4.4平行线分线段成比例定理学案
数学教案-平行线分线段成比例定理
数学教案－平行线分线段成比例定理一、教学目标通过本课的学习，学生应能够： 1. 了解平行线的性质和判断方法； 2. 掌握平行线分线段成比例定理的概念； 3. 能够运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
二、教学重点平行线分线段成比例定理的理解和应用。
三、教学内容1.平行线的概念和特点；2.平行线分线段成比例定理的表述和证明；3.平行线分线段成比例定理的应用。
四、教学过程1. 导入和复习（5分钟）教师通过提问和回顾上节课的内容，对平行线的定义和性质进行复习。
2. 引入新知（10分钟）教师通过示意图引入平行线分线段成比例定理的问题情境，并提出问题，引发学生思考。
例如：在平行线AB和CD上，点E、F、G分别是线段AC、BD的中点，这时能否得到AB和CD的比例关系？学生可以用自己的方式来解决这个问题。
3. 学习新知（25分钟）教师给出平行线分线段成比例定理的定义和表述，并通过示意图进行说明。
让学生观察图形，理解其中的关系。
然后，教师引导学生进行推理和证明，理解定理的实质和原因。
4. 练习（30分钟）让学生在课堂上进行练习，巩固对平行线分线段成比例定理的理解和应用。
教师可以出几道练习题，让学生自主解答，然后让学生互相交流答案和解题思路。
在解答过程中，教师应及时给予指导和反馈。
5. 拓展应用（15分钟）教师设计几个拓展问题，让学生运用平行线分线段成比例定理解决实际问题，并进行讨论。
例如：已知AB//CD，AD=5，AC=8，求BD的长度。
学生可以自由选择解题方法，然后与同学讨论和比较不同的解法。
6. 总结归纳（5分钟）教师对本课学习的重点进行总结归纳，并强调平行线分线段成比例定理的重要性和应用范围。
五、课堂小结通过本堂课的学习，我们了解了平行线的性质和判断方法，并掌握了平行线分线段成比例定理的概念和应用方法。
这些知识在解决几何问题时非常有用。
六、课后作业1.完成课堂练习中的习题；2.思考并总结平行线分线段成比例定理的应用场景，写一篇小短文。
平行线分线段成比例教案
平行线分线段成比例一、学生知识状况分析学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。
从而认识了线段的比，成比例线段。
通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。
同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。
二、教学任务分析本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。
平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。
在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。
学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。
让学生经历“观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
教学目标：（一）知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
（二）能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
（三）情感与价值观目标（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2））在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用， 平行线分线段成比 例定理的变式。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节： 探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业. 第一环节：复习设疑，引入新课内容：教师提问：(1) 什么是成比例线段？(2) 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3 ?目的：(1)复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段 性质的过程。
《平行线分线段成比例》教案
《平行线分线段成比例》教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解平行线分线段成比例的概念。
2. 学会使用直尺和圆规作图，证明平行线分线段成比例。
3. 能够运用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和推理能力。
2. 学会与他人合作交流，发展学生的表达能力和概括能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心。
2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 平行线分线段成比例的概念。
2. 平行线分线段成比例的证明方法。
难点：1. 理解平行线分线段成比例的内在联系。
2. 运用平行线分线段成比例解决实际问题。
三、教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法、实践操作法等。
四、教学准备：直尺、圆规、多媒体设备等。
五、教学过程：1. 导入新课：创设生活情境，展示两组直线平行时线段的比例关系，引发学生思考。
2. 自主探究：学生分组讨论，观察、操作、猜想、验证平行线分线段成比例的性质。
3. 合作交流：各小组汇报探究成果，师生共同总结平行线分线段成比例的证明方法。
4. 实践操作：学生运用所学知识，利用直尺和圆规作图，证明平行线分线段成比例。
5. 巩固提高：出示练习题，学生独立完成，检验对平行线分线段成比例的理解和掌握程度。
6. 总结反思：学生总结本节课所学内容，分享自己的收获和感悟。
7. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高运用能力。
8. 教学反思：教师在课后对教学过程进行反思，总结成功经验和不足之处，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：本节课结束后，将通过课堂表现、练习完成情况、课后作业和小组合作交流等方面对学生的学习情况进行评价。
重点关注学生对平行线分线段成比例概念的理解、证明方法的掌握以及实际应用能力的提升。
七、教学拓展：1. 让学生尝试证明其他图形中线段的比例关系。
2. 组织学生参观现实生活中的平行线分线段成比例的实例，如建筑物的布局、道路的设计等。
初中数学 导学案：平行线分线段成比例
平行线分线段成比例学习目标1．理解平行线分线段成比例定理．2．灵活运用定理解答题目．学习重点：平行线等分线段成比例定理及其应用．学习难点：平行线等分线段成比例的推导．学习过程：一、问题引入1．比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？2．什么叫成比例线段？二、问题探究探究一：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1，互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1，由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等吗？交流展示：探究点拨：设直线a∥b∥c,直线l1,l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB，BC和A1B1,B1C1，且AB=BC．过点Ｂ作直线l3∥l2,分别交直线a,c于点A2，C2，由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线之间的平行线段相等”可知A2B=A1B1，BC2=B1C1，再证明△BAA2≌△BCC2，从而得到A1B1=B1C1.归纳总结：平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相还等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．探究二：任意画两条直线l1,l2，再画三条与l1,l2相交的平行直线a,b,c，分别度量l1,l2被直线a,b,c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度，相等吗？任意平移直线 c ,再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与还相等吗？交流展示：探究点拨：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例．探究三：如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？交流展示：探究点拨：过点A作直线MN，使MN∥DE，利用平行线截线段成比例可得出结论．结论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例．三、实践交流例1．如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=,求B1C1的长．学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：由平行线分线段成比例可知：=，再将已知线段的值代入就可求出B1C1的长．例2．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：过C点作CE∥AD，交BA的延长线于点E，易得，再证明AE=AC．四、课堂小结1．本节课你有什么收获？2．平行线等分线段定理的内容是什么？3．平行线分线段成比例定理的内容是什么？4．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段有什么关系？五、达标检测必做题1．在ABCD中，AE交BC的延长线于点E，交DC于点F，若BC：CE=3：2，则CF：FD= ．2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，下列比例式正确的是（）3．如图，EF∥BC，AB∥DC，AE=9，BE=12，FD=10，则BF= ．4．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA=3：2，BF=6cm,则EF= ，EC= ．5．在ABCD中，E是AB延长线上一点，且13BEAE，若BC=6，求BF的长度．选做题如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD=2DE，求证：AP=3AB.。
平行线分线段成比例定理数学教案
平行线分线段成比例定理数学教案
标题：平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
1. 学生能理解并掌握平行线分线段成比例定理。
2. 学生能运用该定理解决实际问题。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：
平行线分线段成比例定理：如果一条直线截两条平行线，所得的对应线段成比例。
三、教学步骤：
1. 导入新课
通过复习以前学过的关于平行线的知识，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解新课
(1) 介绍平行线分线段成比例定理，并解释其含义。
(2) 利用教具或多媒体进行演示，帮助学生理解这个定理。
(3) 引导学生自己画图，尝试证明这个定理。
3. 巩固练习
设计一些习题让学生做，以此来检验他们是否真正理解了这个定理。
4. 拓展应用
引导学生将这个定理应用到实际生活中，或者解决其他数学问题。
四、教学反思：
在教学过程中，教师应关注学生的学习状态，适时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
同时，教师也应鼓励学生积极思考，培养他们的创新精神和实践能力。
五、作业布置：
设计一些与本节课内容相关的习题作为家庭作业，以便学生巩固所学知识。
六、教学评估：
通过课堂观察、作业批改以及测试等方式，对学生的学习情况进行评估，及时反馈学习效果，为下一步的教学提供参考。
平行线分线段成比例定理导学案(用)
l1l2l3m nFEDCBA 平行线分线段成比例定理及其推论学习目标：1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用． 2．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用． 新课学习：一、探究（一）、平行线等分线段定理： 活动一 ：创设情境，引入新课问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？即：已知l 1∥l 2∥l 3AB=BC求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等）（引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。
那如果所截得的线段不等呢?这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. （二）、平行线分线段成比例定理 活动二：分析探索，新知学习问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论？43211、板书：12AB BD = ,12EF FH = →12AB EF BD FH == 2、仿上可得：板书：13AB AD = ，13EF EH =→13AB EF AD EH == （引导结论）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）理解：①一组：3条及以上，通常为3条 ②对应：上对上，下对下，全对全即：===上上上上下下，，下下全全全全（反比性质亦成立） 二、例题学习例1，如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝2，DE ＝3，EF ＝6，求BC . 解：∵l 1∥l 2∥l 3∴)()() (=BC)()() (=BC (代入数据)∴BC ＝即学即练：1．如图，l 1∥l 2∥l 3，请你写出一个正确的比例式，可以是 . 2．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝5，BC ＝2，EF ＝3，则DF ＝.l1l2l3m nm'C'(B')A'FE DCBA21FDCBA 三、推论1．观察下图变形后填空：在图3和图4中，都有=BCAB( )，……； 2．总结：几何语言：∵BE ∥CF （或AD ∥CF ）∴EFAEBC AB =……四、例题学习例2，已知：如图，DE ∥BC ，AB =15，AC =9，BD ＝4，求：AE ．解：∵DE ∥BC∴)()(AC =CE )()() (=CE (代入数据) ∴CE ＝∴AE ＝＋＝五、课堂练习 A 组：1．如图，已知l 1//l 2//l 3，下列比例式中错误的是（ ）A 、DF BDCE AC = B 、BFBDAE AC = C 、BF DFAE CE =D 、ACBD BF AE = 2．如图，已知l 1//l 2//l 3，下列比例式中成立的是（ ）A 、BC CEDF AD = B 、AF BCBE AD = C 、BCADDF CE =D 、CEBEDF AF = B 组：1．已知：如图，AD ∥CF ，AB =3，BC =5，DB =4.5，求BF .令A 、D 两点重合令B 、E 两点重合 将有关线擦掉将有关线擦掉BE ∥CF ，BE 截、AF 两边） （AD ∥CF ，AD 截CB 、FB 两边的延长线）图3图4。
学习方法之平行线分线段成比例导学案教学案
平行线分线段成比例及相似多边形【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=AB=BC【答案】2.2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==，42举一反三=A．4.5 B．8 C．10.5 D．144A 23B32C 6 D16【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF ∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到112BP AB==，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．【巩固练习】一、选择题1. 下列四组图形中，一定相似的是（）A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形2A ABEFBCDEFCBOOEDBCBE3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，F ，则的值是（ ）4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）BCDA ．2B ． 4C ．D ．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则AC的长为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4cm，则BC的长为．11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是．12．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为．三、解答题13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．14.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．2.【答案】D.3.【答案】C；【解析】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．4.【答案】C；【解析】解：设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB=BD=3，当P在OB上时，∵EF∥AC，∴==，∴=，∴y=x，当P在OD上时，同法可得：==，∴=，∴y=﹣x+8，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C．5.【答案】C；【解析】∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．6.【答案】C；【解析】解：∵AB∥CD∥E F∴∵AC=3，CE=4∴=．故选C．二、填空题7．【答案】①②④⑤；8．【答案】1：3；【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3；9．【答案】9；【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AC=9，故答案为：9．10．【答案】12cm.【解析】解：∵DE∥BC，∴=，又∵=，∴，∴=，∴BC=12cm．故答案为12cm．11．【答案】2.【解析】解：∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．故答案为：2．12．【答案】﹣1.【解析】解：过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，∵∠ACE=∠BAC，∴AF=CF.在Rt△CDF中， CF=2，，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题13.【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，∴==，∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．（2）解：∵l1∥l2∥l3∴==，∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==，∴=，∴CF=4．14. 【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴GF∥BC （平行线分线段成比例）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形图形的相似及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形对应线段的比叫相似比；(2) 相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果b c,a d=那么ad=bc.要点诠释：（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项. （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果a c,b d=那么a b c db d±±=；（2）等比性质：如果a c m......b d n===（b+d+……+n≠0），那么a c......m a.b d......n b+++=+++【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2.（2014秋•滨海县期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（不合题意，舍去），即x的值为．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便．3.（2016•洪泽县一模）已知=，则=．【思路点拨】由=，则可设x=2k，y=3k，然后把x=2k，y=3k代入原式进行分式的运算即可．【答案与解析】解：∵=，∴设x=2k，y=3k，∴原式==．故答案为．【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．举一反三：【答案】解:∵xyz≠0∴x≠0，y≠0，z≠0，①当x+y+z≠0∴k=2;②当x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x,∴k=-1.综上所述，k=2或-1.类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形5.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到112BP AB==，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6B.a＝，b＝，c＝1，d＝C.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5D.a＝，b＝2，c＝，d＝23. 下列命题正确的是( )A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．6.（2014•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. （2016•常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是km．8. 若，则________9．已知若-3=,=____;4x y xy y则若5-4=0,x y则x:y=___.10.（2015•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是 m ．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等， 则正确的有 . 12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AEBE=三 综合题 13.如果a b c dk b c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m =+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．15. (2015.新宾县模拟)如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20． （1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2．【答案】C．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】B【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．6．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．二、填空题7.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x，则：，解得x=280000cm=2.8km．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.88.【答案】 【解析】由可得，故填.9.【答案】74;.4510.【答案】20.【解析】设其他两边的实际长度分别为xm 、ym ， 由题意得，==，解得x=y=20．即其他两边的实际长度都是20m ．11.【答案】 ③12.【答案】【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以ADEFEF BC =,即EF=所以AEADBE EF ===三、 解答题13.【解析】∵a b cdk b c d a c d a b d a b c ====++++++++ ∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++c ab c dk b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++c a b c d a b c d a b c d a b c dk b c d a c d a b d a b则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x 当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33y x .14.【解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC ， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，=，∴DM •BC=AB •MN ，即BC 2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【解析】解：（1）不相似，AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠；（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则=，则：=，解得x=1.5，或=，解得x=9．。
《平行线分线段成比例》教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平行线分线段成比例的概念。
（2）学会运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生直观想象能力。
（2）运用合作交流、探究发现的方法，提高学生解决问题能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生自信心。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平行线分线段成比例的概念。
（2）平行线分线段成比例定理的应用。
2. 教学难点：（1）平行线分线段成比例定理的推导过程。
（2）在实际问题中灵活运用平行线分线段成比例定理。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）启发式教学：引导学生观察、分析、归纳平行线分线段成比例的规律。
（2）合作交流：分组讨论，培养学生团队协作能力。
（3）探究发现：引导学生自主探究，提高学生发现问题、解决问题的能力。
2. 教学手段：（1）多媒体课件：展示平行线分线段成比例的图形、实例。
（2）教具：使用模型、图纸等教具，增强学生直观感受。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识：回顾直线的性质、平行线的定义。
（2）提出问题：如何判断两条平行线是否分线段成比例？2. 自主探究：（1）学生分组讨论，观察、分析平行线分线段成比例的规律。
（2）汇报讨论成果，教师点评、指导。
3. 讲解与示范：（1）讲解平行线分线段成比例的概念。
（2）演示平行线分线段成比例定理的推导过程。
4. 练习与巩固：（1）发放练习题，让学生独立完成。
（2）讲解练习题，纠正错误，巩固知识点。
5. 应用拓展：（1）提出实际问题，让学生运用平行线分线段成比例定理解决。
五、课后作业（1）已知一组平行线分两个线段，其中一个线段长度为8cm，另一个线段长度为12cm，求这两条平行线之间的距离。
（2）一个长方形被一组平行线分成两个小长方形，长方形的长为10cm，宽为6cm，求这两个小长方形的面积。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等方面的表现，了解学生的学习状态。
《平行线分线段成比例》教案
《平行线分线段成比例》教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解平行线分线段成比例的概念。
2. 学会使用平行线分线段成比例的性质和判定方法。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生直观判断和逻辑推理能力。
2. 学会运用平行线分线段成比例解决实际问题。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 平行线分线段成比例的概念。
2. 平行线分线段成比例的性质和判定方法。
难点：1. 平行线分线段成比例的证明。
2. 运用平行线分线段成比例解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 教学素材（如图片、实例等）。
3. 练习题。
学生准备：1. 笔记本。
2. 尺子、圆规等作图工具。
四、教学过程：1. 导入：利用实例或图片，引导学生观察并思考：平行线如何分线段成比例？激发学生兴趣，引出本节课主题。
2. 新课讲解：（1）介绍平行线分线段成比例的概念。
（2）讲解平行线分线段成比例的性质和判定方法。
（3）通过实例演示，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的应用。
3. 课堂练习：布置一些有关平行线分线段成比例的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 拓展与应用：引导学生运用平行线分线段成比例解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、课后作业：1. 巩固所学知识，完成课后练习题。
2. 搜集生活中的平行线分线段成比例的实例，下节课分享。
3. 预习下一节课内容。
六、教学评估：1. 课堂练习的完成情况，观察学生对平行线分线段成比例的理解和应用能力。
2. 课后作业的完成质量，检验学生对课堂所学知识的巩固程度。
3. 生活实例的分享，了解学生对平行线分线段成比例在实际生活中的应用。
七、教学反思：根据教学过程中的观察和评估，反思教学方法的适用性，是否存在需要改进的地方。
针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
八、教学拓展：1. 深入研究平行线分线段成比例在几何图形中的应用，如三角形、四边形等。
平行线分线段成比例导学案
平行线分线段成比例导学案
导学目标：
1、了解平行线分线段的成比例并掌握解决几何问题的证明方法；
2、通过动手量一量独立计算归纳总结扩展自主探索性质；
3、通过自主探索得出结论从而培养学生的探索和创新精神。
重点：1、掌握并理解平行线分线段成比例；
2、掌握归纳总结猜想证明这一学习方法。
难点：1、对平行线分线段成比例的理解；
2、理解归纳总结猜想证明的学习方法。
探索过程
一、 复习旧知
1、 已知线段a=4 ； b=3 ; c=6 ; d=2 ;这四条线段是比例线段吗？
二、 探索新知
1、 如图所示，已知直线a ∥b ∥c ，且直线a 与b 的距离和直线b 与c 的距离
相等，直线21,l l 被直线a, b, c 截得的线段分别为AB,BC 和11B A , 11C B , 量出线段AB, BC,11B A , 11C B 的长度，请问你发现了什么呢？你能证明你发现的结论吗?
文字叙述你的结论：
2、 将第1题中的直线c 向下平移得到下图，再量出线段AB, BC, 11B A ,1
1C B 的长度，求1
111C B B A BC AB 与的比值，你又发现了什么；这两个比能不能组成比例？你能证明你发现结论吗？
3、猜想一下，是不是所有的两条相交直线被在同一平面内的三条平行线所
截，都有第2题的结论呢？如果有你能证明吗？
C
E
B
F
D
A
通过做第2、3题你得到的结论：
小结：第1题的条件与第2、3题的条件有何区别？
想一想：要用第1题的结论需要满足什么条件？要用第2、3的结论需要满足什么条件？。
平行线分线段成比例定理教案(学)
数学个性化教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h 学生姓名授课主题平行线分线段成比例定理授课教师胡能祥教学目标1、探索理解平行线分线段成比例定理及其推论；2、会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。
教学重难点1、重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用；2、难点：定理的推导证明。
教学过程一、【历次错题讲解】二、【基础知识梳理】(一)比例的性质1、比例的基本性质：如果dcba=，那么ad=bc；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么dcba=或dbca=2、合比性质：如果dcba=，那么ddcbba+=+3、等比性质：如果)0...(...≠+++===ndbnmdcba，那么bandbmca=++++++......(二)平行线分线段成比例一、如图,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 ，l2相交的平行线l3 ，l4，l5.分别量度l3 , l4,l5.在l1上截得的两条线段AB, BC和在l2上截得的两条线段DE, EF的长度,AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5，再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC与DE︰EF相等吗?二、问题，AB︰AC=DE︰；BC︰AC= ︰DF三、归纳总结：知识点1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。
知识点2、平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
三、【例题解析】例1、已知0,2≠++===fdbfedcba且（1）求fdbeca++++的值；（2）若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值学习札记变式：例2、如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，求证：DCBDAC AB例3、△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，AP=PD 。
求证：（1）PB=3PF ；（2）如果AC=13，求AF 的长。
导学案平行线分线段成比例定理导学案
数学九年级上册：平行线分线段成比例定理学习目标：1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.3．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.4．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.重点、难点l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．二、超前自学仔细阅读教材，思考下列问题：复述平行线分线段成比例定理的内容，想：1.定理中的“一组平行线”指的是一组具有什么特殊条件的平行线？2.适用定理及其推论的基本图形有哪些？画出来并用符号表示出定理？3.2中图形中的对应线段成比例可用哪些形象的方向名词描述出来？4.除此之外，还有其它对应线段成比例吗？5.我的疑惑是：，. 三、拓展探究：例1．如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.跟踪练习1：已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四边形，若BD=7.2,BF=6,AC=8，AD=4,求△ABC的周长。
例2.已知，如图（11），在△ABC中，D是AB的中点，F是BC延长线上的点，连结DF交AC于E，求证：CF:BF=CE:AE.跟踪练习2：如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.四、本节课你有什么收获或疑问，请写下来温馨提示：可以谈知识上的，可以谈方法上的，也可以谈合作交流的B FCB预习检测 1则DE 、（1）DE ／；（2）DE ／(3) 那么(4)2 3线段AD 4平行于三角形的一边，并且5BF,6.如图，DE BC ∥，且D B A E =,若510AB AC ==，，求AE的长。
EDCBA达标测评2.如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.的边AB 上取一点D ，在AC 取一P ，求证：BP BD CP CE =P(1)MEDC BAA。
《平行线分线段成比例》教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平行线分线段成比例的概念。
（2）学会运用平行线分线段成比例定理证明两条线段成比例。
（3）能够运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、猜想、验证等过程，发现平行线分线段成比例的规律。
（2）培养学生的逻辑思维能力和证明能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心。
（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平行线分线段成比例的概念。
（2）平行线分线段成比例定理的证明。
（3）平行线分线段成比例定理的应用。
2. 教学难点：（1）平行线分线段成比例定理的证明。
（2）解决实际问题时，如何运用平行线分线段成比例定理。
三、教学方法1. 情境创设：通过生活实例引入平行线分线段成比例的概念。
2. 自主探究：引导学生观察、实验、猜想、验证平行线分线段成比例的规律。
3. 小组合作：分组讨论，共同完成平行线分线段成比例定理的证明。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用平行线分线段成比例定理解决问题。
四、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：直尺、三角板、笔记本。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关知识：回顾线段、射线、直线的基本概念。
（2）生活实例：展示两幅画面，一幅是铁路交叉处，另一幅是桥梁结构，引导学生观察并思考其中的平行线分线段成比例现象。
2. 自主探究：（1）引导学生观察教室内的直线、射线、线段，鼓励学生发现平行线分线段成比例的实例。
（2）学生分组实验，用量角器和直尺测量不同角度的平行线分线段，记录数据，分析规律。
3. 小组合作：（1）分组讨论，引导学生总结平行线分线段成比例的规律。
（2）每组派代表进行汇报，全班交流、总结。
4. 知识讲解：（1）讲解平行线分线段成比例的概念。
（2）引导学生理解平行线分线段成比例定理的证明过程。
5. 案例分析：（1）出示实际问题，引导学生运用平行线分线段成比例定理解决问题。
平行线分线段成比例教学设计
平行线分线段成比例一、内容和内容解析1．内容平行线分线段成比例．2．内容解析平行线分线段成比例在公理化体系中是一个定理，现行课程标准将它定位为初中阶段的九个基本事实之一．在现行人教版教材中，这个基本事实是通过一个探究活动验证的，它的推论——平行线分三角形两边成比例以及进而得到的相似三角形预备定理是证明相似三角形判定定理的依据，因此它是《相似》整章的知识基础．在初中阶段，学生需要学习“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”等九个基本事实．学生已经学习了前8个，并在它们的基础上经过推演证明得到了初中阶段的约40个定理．“平行线分线段成比例”并不像其他基本事实一样那么显而易见、不言自明．学生需要认同它的真实性，但对它的认识过程涉及线段的可公度、不可公度等初中数学课程以外的知识，难度较大．因此，学生只有真正经历充分的验证过程，才能感受到它的真实可信．根据以上分析，确定本节课教学重点为：基本事实——平行线分线段成比例．二、目标和目标解析1．目标（1）理解“平行线分线段成比例”基本事实；（2）经历操作、猜想、验证的认知过程，逐步形成对基本事实的认识，体会从特殊到一般的研究方法；（3）感受数学活动的真实与客观性，发展思维的逻辑和严谨性，养成良好的数学学习习惯．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生清晰地知道“平行线分线段成比例”基本事实，能用此基本事实解决简单问题．目标（2）、（3）体现在学生个体操作、猜想、验证、归纳的过程中，在课堂小结环节通过学生之间的交流展现．三、教学问题诊断分析北京市第八十中学是一所市级示范校，我的授课班级学生数学基础较好，对数学的公理化特征有初步的了解，如果把这一内容作为显而易见的基本事实直接给出，学生会不情愿接受．考虑到学生思维活跃，有持续探究的热情，因此可以设计“动手画图——度量计算——观察猜想——技术确认——做出推断”等一系列认知活动，逐步形成对基本事实的认识．本节课的教学难点为：在不加证明的情况下形成对基本事实的认识．四、教学手段的使用为落实教学目标，我使用以下教学手段完成对基本事实从特殊到一般的认识过程：横格纸：有助于学生在特殊条件下得到猜想，形成对基本事实的初步认识；白纸：用于学生在更一般化的条件下进行画图和验证，实现对基本事实的进一步认识；图形计算器：用于解决测量精确度的问题，并有助于学生获得基本事实在一般情形下的个体经验，以突破教学难点．五、教学过程设计六、目标检测设计已知：l1∥l2∥l3，直线m、n与l1,l2,l3相交，交点分别为A,B,C,D,E,F．（1）AB=2，BC=4，DE=3，则DF= ．（2）点A与点D重合，AB=2，AC=5，EF=4，则AE= ．。
数学《平行线分线段成比例定理》教案
平行线分线段成比例定理一、把学生认知结构中原有的知识作为数学教学的出发点数学学习过程，实质上是数学认知结构的发展变化过程。
在任何情况下，已有的认知结构总是学习新知识的基础。
数学学习的重要策略就在于建立新知识与原有认知结构之间的联系。
我们知道,平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广，而这两节课研究问题的思路基本相同。
因而在本课的教学中笔者采用“以旧导新"的方法进行，即通过复习旧知识，探索完善旧知识结构，类比推广导出新知.1．学生1用如下的课件通过广播教学的形式主持复习：l 23生1：前面我们学过平行线等分线段定理，哪位同学能叙述定理的内容？生2：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
生1：很好，请坐（点击“定理”按纽，屏幕呈现平行线等分线段定理内容）。
我们连结线段AC 、CG 、GE 、EA 、和BF ，得到一个什么图形？（边问边在计算机上将上述线段用红线连结） 生众:梯形。
生1:好，根据平行线等分线段定理，我们可以得出有关梯形的推论，哪位同学能叙述呢？生3：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
生1：对。
这就是推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
我们再移动直线l 5，使E 点与A 点重合，现在又是什么图形呢？(边问边操作) 生众：三角形.生1：根据平行线等分线段定理,我们可以得出有关三角形的推论2，哪位同学能叙述呢？生4:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
生1：很好.推论2是：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
复习完毕,谢谢！ 2．教师引导学生类比推广导入新课：师：我们知道(屏幕显示），如图1，如果l 1∥l 2∥l 3，且AB=BC,那么DE=EF ，哪位同学能将这个命题改写成比例的形式？ 生5：如果l 1∥l 2∥l 3,且1=BCAB ，那么,1=EFDE 即1==EFDE BCAB2如图2BC EFDE 是否还与错误!相等呢?生众：相等师：是否相等，我们通过实验来验证。
【教案】平行线分线段成比例教案(完美版)
【知识与技能】了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容.能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算. 【过程与方法】 通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁移的能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 【教学重点】 定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.一、情境导入，初步认识问题 1 翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m 与相邻的三条平行线交于A 、B 、C 三点，得到两条线段AB 、BC ，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？相等即AB=BC （由学生回答）.思考：再任意画一条直线n 与这组平行线相交，得到两条线段DE 和EF ，你发现DE 与EF 的长度存在什么关系？由此，我们可以得到EFDF BC AB 问题2 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画m 、n 与它们相交，如让每个人平等 归纳：ECFE DB AD . 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）二、思考探究，获取新知思考：（1）如图，当图（3）中的点A 与点F 重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD 、DB 、AE 、EC 这四条线段之间会有怎样的关系？（2）如图，当图（3）中的直线m 、n 相交于第二条平行上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.例1如图，l 1∥l 2∥l 3.（1）已知AB=3,DE=2,EF=4,求BC ；（2）已知AC=8，DE=2，EF=3，求AB.三、运用新知，深化理解1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是（）2.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是（）【答案】1.D 2.D【教学说明】可由学生独立完成抢答，教师最后点拨.四、师生互动，课堂小结1.平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义.2.研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想.本课时从学生所熟知的作业本入手，通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想.。
42平行线分线段成比例教学设计
42平行线分线段成比例教学设计教学目标：1.理解并应用平行线分线段成比例的概念；2.掌握求解平行线分线段成比例的方法；3.能够灵活运用平行线分线段成比例解决实际问题。
教学准备：1.教学工具：黑板、白板、教学PPT等；2.教学素材：准备一些平行线与线段成比例的几何图形；3.教学活动：准备一些实际问题，让学生运用平行线分线段成比例来解决。
教学过程：Step 1 引入活动（10分钟）1.教师可以用一些具体的示例介绍平行线分线段成比例的概念，例如两个平行线AB和CD，线段AC与线段BD成比例，比例为m：n。
2.引导学生观察和思考：在平行线上选取两个点，然后通过平行线上的一条线段将这两个点分割成不同的长度，这两段线段的比例有何特点？Step 2 学习平行线分线段成比例（20分钟）1.结合幻灯片或黑板，教师讲解平行线分线段成比例的定义，并给出几个示例进行演示，帮助学生理解。
2.让学生自己尝试在黑板上勾画一个平行线的图形，并在上面标注出两个平行线和一条横切线段，然后让他们找出和推导出线段成比例的条件。
Step 3 解题方法讲解（20分钟）1.教师介绍平行线分线段成比例的解题方法：a.利用相似三角形的性质；b.利用平行线截割定理。
2.分别讲解这两种方法的具体步骤，并通过一些例题进行演示。
教师可以使用PPT或在黑板上进行详细的讲解和示范。
Step 4 学生练习（30分钟）1.让学生在课堂上进行练习，自己尝试解决一些平行线分线段成比例的问题。
2.教师巡回指导学生解题过程，并及时纠正错误。
Step 5 实际问题解决（20分钟）1.教师提供一些实际问题，要求学生运用平行线分线段成比例来解决，例如计算建筑物的高度、测量不可测量的距离等。
2.学生分组进行讨论和解答，并展示解题过程和结果。
Step 6 总结与拓展（10分钟）1.教师通过课堂小结，总结本节课的重点内容，并与学生讨论巩固所学知识。
2.提出一些拓展问题，让学生进一步思考和尝试。
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4.2 平行线分线段成比例一、知识点梳理1、平行线分线段成比例定理2、推论二、题型训练一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14第1题第2题第3题2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若=，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6 D．103．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4第4题第5题第6题5．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题7．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．第7题 第8题 第9题8．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，=，DE=6，则EF= ．9．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ． 三、解答题10、P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA MB=OB NA ∙∙11、如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，求BF 的长？2016年北师大新版九年级数学上册同步测试：4.2 平行线分线段成比例参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若=，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6 D．10【考点】平行线分线段成比例．【专题】压轴题．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF=6．故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A ．B ．2C ．D ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据AH=2，HB=1求出AB 的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．【解答】解：∵AH=2，HB=1， ∴AB=3， ∵l 1∥l 2∥l 3，∴==，故选：D ．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案．【解答】解：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故选：D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AD∥BE∥CF可得=，代入可求得EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，∵AB=1，BC=3，DE=2，∴=，解得EF=6，故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．8．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，根据已知即可求出答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，∴===，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．9．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．【解答】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】几何图形问题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．11．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．12．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】计算题．【分析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC 求解．【解答】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解．二、填空题（共4小题）13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．【解答】解：∵DE∥AC，∴，即，解得：EC=．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键．14．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF=9．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后根据比例性质求EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，∴EF=9．故答案为9．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．15．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=12cm．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴，即，∴BC=12cm．故答案为：12．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出=，由GH∥CD，得出=，将两个式子相加，即可求出GH的长．【解答】解：∵AB∥GH，∴=，即=①，∵GH∥CD，∴=，即=②，①+②，得+=+==1，∴+=1，解得GH=．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．。