数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域.ppt
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数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理DSP第二章1-z变换的定义及收敛域.ppt
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数字信号处理
2、z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
数字信号处理
1）有限长序列
数字信号处理
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2）右边序列
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因果序列
的右边序列，Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列
do
something
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第二章 z变换
时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
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3）左边序列
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4）双边序列
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数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
数字信号处理
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给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内
数字信号处理
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
第二章 Z变换
-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
DSP第二章Z变换
则 Z［ax(n) + by(n) ］
=aX(z)+bY(z), R m-<|z|<R m+
Rm+=min［ Rx+,Ry+］ Rm-=max［ Rx,Ry-］
2. 序列的移位
设 X(z)=Z［x(n)］, Rx-<|z|<Rx+
则 Z［x(n-m)］=z-mX(z), Rx-<|z|<Rx+
3. 乘以指数序列
n 0
X(z)存在的条件是z <1， 因此收敛域为|z|>1
1 X ( z) 1 z 1
-1
|z|>1
序列特性对收敛域的影响
1. 有限长序列
x(n)
x(n)= 0 其它
n1≤n≤n2
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
n n1
n2
1.
2.
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞
则
Y(z) = Z [y(n)] = Z [ x(n)h(n )] 1 z H(v) v-1 dv = 2л ∮ X v j c Rx-Rh- < |z| < Rx+Rh+
12、Parseval定理 若 X(z) = Z [x(n)] Rx- < |z| < Rx+
H(z) = Z[h(n)] Rh- < |z| < Rh+
令X(z)= P(z) Q(z)
零点：使X(z)=0的点 即P(z)=0和当Q(z)阶次高于P(z)时，Q(z) 极点：使X(z)
∞ 的点 ∞ ∞
即Q(z)=0和当P(z)阶次高于Q(z)时P(z)
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第2章-Z变换与离散系统的频域分析PPT课件
上式表明求多阶极点的留数比较麻烦，可以根据留数辅助
定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。
如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点，
用z 1 k
表示，围线c外有 N
个极点，用z 2 k
2
表示，NN1N2
根据留数辅助定理下式成立
N1
N2
Res[F(z),z1k] Res[F(z),z2k]
-
13
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
1. 围线积分法
已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为
x(n )1 X (z)zn 1 dz 2jc
c (R x,R x)
式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转 的封闭曲线，如下图所示。
-
14
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z
分
0 Rx Re[z]
使Z变换存在的z 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛
域一般用环状域表示，即Rx-<|z|<Rx+， Rx-和Rx+分别称 为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的
阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大
半径可以达到+∞。
-
2 返回
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
X(z) x(n)zn
-
nn1
左边序列
n2
X(z) x(n)zn
n
双边序列
X(z) x(n)zn
3
n
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
例2.1：设 x(n) anu(n) ，求它的Z变换，并确定收敛域。
解:
定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。
如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点，
用z 1 k
表示，围线c外有 N
个极点，用z 2 k
2
表示，NN1N2
根据留数辅助定理下式成立
N1
N2
Res[F(z),z1k] Res[F(z),z2k]
-
13
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
1. 围线积分法
已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为
x(n )1 X (z)zn 1 dz 2jc
c (R x,R x)
式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转 的封闭曲线，如下图所示。
-
14
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆Z
分
0 Rx Re[z]
使Z变换存在的z 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛
域一般用环状域表示，即Rx-<|z|<Rx+， Rx-和Rx+分别称 为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的
阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大
半径可以达到+∞。
-
2 返回
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
X(z) x(n)zn
-
nn1
左边序列
n2
X(z) x(n)zn
n
双边序列
X(z) x(n)zn
3
n
第2章 Z变换与离散系统的频域分析
例2.1：设 x(n) anu(n) ，求它的Z变换，并确定收敛域。
解:
《Z变换的收敛域》课件
1
收敛域的大小与稳定性有密切
关系
信号的频域特性
2
如果系统的输入信号Z变换的收敛域包含 了稳定域，则系统是稳定的
不同的收敛域代表着信号在频域上的不
同特性，因此收敛域在信号分析中具有
重要的地位
3
滤波器设计
不同的收敛域决定了数字滤波器的性质， 因此我们可以根据需要指定收敛域来设 计所需的数字滤波器
收敛域的边界有哪些？如何确定边界？
常见的收敛域有哪些？
1 收敛于整个平面
对于某些信号，Z变换在整个平面都收敛，这在实际应用中较为少见
2 收敛于单位圆内部
当信号的绝对值随着时间的增加而指数衰减，Z变换收敛于单位圆内部
3 收敛于单位圆外部的环状区域
如果信号的绝对值并不随着时间的增加而衰减，而是不断循环波动，Z变换就会在圆环上 收敛
动态系统中收敛域的重要性是什么？
控制系统稳定性分析
Z变换和收敛域在控制系统的分 析和设计中具有广泛应用。我们 可以利用收敛域来预测系统的稳 定性，并设计控制器来改善系统 的性能
语音信号处理
语音信号的处理和分析需要考虑 其时间和频率特性。Z变换和收 敛域是分析语音信号频率特性的 有力工具之一
Z变换与收敛域在实际应用中的局限性 与挑战
边界线的特点不同
收敛域和发散域之间的边界线有很大不同。收敛域 的边界线通常是连续的，而发散域的边界线则断断 续续
收敛定理是什么？有哪些类型？
1
极限定理
如果序列的极限存在，则它的Z变换必收
稳定定理
2
敛于某个区域内
一个因果稳定的离散系统的Z变换必定在
单位圆内收敛
3
因果性定理
如果离散系统是因果的，那么它的Z变换
第二章 Z变换1,2,3,4
n
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
数字信号处理第2章Z变换
s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域
在 处收敛的z变换，
j Im[ z ]
其序列必为因果序列
R
x
R e[ z ]
0
2019/2/9
数字信号处理
包 括 z 处
3）左边序列
0 nn 2 x (n ) (n ) nn x 2
n n 其 z 变 换 ： X ( z ) x ( n ) z x ( n ) z n n 1 0 n 2
2019/2/9 数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/2/9 数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
n X () z Z T [() x n ] x () n z n
极 点 ： z 0 （ N 1 ） 阶
0
R e[ z ]
R o c : 0 z
2019/2/9
数字信号处理
n 例 2 ： 求 x ( n ) a u ( n ) 的 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X ( z ) = x ( n ) z = a u ( n ) z = a z
当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x 当 n 0 时 ， R o c :R z 1 x
2019/2/9 数字信号处理
R
x
R e[ z ]
n1 0
0
包 括 z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: R z x 因果序列的z变换必在 处收敛
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理第二章Z变换
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
信号处理PPT Z变换
若
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + d X ( z ), Rx − <| z |< Rx + 则 Z [ n ⋅ x(n)] = − z ⋅ dz
17
例3
利用微分性质求下面z变换的逆z变换x(n).
X (z) = log(1+ az−1)
解：首先将X(z)对z进行微分得
dX ( z) − az −2 = dz 1+ az −1
z >| a |
根据微分性质，有 dX ( z) az−1 Z [nx(n)] = −z = dz 1+ az−1 az−1 z−1 但 Z −1[ ] = aZ −1[ ] = a(−a)n−1u(n −1) 1+ az−1 1− (−az)−1
Y (z) = X (z)H (z) = 1− z 1− az
−1 −1
| z |> 1
由于收敛域为 | z |> 1， 可知序列必定是因果序列。 用围线积分求逆Z变换得 1 z n+1 −1 y(n) = Z [ X (z)H(z)] = ∫c (z −1)(z − a) dz 2πj 在围线内有两个极点z=a和z=1，从而求得 zn+1 zn+1 1 an+1 1− an+1 y(n) = Re s[ ,1] + Re s[ , a] = + = u(n) (z −1)(z − a) (z −1)(z − a) 1− a a −1 1− a
23
10、 10、卷积和性质
若
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + Z [h(n)] = H ( z ), Rh − <| z |< Rh +
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + d X ( z ), Rx − <| z |< Rx + 则 Z [ n ⋅ x(n)] = − z ⋅ dz
17
例3
利用微分性质求下面z变换的逆z变换x(n).
X (z) = log(1+ az−1)
解：首先将X(z)对z进行微分得
dX ( z) − az −2 = dz 1+ az −1
z >| a |
根据微分性质，有 dX ( z) az−1 Z [nx(n)] = −z = dz 1+ az−1 az−1 z−1 但 Z −1[ ] = aZ −1[ ] = a(−a)n−1u(n −1) 1+ az−1 1− (−az)−1
Y (z) = X (z)H (z) = 1− z 1− az
−1 −1
| z |> 1
由于收敛域为 | z |> 1， 可知序列必定是因果序列。 用围线积分求逆Z变换得 1 z n+1 −1 y(n) = Z [ X (z)H(z)] = ∫c (z −1)(z − a) dz 2πj 在围线内有两个极点z=a和z=1，从而求得 zn+1 zn+1 1 an+1 1− an+1 y(n) = Re s[ ,1] + Re s[ , a] = + = u(n) (z −1)(z − a) (z −1)(z − a) 1− a a −1 1− a
23
10、 10、卷积和性质
若
Z [ x(n)] = X ( z ), Rx − <| z |< Rx + Z [h(n)] = H ( z ), Rh − <| z |< Rh +
数字信号处理基础Z变换PPT课件
j
1
0
1 0
0
t
1
0
双边信号
左边信号
j j
1
a
0
1 0
t
a b
b
1 (1 est0 ) s
1 s 1
1 s 1
第28页/共36页
11 sa sb
3.离散序列四种典型信号时域与z域特性
(n)
anu(n)
anu(n 1) anu(n) bnu(n 1)
n
n
0
0
时限序列
右边序列
jIm z
第26页/共36页
j
12
j Imz
1
Re z
2
j
s平面
0
iim [z]
z平面
r0
Re z
单位圆
s平面与z平面的映射
第27页/共36页
2.拉氏变换四种典型信号时域与s域特性
u(t) u(t t0)
1
etu(t)
1
etu(t)
eatu(t) ebtu(t)
1
t
0
0
t
时限信号
右边信号
j s全平面
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n0 第3页/共36页
借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换：
xs (t) x(t).T (t) x(nT)(t nT) n0
对上式取拉氏变换：
xs
(t)
0
xs
(t)estdt
若则不n包2括z=00点
mn2
nn2
j Im[z]
lim n x(n)zn 1
数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换
17
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
第二章 Z变换1,2,3,4
第二章 z 变换
§2.1引言 信号与系统的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域 分析方法。在离散时间信号与系统中，变换域分析方法为 z 变换 及傅里叶变换。z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯 变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此对求解离散 时间系统而言，z 变换是一个极其重要的方法（数学工具）。
12
§2.3 z 反变换（IZT） z 反变换：从给定的 z 变换闭合式 X (z ) 中还原出原序列 x(n) 。 x(n) Z 1 X ( z ) 表示式为： 通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）、部分分 式展开法和长除法。这里仅介绍前两种。 一、围线积分法（留数法） 根据复变函数的理论，若函数 X (z ) 在环状区域 Rx z Rx
n 0
所以 z 处 z 变换收敛是因果序列的特征。 3．左边序列 x n 只在 n n2 时， (n) 有非零值， n2 时，x(n) 0 。其 z 变换 为： n2 n2 0 X ( z ) x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
令 z Re j ， Rx R Rx 我们已经知道柯西积分定理： 1 1 z k 1dz R k 1e j ( k 1) d ( Re j ) 2 j c 2 j c
14
Rk 2
1 ，k 0 e d 0 ，k 0 ， k为整数
Rx z
如图所示。
5
x 因果序列：即n1 0的右边序列，或者说，在 n 0时， (n) 有 n 非零值， 0 时，x(n) 0 。这时其变换中只有 z 的零幂和负幂项， 因此级数收敛域可以包括 z ，即
§2.1引言 信号与系统的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域 分析方法。在离散时间信号与系统中，变换域分析方法为 z 变换 及傅里叶变换。z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯 变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此对求解离散 时间系统而言，z 变换是一个极其重要的方法（数学工具）。
12
§2.3 z 反变换（IZT） z 反变换：从给定的 z 变换闭合式 X (z ) 中还原出原序列 x(n) 。 x(n) Z 1 X ( z ) 表示式为： 通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）、部分分 式展开法和长除法。这里仅介绍前两种。 一、围线积分法（留数法） 根据复变函数的理论，若函数 X (z ) 在环状区域 Rx z Rx
n 0
所以 z 处 z 变换收敛是因果序列的特征。 3．左边序列 x n 只在 n n2 时， (n) 有非零值， n2 时，x(n) 0 。其 z 变换 为： n2 n2 0 X ( z ) x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
令 z Re j ， Rx R Rx 我们已经知道柯西积分定理： 1 1 z k 1dz R k 1e j ( k 1) d ( Re j ) 2 j c 2 j c
14
Rk 2
1 ，k 0 e d 0 ，k 0 ， k为整数
Rx z
如图所示。
5
x 因果序列：即n1 0的右边序列，或者说，在 n 0时， (n) 有 n 非零值， 0 时，x(n) 0 。这时其变换中只有 z 的零幂和负幂项， 因此级数收敛域可以包括 z ，即
数字信号处理DSP第二章1 z变换的定义及收敛域.ppt
数字信号处理
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
Roc : a < z 1/ a 零点：z 0, 极点：z a,a1
j Im[z]
a
Re[z]
0
1/ a
2019/12/31
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
Q anzn
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
Q
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
2019/12/31
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
2019/12/31
数字信号处理
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
前式Roc: 0 z Rx
后式Roc: Rx z
当R x
R x
时，Roc
:
当R x
R x
时，Roc
:
Rx
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n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
Q anzn
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
Q
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
2019/12/31
Q 0n 0 n Roc : 0 z
数字信号处理
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
1
其Z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
nn1
前式Roc: 0 z
n0
j Im[z]
后式Roc: Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
2019/12/31
数字信号处理
第二章 z变换
时域分析方法 变换域分析方法：
连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换
离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
2019/12/31
数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
x(0)z0 x(1)z1 L x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2 Q 0n2 n1 Roc : 0 z
0 n1 n2
Q 0n n 0 Roc : 0 z
n1 n2 0
2019/12/31
Roc : z a 零点：z 0 极点：z a
a
Re[z]
0
2019/12/31
数字信号处理
例3：求x(n) anu(n 1)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n 1)zn
n
n
= an zn = an zn
n
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
例：
X (z) 2z 1 1.5z1 z2 +0.5z3
2019/12/31
数字信号处理
2、z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
级数收敛的充要条件是满足绝对可和
当n1 0时，Roc : Rx z
2019/12/31
数字信号处理
Rx
0
Re[z]
n1 0 包括z 处
因果序列
n1 0 的右边序列，
Roc: Rx z 因果序列的z变换必在 处收敛
在 处收敛的z变换，
j Im[z]
其序列必为因果序列
x(n)zn M
n
令X (z) P(z) Q(z)
则X(z)的零点：使X(z)=0的点，
即P(z) 0和当Q(z)阶次高于P(z)时 Q(z) X(z)的极点：使X(z) 的点，
2019/12/31 即Q(z) 0和当数P字(信z号)阶处理次高于Q(z)时P(z)
1）有限长序列
x(n)
x(n)
0
n1 n n2 其它n
n2
其Z变换：X (z) x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
2019/12/31
数字信号处理
j Im[z]
Re[z] 0
n1 0 n2 X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) L x(1)z1
前式Roc: 0 z Rx
后式Roc: Rx z
当R x
R x
时，Roc
:
当R x
R x
时，Roc
:
Rx
z
Rx
Rx
0
Re[z]
Rx
2019/12/31
数字信号处理
例1：求x(n) RN (n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
2019/12/31
数字信号处理
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法
会运用任意方法求z反变换
理解z变换的主要性质
理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系
掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
数字信号处理
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
Roc : a < z 1/ a 零点：z 0, 极点：z a,a1
j Im[z]
a
Re[z]
0
1/ a
2019/12/31
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
0 c
2019/12/31
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
n
n
N 1
=
n0
zn
1 zN 1 z1
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
1 q
n2 时须满足 q 1
j Im[z]
零点：z
e
j 2 r N
r 1,..., N 1
极点：z 0 （N 1）阶
Rx
0
Re[z]
2019/12/31
数字信号处理
包括z 处
3）左边序列
x(n)
0 x(n)
n n2 n n2
0
n2
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n1
前式Roc: 0 z Rx
j Im[z]
后式Roc: 0 z
0
Roc : 0 z
2019(n) anu(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n)zn = an zn
n
n
n0
1 1 az1
当 az1 1时
j Im[z]
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
2019/12/31
数字信号处理
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b Re[z]
n 1
n1
当 a1z 1时
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
j Im[z]
Roc : z a
零点：z 0 极点：z a
2019/12/31
数字信号处理
a Re[z]
0
例4：求x(n) a n，a为实数，求其z变换及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = an zn an zn