2020年春人教版八年级数学下册通用版18.2.1 第2课时 矩形的判定
数学人教版八年级下册18.2.1矩形(2)——矩形的判定
课后反思1、本节课注重新旧知识之间的联系和综合，适时进行归纳，及时帮助学生构建知识体系。
由于《矩形的判定》一节是在学习了平行四边形的性质、判定，矩形的性质后学习的，所以首先复习了矩形的定义和性质，这为学习新课打了良好的基础。
其次，在三个判定方法均已经推导得出后，及时进行知识归纳，帮学生理清脉络，构建知识体系。
2、在本节课的探究中，重视矩形判定定理的探索过程，将“观察、猜想、验证、归纳”等合情推理与逻辑推理相结合，让学生自主生成知识，使学生的自学能力、合作探究能力得到加强，本节课既关注了探究结果，又关注了知识的形成过程，并通过新知识的应用实现了知识与能力的转化。
3、重视数学方法思想的渗透和与生活的联系。
矩形的判定这节课，较多的使用了转化、归纳的思想方法。
如研究“矩形的两个判定的推出，都是在平行四边形的基础上，根据定义，将四边形转化成三角形证全等来解决”。
在判定方法的推导过程中，都能及时归纳总结。
本课中的问题情境都来自于生活实际，学了本节课的内容以后，问题得以解决。
4、注重培养学生语言表达能力和逻辑思维能力。
整个课堂教学中，注重发挥学生的主体作用，个别提问较多，通过学生自主探究、合作交流，然后表述解题思路，教师只做了适当点拨。
锻炼学生的语言表达能力形象思维能力和逻辑思维能力。
在整个课堂的教学形式和习题处理形式上，采用了多媒体直观操作与几何论证相结合，由易到难、层层深入的探究式教学方法进行教学。
不足之处：在设计中，我一直想要抓住发展学生数学思维，让学生有足够的时间去思索猜想新知验证新知，课堂上也看到了大部分学生们在积极认真的思考问题，但是小部分学生的基础不是很好，对于探索证明的方法还是有些欠缺，加上课堂上关于逻辑思维的证明引导的不够充分彻底，不能够为学生做好充分的铺垫，所以部分学生感觉推理困难，这是最遗憾的地方。
在学生应用判定定理做习题中，也没有能够有足够的时间汇总巡视学生做题中出现的共性问题进行讨论，只是做个别指导，等等的问题，在今后教学中，自己一定要更加的注意这些问题的出现并想办法解决，让教学中的“遗憾”少一些。
2020年春人教版初中数学八年级下册同步课件 第十八章 18.2 18.2.1 第2课时 矩形的判定
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3．下列命题中，假命题是( ) A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 解析：有一组对角是直角且一组对边平行可得到两组对边平行或四个角均是直角，故四 边形是矩形；有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，四边形是矩 形；有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是矩形，也可能是直角梯形；有两 个内角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以该四边形是矩形． 答案：C
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[学以致用] 如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三 角形，AB＝4 cm. (1)判断▱ABCD是否为矩形，说明你的理由； (2)求▱ABCD的面积．
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解析：(1)▱ABCD是矩形．理由如下： ∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4 cm.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形． (2)由(1)知OA＝AB＝4 cm，AC＝2OA＝8 cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝ 90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC2－AB2＝ 82－42＝4 3， ∴▱ABCD的面积是AB×BC＝4×4 3＝16 3 (cm2)．
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[核心素养] 1．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4 位同学拟订的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角
18.2.1第2课时矩形的判定
9．下列关于矩形的说法中正确的是( B ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分
第2课时 矩形的判定
10．[2018·上海] 已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定
这个平行四边形为矩形的是( B )
图 18－2－24
第2课时 矩形的判定
解：(1)证明：∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. 又∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB. (2)四边形 ADCF 是矩形． 证明：∵AF∥CD，且 AF＝CD，∴四边形 ADCF 是平行四边形． ∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD， ∴BD＝CD，即 AD 是△ABC 的中线． ∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴四边形 ADCF 是矩形．
第2课时 矩形的判定
13．[2018·通辽] 如图 18－2－24，△ABC 中，D 是 BC 边上一点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F， 且 AF＝CD，连接 CF. (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)若 AB＝AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
推出□ABCD 是矩形，那么这个条件可以是( B )
A．AB＝BC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥BD
第2课时 矩形的判定
7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边 是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是 __两_组__对_边__分__别_相__等__的_四__边_形__是__平_行__四_边__形__，_对__角_线__相__等_的__平_行__四__边_形__是_矩__形___．
人教版八年级数学下册18.2.1矩形的判定(教案)
在总结回顾环节，我强调了对矩形判定方法的理解和应用，希望学生能够将这些知识点内化为自己的能力。但从学生的反馈来看，我觉得自己在课堂上的讲解和强调可能还不够充分，导致部分学生对某些知识点仍存在疑问。因此，我计划在下一节课开始时，先针对学生的疑问进行解答，然后再进行新课的教学。
-矩形性质的运用：能够利用矩形性质解决实际几何问题，如计算矩形的面积和周长。
举例：讲解矩形定义时，通过比较矩形与一般平行四边形的区别，强调矩形的四个直角特点。在讲解判定方法时，通过图示和实例，让学生理解和记忆每个判定条件。
2.教学难点
-矩形判定方法的理解与应用：学生需要理解判定条件背后的几何原理，能够灵活运用这些条件判断一个四边形是否为矩形。
在实践活动环节，我鼓励学生们分组讨论，这样可以让他们在互动中学习，提高解决问题的能力。同时，实验操作和成果展示也有助于巩固所学知识。然而，我也注意到，在小组讨论过程中，部分学生参与度不高，可能是因为他们对主题兴趣不足或者对知识点掌握不牢。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，提高他们的学习兴趣和自信心。
4.培养学生的数学建模素养：将矩形性质应用于解决实际问题，引导学生构建数学模型，培养学生的数学建模素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形的定义：明确矩形是一种具有四个直角的平行四边形，这是矩形区别于其他平行四边形的核心特征。
-矩形的判定方法：掌握三个判定条件（四个角都是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形）及其应用。
人教版数学八年级下册：18.2.1矩形的判定(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示矩形判定定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
2.提高学生动手能力：通过设计更多实践活动，让学生在实际操作中加深对矩形判定定理的理解。
3.关注学生个体差异：针对不同学生的学习情况，采取有针对性的教学方法，提高他们的学习兴趣和自信心。
4.培养学生团队合作意识：在小组讨论环节，引导学生学会倾听、交流和协作，提高他们的团队协作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为矩形的情况？”（例如，判断桌面上的纸张是否为矩形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形判定的奥秘。
首先，对于“有一个角是直角的平行四边形是矩形”这个判定定理，大多数学生能够理解并运用。但在讲解“对角线相等的平行四边形是矩形”这个定理时，有些学生不能很好地将定理与实际问题联系起来。针对这一点，我考虑在今后的教学中，可以多设计一些与生活相关小组讨论环节，我发现学生们在解决实际问题时，还是有一定程度的畏难情绪。这可能是因为他们对矩形判定定理的应用还不够熟练。为了帮助学生克服这种情绪，我计划在接下来的课程中，多设计一些有针对性的练习题，让学生们在课堂上多加练习，提高他们的解题能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它具有独特的性质和应用。
18.2.1 第2课时 矩形的判定
18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时 矩形的判定学习目标：1、学习矩形的判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力；2、培养综合应用知识分析解决问题的能力.重难点：掌握矩形的判定定理 学习过程：一、复习旧知二、探究新知1、探究归纳矩形的判定定理，并用模式表示：（1）你能确定有三个角是直角的四边形是矩形吗？（自己探究）。
判定定理1（从四边形⇒矩形）：有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言: 在四边形ABCD 中，∵ ∴（2）我们知道矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
由此这个定义可以作为一个判定吗？判定定理2（从平行四边形⇒矩形）：有一个角是直角（900）的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD 中， ∵ 或 或 或 ∴（3）矩形的对角线 ，对角线相等的平行四边形是矩形吗？（证明你的回答） 证明：判定定理3（从平行四边形⇒矩形）：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言: 在平行四边形ABCD 中， ∵ ∴【归纳总结】矩形的判定方法：A BD A BD DCDC1、有一个角是的平行四边形是矩形；2、四个角都是的四边形是矩形；3、对角线的四边形是矩形。
或者说，对角线的平行四边形是矩形三、课堂练习思考：下列命题是否正确，正确的加以证明，不正确的通过举反例或画图加以说明（1）有一个角是直角的四边形是矩形（2）对角线互相平分且又相等的四边形是矩形（3）四个角都相等的四边形是矩形四、课堂小结（1）证明四边形是矩形的方法：一般先证明它是平行四边形，然后再证明一个直角或者对角线相等（2）证明平行四边形是矩形的方法：一般可在角上找条件，也可在对角线上找条件。
判定方法：从角的条件看、( 种)从对角线的条件看。
五、课后作业1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A、测量对角线是否相互平分B、测量两组对边是否分别相等C、测量一组对角是否都为直角D、测量其中三个角是否都为直角2、如图，已知ABCD的对角线AC、BD 相交于O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积六、课后反思。
人教版数学八年级下册18.2.1特殊的平行四边形-矩形(第2节)矩形的判定(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状类似长方形的物体？”（如桌子、书本等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的奥秘。
在实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果较好，大家都能积极参与其中。但在成果展示环节，我发现部分学生表达不够清晰，可能是因为他们对矩形判定的理解还不够深入。为了提高学生的表达能力，我计划在以后的课程中增加一些针对性的训练，如组织小组成员互相评价、给出建议等。
此外，在学生小组讨论环节，我发现大家对于矩形在实际生活中的应用有着丰富的想象力和独特的见解。但在讨论过程中，部分学生的观点偏离了主题。为了使讨论更加高效，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论内容紧密围绕主题进行。
最后，关于教学难点和重点的把握，我认为在今天的课堂上，我对这两个方面的处理还有待提高。在今后的教学中，我将更加关注学生的反馈，及时调整教学策略，确保他们能够真正掌握矩形判定这一知识点。
5.强化学生的团队协作意识：通过小组合作交流，培养学生的队协作能力，提高课堂学习效果。
本节课将着重培养学生在几何领域的关键能力和必备品质，为新教材要求下的核心素养发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形的定义：准确理解矩形的概念，即有一组对边平行且相等的四边形是矩形。
-矩形的判定方法：熟练掌握三种判定矩形的方法，并能够运用这些方法识别和构造矩形。
（五）总结回顾（用时5分钟）
八年级数学第十八章18.2.1矩形的判定1
19.2.1矩形的判定
知识回顾：
1、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形
2、矩形的性质 对边：对边平行且相等。 对角：四个角相等，都是直角。 对角线：互相平分且相等。
3、矩形的判定？
1、在四边形ABCD中，若 ∠A=∠B=∠C=90º，那么四边形 ABCD是否为矩形？为什么。
A
D
B
C
2、在平行四边形ABCD中，已知
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是 矩形。
4、已知：矩形的对角线ABCD的对角线
AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别
在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH
求证：四边形EFGH是矩形
变式：矩形的对 A
角线ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，
Ｅ Ｏ
Ｄ Ｈ
如E、F、G、H分别
是AO、BO、CO、
DO的中点，四边形Ｂ
Ｆ
ＧＣ
EFGH还是矩形吗？
5、已知：如图，平行四边形ABCD的
四个内角的平分线分别相交于E、F、
G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A F
G H
D
A
PM
D
B
E
C
E B
FC N
O
变式：已知：AD∥BC，ME、NE、MF、
NF分别为角平分线。求证：四边
形ABCD为矩形
Hale Waihona Puke 思考：平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点， 且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。
AC=BD，那么四边形ABCD是否为
矩形？为什么。
A
D
O
B
C
矩形的判定
人教版数学八年级下册18.2.1.2矩形的判定
+
∠DCB
=
180°
ABC ABCD 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
问题1:我们会看到∠α会随着对∴角线∠变化而变化=,观察9中0°间一,幅又图，∵当四两条边对角形线长度相等是时平,∠α是行什四么角边，此形时平行四边形是什么图形
？
∴ □ D．测量其中三个角是否都为直角
（）
∴四边形ABCD又是矩∵形．∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
变式训练1：如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：
A 1
D
O
∵四边形ABCD是平行四边形
2
∴ AO=CO,DO=BO.
B C
又∵ ∠1= ∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
O
B
C
考点一：利用对角线判定矩形
ABCD AC BD O 例1 如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，且 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠AEC＝90°∠AFC＝90°
OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形，
AD分别是∠EAC、 对角线相等的平行四边形是矩形.
∴ AO=CO,DO=BO.
∠MCA、
∠
ACN、∠CAF的平分线,则四
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
边形ABCD是 （ C ） 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为矩形的情况？”比如，在设计海报或家具布局时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形判定的奥秘。
举例：针对第一个难点，教师可以设计一些具有挑战性的题目，如给出一个四边形，要求学生判断是否为矩形，并说明理由。通过这种方式，帮助学生理解并掌握判定条件的运用。
举例：针对第二个难点，教师可以举一些生活中的实例，如门、窗户等，让学生理解矩形在实际生活中的应用，从而提高解决实际问题的能力。同时，通过分组讨论、合作探究的方式，让学生在实践中突破难点，提高几何思维能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的判定条件、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册18.2.1矩形的判定：
1.矩形的定义及性质复习；
2.矩形判定的三个条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；
3.通过实例和练习，使学生掌握矩形的判定方法；
4.能够运用矩形判定方法解决实际问题，提高学生解决几何问题的能力。
-矩形判定的三个条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。这是本节课的核心内容，教师需详细讲解，并通过实例强化理解。
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的性质与判定
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的性质与判定
1.矩形的定义及性质
-矩形的定义
-矩形的性质：对边平行且相等，对角相等，四个角都是直角
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形
-对角线相等的平行四边形是矩形
-对边相等且对角线互相平分的四边形是矩形
我也注意到，在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了很多有趣的观点和应用实例。这说明他们在课堂上能够积极思考，主动探索。但同时，我也发现有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我及时引导回到矩形的相关性质和判定方法上。
在实践活动中，让学生动手制作矩形并进行测量，这个环节学生的反馈很不错。他们通过亲身体验，对矩形的概念有了更直观的认识。但我也意识到，在实验操作中，需要给学生更明确的指导，比如如何准确测量矩形的周长和面积，以及如何从实验中总结出矩形的性质。
对于教学难点，比如矩形判定方法的逻辑推理，我觉得我还需要找到更有效的方式来帮助学生理解。可能通过更多的例题，或者让学生自己尝试推导，能够让他们更好地掌握这些难点。
最后，我也意识到，教学反思是一个持续的过程。我会继续关注学生的学习情况，根据他们的反馈及时调整教学策略，以期在接下来的课程中，能够更好地促进学生对矩形及相关几何知识的理解和应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的基本概念、性质、判定方法以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对矩形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级数学下册第十八章《18.2.1矩形的判定(第2课时)》优课件
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
X
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
点O作直线MN∥BC, ，设MN交∠BCA的平分线于
点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：EO=FO
A
(2)当点O运动到处时，
四边形AECF是矩形? 并证明你的结论． M
E
O FN
B
C
D
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。 （对角线相等且互相平分的四边 形是矩形。）
X
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形。
如图，M为平行四边形ABCD边AD 的中点，且MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形。
所以 △ABC≌ △DCB（SSS）。
B
C
所以∠ABC=∠DCB。
因为 AB//CD ， 所以∠ABC+∠DCB=180°。
所以∠ABC=∠DCB=90°。 又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形。
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
2020年春人教版八年级数学下册教案2 18.2.1 第2课时 矩形的判定
第2课时 矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点) 一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠FAE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠FAE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠FAE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠FAE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝∠DAB ，∠HBA ＝∠ABC ，1212∴∠HAB ＋∠HBA ＝(∠DAB ＋∠ABC )＝1212×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC .∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°.又∵DG ＝DG ，∴△DGC ≌△DGO ，∴CD ＝OD .∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝＝4cm ，∴S 矩形ABCD ＝4×4DB 2－DC 23＝16(cm 2)．33方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝.132方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．。
【初中数学】部编本新人教版八年级下册数学18.2.1 第2课时 矩形的判定 (2)
第2课时矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB 交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形． 解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形． 方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质和判定的运用如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s 的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解析：(1)设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝13 2.方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．。