
解析：将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转， ∴C、D 不正确． 2 1 又∵拨慢 10 分，∴转过的角度应为圆周的 ＝ ， 12 6 1 π 即为 ×2π＝ . 6 3 答案：A