2017-2018版高中数学第二章函数2.1函数概念学案北师大版必修1 (1)

2．1 函数概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？梳理函数的概念：给定两个__________A和B，如果按照某个__________f，对于集合______中任何一个数x，在集合______中都存在____________的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或__________，x∈A.其中，x叫作__________，集合A 叫作函数的__________，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________．习惯上我们称y是x的函数．用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．知识点二函数三要素思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？梳理一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.一端必须是小括号．(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．类型一函数关系的判断命题角度1 给出三要素判断是否为函数例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →1|x |B ．A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →|x －1|C ．A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →x 2D ．A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ≥0}，f ：x →x 命题角度2 给出图形判断是否为函数图像 例2 下列图形中不是函数图像的是( )反思与感悟 判断一个图像是函数图像的方法：作任何一条垂直于x 轴的线，不与已知图像有两个或以上的交点的，就是函数图像．跟踪训练2 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )反思与感悟 函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值，故判断图形是否为函数图像，主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系是否满足函数定义． 类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例3 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝x ＋0x ＋2；(4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.反思与感悟求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练3 函数f(x)＝xx－1的定义域为________．类型三同一函数的判断例4 下列函数中哪个与函数y＝x是同一函数？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.反思与感悟在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为同一函数？(1)y1＝x＋3x－5x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1x－1，y2＝x＋1x－1.类型四对于f(x)，f(a)的理解例5 (1)已知函数f(x)＝x＋2，若f(a)＝4，则实数a＝________.(2)已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)，g(2)的值；②求f(g(2))的值；③求f(a＋1)，g(a－1)．反思与感悟 f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x 都换成对应的数或式子即可． 跟踪训练5 已知f (x )＝1－x 1＋x (x ≠－1)．(1)求f (0)及f (f (12))的值；(2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0≤x ≤1}3．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )4．设f (x )＝x 2－1x ＋1，则ff12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B．①③ C．③④ D．①④1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．3．在y ＝f (x )中，x 是自变量，f 代表对应关系，不要认为自变量只能用x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t 等表示自变量．关于对应关系f ，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f ( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．答案精析问题导学 知识点一思考 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义的函数概念．梳理 非空数集 对应关系 A B 唯一确定 y ＝f (x ) 自变量 定义域 值域 知识点二思考 两个函数都是描述的同一集合R 中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B 中唯一确定的元素，故是同一个函数． 题型探究例1 解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．跟踪训练1 C [A 中，x ＝0时，绝对值还为0，集合B 中没有0；B 中，x ＝1时，绝对值x －1＝0，集合B 中没有0；C 正确；D 不正确．]例2 A [A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图像，其余B 、C 、D 均符合函数定义．]跟踪训练2 B [A 中，定义域为[－2,0]，不符合题意； B 中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意； C 中，存在一个x 值对应2个y 值的情形，不是函数； D 中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意．] 例3 解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为[0，17]．(3)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2>0，即x >－2， 所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝x ＋0x ＋2的定义域为{x |x >－2且x ≠－1}．(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为{x |－32≤x ＜2，且x ≠0}．跟踪训练3 {x |x ≥0且x ≠1}解析 要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．例4 解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同，所以不是同一函数； (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域相同，所以与y ＝x 是同一函数；(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；且当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x 不相同，所以不相同；(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以与y ＝x 不是同一函数．跟踪训练4 解 (1)中两函数定义域不同，所以不是同一函数． (2)中y 1＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝x ＋x －的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以两函数不相同． 例5 (1)14解析 f (a )＝a ＋2＝4， ∴a ＋2＝16，a ＝14. (2)解 ①因为f (x )＝11＋x ，所以f (2)＝11＋2＝13.又因为g (x )＝x 2＋2， 所以g (2)＝22＋2＝6.②f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.③f (a ＋1)＝11＋a ＋＝1a ＋2. g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3.跟踪训练5 解 (1)f (0)＝1－01＋0＝1. ∵f (12)＝1－121＋12＝13，∴f (f (12))＝f (13)＝1－131＋13＝12.(2)f (1－x )＝1－－x 1＋－x ＝x2－x(x ≠2)． f (f (x ))＝f (1－x1＋x )＝1－1－x 1＋x 1＋1－x1＋x ＝x (x ≠－1)．当堂训练 1．B 2.C 3.C4．B [∵f (2)＝22－122＋1＝35，f (12)＝122－1122＋1＝－35，∴ff 12＝－1.]5．C [①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2＝|x |，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；③f (x )＝x＝1(x ≠0)，g (x )＝1x0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．]。