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(人教版)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何作业 理

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第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A. B.-C. D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA与k MB之积为3,则实数m 的取值范围是()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为,则直线l 的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C 上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A. B.4C. D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C 是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为 ()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为()A. B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A. B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C 的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为 ()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x7.[2017·汉中二模]如图K51-1,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()图K51-1A.4B.C.D.8.[2017·泸州三诊]已知在Rt△ABC中,|AB|=3,|AC|=1,A=,以B,C为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)经过点A,且与AB边交于点D,则的值为()A. B.3C. D.49.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若=2,则C的离心率为()A.3B.2C. D.10.[2017·重庆一中期中]已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为()A.-2B.-C. D.211.[2017·衡阳联考]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,则它的离心率为.12.[2017·石家庄二模]双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为.13.(15分)[2017·海南一模]双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.(15分)[2017·菏泽模拟]双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,当k为何值时,以线段AB为直径的圆过原点?难点突破15.(5分)[2017·重庆一中月考]已知F2是双曲线E:x2-=1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同的两点A,B,过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,则的取值范围是()A.B.C.D.16.(5分)[2017·日照三模]在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式m<e1+e2恒成立,则m的最大值为()A.B.C.2D.课时作业(五十二)第52讲抛物线基础热身1.[2017·渭南质检]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为()A.2B.C. D.42.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆C:(x+2)2+y2=16上,则p的值为()A.1B.2C.4D.83.[2017·合肥六校联考]抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为 ()A. B.C.1D.4.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.能力提升6.已知点A的坐标为(5,2),F为抛物线y2=x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标是()A.(1,)B.(,2)C.(,-2)D.(4,2)7.若抛物线y2=2px的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为p,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-16xD.y2=8x或y2=-8x8.[2017·豫南九校联考]设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若=4,则直线l的方程为()A.y=2x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=2x+29.[2017·蚌埠三模]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1610.[2018·长沙模拟]已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若=6,则= ()A.2B.C.2D.11.[2017·漳州八校联考]已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= .12.[2017·天津河西区二模]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,+=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.13.(15分)[2017·孝感模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,△F1AB的面积为3,抛物线E:y2=2px(p>0)以椭圆C的右焦点F2为焦点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点P-,t(t≠0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证: 直线MN过定点.14.(15分)[2017·广东海珠区调研]已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.难点突破15.(5分)[2017·长沙三模]已知抛物线y2=4x,焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-的最小值为()A.2-2B.C.3-D.2-216.(5分)[2017·抚州二模]已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则·的值为.课时作业(五十三)第53讲曲线与方程基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.[2017·沈阳模拟]平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.+=55.[2017·北京海淀区期中]已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.[2017·马鞍山质检]已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1D.x2-=19.[2017·襄阳五中月考]已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.[2017·黄山二模]在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程::则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.[2017·浙江名校一联]已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.[2017·哈尔滨三模]已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(15分)[2017·石家庄模拟]已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.14.(15分)[2017·合肥二模]如图K53-1,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.图K53-1难点突破15.(5分)[2017·湖南师大附中月考]已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为 ()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=116.(5分)[2017·太原三模]已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.课时作业(五十四)第54讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1.[2017·大庆一模]斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有()A.0个B.至多1个C.1个D.2个3.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为()A.2B.C.D.4.[2017·锦州质检]设抛物线x2=2y的焦点为F,经过点P(1,3)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB 的中点,则||+||= .5.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.能力提升6.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则等于()A.5pB.10pC.11pD.12p7.[2017·太原二模]已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l: y=kx-kc.若k=,则l与Γ的左、右两支各有一个交点;若k=,则l与Γ的右支有两个不同的交点.Γ的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.已知椭圆E:+=1的一个顶点为C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点为△ABC的重心,则直线l的方程为()A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=09.[2017·石家庄模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为()A.2B.C.D.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向y轴引垂线交y轴于D,C,若梯形ABCD的面积为3,则p=()A.1B.2C.3D.411.[2017·洛阳一模]已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点.圆x2+y2=4上有一动点P,P 不同A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q(异于点A),若直线QF的斜率存在,则的取值范围是.12.[2017·三湘名校联考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差的绝对值为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为.13.(15分)[2017·东北三省二联]已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,动圆P经过点F(0,1),且与直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过F(0,1)的直线m交曲线C于A,B两点,过A,B分别作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M,求△MAB面积的最小值.14.(15分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1) 若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,在椭圆C上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.难点突破15.(5分)[2017·武汉三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足=λ,=λ(其中λ>0且λ≠1),若λ变化时直线AB的斜率总为-,则椭圆E的离心率为()A. B.C.D.16.(5分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,椭圆C2:+=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,若椭圆C2上存在关于直线l:y=x+对称的两个不同的点,则椭圆C2的离心率e的取值范围为.课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证: k MA+k MB=2k MP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(- ,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k==,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C.8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA==-1,k PB==.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=+(y-1)2,|PB|2=+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2,y∈[-2,2].令y=2sinθ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cos θ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·=3,即y2=3x2-3.联立得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为==-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.3.A[解析] 设坐标原点为O,满足条件的直线为与OP垂直的直线,所以该直线的斜率为-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.4.[解析] 直线x+y+2=0的斜率为-,所求直线与直线x+y+2=0垂直,故所求直线的斜率为,故倾斜角为.5.(3,2)[解析] 设点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是(m,n),则∴故所求坐标为(3,2).6.B[解析] 若m=-2,则l1:-6x-8=0,l2:-3x+1=0,∴l1∥l2.若l1∥l2,则(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0,解得m=2 或m=-2.∴“m=-2”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选B.。

2020届高考数学一轮复习单元质检8解析几何(含解析)新人教A版

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单元质检八解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()2.已知方程-A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)3.若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.4.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4被该直线截得的弦长为2,则该直线的方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=05.(2018全国Ⅱ,理12)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=1 0°,则C的离心率为()A. B.1 C.1 D.16.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A. B.3 C.2 D.47.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.428.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若的最小值为1,则α=()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= .=1的渐近线的距离为.10.抛物线y2=8x的焦点到双曲线111.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A.若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a= .12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN= 0°,则C的离心率为.14.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. (13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.16.(13分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为 1 ,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2 1 .(1)求椭圆C的方程;,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.(2)设圆T:(x-2)2+y2=917.(13分)(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-1;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.18.(13分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.19.(14分)(2018上海,20)设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A,与Γ交于点B,P,Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.20.(14分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为1,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为1.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.单元质检八解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m≠1),由-1 =3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.A解析由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2+n+3m2-n=4,即m2=1,所以-1<n<3.3.A解析可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为-1,即,所以c=2a,所以e=2,故选A.4.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线的方程为x=0,此时圆(x-1)2+y2=4被截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为-( )=1.由点到直线距离公式,=1,解得k=-.得(-1)综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.5.D解析∵A(-a,0),△PF1F2为等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE⊥x轴.∵∠F1F2P=1 0°,∴∠PF2E= 0°.∴|F2E|=c,|PE|=c,∴P(2c,c).∵k PA=,∴PA所在直线的方程为y=(x+a).∴c=(2c+a).∴e=1.6.B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,所以∠NOF=∠MOF= 0°,∠MON= 0°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|= cos 0°=,所以|MN|=3.7.B解析因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p.又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.8.C解析如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2ab cosα.∵的最小值为1,∴a2+b2-2ab cosα≥(),当α=时,不等式恒成立.故选C.9.2解析由题意知a=1,b=,m>0,c=1,则离心率e=1,解得m=2.10.1解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线1=1的渐近线x±y=0的距离d=1=1.11.19解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为1.由题意得11,解得a=19.12.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,.又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以11p2=36,所以p=8.13.解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.∵∠MAN= 0°,∴|AP|=b,|OP|=--.设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=-.又tanθ=,∴-,解得a2=3b2,∴e=111.14.2解析设直线AB:x=my+1,联立1,⇒y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴ =(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)·4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=1.∴k=1=2.15.解(1)由- ,-1,得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4), 则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.设M(x,y),又因为|MA|=2|MO|,所以(- )=2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤ ( - )-(-1) ≤ +1, 解得a的取值范围为0,1 .16.解(1)由题意,得e= 1 -,可知a=4b,c= 1 b.∵△PF1F2的周长是8+2 1 ,∴2a+2c=8+2 1 ,∴a=4,b=1.∴椭圆C的方程为1+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1.由直线y=kx+1与圆T相切可知,即32k2+36k+5=0,∴k1+k2=-9,k1k2=.由11,11,得(1+161)x2+32k1x=0,∴x E=-11 1 1.同理x F=-1 1,k EF=--1--=11-1 1.故直线EF的斜率为.17.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则11=1,=1.两式相减,并由1-1-=k,得11·k=0.由题设知1=1,1=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-1.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P1,-,||=.于是||=(1-1)1=(1-1)1-1=2-1.同理||=2-.所以||+||=4-1(x1+x2)=3.故2||=||+||.18.解(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x.由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b.因为c==2,所以a=b=.故双曲线的方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=1c,m= c.将点A,1代入双曲线方程,得1=1,化简得c2b2-1c2a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).故双曲线的离心率为.19.解(1)(方法一)设B(t,2),则|BF|=(- )=t+2.(方法二)设B(t,2),由抛物线的定义可知,|BF|=t+2.(2)由题意,得F(2,0),|FQ|=2,t=3,∴|FA|=1,∴|AQ|=,∴Q(3,).设OQ的中点为D,则D,,k PF=-0-=-,∴直线PF的方程为y=-(x-2).由- (- ),,整理,得3x2-20x+12=0,解得x=或x=6(舍去).∴△AQP的面积S=1-.(3)存在.设P,,E,,则k PF=--1,k FQ=1 -,直线QF的方程为y=1 -(x-2),∴y Q=1 -(8-2)=-,Q ,-.∵ ,∴E ,.∴=8,解得y2=1 .∴存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P,.20.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,1=a,a-c=1,解得a=1,c=1,p=2,于是b2=a2-c2=.所以椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P-1,-, 故Q-1,.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B异于点A,可得点B-,-.由Q-1,,可得直线BQ的方程为--(x+1)--1-=0.令y=0,得x=-,故D-,0.所以|AD|=1--.又因为△APD的面积为,故1,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.。

（人教版）2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理

（人教版）2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理

（人教版）2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A. B.-C. D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l 的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA与k MB之积为3,则实数m的取值范围是 ()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D 两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x 对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()< p="">A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A. B.4C. D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB 交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F 关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A. B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A. B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB 的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C 的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x</x0+2,则的取值范围是()<>。

高考数学一轮复习 人教版 解析几何第八单元 作业答案

高考数学一轮复习 人教版 解析几何第八单元 作业答案

课时作业(四十八)1.C[解析]直线y=x的斜率k=1,故tan α=1,所以α=45°,故选C.2.B[解析]由斜率公式可得,直线l的斜率k=--=,故选B.3.D[解析]因为直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限,故选D.4.3x-y-5=0[解析]由点斜式方程,得y+2=3(x-1),即3x-y-5=0.5.1或-1[解析]令x=0,得y=k;令y=0,得x=-2k.∴所围成的三角形的面积S=-=k2=1,∴k=1或-1.6.A[解析]由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在,且为k=-,又直线的倾斜角为45°,∴k=-=tan 45°=1,∴a=-b,∴a+b=0,故选A.7.B[解析]∵点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+1=0上,∴点P的纵坐标为3,∴P(2,3).又∵=,∴直线PA,PB的斜率互为相反数,∴直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y-3=-(x-2),即x+y-5=0,故选B.8.B[解析]由题意得易得点Q的坐标满足+b=1,即点Q在直线l上.由方程组得--两式相加,得c+=1,即点P在直线l上.故选B.9.B[解析]联立两直线方程得--解得-所以两直线的交点坐标为-.因为两直线的交点在第一象限,所以-解得k>,则tan θ>,所以θ∈.故选B.10.A[解析]∵丙车最先到达终点,丁车最后到达终点,∴丙车速度最大,丁车速度最小,∴由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大,丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小,故选A.11.B[解析]由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,∴直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直,则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥,即|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立,∴|PA|+|PB|的最大值为2,故选B.12.x+2y-3=0[解析]设A(a,0),B(0,b),由=-2,可得a-1=-2×(0-1),0-1=-2(b-1),则a=3,b=,由截距式可得直线l的方程为+=1,即x+2y-3=0.13.或[解析]设直线l1,直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,有以下两种情况:当α=2β时,tan α=tan 2β,即=-,又因为k>0,所以k=;当β=2α时,tan β=tan 2α,即2k=-,又因为k>0,所以k=.14.4[解析]∵直线l过点(a,0)和(0,b),a∈N*,b∈N*,∴可设直线l的方程为+=1.∵直线l过点(1,6),∴+=1,即6a=(a-1)b,∴a≠1,当a≥2时,b=-=6+-.当a=2时,b=12;当a=3时,b=9;当a=4时,b=8;当a=7时,b=7;当a>7时,满足条件的正整数b不存在.综上,满足条件的直线有4条.15.C[解析]如图所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=-(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理为一般式即为x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.16.A[解析]设C(m,n),由重心坐标公式得,△ABC的重心为,代入欧拉线方程得-+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k AB=--=-2,则AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.由--得-∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+(-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8②,由①②得m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,B,C重合,舍去,∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1.C[解析]由两条平行线之间的距离公式得所求距离d=-=2,故选C.2.C[解析]由题意及点到直线的距离公式得--=,a=-或-,故选C.3.A[解析]由两直线l1:2x-y+3=0,l2:mx+2y+1=0平行可得,-=2且3≠-,解得m=-4,故选A.4.0<k<[解析]由方程组解得交点坐标为---,由题意得---解得0<k<.5.-2[解析]如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A'(3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=----=-2.6.A[解析]由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.7.B[解析]由题意得-·tan θ=-1,∴tan θ=2,∴cos 2θ=-=-=-,故选B.8.B[解析]因为直线l与直线3x-4y+5=0关于x轴对称,所以直线l的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率相反,所以可设直线l的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x轴上的截距相等,所以b=5,所以直线l的方程为3x+4y+5=0,故选B.9.C[解析]如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),直线BC的方程为-=,即x-4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为-.|PA|+|PB|=|PC|+|PB|,由图可知,当点P的坐标为-时,|PB|+|PC|取得最小值,即|PA|+|PB|取得最小值,故选C.10.C[解析]由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点连线的中点坐标为,即(2,1).点(0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为--=-,则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(m,n)也关于直线y=2x-3对称,则有----解得所以m+n=.故选C.11.(3,0)[解析]∵直线l1:y=kx+2-k与直线l2关于直线y=x-1对称,∴直线l2的方程为x-1=k(y+1)+2-k,即x-ky-3=0,显然直线l2经过定点(3,0).12.3[解析]由直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),可得l2的斜率为--=-.因为直线l1平行于l2,所以直线l1的斜率也是-,即-=-,解得m=3.13.3[解析]设点A关于直线l的对称点为B(m,n),则-----解得即B(3,1).因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程,所以最短路程是3.-解得x=1,y=-2,即直线l过定点14.[解析](2k-1)x+ky+1=0可化为(1-x)+k(2x+y)=0,由P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|OP|=-=,所以原点到直线l的距离的最大值为.15.②③[解析]根据题意,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离d来分析.对于①,d==3>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”;对-于②,d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于③,d==4,所以直线上存在一点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;-对于④,d==>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.-16.[解析]设直线OP的斜率为k,点O关于BC的对称点为N,则点N的坐标为(4,0),则直线NP的斜率为-k,故直线NP的方程为y=-k(x-4),故点E的坐标为-.易知直线EQ的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k x--+4,故点Q的坐标为(-1,4-5k).若OP的斜率为,即k=,则点Q的纵坐标为.若点Q恰为线段AD的中点,则4-5k=1,即k=,即OP的斜率为.课时作业(五十)1.D[解析]圆x2+y2+ax=0的圆心坐标为-,∴-=1,解得a=-2.故选D.2.B[解析]∵线段AB:x-y-2=0(0≤x≤2)的两个端点为(0,-2),(2,0),∴圆心为(1,-1),半径为-=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选B.3.C[解析]配方得[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0),所以圆心坐标为(2m+1,m),令消去m,得x-2y-1=0(x≠1),故选C.4.-1[解析]圆的方程配方得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0上,所以1+a=0,所以a=-1.5.2[解析]点P到直线l的距离的最小值是-1=2.6.D[解析]由题意得-=,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即6x-8y-21=0,故选D.7.D[解析]-=-+1,其中-表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q(0,1)作QB 与半圆相切,B为切点,则在Rt△CBQ中,=,所以∠CQB=30°,则k QB=tan∠CQB=,所以-的最大值为+1.8.D[解析]直线AB:-+=1,即4x-3y+12=0.若△ABC的面积最小,则点C到直线AB的距离d最短,易知d min=-1.又|AB|=5,△ABC的面积的最小值为,∴×5×-=,即|4m+12|=10,∴m=-或-,故选D.9.A[解析]将x2+y2-2x-6y+9=0化成标准形式为(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心为(1,3),半径r=1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则圆心为(a,b).∵所求圆与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,∴所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,∴--·∴a=-7,b=-1,∴与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7)2+(y+1)2=1,故选A.10.(x-1)2+(y-1)2=2[解析]因为|CA|=|CB|=R,△ABC为直角三角形,所以∠C=90°,又C在第一象限,所以C(1,1)且R=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.11.1[解析]圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得=-,∴当m=4时,最小,且最小值为2,又|OC|min-r=2-1=1,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是1. 12.2[解析]因为M(m,n)为圆C:x2+y2=4上任意一点,所以可设则m+2n=2cosθ+4sin θ=2sin(θ+φ)≤2,其中tan φ=,所以m+2n的最大值为2.数形结合可得,表示圆C:x2+y2=4上的点M(m,n)与点P(-2,-3)连线的斜率,显然当直线PM与圆相切时,斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=,所以的最小值为.13.解:(1)当弦AB为圆的直径时,圆的周长最小.弦AB的中点为(0,1),|AB|=-=2,所以r=,则圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)k AB=-=-3,弦AB的中点为(0,1),所以AB的中垂线方程为y-1=(x-0),即x-3y+3=0.由---解得所以圆心为(3,2),所以圆的半径r=-=2所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.14.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).∵·=k||2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0①.若k=1,则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线;若k≠1,则①为-+y2=-,表示以--为圆心,-为半径的圆.(2)当k=2时,①化为(x-2)2+y2=1.+=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y),∴|+|=2又∵(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cos θ,y=sin θ,则|+|=2,∴当cos θ=1时,|+|取得最大值,且最大值为6;当cos θ=-1时,|+|取得最小值,且最小值为2.15.D[解析]|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5-+--表示圆x2+y2=1上的任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+a=0和直线l2:3x-4y-9=0的距离之和的5倍,若距离之和与点P(x,y)无关,则直线l1:3x-4y+a=0与圆相离或相切,且与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以圆心(0,0)到直线l1的距离d=≥1,得a≥5或a≤-5,又直线l1:3x-4y+a=0与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以a≥5.故选D.16.A[解析]依题意得,函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是A(2018,0),B(-2019,0),C(0,-2018×2019).设经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点是D(0,y0),其中y0>0,结合图像易知原点O位于经过点A,B,C的圆的内部,因此由相交弦定理得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,即2018×2019=2018×2019y0,所以y0=1.故选A.课时作业(五十一)1.A[解析]将圆的方程配方,得(x-2)2+(y+1)2=25,圆心为(2,-1),半径r=5,将(2,-1)代入y=x-中,得×2-=-1,故直线过圆心,与圆相交,故选A.2.A[解析]圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x-3)2+(y-4)2=49的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为=5=7-2(等于两圆半径的差),∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系是内切,故选A.3.D[解析]由题意得直线方程为y=x,即x-y=0.圆心(0,2)到直线x-y=0的距离d==,∴弦长为2-=2,故选D.4.y=4或3x+4y-13=0[解析]易知切线l的斜率存在.设l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0,∴=1,即4k2+3k=0,解得k=0或k=-,故切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.5.2x+y-3=0[解析]由题意知,已知圆的圆心坐标为(2,-1).∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直,且直线x-2y+3=0的斜率为,∴该直径所在直线的斜率为-2,∴所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.6.B[解析]∵直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,∴点O到直线AB的距离为1,∴由点到直线的距离公式可得=1,∴a=±,故选B.7.C[解析]由圆C:(x-1)2+(y+5)2=80,可得圆心C(1,-5),半径R=4.圆心C(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离d===3,R-d=,所以圆C上到l的距离为的点一共有3个,故选C.-8.C[解析]圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上.圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,所以所求圆的半径为.设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则--=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.9.A[解析]易知两圆为内含关系,作圆C1关于x轴对称的圆,记为圆C'1,则C'1(2,-3),连接C'1C2,分别交圆C'1,C2于M',N,交x轴于P,连接C1P交圆C1于M,此时+最小,且最小值为,-1-3=5-4.故选A.10.3[解析]圆心(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d==4,结合几何关系可得线段MN的长为-=3.=-1,得m=5,所以线段AB的中点为(3,1), 11.3[解析]由题意,直线x-y+c=0垂直平分线段AB,则k AB=---所以3-1+c=0,则c=-2,所以m+c=3.12.4x+3y-36=0[解析]整理可得圆C:(x-2)2+(y-1)2=49,圆心为(2,1),半径为7,则根据题意易知点P必在圆内,且CP必垂直于直线l.由弦长为4知,圆心C到直线l的距离d=-=-=5,则--=5,解得t=6或-2,又t>2,所以t=6,则点P的坐标为(6,4),于是直线PC的斜率k PC=-=,-而l⊥PC,故直线l的方程为y-4=-(x-6),即4x+3y-36=0.13.解:(1)连接C1A,C1B,∵|C1A|=|C1B|=,|AB|=2,∴△C1AB为等腰直角三角形.∵△PAB为等腰直角三角形,点P在圆外,∴四边形PAC1B为正方形,∴|PC1|=2,∴点P的轨迹是以C1为圆心,2为半径的圆,则轨迹C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)如图,C1N⊥OF于点N,连接C1E,C1F,C1O.在Rt△OC1N中,∵|OC1|=2,|C1N|=,∴|ON|=,sin∠C1ON=,∴∠C1ON=30°,∴△OEH与△OFG为正三角形.∵△C1EN≌△C1FN,且|C1E|=|C1F|=2,∴|NE|=|NF|=,∴四边形EFGH的面积S=S△OFG-S△OEH=×(+)2-×(-)2=6.14.解:(1)设M点坐标为(x0,y0),P点坐标为(x,y),则N点坐标为(x0,0),由=,可得(x-x0,y)=(0,y0),则因为点M在圆C:x2+y2=4上运动,所以点P的轨迹E的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时|AB|=2,|ST|=4,所以|AB|·|ST|=8.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0,因为点Q(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒交于两点,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=--=-=·--·-=.圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|ST|=2-=2,所以|AB|·|ST|=8·=8·-∈[88.综上,|AB|·|ST|的取值范围是[8,8].15.B[解析]因为直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),所以圆心到直线的距离d=不大于半径,显然d>0,∴≤-,∴a≥.由-得-∴2a2x0y0+2a-1=1,∴x0y0=-=-.设=t,则0<t≤,则x0y0=t2-t=--,0<t≤,由二次函数的性质可得当t=时,x0y0取得最大值,且最大值为,故选B.16.4[解析]圆(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1的圆心(-3sin α,-3cos α)在圆x2+y2=9上运动,集合A表示的区域为如图所示的环形区域(阴影部分),直线3x+4y+10=0恰好与环形的小圆相切,所以点集P 所表示的轨迹的长度是直线3x+4y+10=0截圆x2+y2=16所得弦的弦长,又原点(0,0)到直线3x+4y+10=0的距离d=2,所以弦长为2-=4.课时作业(五十二)1.D[解析]由2x2+y2=4,可得+=1,则c=-=,所以该椭圆的焦点坐标为(0,±),故选D.2.B[解析]∵e==,2a=6,∴a=3,c=1,∴b2=8,∴椭圆方程为+=1,故选B.3.A[解析]若-+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m2-1>3,所以m2>4,所以“m2>5”是“-+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件,故选A.4.(0,±b)[解析]由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与点F的距离等于a的点为短轴的端点,其坐标为(0,±b).5.1[解析]将点P的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得a2=2,所以△PAB的面积S=×2a×=1.6.C[解析]设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.7.B[解析]由题得当BF⊥AB时,若△ABF为等腰直角三角形,则|FB|=|AB|,∴=2c,∴b2=2ac,∴a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,∴e2+2e-1=0,∴e=±-1,由于椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=-1.故选B.8.D[解析]设△ABF1的内切圆的半径为r.由+=1,得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|y A-y B|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.9.B[解析]∵O是线段F1F2的中点(O为坐标原点),∴+=2,∴|+|=2||.设P(x,y),则+y2=4,则y2=4-,∴||2=x2+y2=4+x2≥4,∴||≥2,∴2||≥4,∴|+|的最小值为4,故选B.10.C[解析]设F'(-1,0),则+=2a,即=2a-,又椭圆E上存在一点P,使得+=9,∴+=+2a-=9,即-=9-2a.∵-≤-≤,∴-1≤-≤1,即-1≤9-2a≤1,解得4≤a≤5.∵c=1,e=,∴≤e≤.故选C.11.+=1[解析]由椭圆定义可知2a+2a=12,即a=3.又∵e==-=,∴解得b2=5,∴椭圆C的方程为+=1.12.-[解析]不妨设F(c,0),把x=c代入椭圆方程可得y=±,故|FA|=,由题意得=c,即b2=ac=a2-c2,所以e2+e-1=0,所以e=-.13.[1,4][解析]由已知得2b=2,故b=1,∵△F1AB的面积为-,∴(a-c)b=-,∴a-c=2-,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,∴+==-=-,又2-≤|PF1|≤2+∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤+≤4,即+的取值范围为[1,4].14.解:(1)由题意可得-所以故W的标准方程为+=1.(2)联立得∴=,∴k OA=.易知B(0,1),∴l的方程为y=-3x+1.联立-得37x2-24x=0,∴x=0或,∴|BC|=-×-=.联立-得31x2-18x-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴|MN|=-·|x1-x2|=,故=.15.解:(1)由点到直线距离公式有=,整理可得2a-b=3,由|MN|=1,有=1,整理可得a=2b2,故4b2-b=3,∴b=1,∴a=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx-,与椭圆C的方程联立消去y,得(1+4k2)x2-4kx-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,由∠PAQ=90°,得(x1-)(x2-)+--=0,即(x1-)(x2-)+(kx1-)(kx2-)=0,即(1+k2)x1x2-(1+k)(x1+x2)+4=0,∴(1+k2)·--(1+k)·+4=0,即3k2-4k+1=0,解得k=1或k=.当k=1时,直线PQ经过A点,不满足题意,舍去,故k=,故直线PQ的方程为y=x-.16.解:(1)因为|A1B2|=2,所以=2.①由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍,可得×2a×2b=2××2c×2b⇒a=2c.②由①②可得a2+b2=a2+a2-c2=8c2-c2=7c2=28⇒c2=4,所以a2=4c2=16,所以b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)易知点P,Q的坐标分別为(2,3),(2,-3).因为∠APQ=∠BPQ,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.设A(x1,y1),B(x2,y2),--直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=-,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---=,∴x1+x2=-,x1-x2=-,∴k AB=--=----=--=,∴直线AB的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0.课时作业(五十三)1.D[解析]由双曲线方程知c2=9+4=13,∴c=,∴焦距为2,故选D.2.D[解析]由题意可得a=5,b=2,所以渐近线方程为y=±x,故选D.3.D[解析]由题意,得2=,解得m=2,∴双曲线的标准方程为-=1,故选D.4.8[解析]因为双曲线x2-=1的一个焦点为(-3,0),所以m+1=(-3)2=9⇒m=8.5.-x2=1[解析]不妨设双曲线的方程为-x2=λ(λ≠0),因为双曲线过点(,4),所以-()2=λ,解得λ=1,故双曲线的方程为-x2=1.6.D[解析]设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,由题得|OB|=|PF2|,OB∥PF2,∴b=×,∴b=2a,∴b2=4a2,∴c2-a2=4a2,∴c2=5a2,∴e2=5,∴e=.7.D[解析]因为N为线段F1M的中点,O为线段F1F2的中点,所以|F2M|=2|ON|=2.因为P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,所以||PF1|-|PF2||=|F2M|=2|ON|=2<|F1F2|,所以点P的轨迹是双曲线,故选D.8.B[解析]设双曲线的左焦点为F'.双曲线的右焦点为F(,0),△APF的周长l=++=++2a+,要使△APF周长最小,只需+最小,如图,当A,P,F'三点共线时|AP|+|PF'|取得最小值,此时l=2|AF|+2a=4(1+),故选B.9.A[解析]双曲线的右焦点为(c,0),所以直线l的方程为y=2(x-c),代入双曲线方程,得b2x2-4a2(x-c)2=a2b2,即(b2-4a2)x2+8a2cx-(4a2c2+a2b2)=0,因为直线与双曲线左、右两支分别相交,所以交点的横坐标的乘积小于0,则由根与系数的关系可得--<0,因为4a2c2+a2b2>0,所以b2-4a2>0,即c2-5a2>0,可得e=>故选A.10.或[解析]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,即y=±x,根据双曲线焦点位置的不同从而得到=或=,再由c2=a2+b2可得离心率e==或.11.3[解析]由题意得双曲线的一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0,由点到直线的距离公式得-=3,即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3.12.4[解析]由题得双曲线渐近线的斜率为±,设点P(x0,y0),不妨取l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),所以M(x0-2y0,0),N(x0+2y0,0),所以|OM|·|ON|=|x0-2y0|×|x0+2y0|=|-4|,又点P在双曲线上,所以-=1,所以|OM|·|ON|=4.13.解:(1)由题意,得A1(-a,0),A2(a,0),由-=1,得-=.∵M(x0,y0)是双曲线上一点,∴·=·-=-==,∴e2===1+=,∴e=.(2)易知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线y=x的距离d==b=12,由(1)得,==,∴a2=25,因此双曲线的方程为-=1.14.解:(1)由题意得=①,△=×2c·b=6②,a2+b2=c2③,由①②③求得a2=5,b2=4,∴双曲线C的标准方程是-=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与-=1联立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得--④∴x1+x2=-,x1·x2=--,∴x0==-,y0=kx0+m=-.由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,∴k AD=-=---=-,化简得10k2=8-9m,⑤将⑤代入④,得m<-或m>0.由10k2=8-9m>0,得m<.综上,实数m的取值范围是m<-或0<m<.15.D[解析]双曲线的渐近线方程为y=±x,设F(c,0)关于直线bx-ay=0的对称点为A(m,n),m<0,则=c,且-=-,解得m=-,n=,将A点坐标代入双曲线方程得--=1,化简可得e2=5,解得e=.故选D.16.[解析]设椭圆的短半轴长和双曲线的虚半轴长分别为b1,b2,椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为a1,a2,则b1=3b2⇒ +9=10c2,令a1=c sin θ,a2=c cos θ,则+=(3sin θ+cos θ)=sin(θ+φ)≤,∴+的最大值为.课时作业(五十四)1.C[解析]由题意知抛物线开口向左,且p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x,故选C.2.C[解析]抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即动点到准线的距离的最小值,显然满足条件的点为抛物线的顶点,∴=1,∴p=2,故选C.3.D[解析]抛物线x2=y过点(1,3),则1=,所以m=3,所以x2=y,所以焦点到准线的距离是,故选D.4.10[解析]由已知条件结合抛物线的定义知y P=12-=12-2=10,即点P到x轴的距离为10.5.[解析]设P(x0,y0),则x0+1=4,故x0=3,所以y0=±2.又F(1,0),所以S△PFO=×2×1=.6.B[解析]由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B.7.C[解析]∵∠A1AF=,∴∠AA1F=∠AFA1=.设准线l与x轴的交点为B,则|BF|=p,|A1B|=|BF|tan=p,∴===4+,∴p=24,故选C.8.B[解析]∵F是抛物线y=2x2的焦点,∴F,准线方程为y=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=y1++y2+=,解得y1+y2=4,∴线段MN的中点的纵坐标为=2.故选B.9.A[解析]设抛物线的焦点为F,则F(0,2),准线方程为y=-2.过点P(x0,y0)向准线作垂线,垂足为N,则y0=-2.由抛物线的定义可得=,则y0+=+-2=+-2,当P,F,M三点共线且x0>0时,y0+最小,最小值为-2=---2=3-2=1,故选A.10.B[解析]将点P(4,4)的坐标代入抛物线C的方程y2=2px,得42=2p·4,解得p=2,∴点F(1,0).据题设分析知,sin∠MPF=,|MF|==2又=2R(R为△MPF的外接圆的半径),∴2R=,∴R=,∴△MPF的外接圆的面积S=πR2=π·=,故选B.11.[解析]过P点作准线的垂线,垂足为H,则=,由=3有=,所以===,解得=,所以==.12.-1[解析]如图所示,过A作AH⊥l于点H,AN垂直于抛物线的准线于点N,则|AH|+|AN|=m+n+1.连接AF,则|AH|+|AN|=|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,得当A,F,H三点共线(即HF⊥l)时,|AF|+|AH|取得最小值|FH|==,则m+n的最小值为-1.13.解:(1)因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且|AF|=2,所以+1=2,所以p=2.(2)由(1)得抛物线方程为y2=4x.因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,所以a=2.设直线AM方程为x-1=m(y-2)(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由--消去x,得y2-4my+8m-4=0,即(y-2)(y-4m+2)=0,所以y1=4m-2.因为AM⊥AN,所以直线AN的方程为x-1=-(y-2),同理可得y2=--2,所以d1d2=|(y1+2)(y2+2)|=-=16.14.解:(1)设N(m,n),则----解得即N(2,1),代入x2=2py(p>0)得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程为y-1=k(x-2),则直线NB的方程为y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立--消元,得x2-4kx+8k-4=0,所以2+x1=4k,所以x1=4k-2,所以y1=4k(k-1)+1,故A(4k-2,4k(k-1)+1).同理,B(-4k-2,4k(k+1)+1),所以k AB=------=-1,若<1,则由cos 45°=-,得=-=3-2若>1,同理可求得=-=3+2.15.2[解析]直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py,解方程可得-故A-.直线ON的方程为y=x,将其代入x2=2py,解方程可得故B.又F,所以k AB=,k BF=-.因为A,B,F三点共线,所以k AB=k BF,即=-,解得p=2.16.(4,+∞)[解析]因为倾斜角α∈,所以直线l的斜率k=tan α∈.设过焦点F(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立-整理得y2-y-4=0,所以y1+y2=,则=,即点M 的坐标为-,所以|MF|=--=,又因为k∈,所以>12,所以|MF|=>=4,即|MF|的取值范围是(4,+∞).课时作业(五十五)1.B[解析]设动点P(x,y),由题意可知·-=-2(x≠0),化简得+x2=1(x≠0),故选B.2.A[解析]由题意知,动圆圆心到点F(0,3)的距离等于动圆圆心到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y,故选A.3.A[解析]设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故选A.4.C[解析]设P(x,y),则x=λ-3μ,y=λ+3μ,得λ=,μ=-,因此+-=1,化简得x+2y-3=0,故选C.5.x2-=1[解析]根据双曲线的定义可得,实轴长2a=2,即a=1,半焦距c=2,由c2=a2+b2,解得b2=3,故动点P的轨迹方程为x2-=1.6.B[解析]设M(x,y),P(x0,y0),因为P与点Q(0,-1)连线的中点为M,所以x0=2x,y0=2y+1,又因为点P在抛物线y=2x2+1上移动,所以2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2,故选B.7.D[解析]由题意知,所求轨迹为与已知直线平行的两条直线,设所求轨迹方程为3x-4y+C=0,则==2,则C=-11或C=9,故所求轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.8.C[解析]由两点间的距离公式可得=13,=15,=14,因为A,B都在椭圆上,所以+=+,得-=-=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,由c=7,a=1,得b2=48,所以F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.9.C[解析]设A(a,0),B(0,b),P(x,y),由=+得所以a=3x,b=y,又=3,所以a2+b2=9,即(3x)2+=9,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,故选C.10.A[解析]①△ABC的周长为10,则|AB|+|AC|=6,根据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为C3:+=1(y ≠0);②△ABC的面积为10,则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为C1:y2=25;③△ABC 中,∠A=90°,则点A在以线段BC为直径的圆上,所以点A的轨迹方程是C2:x2+y2=4(y≠0).11.+y2=1[解析]设Q(x,y),P,y1,则=,-·-=-1,∴···-=-1,∴4y2=4-x2,∴点Q的轨迹方程为+y2=1.12.2x-3y+25=0[解析]圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即-x0x1+-y0y1=0,因为+=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0.13.解:(1)设M(x0,y0),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x0-2,2y0).∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴=+=+,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.14.D[解析]设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P 分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且+=2|OP|=6,因为抛物线过点A,B,所以=,=,所以+=+=6>=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).15.+y2=1(y≠0)[解析]易知AC,BD的斜率存在且不为0,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得C(2,4k1),D(-2,-4k2),则k CD==k1+k2,直线CD的方--程为y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线CD与圆相切,则=2,据此可得k1k2=-,将y=k1(x+2),y=k2(x-2)两式相乘可得y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).课时作业(五十六)1.C[解析]易知点P在抛物线上,过点P可以作出抛物线的一条切线,该切线与抛物线只有一个公共点,还可以作出一条与x轴平行的直线,该直线与抛物线也只有一个公共点,所以满足题意的直线有2条,故选C.2.C[解析]由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.3.D[解析]由题意及双曲线的几何性质可得,双曲线的渐近线的斜率>∴e==>=.故选D.4.-[解析]联立得3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-,纵坐标为-+1=,即弦的中点坐标是-.5.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2).不妨设直线l过椭圆的右焦点(,0),则l:y=x-,代入椭圆方程得5x2-8x+8=0,∴-=-=-=,∴=-=×=.6.A[解析]直线的方程为y=k(x+2),代入y2=4x,得到k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.当k=0时,不合题意;当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<,∴k∈-∪.综上,k的取值范围是-∪,故选A.7.B[解析]设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),则k AM·k BM=--·=--=---=-.8.D[解析]画出抛物线y2=4x的图像(图略).由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-),由-消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+5k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知==x2+1=3,∴x2=2,∴x1=,∴=x1+1=.∵在△AEC中,BN∥AE,∴△△===.故选D. 9.B[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知x0≠0,则两式作差得-+-=0.∵--=-1,x0=,y0=,∴-=0,即=.设直线OM的倾斜角为α,则θ=α+或θ=-α,∴tan θ=±-,又tan α==,∴-=3,∴b2=2,即b=故选B.10.C[解析]∵M,N分别是PQ,PF的中点,∴MN∥FQ,又PQ∥x轴,∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP为正三角形,则FM⊥PQ⇒|QM|=p=2,∴正三角形FQP的边长为4,∴|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,又△FRN为正三角形,∴|FR|=2,故选C.11.[解析]不妨取双曲线的一条渐近线为y=x,将y=x代入抛物线方程,整理得ax2-bx+a=0,则由题意,得b2-4a2=0,则c2=5a2,则e=.12.6[解析]根据题意可知直线的斜率是存在的,抛物线的焦点F(1,0).设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程与抛物线方程联立-消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,从而可得x1+x2=,从而求得M.易求得E(-1,0),根据|ME|=,可得+=11,求得k2=2(负值舍去),所以|AB|=x1+x2+p=2++2=6.13.2[解析]∵直线过左焦点F(-c,0),倾斜角为30°,∴直线方程为y=(x+c).由得y B=-.由-得y A=.由=2,得y B=2y A,即-=⇒b=a,∴c2=a2+b2=4a2,∴=4,∴e==2.14.解:(1)依题意知,点M(x,y)到点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为6,且6>|F1F2|=2,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为+=1.(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,代入+=1,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.因为=+,所以四边形OAPB为平行四边形.若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·--+1=0,即-72k2=55,此方程无解,所以满足条件的直线l不存在.15.解:(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0),∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由消去y,整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P,Q,则·-抛物线在点P处的切线方程为y-=(x-x1),令y=-1,得x=-,可得点R--,由Q,F,R三点共线得k QF=k FR,F(0,1),∴-=---,即(-4)(-4)+16x1x2=0,即(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=,即k=±,∴所求直线m的方程为y=x+6或y=-x+6.16.±[解析]由题意,得F,由x2-px+y2-p2=0,配方为-+y2=p2,∴直线l过圆心,∴=2p.直线l的方程为y=k-,A(x1,y1),B(x2,y2),联立-得x2-x+=0,∴x1+x2=p+,∴=x1+x2+p=2p+.∵=3,∴2p+=6p,可得k2=⇒k±.17.[解析]①当直线l的斜率不存在时,不妨取A c,,B c,-,∵·=0,∴c2-=0,∴e=;②当直线l的斜率存在时,焦点为F(c,0),设直线l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,则Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=--,x1x2=---,则y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·--,∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=--,又直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,∴-->(b>a),∴----∴>e>.综上,双曲线的离心率的取值范围是.专题突破训练(三)1.解:(1)依题意得∴+=.∵p>,∴p=1,故C的方程为x2=2y.(2)证明:由(1)知y0=,联立得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,∴|EF|=×--=5.设P m≠-,且m≠,则M的横坐标为m,易知A在l上,则|AM|=×.由题可知PN:y-=-(x-m),与y=2x+联立可得x N=-,∴|AN|=×-+=×,则=5,故=|EF|.2.解:(1)∵2a=6,∴a=3.又点M(,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3,∴所求椭圆方程为+=1.(2)∵k MO=,∴k AB=-,故可设直线AB的方程为y=-x+m.消去y,得11x2-6mx+6m2-18=0,联立-Δ=(6m)2-4×11×(6m2-18)>0,∴m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.则·=x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=-.∵0≤m2<,∴·的取值范围为-.3.解:(1)∵e=,∴=.∵F2(c,0)在线段PF1的中垂线上,∴|F1F2|=|RF2|,即(2c)2=()2+(2-c)2,得c=,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)可知A1(-,0),A2(,0),M(x M,y M),设PA1的方程为y=k(x+)(k≠0),则P的坐标为(-2,-k),∴=,∴PA2的方程为y=(x-).由-消去y,整理得(3+k2)x2-2k2x+3k2-9=0,∴x M=-,∴x M=-,y M=(x M-)=-,∴==-,∴MA1⊥NA1,则△MNA1为直角三角形,又Q为斜边MN的中点,∴2|A1Q|=|MN|.4.解:(1)∵F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,∴F.又∵当l与x轴垂直时,|DE|=4,∴D.又∵点D在抛物线上,∴4=2p×=p2,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)点R(x0,2)在抛物线C上,∴x0=1,即R(1,2).设直线AB:x=m(y-1)+1(m≠0),A,B.由-得y2-4my+4m-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=4m-4.直线AR:y-2=--(x-1)=(x-1).由--得x M=-.同理可得x N=-,∴|MN|=|x M-x N|=2-=2·--,令m-1=t,t≠0,则m=t+1,∴|MN|=2·≥,即当t=-2,m=-1时|MN|取得最小值,此时直线AB的方程为x+y-2=0.5.解:(1)由+=4,得2a=4,所以a=2,又椭圆过点,所以+=1,解得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.设点P(x0,y0),则由△GPH∽△APB,得=-,即=-,则=2-,由0<y0≤1,得2-≥4,所以线段GH的长度的最小值为4.(2)由(1)可知,当GH的长度取得最小值时,y0=1,将点(x0,1)代入+y2=1,得x0=0,故此时点P(0,1),则直线AP的方程为y=x+1,=2.当平行于AP的直线l与椭圆在x轴下方的部分相切于点T时,△TPA的面积取得最大值.设直线l:y=x+m,则由得7x2+8mx+12m2-12=0,则Δ=(8m)2-4×7×(12m2-12)=0,所以m=-或m=(舍去).由平行线间的距离公式,得此时点T到直线AP的距离d=---=.故(S△TPA)max=d=×2×=,即△TPA的面积的最大值为.6.解:(1)依题意得=,所以+=+==4(为定值),=2,4>2,所以点P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,其中2a=4,2c=2,所以P点的轨迹C的方程是+y2=1.(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得S=8.②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为y=k1x+m,直线BC的方程为y=k2x+n,则直线CD的方程为y=k1x-m,AD的方程为y=k2x-n,其中k1·k2=-1.直线AB与CD间的距离d1=--=,直线BC与AD间的距离d2==,所以S=d1·d2=·.联立得x2+2k1mx+m2-1=0,因为直线AB与椭圆相切,所以Δ=4+1-m2=0,所以=,同理=,所以S====4·=4·.因为+≥2(当且仅当k1=±1时取等号),所以4<S≤4·,即8<S≤10.由①②可知,8≤S≤10.专题突破训练(四)1.解:(1)由曲线Γ:12x2-4y2=3,化为标准方程可得-=1,。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲课后作业理含解析

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲课后作业理含解析

第8章 平面解析几何 第5讲A 组 基础关1．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为( )A ．(10，0)，(－10，0)B ．(0，10)，(0，－10)C ．(0,3)，(0，－3)D ．(3,0)，(－3,0)答案 C解析 椭圆x 2＋y 210＝1的焦点在y 轴上，a 2＝10，b 2＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．2．(2018·合肥三模)已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)经过点A (5，0)，B (0,3)，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B ．53C ．49D ．59答案 A解析 由题意得a ＝3，b ＝5，所以c ＝a 2－b 2＝9－5＝2，离心率e ＝c a ＝23.3．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.4．(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°答案 B解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43 B ．53 C ．54 D ．103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.故选B.6．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C ．32D ．55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案x 245＋y 236＝1 解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.9．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 根据已知条件作出如图所示的图形．记圆x 2＋(y －1)2＝3的圆心为M ，由三角形的性质可得|PQ |≤|PM |＋|MQ |＝3＋|MQ |，设点Q 坐标为(x ，y )，那么x 24＋y 2＝1，所以|QM |2＝x 2＋(y －1)2＝4(1－y 2)＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5，y ∈[－1,1]，因此|QM |2≤163，即|QM |≤433，所以|PQ |≤433＋3＝733，所以P ，Q 两点间的最大距离为733. 10．(2018·厦门模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，若直线PF 1的斜率为33，则该椭圆的离心率为________． 答案33解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33. B 组 能力关1．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，设直线AB 的斜率为k 1，直线OM (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．4B ．14C ．－1D ．－14答案 D解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.易知k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14·x 0y 0， ∴k 1k 2＝－14.解法二：设直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入椭圆方程并整理得，(1＋4k 21)x 2＋8k 1mx ＋4m 2－36＝0，x 1＋x 2＝－8k 1m 1＋4k 21，又中点M (x 0，y 0)在直线AB 上，所以y 1＋y 22＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 21，从而得弦中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1m 1＋4k 21，m 1＋4k 21，∴k 2＝m1＋4k 21－4k 1m 1＋4k 21＝－14k 1，∴k 1k 2＝－14. 2．(2018·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3,0)或(3,0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．3．(2018·内江三模)设P 是椭圆x 29＋y 24＝1第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y轴和直线y ＝－23x 分别交于点M ，N .过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线y ＝－23x 分别交于点R ，Q ，设O 为坐标原点，则△OMN 和△ORQ 的面积之和为________．答案 3解析 设P (x 0，y 0)(0<x 0<3,0<y 0<2)，则M (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0，y ＝－23x ，解得y ＝y 0，x ＝－32y 0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32y 0，y 0， 所以S △OMN ＝12y 0×32y 0＝34y 20.同理可得R (x 0,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝－23x ，解得x ＝x 0，y ＝－23x 0，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－23x 0.所以S △ORQ ＝12x 0×23x 0＝13x 20.又x 209＋y 204＝1，所以△OMN 和△ORQ 的面积之和为34y 20＋13x 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209＋y 204＝3. 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时O A →⊥O B →？此时|AB |的值是多少？ 解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b ＝ 22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2 ＝42172＋4×1217＝43×13172， ∴|AB |＝54×43×13172＝46517. C 组 素养关1．(2018·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解 (1)∵c a ＝12，∴a ＝2c ，椭圆的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入得14c 2＋912c 2＝1，∴c 2＝1.∵椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，有|AB |＝1＋m 2·121＋m 23m 2＋4＝121＋m23m 2＋4，点P (－2,0)到直线l 的距离为31＋m2，点Q (2,0)到直线l 的距离为11＋m2，从而四边形APBQ 的面积S ＝12×121＋m23m 2＋4×41＋m2＝241＋m 23m 2＋4(或S ＝12|PQ ||y 1－y 2|)． 令t ＝1＋m 2，t ≥1，有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，设函数f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有3t ＋1t ≥4，故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，所以当t ＝1，即m ＝0时，四边形APBQ 面积的最大值为6.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m < ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32， 故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理| FB →|＝2－x 22. 所以| FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课后作业理

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课后作业理

8．8 曲线与方程[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·上海模拟)图中曲线的方程可以是( ) A ．(x ＋y －1)·(x 2＋y 2－1)＝0 B.x ＋y －1·(x 2＋y 2－1)＝0 C ．(x ＋y －1)·x 2＋y 2－1＝0 D.x ＋y －1·x 2＋y 2－1＝0 答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是x 2＋y 2＝1或x ＋y －1＝0(x 2＋y 2≥1)，故选C.2．(2017·保定二模)若点P (x ，y )坐标满足ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1y＝|x －1|，则点P 的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x ＝1时，y ＝1，故排除C ，D ；令x ＝2，则y ＝±1e ，排除A.故选B.3．(2018·安徽模拟)点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A.16π3＋2 3B.16π3＋4 3 C.24π3＋2 3 D.24π3＋4 3 答案 A解析 点集{(x ，y )|(|x |－1)2＋y 2＝4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．由图可得面积S ＝S 菱形＋43S 圆＝12×23×2＋43×π×4＝16π3＋2 3.故选A.4．(2018·沈阳月考)在△ABC 中，B (－5，0)，C (5，0)，AB ，AC 边上的中线长之和为9.则△ABC 重心G 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 29＝1(y ≠0)B.x 29＋y 24＝1(y ≠0)C.x 24－y 2＝1(y ≠0) D．x 2－y 24＝1(y ≠0) 答案 B解析 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， ∵BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝6(定值)．因此，G 的轨迹为以B ，C 为焦点的椭圆，2a ＝6，c ＝5， ∴a ＝3，b ＝2，可得椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.∵当G 点在x 轴上时，A ，B ，C 三点共线，不能构成△ABC .∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1(y ≠0)．故选B.5．(2018·大武口期末)已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝x －1 B ．y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝x －12答案 D解析 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)． ∵M 是FQ 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋x 22，y ＝y22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x12，y 2＝y12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝4x －2，y 1＝2y 2＝4y .∵P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)， 所以M 点的轨迹方程为y 2＝x －12.故选D.6．(2017·河北衡水中学期中)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 D解析 将圆F 改写成标准方程(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F 的坐标为(1,0)，半径r ＝23，由题意可知|PA |＝|PB |.又点P 在圆F 的半径BF 上，故|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝23>2＝|AF |，所以动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点，23为长轴长的椭圆，则2a ＝23，2c ＝2，所以b ＝ 2.故动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.故选D.7．(2018·宜城期末)已知过定点C (2，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，作OE ⊥AB 于E .则点E 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0) B ．x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0) C ．x 2＋y 2－4x ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0(y ≠0) 答案 A解析 直线l 过定点C (2,0)， ∵O (0,0)，C (2,0)，OE ⊥CE ， ∴△OEC 为直角三角形，∴点E 的轨迹是以线段OC 为直径的圆除去点O ，故点E 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)，即x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠0)．故选A.8．(2017·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.9．(2017·湖北期中)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆； ②当t >4或t <1时曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由4－t ＝t －1，可得t ＝52，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示圆，故①不正确；由双曲线的定义可知：当(4－t )(t －1)<0时，即t <1或t >4时，方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，故②正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x 轴上时，满足4－t >t －1>0，即1<t <52时，方程x 24－t ＋y2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1<0，∴t <1，故④不正确，故选B.10．(2018·北京模拟)如图所示，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )答案 C解析 依题意可知P 到点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．A 的图象为直线的图象，排除A.B 项中B 不是抛物线的焦点，排除B. D 项不过A 点，D 排除．故选C. 二、填空题11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4k，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．当直线斜率不存在时，MN 的方程为x ＝1，P (2,0)在曲线y 2＝4(x －2)上．12．设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．答案x 212＋y 216＝1 解析 由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋y ＋22＋x 2＋y －22＝8①，由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1.13．(2018·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为________．答案x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)解析 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x，y 1＝2y x，③∴x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2)． 14．(2018·山西太原模拟)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为________．答案3＋224解析 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切．相切都可以转化为圆心距问题．第一种情况，d MO 1＝4－R ，d MO 2＝r ＋R ，d MO 1＋d MO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1.∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r. ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24＋r ＋44－r 4－r 4＋r ＝24－2r16－r2＝212－r－12－r2＋2412－r －128＝2－12－r －12812－r＋24≥2－2 12－r ·12812－r＋24＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”．所以e 1＋2e 2的最小值为3＋224.三、解答题15．(2018·安徽合肥模拟)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0. 设切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0， 解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y22，y ＝y 1＋y22.①∵直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8得x 28－y 2＝1.考虑到x 0∈[2,2 2 ]，则x ∈[－4，－2 2 ]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－2 2 ]．16．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

(精品人教)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何听课学案 理

(精品人教)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何听课学案 理

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为. 题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是. 探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c=()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为,2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则.(2)若M(x0,y0)在圆上,则.(3)若M(x0,y0)在圆内,则.常用结论常见圆的方程的设法:题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x 2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0)常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2=()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4 [2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b>0-=1(a>0,b>0)),常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18。

2020版高考数学一轮总复习 第八单元立体几何 课后作业全集 含解析

2020版高考数学一轮总复习 第八单元立体几何 课后作业全集 含解析

空间几何体的结构及三视图、直观图1．下列关于简单几何体的说法中：①斜棱柱的侧面中不可能有矩形；②侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分．其中正确的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3①是错误的；②是错误的；③是正确的，故选B.2．下图为一个平面图形水平放置的直观图，则这个平面图形可能是下列图形中的(C)A B C D按斜二测画法的规则，平行于x轴的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，则还原图形知选C.3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为(C)正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B ，D ；侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A ，故选C.4．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为(B)A ．217B ．2 5C ．3D ．2先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M ，N 的位置如图①所示．②圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．ON ＝14×16＝4，OM ＝2，所以|MN |＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5.5．已知在斜二测画法下△ABC 的平面直观图(如图)是直角边长为a 的等腰直角三角形A 1B 1C 1(∠A 1B 1C 1＝90°)，那么原△ABC 的面积为 2a 2.原△ABC 也是直角三角形，且两直角边AB ＝a ，AC ＝22a ，故面积为12AB ·AC ＝2a2.6．若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，则棱锥的高为 1 .三棱锥P－ABC中，设P在底面ABC的射影为O，则PO为所求．因为PC＝2，底面边长AB＝3，所以OC＝32×23×3＝3，所以PO＝22－32＝1.7．某一简单几何体的实物图如下图所示，试根据实物图画出此几何体的三视图．三视图如下图所示．8．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1， 所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC . 又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ， 所以BC ⊥平面PAB . 所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5， 所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB ，△PAD ，△PBC ，共3个．9．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别是 2,4 .三棱柱为正三棱柱，侧视图与过侧棱与相对的侧面垂直的截面相等，其高为2，设底面边长为a ，则32a ＝23， 所以a ＝4.10．(2017·盐湖区校级月考)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．(1)该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如下图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形中对边的距离，即BC＝3a. AD是正六棱锥的高，即AD＝3a.所以该平面图形的面积S＝12×3a×3a＝32a2.空间几何体的表面积与体积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．122π B．12πC．82π D．10π设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，所以S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2＝12π.2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A.π2＋1 B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.3．(2018·河北五校高三联考)已知几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)A ．1 B.43C.53 D ．2将三视图还原为直观图，如图1.1由直观图可知，该几何体是一个组合体，将该组合体分割成两个几何体，如图2.2其中E －AGHD 为四棱锥，EGH －FBC 为三棱柱． 四棱锥E －AGHD 的底面矩形边长分别为1,2，高为1， 其体积V 1＝13×1×2×1＝23.三棱柱EGH －FBC 为斜三棱柱，此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E ′GH －F ′BC ，如图3.图3此棱柱的体积V 2＝12×2×1×1＝1.所以所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝53.4．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 则球O 的表面积为(D)A.169πB.163πC.649πD.643π在△ABC 中，因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，由正弦定理得ACsin ∠ABC ＝2r (r 为△ABC 的外接圆半径)，即2r ＝2sin 30° ＝4，所以r ＝2.因为R 2＝r 2＋h 2，又因为h ＝R2，所以R 2＝4＋R 24，解得R 2＝163，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝64π3.5．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 80 cm 2，体积是 40 cm 3.由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)； 体积为4×4×2＋23＝40(cm 3)．6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为92π .设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，所以a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， 所以R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×(32)3＝92π.7．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．如图，正三棱锥S －ABC ，设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 即为该正三棱锥的高， 连接AH 并延长交BC 于E ， 则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC . 因为△ABC 是边长为6的正三角形， 所以AE ＝32×6＝33，所以AH ＝23AE ＝23， 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， 所以SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝3， 所以V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A.13＋πB.23＋π C.13＋2π D.23＋2π由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，所以V ＝13＋π.9．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成的角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为 8π .在Rt △SAB 中，SA ＝SB ，S △SAB ＝12·SA 2＝8，解得SA ＝4.设圆锥的底面圆心为O ，底面半径为r ，高为h ， 在Rt △SAO 中，∠SAO ＝30°， 所以r ＝23，h ＝2，所以圆锥的体积为13πr 2·h ＝13π×(23)2×2＝8π.10．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)； (2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V 球＝43πr 3＝36π，圆柱的体积V 圆柱＝Sh 1＝64π，正四棱台的体积是V 正四棱台＝13h 2(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝336，所以此几何体的体积是V ＝100π＋336＝650(cm 3)． (2)因为底座是正四棱台， 所以它的斜高是h ′＝－2＋42＝5，所以它的侧面积是S 侧＝4×12×(6＋12)×5＝180 (cm 2)．空间点、线、面的位置关系1．下列命题正确的个数是(B)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个 B．2个C．3个 D．4个①中两角应相等或互补；②的说法正确，因为两直线所成的角即夹角为锐角或直角；③在平面几何中成立，但在立体几何中不一定成立；④根据平行公理，是正确的．因此②④是正确的．2．(2018·哈尔滨模拟)已知a，b，c是空间中的三条不同的直线，命题p：若a⊥b，a ⊥c，则b∥c；命题q：若直线a，b，c两两相交，则a，b，c共面，则下列命题中为真命题的是(D)A．p∧q B．p∨qC．(﹁p)∧q D．p∨(﹁q)若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以命题p是假命题．若直线a，b，c交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也是假命题．故p∨(﹁q)为真命题．3．(2018·广州市高考模拟)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(B)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件甲⇒乙，但乙 甲，所以甲是乙成立的充分不必要条件．4．如图，空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形EFGH的形状一定是(C)A．等腰梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形因为E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，所以EF 12AC，GH12AC，所以EF GH，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，而EF∥AC，GF∥BD，所以EF⊥FG.故四边形EFGH为矩形．5．有下面几个命题：①若空间四点不共面，则任意三点不共线；②若直线l上有一个点在一个平面外，则直线l不在这个平面内；③若a⊂α，b⊂α，b⊂β，c⊂β，则a，c必共面；④三个平面两两相交，可有一条或三条交线．其中真命题的序号是①②④.6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c; ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b; ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是①④.(写出你认为正确的所有命题的序号)由公理4知①是真命题．在空间a⊥b，b⊥c，直线a，c可以平行、相交或异面，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，直线a，b可以平行、相交或异面，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理，真命题．故真命题的序号为①④.7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．(1)连接A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，又因为A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF≠CD1，所以CE，D1F相交，设交于点P，如图，因为CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理P∈平面ADD1A1，又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈DA，所以CE，D1F，DA三线共点．8．(2018·河南六市一模)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(D)A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β对于A，m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，所以A不是必然事件；对于B，m∥α，n⊥β，则m⊥β，又m∥α，则α⊥β，所以B是不可能事件；对于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，所以C不是必然事件；对于D，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，因此D是必然事件．9．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号是②④.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直； ③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线； ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．对于①，若直线m ⊥α，如果α⊥β，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线，故①错误；对于②，若直线m ⊥α，则直线m 垂直于平面α内的所有直线，则直线m 垂直于α，β的交线．在平面β内，存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线与直线m 垂直，故②正确；对于③④，若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线，故③错误，④正确．10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 上的点，且AE EB ＝AH HD ＝12，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：四边形EFGH 是梯形．在△ABD 中，AE EB ＝AH HD ＝12，所以EH ∥BD ，且EH ＝13BD .在△BCD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，且FG ＝23BD .根据平行公理知，FG ∥EH .又因为FG >EH ，所以四边形EFGH 是梯形．空间中的平行关系1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．2．α，β，γ为不同的平面，a，b为不同的直线，给出下列条件：①α∥a，β∥a; ②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，a⊥β.其中能使α∥β成立的条件的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4只有②④正确，选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.4．(2018·广州市二测)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(C)A.352B.358C.92D.98如图，取AA1的中点N，则四边形BC1MN为所求截面．此截面是两腰为5，上底为2，下底为22的等腰梯形，其面积S＝2＋222×32＝92.5．在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1上的点，若BD1∥平面ACE，则DE＝12.连接BD 交AC 于O ，连接EO ，可知EO ∥BD 1，故E 为DD 1的中点，所以DE ＝12.6．下列命题：①一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②一条直线和一个平面内无数条直线平行，这条直线与这个平面平行； ③一条直线与两个平行平面中的一个相交，则与另一个也相交； ④一条直线与两个平行平面中的一个平行，则与另一个也平行． 其中为真命题的序号是 ③ .7．(2017·蒙自市校级模拟节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，BC ＝CC 1＝4，D 是A 1C 1的中点．求证：A 1B ∥平面B 1CD .(方法一)连接BC 1，交B 1C 于O ，连接DO .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为平行四边形， 则BO ＝OC 1，又D 是A 1C 1的中点，所以DO ∥A 1B ， 而DO ⊂平面B 1CD ，A 1B ⊄平面B 1CD ， 所以A 1B ∥平面B 1CD .(方法二)取AC 的中点E ，连接A 1E ，EB ， 易证A 1E ∥DC ，EB ∥DB 1，所以A 1E ∥平面DB 1C ，EB ∥平面DB 1C ， 又A 1E ∩EB ＝E ，所以平面DB 1C ∥平面A 1EB ，因为A 1B ⊂平面A 1EB ，所以A 1B ∥平面B 1CD .8．(2018·威海二模)设a ，b 是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a α，a ∥βC．存在两条直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移两条异面直线到一个平面中成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．9．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条．记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．10．(2017·北京卷·理节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.求证：M为PB的中点．设AC，BD交于点E，连接ME，因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．空间中的垂直关系1．(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(D)A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面可以结合图形逐项判断．A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．2．(2018·白银区校级月考)l，m，n是互不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C)A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l⊥n，m⊥n，则l∥mA选项中，α∥β，lα，nβ，则l与n还可能异面；B选项中，α⊥β，lα，则l与β还可能斜交或平行；C选项中，l⊥α，l∥β，所以β⊥α是正确的；D选项中，l⊥n，m⊥n，则l与m还可能相交或异面，选C.3．如图，ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的点，则下面结论中，错误的是(C)A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥CED．平面ADE⊥平面BCE因为BE⊥AE，BE⊥DA BE⊥平面ADE BE⊥ED，平面ADE⊥平面BCE.同理可证AE⊥CE .故A ，B ，D 都为真命题．对于C ，假设DE ⊥CE ，又DE ⊥BE DE ⊥平面BCE ，又AE ⊥平面BCE DE ∥AE ，这显然矛盾．故选C.4．α，β，γ为不同平面，a ，b 为不同直线，给出下列条件： ①a ⊥α，β∥a; ②α⊥γ，β⊥γ；③a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b; ④a α，b β，a ⊥b . 其中能使α⊥β成立的条件的个数为(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4根据面面垂直的定义与判定，只有①和③能使α⊥β，选B.5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取AB ＝4，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝ 13 .连接AD ，则CD ＝AC 2＋AD 2＝AC 2＋AB 2＋BD 2＝13.6．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，将它沿AE ，AF 和EF 折起，使点B ，C ，D 重合为一点P ，则必有AP ⊥ 平面PEF .折起后，有⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PFAP ⊥PE PF ∩PE ＝P ⇒AP ⊥平面PEF . 7．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC . (2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，PA ∩AB ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .又PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD . (3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .8．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则(C) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1E ⊥AC因为A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，所以B ，D 错；因为A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， 所以A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面CEA 1B 1.又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，所以A 1E ⊥BC 1)因为A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错． 故选C.9．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为 36π .如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33， 即r 33＝9，所以r ＝3，所以S 球表＝4πr 2＝36π. 10．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ， 从而AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.空间角及其计算1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BDD 1B 1所成的角为(A) A ．30° B．45° C ．60° D．90°取B 1D 1的中点E ，连接C 1E ，BE ，因为C 1E ⊥平面BDD 1B 1，所以∠C 1BE 即为所求角θ.因为sin θ＝222＝12，所以θ＝30°，选A. 2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B) A ．3 B ．6 C ．9 D ．18棱锥的底面对角线长为2×23cos 60°＝23，高为23sin 60°＝3，设底面边长为a ，则2a ＝23，所以a ＝6，所以底面面积为a 2＝6，所以其体积V ＝13×6×3＝6，所以选B.3．已知二面角α－l －β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为(B)A ．30° B．60° C ．90° D．120°4．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′＝(B)A ．4 B．6 C ．8 D ．9连接AB ′，设AB ＝a ，可得AB 与平面α所成的角为∠BAB ′＝π4，在Rt △BAB ′中，有AB ′＝22a . 同理可得AB 与平面β所成的角为∠ABA ′＝π6，所以A ′A ＝12a .因此在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝22a 2－12a 2＝12a ， 因为AB ＝12，所以A ′B ′＝6，故选B.5．长为2a 的线段AB 在平面α内的射影线段A 1B 1的长为a ，则直线AB 与平面α所成的角的大小为 60° .设直线AB 与平面α所成的角为θ，则cos θ＝a 2a ＝12，则θ＝60°.6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 36.如图，O 为底面正△ABC 的中心，则OP ⊥平面ABC ，∠PCO 即为所求角，设AB ＝1， 则PC ＝2，OC ＝33， 所以cos ∠PCO ＝OC PC ＝36. 7．(2018·天津卷)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．(1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .(2)如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND . 又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13. 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.(3)如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34. 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为(C)A.110B.25C.3010D.22取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 12B 1C 1 BD ，因此ND BM ，则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角． 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此，cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010.9．已知正四面体A －BCD 的棱长为a.(1)AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为33； (2)二面角A －BD －C 的平面角的余弦值为 13 .设A 在底面BCD 上的射影为O ，连接OA ，连接OC 并延长与BD 相交于E ，连接AE .(1)因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ACO 就是AC 与平面BCD 所成的角． 因为△BCD 是正三角形， 所以O 是△BCD 的中心．在Rt △AOC 中，OC ＝23×32a ＝33a ，所以cos ∠ACO ＝OC AC ＝33. 所以AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2)因为四面体A －BCD 为正四面体， 所以△BCD 和△ABD 都为正三角形， 所以OE ⊥BD 且AE ⊥BD ，所以∠AEO 为二面角A －BD －C 的平面角， 所以OE ＝13×32a ＝3a 6，AE ＝32a ，所以cos ∠AEO ＝OE AE ＝13.所以二面角A －BD －C 的平面角的余弦值为13.10．如图，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，且PC ＝a ，E 为PA 的中点．(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ； (2)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； (3)求二面角D －PA －B 的平面角的余弦值．(1)证明：设AC 交BD 于O ，连接OE ，因为O 是AC 的中点，E 是PA 的中点，所以OE ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD ，因为OE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD . (2)连接OP ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PC ，PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ，所以OP 是BP 在平面PAC 上的射影，所以∠BPO 即为所求角． 在Rt △BPO 中，OB ＝32a ，PB ＝2a ， 所以sin ∠BPO ＝OB PB＝64. 所以PB 与平面PAC 所成角的正弦值为64. (3)过D 作DF ⊥PA 于F ，连接BF ，由(2)知BD ⊥PA ，DF ∩BD ＝D ，所以PA ⊥平面BFD ，BF ⊂平面BFD ，所以PA ⊥BF ，所以∠DFB 即是所求二面角的平面角． 在△DFB 中，可考虑用余弦定理求∠DFB . 因为PD ＝PA ＝2a ，取AD 的中点G ，连接PG ，则PG ⊥AD ， PG ＝PD 2－DG 2＝72a ， 由等面积法知AD ×PG ＝PA ×DF ，得DF ＝a ×72a 2a＝144a ，BF ＝DF ＝144a ，BD ＝3a ，所以cos ∠DFB ＝1416a 2＋1416a 2－3a 22×1416a 2＝－57.所以二面角D －PA －B 的平面角的余弦值为－57.立体几何的综合应用1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ， 故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC.(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：连接AC 交BD 于O .因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC ＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD ＝23CG . 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC . 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2，所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43. 3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD, ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．(1)在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD . 因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x .因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27， 解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×＋2×23＝4 3.4．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．(1)如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .BO ∩DO ＝O ，从而AC ⊥平面DOB ，BD ⊂平面DOB ，故AC ⊥BD .(2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC . 又△ABC 是正三角形，所以AC ＝AB ，又AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案

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小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐 近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲作业课件理

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲作业课件理

解析
2.如图，已知直线与抛物线 x2＝2py 交于 A，B 两点，且 OA⊥OB，OD ⊥AB 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为(2,4)，则 p 的值为( )
A．2
B．4
3 C.2
5 D.2
答案 D
答案
解析 ∵OD⊥AB，∴kOD·kAB＝－1.又 kOD＝42＝2，∴kAB＝－12，∴直线 AB 的方程为 y－4＝－12(x－2)，即 y＝－12x＋5，由xy2＝＝－2p12yx，＋5， 消去 y 可 得 x2＋px－10p＝0，∴Δ＝p2＋40p>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－ p，x1x2＝－10p，则 x1x2＋y1y2＝0，又 x1x2＋y1y2＝x1x2＋－21x1＋5－21x2＋5＝ 54x1x2－52(x1＋x2)＋25＝54×(－10p)－52×(－p)＋25＝0，∴p＝52.
解析
10．过抛物线 C：x2＝2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点， 若抛物线 C 在点 B 处的切线的斜率为 1，则|AF|＝________.
答案 1
答案
解析 把抛物线 C 的方程 x2＝2y 改写为 y＝x22求导得 y′＝x，因为抛物 线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，即 y′＝xB＝1，所以点 B 的坐标为1，12，抛 物线的焦点 F 的坐标为0，12，所以直线 l 的方程为 y＝12，所以 A－1，21，|AF| ＝1.
解析
4．设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物
线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.若△QAF 的面积为 2，则点 P 的
坐标为( )
A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何作业答案

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何作业答案

课时作业(四十八)1. C ［解析］直线y=x的斜率k=1,故tan a =1,所以a =45°，故选C2. B ［解析］由斜率公式可得,直线丨的斜率k=—=_,故选B3. D［解析］因为直线在x轴、y轴上的截距分别为-<0,-->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限，故选D.4. 3x-y- 5=0 ［解析］由点斜式方程，得y+2=3(x- 1),即3x-y- 5=0.5.1或-1 ［解析］令x=0，得y=k;令y=0,得x=- 2k. •••所围成的三角形的面积S=_ - =k2=1，二k=1 或-1.6. A ［解析］由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在，且为k=--,又直线的倾斜角为45 ° ,• k二-=tan 45° =1, • a=-b ,• a+b=0,故选 A.7. B ［解析］•••点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+ 1 =0上,•点P的纵坐标为3, •P(2,3).又T = , •-直线PA,PB的斜率互为相反数，•-直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y- 3=- (x- 2),即x+y- 5=0，故选B8. B ［解析］由题意得易得点Q- 的坐标满足-+b=1,即点Q在直线I上.由方程组得两式相加，得c+-=1,即点P在直线l上.故选B9. B ［解析］联立两直线方程得" 解得一所以两直线的交点坐标为---- ---- .因为两直线的交点在第一象限，所以一解得k>-，则tan 0 >—,所以0 € --故选B10. A ［解析］T丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，二丙车速度最大，丁车速度最小，二由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大，丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小，故选A11. B ［解析］由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,二直线x+my-1=0和直线mx-y-2m£=0垂直，则|PA| +|PB| =|AB| =10》-------- ，即|PA|+|PB| < 2 一当且仅当|PA|=|PB|= 一时等号成立,二|PA|+|PB|的最大值为2 一故选B.12. x+ 2y- 3=0 ［解析］设A(a,0),B(0,b),由=-2 ，可得a-1= -2x (0- 1),0- 1=-2(b- 1),W a=3,b二,由截距式可得直线丨的方程为-+―=1，即x+2y- 3=0.13. —或一［解析］设直线丨1,直线12的倾斜角分别为a ,3，因为k>0，所以a , B均为锐角.直线丨1,1 2 与x 轴围成一个等腰三角形，有以下两种情况：当a =2 3时,tan a =tan 2 3，即-= 又因为k>0所以k=—；当3 =2 a 时,tan 3 =tan 2 a，即2k= 又因为k>0，所以k=.14. 4 ［解析］•••直线丨过点(a,0)和(0,b),a€ N*,b€ N*,「.可设直线丨的方程为-+-=1. 丁直线丨过点(1,6),.••-+-=1，即卩6a=(a-1)b, 工1,当a>2 时,b=一=6+一.当a=2 时,b=12;当a=3 时,b=9;当a=4 时,b=8; 当a=7时,b=7;当a>7时满足条件的正整数b不存在.综上，满足条件的直线有4条.15. C ［解析］如图所示，可知A_,0),B(1,1),C(0, _),D(- 1,1),所以直线ABBCCD的方程分别为y=「(x- _),y=(1- _)x+ _,y=( _- 1)x+整理为一般式即为x+( _- 1 )y- 一=0,(1- _)x-y+ _=0,( _-1)x-y+ _=0,分别对应题中的ABD选项.故选C16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k A B=——=-2,则AB的中垂线方程为y-2=-(x- 1),即x-2y+3=0.由一得_•••△ ABC的外心为(-1,1).2 2 2 2 2 2则(m+1) +(n-1) =3 +(-1) =10,整理得m+n +2m-2n=8②,由①②得m=4n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,BC重合,舍去，•顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1. C ［解析］由两条平行线之间的距离公式得所求距离d= - -=2，故选C2. C ［解析］由题意及点到直线的距离公式得一一= ，解得a二-或--,故选C解得交点坐标为- ，由题意得解得4. 0<k<_ ［解析］由方程组3. A ［解析］由两直线丨1：2x-y+3=0,1 2：mx+2y+1=0平行可得-=2且3斗-,解得m=4,故选A.0<k<-.5. - 2 ［解析］如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A' (3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=：-=-2.16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0, 6. A ［解析］由直线丨1：ax-(a+1)y+1=0与直线12：2x-ay- 1=0垂直，可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线Max-(a+1)y+1=0与直线|2：2x-ay- 1=0垂直”的充分不必要条件，故选A到y 轴的距离就是这条光线经过的最短路程 ，所以最短路程是3.7. B ［解析］由题意得-- • tan 0 =-1，二 tan 0 =2, - cos 2 0 = 8. B ［解析］因为直线I 与直线3x-4y+5=0关于x 轴对称所以直线I 的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率 相反,所以可设直线I 的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x 轴上的截距相等，所以b=5,所以直线I 的 方程为3x+4y+5=0,故选B9. C ［解析］如图所示，点A(3,-1)关于直线I ：x+y=0的对称点为qi,-3),直线BC 的方程为一=一，即 x- 4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC 与直线I 的交点坐标为一 -一 .|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，由图可知,当点P 的坐标为一-—时,|PB|+|PC|取得最小值，即|PA|+|PB|取得最小值，故选C 10. C ［解析］由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称，两点连线的中点坐标为 --------- ,即(2,1).点 (0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为—=--，则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(min)也关于直线y=2x- 3对称,则有 _ 解得所以m+nh.故选C.11. (3,0)［解析］T 直线I i ：y=kx+2-k 与直线12关于直线y=x-1对称，二直线I 2的方程为x- l=k(y+l)+2-k , 即x-ky- 3=0，显然直线I 2经过定点(3,0).12. 3 ［解析］由直线I 2经过点C(1 ,n),D(-1,m+|),可得丨2的斜率为 一^二-.因为直线I 1平行于12,所以直 线I 1的斜率也是--,即——=—,解得m=3.13. 3 ［解析］设点A 关于直线I 的对称点为B(mn),则 - 解得 即B(3,1).因为点B 二一,故选B.P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|0P|=-= 一,所以原点到直线I 的距离 的最大值为 15. ②③［解析］根据题意，可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析. 对于①,d= =3 —>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”；对 于②,d=2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直 线”;对于③,d= - =4，所以直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”； 对于④,d= ^—>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.16. - -［解析］设直线0P 的斜率为k,点0关于BC 的对称点为N 则点N 的坐标为(4,0),则直线NP 的斜 率为-k,故直线NP 的方程为y=-k(x-4)，故点E 的坐标为-- .易知直线EQ 的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k_x- (--+4)_ ,故点Q 的坐标为(-1,4- 5k).若OP 的斜率为-，即k=-，则点Q 的纵坐标为-. 若点Q 恰为线段AD 的中点，则4- 5k=1，即 k=-,即OP 的斜率为-•课时作业(五十) . . 2 2 . .1. D ［解析］圆x +y +ax=0的圆心坐标为--，二--=1,解得a=-2.故选D.2. B ［解析］•••线段ABx-y- 2=0(0<x < 2)的两个端点为(0,-2),(2,0),二圆心为(1,-1),半径为2 2---------- =，二圆的方程为(x-1) +(y+1) =2,故选B2 2 23. C ［解析］配方得［x-(2m+l)］ +(y-m) = m(m^ 0),所以圆心坐标为(2m+,n),令 消去m 得 x- 2y-1=0(x 工 1),故选 C . . 2 2 . . . .4. - 1 ［解析］圆的方程配方得(x-1)+y =1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0 上，所以1+a=0，所以a=-1.14. ［解析］(2k- l )x+ky+i=o 可化为(1-x )+k (2x+y )=o,由 解得x=1,y=-2，即直线丨过定点5.2 ［解析］点P到直线l的距离的最小值是 --------- -1=2.6. D ［解析］由题意得，所以(x- 3)2+(y+4)2- 4=x2+y2,即6x- 8y- 21 =0,故选D7. D ［解析］一 =一+1,其中—表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q0,1)作QB与半圆相切,B为切点则在Rt△ CBC中, =- 所以/ CQB30 °则k oB=tan / CQB=,所以一-的最大值为一+1.8. D ［解析］直线AB：—+_=1，即卩4x-3y+12=0.若厶ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最短，易知d min= ---------- 1.又|AB|= 5,^ABC的面积的最小值为-,•••-X 5X --------------- - =-,即| 4m+2|= 10,二m—或--,故选D2 2 2 2 . . . .9. A ［解析］将x +y -2x- 6y+9=0化成标准形式为(x- 1) +(y- 3) =1，则圆心为(1,3),半径r= 1.设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =1,则圆心为(a,b). J所求圆与圆x +y -2 x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,•所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,•-•-a=-7,b=-1,二与圆2 2 2 2x +y - 2x- 6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7) +(y+1) =1，故选A.2 o11. 1 ［解析］圆C(x-2)+(y+m-4) =1 的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得= - ，•当时，最小，且最小值为2又|OC|min-r=2-仁1,故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1.12. 2 —［解析］因为M(mn)为圆Cx +y =4上任意一点，所以可设则m+2n =2cose +4sin 0 =2 "sin ( 0 +$ )<2 一，其中tan $「所以m+2n的最大值为2 一数形结合可得,——表示圆Cx2+y2=4上的点Mmn)与点P(-2,-3)连线的斜率，显然当直线PM与圆相切时，斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+ 2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径，得^==2,解得k=—,所以-- 的最小值为一.2 210. (x-1) +(y-1)=2 ［解析］因为|CA|=|CB|=R ,△ ABC为直角三角形所以/C=90°，又C在第一象限所_ , . 2 2以C(1,1)且R= 一，故圆C的标准方程为(x- 1) +(y- 1) =2.13. 解:⑴当弦AB 为圆的直径时，圆的周长最小.弦AB 的中点为(0,1),|AB|= ___ . . 2 2 r= —则圆的方程为x+(y-1)=10. (2)k AB =-=-3,弦AB 的中点为(0,1),所以AB 的中垂线方程为y- 1d(x-0),即x- 3y+3=0.由- 解得 所以圆心为(3,2),. . _ . . 2 2 所以圆的半径r= - =2 一,所以圆的方程为(x- 3) +(y- 2) =20.14. 解:⑴设动点 P 的坐标为(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1),=(1-x ，-y). 2 2 2 2 2=k| | ,.・.x +y-仁k[(x-1) +y ], 即(1-k)x 3 4+(1-k)y 2+2kx-k- 1=0 ①.若k=1则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；2 . .若k 工1,则①为 一 +y =—，表示以-— 为圆心,—为半径的圆.16. A ［解析］依题意得，函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是 A(2018,0),B(-2019,0),C(0,- 2018X 2019).设经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点是 D(O,y 。

2020版高考数学人教版理科一轮复习第八章 平面解析几何课时作业48 (10)

2020版高考数学人教版理科一轮复习第八章 平面解析几何课时作业48 (10)
(1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 请说明理由．
解：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为xa22＋yb22＝1(a>b>0)，且 可知其左焦点为 F′(－2,0)．
椭圆 C：ax22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率 e＝ 23，a＋b＝3. (1)求椭圆 C 的方程．
(2)如图，A，B，D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任 意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率 为 k，MN 的斜率为 m.证明：2m－k 为定值．
解：(1)因为 e＝ 23＝ac，
所以
a＝
23c，b＝
1 3c.
代入 a＋b＝3 得，c＝ 3，a＝2，b＝1. 故椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. (2)证明：因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，
则直线 BP 的方程为 y＝k(x－2)k≠0，k≠±12，① 把①代入x42＋y2＝1，
解得 P84kk22－＋21，－4k42＋k 1. 直线 AD 的方程为 y＝12x＋1.② ①与②联立解得 M42kk＋－21，2k4－k 1. 由 D(0,1) ， P 84kk22－＋21，－4k42＋k 1 ， N(x,0) 三 点 共 线 知 －48k4k22k＋－42＋k12－1－01＝0x－－01，得 N42kk－＋21，0.
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时，y＝－1，所以 l 过定点(2，－1)．
解决圆锥曲线中定点问题的基本思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把常量当作 未知数，将方程一端化为 0，即化为 kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(这里 把常量 k 当作未知数)． (2)既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参 数的系数就要全部等于 0，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，即

(人教版)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何测评 理

(人教版)2020届高考数学一轮复习 第8单元 解析几何测评 理

第八单元解析几何小题必刷卷(十一)直线与圆题组一真题集训1.[2015·北京卷]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.[2015·广东卷]平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=03.[2013·山东卷]过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=04.[2016·全国卷Ⅱ]圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.25.[2015·山东卷]一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-6.[2015·全国卷Ⅱ]过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.107.[2013·全国卷Ⅱ]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 ()A.(0,1)B.C.D.8.[2016·上海卷]已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是.9.[2016·天津卷]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.10.[2016·全国卷Ⅲ]已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .11.[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.12.[2017·天津卷]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.题组二模拟强化13.[2017·柳州模拟]已知直线2x-y-3=0的倾斜角为θ,则sin 2θ的值是()A. B.C. D.14.[2017·泉州模拟]直线l1:ax+y-a+1=0,直线l2:4x+ay-2=0,则“a=±2”是“l1∥l2”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15.[2017·北京石景山区一模]以点(-1,1)为圆心且与直线x-y=0相切的圆的方程是()A.+=2B.+=4C.+=2D.+=416.[2017·江西八校联考]已知点P(a,b)及圆O:x2+y2=r2,则“点P在圆O内”是“直线l: ax+by=r2与圆O相离”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.[2017·韶关二模]过直线l:y=x+1上的点P作圆C:(x-1)2+(y-6)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于直线y=x+1对称时,=()A.3B.2C.1+D.218.[2017·兰州模拟]若直线l:ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆C:(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则当ab取得最大值时,坐标原点到直线l的距离是 ()A.4B.8C.2D.19.[2017·重庆调研]设直线x-y-a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB 为等边三角形,则实数a的值为 ()A.±B.±C.±3D.±920.[2017·海口调研]已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=121.[2017·黄山二模]已知圆C:x2+y2=1,点P为直线+=1上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点()A.B.C.D.22.[2017·惠州二模]已知两点A(2,0),B(0,2),则以线段AB为直径的圆的方程为.23.[2017·南京二模]在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.24.[2017·宁夏中卫二模]已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有=,则当取得最小值时点P的坐标为.小题必刷卷(十二)圆锥曲线题组一真题集训1.[2017·浙江卷]椭圆+=1的离心率是()A.B.C. D.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)3.[2017·天津卷]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.[2014·全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3 C.m D.3m5.[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.[2016·全国卷Ⅰ]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.7.[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为 ()A.2B.4C.6D.88.[2017·全国卷Ⅲ]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ()A.B.C.D.9.[2014·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B 两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.10.[2017·全国卷Ⅱ]若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.11.[2017·全国卷Ⅱ]过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.312.[2015·全国卷Ⅰ]已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.13.[2017·全国卷Ⅱ]已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .题组二模拟强化14.[2017·天津南开区模拟]已知椭圆+=1的长轴在x轴上,若焦距为4,则m等于()A.4B.5C.7D.815.[2017·保定二模]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.216.[2017·德州二模]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B(A在B上方)两点,O为坐标原点,若S△AOB=2,则双曲线的离心率e=()A. B.C.2 D.17.[2018·荆州中学月考]已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),经过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x18.[2017·贵阳二诊]已知椭圆E:+=1(a>b>0)与两条平行直线l1:y=x+b,l2:y=x-b分别相交于四点A,B,D,C,且四边形ABCD的面积为,则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.19.[2017·长沙三模]已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使=,则双曲线M的离心率的取值范围为()A.B.C.D.20.[2017·遂宁三诊]已知直线l过椭圆C:+y2=1的左焦点F且交椭圆C于A,B两点,O 为坐标原点,若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离为()A.B.2 C.D.21.[2017·宁夏固原一中月考]在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则以A,B为焦点,且过点C 的椭圆的离心率为.22.[2017·珠海摸底]已知双曲线C的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,若=2,则cos∠AF2F1= .23.[2017·泉州质检]椭圆C:+y2=1(a>0)的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为.24.[2017·云南二检]已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A,B(A在B的上方)两点,双曲线的一条渐近线方程是y=x,点F是抛物线的焦点,且△FAB是等边三角形,则双曲线的标准方程是.解答必刷卷(五)解析几何题组一真题集训1.[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.3.[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程.(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.题组二模拟强化4.[2018·山西孝义一模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A1,,C的四个顶点构成的四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程.(2)在椭圆C上是否存在相异两点E,F,使其满足:①直线AE与直线AF的斜率互为相反数;②线段EF的中点在y轴上?若存在,求出∠EAF的角平分线与椭圆相交所得弦的弦长;若不存在,请说明理由.5.[2017·赣州二模]如图J5-1,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,顶点为A1,A2,B1,B2,且·=3.(1)求椭圆C的方程.(2)P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线B2P交x轴于点Q,直线A1B2交A2P于点E.设A2P 的斜率为k,EQ的斜率为m,则2m-k是否为定值?并说明理由.图J5-16.[2017·益阳调研]已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线C于点P1,P2和点P3,P4,线段P1P2,P3P4的中点分别为M1,M2.(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程.(2)求△FM1M2面积的最小值.(3)过M1,M2的直线l是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.小题必刷卷(十一)1.D[解析] 根据题意知圆的半径r==,所以以(1,1)为圆心且过原点的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.2.A[解析] 设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为=,∴|m|=5,即m=±5.3.A[解析] 方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k,由题意得=1,解之得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为,又∵k PC==,∴k AB=-=-2,即弦AB所在直线方程为y-1=-2,整理得2x+y-3=0.方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为+y=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立两式相减得2x+y-3=0.4.A[解析] 由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离d==1,解得a=-.5.D[解析] 设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),∴反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又∵其与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴=1,解得k=-或k=-.6.C[解析] 方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以=2=4.方法二:因为k AB=-,k BC=3,所以k AB k BC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形,所以△ABC 的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r==5,所以=2=4.方法三:由·=0得AB⊥BC,下同方法二.7.B[解析] 方法一:易得△ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时,易得b=1-;当a=时,易得b=;当a=1时,易得b=-1>.故选B.方法二:(直接法)⇒y=,y=ax+b与x轴交于,结合图形与a>0,××=⇒(a+b)2=a(a+1)>0⇒a=.∵a>0,∴>0⇒b<,当a=0时,极限位置易得b=1-,故答案为B.8.[解析] 由两平行线间的距离公式得d==.9.(x-2)2+y2=9[解析] 设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得=,解得a=2(a=-2舍去),所以圆的半径r==3,所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.10.4[解析] 联立消去x得y2-3y+6=0,解之得或不妨设A(-3,),则过点A且与直线l垂直的直线方程为x+y+2=0,令y=0得x C=-2.同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标x D=2,∴|CD|=4.11.[-1,1][解析] 在△OMN中,|OM|=≥1=|ON|,所以设∠ONM=α,则45°≤α<135°.根据正弦定理得=,所以=sin α∈[1,],所以0≤≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的x0的取值范围为[-1,1].12.(x+1)2+(y-)2=1[解析] 由题意知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,如图所示.设圆的圆心坐标为(-1,y0),易知圆的半径为1.因为∠FAC=120°,∠CAO=90°,所以∠FAO=120°-90°=30°,故y0=,则圆心坐标为(-1,),故圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.13.C[解析] 易知tan θ=2,则sin 2θ==,故选C.14.C[解析] 易知a≠0,则=≠,解得a=-2,则“a=±2”是“l1∥l2”的必要不充分条件,故选C.15.A[解析] 由点到直线的距离公式可得圆的半径r==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2,故选A.16.C[解析] 点P(a,b)在圆O: x2+y2=r2内⇔a2+b2<r2⇔d=>r,故选C.17.B[解析] 由题设可知当CP⊥l时,两条切线l1,l2关于直线l:y=x+1对称,此时为点C(1,6)到直线l:y=x+1的距离,即|CP|===2.故选B.18.D[解析] 依题意可知,直线l过圆心(-4,-1),所以1=4a+b≥4,即ab≤,当且仅当b=4a=时等号成立,故当ab取得最大值时,原点到直线l的距离为=.19.B[解析] 由题意知,圆心坐标为(0,0),半径为2,则△AOB的边长为2,所以△AOB的高为,即圆心到直线x-y-a=0的距离为,所以=,解得a=±,故选B.20.C[解析] 到两平行直线3x-4y=0与3x-4y+10=0的距离相等的直线的方程为3x-4y+5=0,联立解得所以圆心为M(-3,-1),半径为=1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1,故选C.21.B[解析] 设P(4-2m,m),∵PA,PB是圆C的切线,∴CA⊥PA,CB⊥PB,∴AB是圆C与以PC 为直径的圆的公共弦.易得以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+.又x2+y2=1,∴直线AB的方程为2(2-m)x+my=1.由于,满足上式,∴直线AB过定点,,故选B.22.(x-1)2+(y-1)2=2[解析] ∵直径的两端点为B(0,2),A(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.23.3[解析] 由题意得,直线l1:kx-y+2=0经过点A(0,2),直线l2:x+ky-2=0经过点B(2,0),且直线l1⊥l2,所以点P落在以AB为直径的圆C上.易知圆心为C(1,1),半径r=,则圆心到直线x-y-4=0的距离d==2,所以点P到直线x-y-4=0的最大距离为d+r=2+=3.24.[解析] 圆C:(x+1)2+(y-2)2=2的圆心为C(-1,2),半径r=.因为=,所以+r2=,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使最小,只要最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,最小,此时P点为两直线的交点,得P点坐标为-,.小题必刷卷(十二)1.B[解析] 由题意知,a=3,b=2,则c==,所以椭圆+=1的离心率e==.因此选B.2.A[解析] 若已知方程表示双曲线,则(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.3.B[解析] 由离心率为知该双曲线为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x.又∵过F和P(0,4)的直线与双曲线的渐近线平行,∴c=4,a=b=2.故选B.4.A[解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x+y=0.根据双曲线方程得a2=3m,b2=3,所以c=,双曲线的右焦点坐标为(,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为=.5.B[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴=①.又∵椭圆+=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a2+b2=c2=9②.由①②解得a=2,b=,故双曲线C的方程为-=1.6.B[解析] 不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c,0)和顶点(0,b),则直线l的方程为+=1,椭圆中心到直线l的距离为=×2b.又a2=b2+c2,所以离心率e==.7.B[解析] 设抛物线方程为y2=2px(p>0),点A在第一象限,点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2,代入抛物线方程得x=,即点A,2.易知点D-,,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上,所以+8=+5,解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离.8.A[解析] ∵以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心到此直线的距离d等于圆的半径,即d==a.又a>b>0,则上式可化简为a2=3b2.∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即=,∴e==.9.D[解析] 抛物线的焦点为F,则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y=,即x=y+,代入抛物线方程得y2-3 y-=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3 ,y1y2=-,则S△OAB=|OF||y1-y2|=××=.10.A[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==.根据已知得12+=4,即=3,所以b2=c2,所以e====2.11.C[解析] 由抛物线的方程y2=4x得焦点F(1,0),准线l:x=-1,故直线MF的方程为y=(x-1).由得M(3,2),又MN⊥l,所以N(-1,2),所以直线NF的方程为x+y-=0,所以M到直线NF的距离d==2.12.A[解析] 由题意不妨取F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=+-3<0.又点M在曲线C上,所以有-=1,即=2+2,代入上式得<,所以-<y0<,故选A.13.6[解析] 设N(0,t),易知抛物线的焦点F(2,0),则FN的中点坐标为,因为该点在抛物线上,所以=8,所以t2=32,所以|FN|===6.14.A[解析] ∵椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,∴10-m-m+2=4,解得m=4,满足题意.故选A.15.B[解析] 由渐近线方程可知=,所以e==,故选B.16.D[解析] 易知准线方程是x=-1,渐近线方程是y=±x,当x=-1时,y=±,即A-1,,B-1,-,所以S△AOB=××1=2,即=2,所以e===,故选D.17.D[解析] 不妨设A点位于第一象限,B点位于第四象限,则A,p,B,-p,设焦点为F,则S△ABC=×|CF|×|AB|=×+4×2p=24,解得p=4或p=-12(舍去),则直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y2=-8x.18.A[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+b与椭圆方程,可得(a2+b2)x2+2a2bx=0,则|x1-x2|=,=×|x1-x2|=,两平行线之间的距离d==b,所以四边形ABCD的面积S=×b==,结合e=,a2=b2+c2可得e=,故选A.19.A[解析] 由正弦定理可知==,则|PF2|=|PF1|,因为|PF1|-|PF2|=2a,所以1-|PF1|=2a,解得|PF1|=,而|PF1|>a+c,即>a+c,整理得3e2-4e-1<0,解得<e<.又e>1,所以1<e<,故选A.20.A[解析] 易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的斜率为k,由于c==1,所以F(-1,0),所以直线l:y=k(x+1),代入x2+2y2-2=0,化简可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2-++1=-.由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即-=0,解得=,由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d===,故选A.21.-1[解析] 不妨设|BC|=1,∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴|AC|=,|AB|=2.∵椭圆以A,B为焦点,且经过C点,∴2a=|CA|+|CB|,2c=|AB|,∴a=,c=1,∴椭圆的离心率e===-1.22.[解析] 由双曲线的定义,得|F1A|-|F2A|=|F2A|=2a,则|F1A|=4a,因为双曲线的离心率为,所以|F1F2|=2c=5a,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF2F1==.23.7[解析] 因为离心率为,所以=,得a=2.由椭圆的定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,即|AF2|+|BF2|=8-|AB|,而由焦点弦的性质知,当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值2×=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值为8-1=7.24.x2-=1[解析] 准线方程为x=-,设A(-,m),B(-,-m),m>0,焦点到准线的距离是2,因为△FAB是等边三角形,所以2m×=2,所以m=2,即A(-,2),那么解得所以双曲线的标准方程是x2-=1.解答必刷卷(五)1.解:(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,椭圆E的方程为+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意知t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于=<0,即<0,由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).3.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1.=-1.由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-<n<,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.4.解:(1)由已知得解得∴椭圆C的方程为+=1.(2)易知直线AE,AF的斜率存在且不为0,设直线AE的方程为y-=k(x-1),与+=1联立,得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0.(*)设E(x1,y1),F(x2,y2),∵x=1是方程(*)的根,∴x1=,用-k代替上式中的k,可得x2=,∵线段EF的中点在y轴上,∴x1+x2=0,∴+=0,解得k=±,因此满足条件的点E,F存在.由平面几何知识可知∠EAF的角平分线所在直线的方程为x=1,∴所求弦长为3.5.解:(1)因为e=,所以=,由题意及图可得A1(-a,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以=(a,-b),=(a,b),又·=3,所以a2-b2=3,所以c=,所以a=2,b==1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意可知A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).因为A2P的斜率为k,由题意知k≠±,所以直线A2P的方程为y=k(x-2),k≠±,联立得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,其中=2,所以x P=,所以P,,则直线B2P的方程为y=x+1=-x+1k≠±.令y=0,则x=,即Q,0.直线A1B2的方程为x-2y+2=0,由解得所以E,,所以EQ的斜率m==,所以2m-k=2·-k=,为定值.6.解:(1)由题设条件得焦点F(1,0),设直线P1P2的方程为y=k(x-1),k≠0.联立得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,则Δ=[-2(2+k2)]2-4k2·k2=16(1+k2)>0.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则=(x1+x2)=1+>1,=k(-1)=,∴= 1 +,∴线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2=2(x-1)(x>1).(2)由(1)知同理,设M2(,),则∴|FM1|==,|FM2|==2|k|,因此=|FM1|·|FM2|=2+|k|≥4,当且仅当=|k|,即k=±1时,取得最小值4.(3)当k≠±1时,由(2)知直线l的斜率为k'=,∴直线l的方程为y+2k=(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,(*)当x=3,y=0时,方程(*)对任意k(k≠±1)均成立,即直线l过定点(3,0).当k=±1时,直线l的方程为x=3,也过定点(3,0).综上可知,直线l恒过定点(3,0).。

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第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A. B.-C. D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA与k MB之积为3,则实数m的取值范围是 ()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A. B.4C. D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A. B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A. B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x7.[2017·汉中二模]如图K51-1,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B,A.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()图K51-1A.4B.C.D.8.[2017·泸州三诊]已知在Rt△ABC中,|AB|=3,|AC|=1,A=,以B,C为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)经过点A,且与AB边交于点D,则的值为()A. B.3C. D.49.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P 为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y 轴交于点N,若=2,则C的离心率为()A.3B.2C. D.10.[2017·重庆一中期中]已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满足|MA|-|MB|=2,|NA|-|NB|=2,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为()A.-2B.-C. D.211.[2017·衡阳联考]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,则它的离心率为.12.[2017·石家庄二模]双曲线-=1(a>0,b>0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2,则该双曲线的标准方程为.13.(15分)[2017·海南一模]双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.(15分)[2017·菏泽模拟]双曲线C的中心在原点,右焦点为F,0,渐近线方程为y=±x.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,当k为何值时,以线段AB为直径的圆过原点?难点突破15.(5分)[2017·重庆一中月考]已知F2是双曲线E:x2-=1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同的两点A,B,过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,则的取值范围是()A.B.C.D.16.(5分)[2017·日照三模]在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x ∈(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1),不等式m<e1+e2恒成立,则m的最大值为()A.B.C.2D.课时作业(五十二)第52讲抛物线基础热身1.[2017·渭南质检]抛物线y=x2的焦点到准线的距离为()A.2B.C. D.42.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆C:(x+2)2+y2=16上,则p的值为()A.1B.2C.4D.83.[2017·合肥六校联考]抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为 ()A. B.C.1D.4.焦点坐标为(-2,0)的抛物线的标准方程为.5.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为.能力提升6.已知点A的坐标为(5,2),F为抛物线y2=x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,点P的坐标是 ()A.(1,)B.(,2)C.(,-2)D.(4,2)7.若抛物线y2=2px的焦点到双曲线-=1的渐近线的距离为p,则抛物线的标准方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-16xD.y2=8x或y2=-8x8.[2017·豫南九校联考]设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若=4,则直线l的方程为()A.y=2x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=2x+29.[2017·蚌埠三模]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1610.[2018·长沙模拟]已知F为抛物线C: y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若=6,则= ()A.2B.C.2D.11.[2017·漳州八校联考]已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF= .12.[2017·天津河西区二模]已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,+=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.13.(15分)[2017·孝感模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,△F1AB的面积为3,抛物线E:y2=2px(p>0)以椭圆C的右焦点F2为焦点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点P-,t(t≠0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证: 直线MN过定点.14.(15分)[2017·广东海珠区调研]已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.难点突破15.(5分)[2017·长沙三模]已知抛物线y2=4x,焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B 两点,则|AF|-的最小值为()A.2-2B.C.3-D.2-216.(5分)[2017·抚州二模]已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,抛物线的焦点为F,则·的值为.课时作业(五十三)第53讲曲线与方程基础热身1.在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x≠0)C.-x2=1D.+y2=1(x≠0)2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.x2=12yB.y2=-12xC.y2=12xD.x2=-12y3.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是()A.x2-4y2=1B.4y2-x2=1C.x2-=1D.-y2=14.[2017·沈阳模拟]平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足=λ+μ,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A.x-y=0B.x+y=0C.x+2y-3=0D.+=55.[2017·北京海淀区期中]已知F1(-2,0),F2(2,0),满足||PF1|-|PF2||=2的动点P的轨迹方程为.能力提升6.[2017·上海普陀区二模]动点P在抛物线y=2x2+1上移动,若P与点Q(0,-1)连线的中点为M,则动点M的轨迹方程为()A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x27.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=08.[2017·马鞍山质检]已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1B.x2-=1C.y2-=1D.x2-=19.[2017·襄阳五中月考]已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是()A.x2+=1B.+y2=1C.x2+=1D.+y2=110.[2017·黄山二模]在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC的周长为C1:y2=2510②△ABC的面积为C2:x2+y2=4(y≠0)10③△ABC中,∠A=90°C+=1(y≠0)3:则分别满足条件①②③的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C211.[2017·浙江名校一联]已知两定点A(-2,0),B(2,0)及定直线l:x=,点P是l上一个动点,过B作BP的垂线与AP交于点Q,则点Q的轨迹方程为.12.[2017·哈尔滨三模]已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为.13.(15分)[2017·石家庄模拟]已知P,Q为圆x2+y2=4上的动点,A(2,0),B(1,1)为定点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.14.(15分)[2017·合肥二模]如图K53-1,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B 两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.图K53-1难点突破15.(5分)[2017·湖南师大附中月考]已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=116.(5分)[2017·太原三模]已知过点A(-2,0)的直线与直线x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.课时作业(五十四)第54讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础热身1.[2017·大庆一模]斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.2.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有()A.0个B.至多1个C.1个D.2个3.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为()A.2B.C.D.4.[2017·锦州质检]设抛物线x2=2y的焦点为F,经过点P(1,3)的直线l与抛物线相交于A,B 两点,且点P恰为AB的中点,则||+||= .5.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.能力提升6.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则等于()A.5pB.10pC.11pD.12p7.[2017·太原二模]已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l: y=kx-kc.若k=,则l与Γ的左、右两支各有一个交点;若k=,则l与Γ的右支有两个不同的交点.Γ的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.已知椭圆E:+=1的一个顶点为C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点为△ABC的重心,则直线l的方程为()A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=09.[2017·石家庄模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为 ()A.2B.C.D.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别向y轴引垂线交y轴于D,C,若梯形ABCD的面积为3,则p=()A.1B.2C.3D.411.[2017·洛阳一模]已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,F为椭圆C的右焦点.圆x2+y2=4上有一动点P,P不同A,B两点,直线PA与椭圆C交于点Q(异于点A),若直线QF的斜率存在,则的取值范围是.12.[2017·三湘名校联考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差的绝对值为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为.13.(15分)[2017·东北三省二联]已知在平面直角坐标系中,O是坐标原点,动圆P经过点F(0,1),且与直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程;(2)过F(0,1)的直线m交曲线C于A,B两点,过A,B分别作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M,求△MAB面积的最小值.14.(15分)已知直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1) 若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1,在椭圆C 上,求椭圆C的方程;(2)当k=时,若点N平分线段A1B1,求椭圆C的离心率.难点突破15.(5分)[2017·武汉三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)内有一点M(2,1),过M的两条直线l1,l2分别与椭圆E交于A,C和B,D两点,且满足=λ,=λ(其中λ>0且λ≠1),若λ变化时直线AB的斜率总为-,则椭圆E的离心率为()A. B.C.D.16.(5分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,椭圆C2:+=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,若椭圆C2上存在关于直线l:y=x+对称的两个不同的点,则椭圆C2的离心率e 的取值范围为.课时作业(五十四)第54讲第2课时最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:k MA+k MB=2k MP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(- ,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P 为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.课时作业(五十四)第54讲第3课时定点﹑定值﹑探索性问题基础热身1.(12分)[2017·岳阳一中月考]过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,=2.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l的斜率为2,则抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?并说明理由.2.(12分)[2017·重庆二诊]如图K54-2,已知A,B分别为椭圆C:+=1的左、右顶点,P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别记为k1,k2.(1)求k1·k2.(2)过坐标原点O作与直线PA,PB分别平行的两条射线,分别交椭圆C于点M,N,△MON的面积是否为定值?请说明理由.图K54-2能力提升3.(12分)[2017·遂宁三诊]已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点, 证明: 直线AM与直线BM的斜率之积为常数.4.(12分)[2017·长沙质检]已知P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,P到直线x-y+4=0的距离为d1,P到E的准线的距离为d2,且d1+d2的最小值为3.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l1:y=k1(x-1)交E于A,B两点,直线l2:y=k2(x-1)交E于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,若k1k2=-2,直线MN的斜率为k,求证:直线l:kx-y-kk1-kk2=0恒过定点.5.(12分)[2017·哈尔滨二模]椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.难点突破6.(12分)[2017·孝义模拟]设椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为(-2,0),且椭圆C与直线y=x+3相切,(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(0,1)的动直线与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在常数λ,使得·+λ·=-7?请说明理由.课时作业(四十六)1.B[解析] 由斜率公式可得,直线l的斜率k==,故选B.2.A[解析] ∵直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,-<0,∴直线Ax-By-C=0不经过的象限是第一象限,故选A.3.60°[解析] 由题意得,直线的斜率k=,即tan α=,所以α=60°.4.60°[解析] ∵点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴a-4+1=0,∴a=,即直线l的斜率为,∴直线l的倾斜角为60°.5.y=(x-4)[解析] 易知直线BC的倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为y=(x-4).6.D[解析] 由题意,得k=-=,故tan α=-,故cos α=-,故选D.7.C[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C. 8.B[解析] 令x=0,得y=sin α<0,令y=0,得x=cos α>0,所以直线过点(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限,故选B.9.C[解析] 将(2,1)代入得2m-m2-1=0,所以m=1,所以直线l的方程为x-y-1=0,所以直线l 的斜率为1,倾斜角为,则所求直线的斜率为-1,故选C.10.D[解析] 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π).易知直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则k PA==-1,k PB==.∵点A(1,-2),B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,∴k PA<a<k PB,∴-1<tan θ<,tan θ≠0,得0<θ<或<θ<π,故选D.11.A[解析] 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示),则A(0,4),B(3,0),直线AB的方程为+=1.设P(x,y)(0≤x≤3),所以P到AC,BC的距离的乘积为xy,因为+≥2,当且仅当==时取等号,所以xy≤3,所以xy的最大值为3.故选A.12.(2,3)[解析] 直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过定点(2,3).13.x+2y-2=0或2x+y+2=0[解析] 设直线方程为+=1,得+=1.由题意知|ab|=1,即|ab|=2,所以或所以直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.14.[-2,2][解析] 设P,y,∵|PA|=|PB|,∴4|PA|2=|PB|2,又∵|PA|2=+(y-1)2,|PB|2=+(y-4)2,∴(y-m)2=16-4y2,其中4-y2≥0,故m=y±2,y∈[-2,2].令y=2sin θ,θ∈-,,则m=2sin θ±4cosθ=2sin(θ±φ),其中tan φ=2,故实数m的取值范围是[-2,2].15.C[解析] 设M(x,y),由k MA·k MB=3,得·=3,即y2=3x2-3.联立得-3x2+x+6=0(m≠0),则Δ=-24-3≥0,即m2≥,解得m≤-或m≥.∴实数m的取值范围是-∞,-∪,+∞.16.C[解析] 由|log a x|=m,得x A=a m,x B=a-m,所以y C=ka-m,y D=ka m,则直线CD的斜率为==-k,所以直线CD的斜率与m无关,与k有关,故选C.课时作业(四十七)1.B[解析] 由平行线间的距离公式可知,l1与l2之间的距离d==.2.A[解析] 直线3x+2y-2a=0的斜率为-,直线2x-3y+3b=0的斜率为,∵两直线斜率的乘积为-1,∴两直线垂直,故选A.3.A[解析] 设坐标原点为O,满足条件的直线为与OP垂直的直线,所以该直线的斜率为-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.4.[解析] 直线x+y+2=0的斜率为-,所求直线与直线x+y+2=0垂直,故所求直线的斜率为,故倾斜角为.。

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