人教A版选修1-1教案：2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)(含答案)
高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.2双曲线的简单几何性质》教案
上课时间第周星期第节课型课题 2.2.2双曲线的几何性质（一）
教学目的理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征
教学设想教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的几何性质的理解撑握。
教学过程一、复习准备：
1.回顾双曲线的定义、标准方程（焦点在分别在x、y轴上）、,,
a b c间的关系？
2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4
a b
==，焦点在x轴上；②焦点在y
轴上，焦距为8，2
a=；
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、讲授新课：
1. 双曲线的几何性质：
由椭圆的哪些几何性质出发，引导学生类
比探究双曲线的几何性质；
①范围：标准方程可变为
22
22
1
x y
a b
-=，得知
2
2
1
x
a
≥，即x a x a
≥≤-
或；
双曲线在不等式x a x a
≥≤-
与所表示的区域内。
②对称性：如图2-25可知，双曲线关于x轴、y轴及原点都对称，原点是双曲线的对称中心。
③顶点：标准方程中，当0
y=时x a
=±，当0
x=时方程无实根；曲线与x轴的
交点
12
(,0),(,0)
A a A a
-叫做双曲线的顶点。
12
A A
叫做双曲线的实轴，以
12
(0,),(0,)
B b B b
-为端点
的线段
12
B B叫做双曲线的虚轴。
实轴与虚轴
等长的双曲线叫等轴双曲线。
高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1
第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。
人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
2.2.2 双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性质 焦点焦距范围对称性 顶点轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______离心率渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0) ①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0) ②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于________．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1 B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝12．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M (1，2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a .2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2．2.2 双曲线的简单几何性质答案知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性 质焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a )轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12. D[设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 而k BF ＝－bc，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵ P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
人教A版高中数学选修1-1 专题2.2.2双曲线的简单几何性质 教案
2.1.5 双曲线的简单几何性质一、教学目标：1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.二、教学重点.难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线，离心率的讲解。
三、教学方法本节课主要通过数形结合，类比椭圆的几何性质，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。
四、教学过程新课引入1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.五、自主学习1.范围以12222=-b y a x 为例，只有当|x |≥a 时，y 才有实数值，而在－a<x <a 之间没有图象，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，因此曲线是无限伸展的，也就是说，双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧〉+〉-≥0,0,ay bx ay bx a x 或⎪⎩⎪⎨⎧〈+〈--≤0,0,ay bx ay bx a x 所表示的区域内.双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线. 2.对称性分别用（x ,－y ）、（－x ,y ）及（－x ,－y ）代替方程中的（x ,y ），方程都不改变，说明双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称.因此双曲线是有心圆锥曲线，对称中心是原点，因此双曲线有两条对称轴，一个对称中心. 3.顶点与实虚轴双曲线只有两个顶点.12222=-by a x 的顶点是（a,0）,(－a,0)；当x =0时，y 2=－b 2无实数解，即与y 轴无交点.实轴长为2a ，虚轴长为2b.在这里，要注意实轴是焦点所在的轴，实轴长不一定大于虚轴长. 4.渐近线（1）双曲线的渐近线是画双曲线草图时所必须的，渐近线是x =±a,y =±b 围成矩形的对角线，它决定了双曲线的形状.（2）理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.（3）焦点在x 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab;焦点在y 轴上的双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是y =±x ab,或由02222=-b x a y （将1换成0）得到.（4）根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法，最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.（5）根据双曲线的渐近线方程求出双曲线的方程的方法.①与双曲线12222=-b y a x 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为t b y a x =-2222(t≠0).②若双曲线的渐近线方程是y =±x a b,则双曲线的方程可表示为t by a x =-22225.离心率 e =ac,e >1,它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大. （1）离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.∵a b =222a a c -=12-e ,∴e 越大，k =a b 越大.∴双曲线开口越大. （2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e =2. (3)求离心率是考查重点，常有以下方法 ①求a 、c 再求e =ac；②建立关于a 、c 的齐次方程；③寻找a 和e 的关系，再求e . 典型例题：例1：求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例2：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．例3：求与双曲线221169x y -=共渐近线,且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例4： 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
人教A版选修1-1教案：2.2.2双曲线的简单的几何性质(2)(含答案)
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习1．双曲线的两种标准方程是什么？2.双曲线的几何性质有哪些？范围、对称性、顶点、离心率等。
通过复习，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。
二．例题、练习1．例4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上m 口半径为13，下口半径为25，高55，试选择m m m 适当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到1）m 解：如图建立直角坐标系，设双曲线方程为，C （13，y ）,B(25 , y-12222=-by a x 55),双曲线的几何性质的简单应用即（a +b ）（a －b ）=1d ==，∴|a －b |=2又P2||b a -2点在右支上，则有a >b ，∴a －b =2∴|a +b |×2=1，a +b =216．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点7的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）32-A B 14322=-y x 13422=-y x C D 12522=-y x 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=分别代入双曲线方程并相减即可1122(,),(,)M x y N x y 求解三、小结1． 解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样的？2．解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路与方法是怎样的？五、作业教科书习题2.2 B 组1、2、3练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.x y 3±=()0,10答案：1922=-y x 2．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变221x y -=F P PF 化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。
人教A版选修1-1教案：双曲线的简单的几何性质(2)(含答案)
§2．2．2雙曲線的簡單的幾何性質（2）【學情分析】：1、學生已經學習了雙曲線的幾何性質，能理解雙曲線的幾何性質並能運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單的問題；2、學生已學習了雙曲線的定義及標準方程，會熟練地求雙曲線的標準方程；【教學目標】：知識與技能1、進一步瞭解雙曲線的標準方程和簡單的幾何性質；2、能運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單問題；過程與方法1、能用座標法解決一些與雙曲線有關的簡單的幾何問題和實際問題，理解座標法的思路與步驟；2、瞭解直線與雙曲線的位置關係問題一般求解策略與技巧，進一步體會數形結合的思想；情感態度與價值觀通過運用雙曲線有關知識解決實際問題，使學生充分認識數學的價值，從而培養學生學習數學的興趣。
【教學重點】：雙曲線的簡單幾何性質的運用【教學難點】：直線與雙曲線的位置關係的求解技巧【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一．復習1．雙曲線的兩種標準方程是什麼？2.雙曲線的幾何性質有哪些？範圍、對稱性、頂點、離心率等。
通過復習，有利於學生在已有知識基礎上開展學習；提出新問題，引發學習興趣。
二．例題、練習1．例4：雙曲線型冷卻塔的外型，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m，試選擇適當的坐標系，求出此雙曲線方程（精確到1m）解：如圖建立直角坐標系，設雙曲線方程為12222=-byax，C（13，y）,B(25 , y-55),點B、C在雙曲線上，12=a雙曲線的幾何性質的簡單應用練習與測試：1．若雙曲線的漸近線方程為x y 3±=，它的一個焦點是()0,10，則雙曲線的方程是__________.答案：1922=-y x 2．雙曲線221x y -=的左焦點為F ，P 為左支下半支上任意一點（異於頂點），則直線PF 的斜率的變化範圍是（目的：能夠理解直線與雙曲線的位置與雙曲線的漸進線斜率有關） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：畫出圖形，利用數形結合法求解。
人教A版高中数学选修1-1第二章 2.2.2双曲线的简单几何性质教学设计
2.2.2双曲线的简单几何性质教学设计一．教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程（二）重难点重点：掌握双曲线的简单几何性质难点：会求与已知双曲线有共同渐近线的双曲线的标准方程二．预习学案出现问题1.y的范围2.对于顶点的理解及顶点坐标找不准确3.a，b，c三者之间的关系与椭圆中的混淆4.渐近线方程没化成最简形式5.已知渐近线方程，不会求双曲线的方程教学活动：上课之前和学生讲述学案中出现的普遍问题，引起学生重视，上课认真听讲，解决易错问题。
二.设计思路三．教学流程1.复习引入1.双曲线的标准方程：焦点在x 轴：)0,0(12222>>=-b a b y a x ；焦点在y 轴：)0,0(12222>>=-b a bx a y2.a ，b ，c 的关系：222c b a +=3.椭圆的简单几何性质 范围，对称性，顶点，离心率教学活动：已经学习过双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。
2．讲授新知由双曲线方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，类比椭圆的简单几何性质，推导、研究双曲线的性质：（1）范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率由学生类比椭圆的几何性质，通过观察、证明、比较来得到双曲线的这四个简单的几何性质。
结论：范围:a x ≥或a x -≤；R y ∈；对称性：关于x 轴、y 轴和原点都是对称； 顶点：()0,1a A -，()0,2a A线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ,a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长.离心率：类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率。
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
2014年人教A版选修1-1教案 2.2.2双曲线的简单几何性质
2.2.2双曲线的简单几何性质一、课前预习目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．二、预习内容1、双曲线的简单几何性质及初步运用．类比椭圆的几何性质．2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．课内探究一、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析二、描述双曲线的渐进线的作用及特征双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．三、描述双曲线的离心率的作用及特征变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．四、例题例．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．。
人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.2双曲线的几何性质(2)
x 轴有两个交点
A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
x2 y2 1 的顶点。 a2 b2
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶 点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线 的实半轴长。 虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线 的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两 个端点画上（为要确定渐进线）， 但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数 y 三角函数 y
c ，叫双曲线的离心率. a
感悟二： 4 有共同渐近线，且过点 M (2, 2) 的双曲
2 2
线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭 标准方程 图 范 顶 象 围 点 感悟三： 圆 双 曲 线 不 同 点
对 称 性 渐 近 线 1、 课本 P 58 练习第 1，2 题
x2 y2 1 a2 b2
tan x ，渐近线是 x k (k Z ) 。
2
k 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。 高中 x
所谓渐近，既是 无限接近但永不相交 。 3、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 e= 说明：①由 c>a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
课型：新授课
时间： 月
日
学习札记
〖学习目标及要求〗：
高中数学人教A版选修(1-1) 2.2 教学设计 《2.2.2 双曲线的简单几何性质 》(人民教育出
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》
从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．
因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。
为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程。
【知识与能力目标】
(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．
(2)理解渐近线的证明方法．
(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系
【过程与方法目标】
培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法
【情感态度价值观目标】
培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物
【教学重点】
由方程导出性质及其应用
【教学难点】
渐近线的理解
多媒体课件
【知识一、双曲线的简单几何性质】
【问题导思】
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？
【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？。
2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2(二)
x2 y2 跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线 2－ 2＝1(a，b>0)的左、 a b 右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求此双曲线的方程； 3 (2)已知直线 y＝ x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点， 3
本 讲 栏 目 开 关
→ ＋OE → ＝mOC → ，求 且在双曲线的右支上存在点 C，使得OD
解得 m＝± 4.
∴x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝12.
当 m＝－4 时，点 C 在已知双曲线的左支上，不符合题意， 舍去. ∴m＝4，点 C 的坐标为(4 3，3).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
x2 y2 1.已知双曲线 2－ ＝ 1(a>0)的一条渐近线方程为 3x－ 4y＝ a 9
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2(二)
1.直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax＋By＋C＝0， x2 y2 双曲线： 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 1 个或 2 个 1个 0个 判定方法 m ≠0 m＝0 或 Δ>0
m 的值及点 C 的坐标.
解 (1)由双曲线的实轴长为 4 3，得 a＝2 3.
b 双曲线右焦点的坐标为(c,0)，一条渐近线为 y＝ x，由点到 a 直线的距离公式，得 b＝ 3. x 2 y2 ∴双曲线的方程为 － ＝1. 12 3
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x0，y0). 3 将直线 y＝ x－2 代入双曲线方程， 3 化简得 x2－16 3x＋84＝0，
人教版高中数学选修(1-1)-2.2《双曲线的简单几何性质》教学设计
2.2.2双曲线的简单几何性质（张远建）一、教学目标1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系（3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．（4）了解直线与双曲线的位置关系3.学习重点双曲线的几何性质．4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2完成53P 的练习2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．1B ．C ．2D ．答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2 D ．1答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．53C ．43D ．不能确定答案：B解析：考查双曲线简单几何性质.（二）课堂设计1.知识回顾。
【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修1-1教案2.2.2《双曲线的几何性质》
●教学目标1.掌握双曲线的几何性质2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. ●教学重点双曲线的几何性质●教学难点双曲线的渐近线●教学方法学导式●教具准备幻灯片、三角板●教学过程I.复习回顾：师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略）II.讲授新课：1.范围：双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图8—16可以看出，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x ab 逐渐接近. ③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y =x a x ab (22->a ). 设M (x ,y )是它上面的点，N (x ,y )是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y =x ab . ∵y =Y x ab x a x a b a x a b =-=-π222)(1∴)(22a x x a by Y MN --=-=222222))((a x x a x x a x x a b -+-+--⋅=22a x x ab-+= 设MQ 是点M 到直线y =x ab 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O .就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON .在其他象限内，也可证明类似的情况.（上述内容用幻灯片给出）.④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e =ac ，叫双曲线的离心率. 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程.1342222=-x y . 由此可知，实半轴长a =4，虚半轴长b =3.5342222=+=+=b a c .焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. 离心率45==a c e . 渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=. 说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）.III.课堂练习：（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质.（2）课本P113练习1.●课堂小结师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质.●课后作业习题8.4 1、5、6.●板书设计●教学后记。
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.2+双曲线的简单几何性质
答疑解惑
AYIJIEHUO
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探究二根据几何性质求双曲线的标准方程 【例2】 求解下列各题: (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且
过点 P( 6,2),求双曲线方程; (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为53,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线方程;
−
bx22=1(a>0,b>0)
图形
性 质
焦点 焦距 范围
F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c x≤-a 或 x≥a,y∈R
F1(0,-c),F2(0,c) y≤-a 或 y≥a,x∈R
-3-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
故所求双曲线方程为x2
9
−
y42=1
或y 2
9
−
4x2 81
=1.
(4)双曲线方程可化为x22-y2=1,依题意设所求双曲线的方程为
x2 2
-y2=k,将点
M(2,-2)代入,得
k=222-(-2)2=-2,
因此双曲线方程为x22-y2=-2,即y22
−
x2 4
=1.
-16-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
离心率 e=ac = 529,渐近线方程为 y=±25x.
-10-
2.2.2 双曲线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
首页
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答疑解惑
AYIJIEHUO
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人教版选修教案：双曲线的简单的几何性质(含答案)_1
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.答案：1922=-y x 2．双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22 ∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）. 5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A 14322=-y xB 13422=-y x C 12522=-y x D 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（1） 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0，OAO B ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-1学案：2.2.2 双曲线的简单几何性质 含解析
2．2.2双曲线的简单几何性质Q错误!错误!凉水塔的纵切面是双曲线,双曲线是非常优美的曲线,也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．X错误!错误!1．双曲线的简单几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上双曲线方程__x2a2－y2b2＝1(a>0，b〉0)____ 错误!－错误!＝1(a>0，b〉0) __范围__x≤－a或x≥a____y≤－a或y≥a__对称性关于__x__轴对称，关于__y__轴对称，关于__原点__对称关于__x__轴对称，关于__y__轴对称,关于__原点__对称顶点__（－a,0）、(a,0）____（0，－a）、（0，a）__渐近线__ y＝±ba x____ y＝±ab x__离心率e>1e>1 e越大，张口越大，e越小，张口越小2．双曲线几何性质的进一步理解(1）双曲线只有两个顶点,即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点．（2）双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系,勿将它们混淆．(3）两个特殊的双曲线①等轴双曲线:实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．②共轭双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轭双曲线，即错误!－错误!＝1(a>0，b>0)与错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)互为共轭双曲线．（4）双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：①当双曲线焦点在x轴上时,a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2＝a2＋b2，所以以a、b、c为三边长可构成直角三角形,如图,其中Rt△OA2B2称为双曲线的特征三角形．②当双曲线的焦点在y轴上时，可得类似结论．(6)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近．Y错误!错误!1．双曲线错误!－错误!＝1的顶点坐标是（ A )A．（±5，0) B．（±5，0)或(0,±3）C．(±4，0）D．(±4,0)或（0，±3）[解析] ∵双曲线的顶点在x轴上,又a＝5,∴选A．2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ C ）A．错误!B．1C．错误!D．2[解析］由题意可得错误!＝1,∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选C．3．（2019·山东潍坊高二期末）双曲线方程为错误!－y2＝1，则渐近线方程为（ A ）A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝错误!x[解析］∵双曲线方程为错误!－y2＝1,则渐近线方程为错误!－y2＝0,即y＝±错误!x,故选A．4．已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0)的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于( B ）A．错误!B．错误!C．3 D．4［解析] 由题意得a2＋5＝9，∴a2＝4，∴a＝2.∴离心率e＝错误!＝错误!。
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§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）
【学情分析】：
1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；
2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；
【教学目标】：
知识与技能
1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；
过程与方法
1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；
2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；
情感态度与价值观
通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：
双曲线的简单几何性质的运用
【教学难点】：
直线与双曲线的位置关系的求解技巧
练习与测试：
1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是
()0,10，则双曲线的方程是__________.
答案：19
2
2
=-y x 2．双曲线22
1x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化
范围是
（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞
解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a =
21=b ，∴F （±1，0），e =a
c =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22 ∴长半轴长为2，短半轴长为1.
∴方程为2
2x +y 2
=1.
4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；
（2）试给出方程622
-+k k x +1
622--k k y =1表示双曲线的充要条件.
解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.
（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－
31）∪（2
1
，2）. 5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是 （ ）
A 14322=-y x
B 1342
2=-y x C 12522=-y x D 15
22
2=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222
221,7x y a b a b
-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求
解
6.过双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为
直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２
7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.
解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22
x y 122
－＝ （x >0）
（1） 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0
），
B （x 0
，O
AO B ⋅＝2
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122
－＝中，得：（1－k 2
）
x 2
－2kbx －b 2
－2＝0……………………1︒
依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
2222122
2122
4k b 41k b 202kb x x 01k b 2
x x 0k 1
⎧
⎪∆∙≥⎪
⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎩＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2
）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2
＝
222
2k 24
2k 1k 1
＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2
设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂
线：y x =- ① 双曲线：
22
21680578000
x y -= ②
解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。