等差数列复习
(完整版)数列复习
第二章 数列
一．等差数列
1.定义：an an1 d (n 1, d为常数)
an1 an 3
an1 an 3
an是等差数列，且公差 d 3
这也是证明an为等差数列的最重要的 方法。
2.通项公式： an a1 (n 1)d
3.等差数列前 n项求和公式：
Sn
na1
n(n 1)d 2
去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已 经靠近了轨道，地铁公司不得不安排专人来提醒乘客注意安全。恰恰是诸如此类的细节，决定了二号线运营成本远远高于一号线，至今尚未实现收支平衡。一号线近乎完美的设计，正是基于德国设计人员的细心观察，科学计算，周密推理，尤其是对于细节与全局关系准确把握的一种理性和自觉， 最终才能从大处着眼，从细节着手。 请以“细节与全局”为话题，写一篇800字的文章。 [写作提示]“细节与全局”是一个双概念关系型的话题，它体现了哲学上讨论的“整体与局部”的关系，着眼考查学生的思辨能力。考生写作时，应该用联系的眼光看待“细节与全局”的关系，细节虽小， 却不可忽视，生活中每一个小的细节都和整体有着密不可分的联系。如果每个细节我们都做得好，那么就会有一个令人满意的全局；如果关键的细节我们没有注意到，就可能带来全局性的失误，如前苏联的联盟一号飞船的悲剧就是由于一个小数点的错误造成的。“千里之堤，溃于蚁穴”，讲的 就是这个道理。 11.阅读下面的材料，然后按要求作文。 科学家不是依赖于个人的思想，而是综合了几千人的智慧。许多人想一个问题，并且每个人做其中的部分工作，添加到正建立起来的伟大的知识大厦之中。——卢瑟福 独立性是天才的基本特征。——歌德 即使通过自己的努力知道一半的 真理，也比人云亦云地知道全部真理要好。——罗曼·罗兰 一粒沙子是松散的，可是它和水泥、石子、水混合后，比花岗岩还坚韧。——王 杰 读了上面的几则材料，你有什么感想？请以“自主与合作”为话题写一篇作文。 [写作提示]对“自主与合作”之间的关系要进行辩地分析。一味地强 调自主而忽视合作，便会导致刚愎自用，不能借用集体的智慧；一味地强调合作而忽视自主，便会丧失自我。只有在自主中寻求合作，在合作中保持自主，这才是明智的做法。该话题可用的材料非常多，中国历史上战国七雄之间的关系可以从本话题的角度来写；当今的企业之间、国与国之间既 合作又团结的关系也可以成为作文的论材料。 ? 12.阅读下面的材料，然后按要求作文。 有一位木匠，晚年他很少手把手地教徒弟做工，只是习惯于提醒，有一句口头禅是：“注意了，留一道缝隙。”木工讲究疏密有致，黏合贴切，该疏则疏，不然易散落。时下，许多人家装修房子，常常出现 木地板开裂，或挤压拱起的现象，这就是当初做得太“美满”的缘故。高明的装修师傅懂得恰到好处地留一道缝隙，给组合材料留下吻合的空间，便可避免出现这样的问题。 其实，做人处事，和木匠的工艺一样，也得讲究“留一道缝隙”。你是如何看待这个问题的？请以“留一道缝隙”为话题， 联系社会生活实际，写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。 ? [写作提示]做人和处事，如果事事工于算计，利害当头，互不相让，凡事追求“团满”，人与人之间的关系就会紧张，就会裂变。同样，一个人把所有行为都目的化，就会把自己的理想挤压得变形。留一道缝 隙，给自己，给他人，给社会留一个可供吻合的人际空间。 ? 13. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 铅笔即将被装箱运走，制造者很不放心，把它带到一旁对它说：“你将来能做很多大事，会成为最好的铅笔。但是有一个前提，你要记住我的话：你不能盲目自由，你要允许自己被一只手握 住；你可能经常会感受到刀削般的疼痛，但是这些痛苦都是必要的，它会使你成为一支有用的铅笔；不要过于固执，要承认你所犯的任何错误，并且勇于改正它；不管穿上什么样的外衣，你都要清楚一点，你最重要的部分总是在里面；在你走过的任何地方，都必须留下不可磨灭的痕迹，不管是 什么状态，你必须写下去。要记住，只有这样，生活才会有意义。” 请以“铅笔的原则”为话题，写一篇800字的文章。 ? [写作提示]这是一个比喻性的话题，好在话题材料中已经把“铅笔的原则”的比喻义讲得十分清楚，也就是制造者的嘱咐。考生须明白的是，这则材料看似在告诫铅笔，实 则是在告诫人，这个话题是让我们思考做人的原则问题：生活中没有绝对的自由，正视痛苦磨炼人生，要勇于改正错误，守住心灵不迷失自我，奋斗中展示自己的美。文章立意的自由度很大，所写内容只要与以上几个方面有联系都算是符合题意。 注意写议时应有丰富的材料，选材要新颖、典型， 更要有对材料的合理分析，注意论辩色彩，使文章有较强的说服力。写记叙文要构思精巧，要有饱满的情感，以深刻的细节描写打动读者，追求行文的艺术性。 14.阅读下面的材料，然后按要求作文。 一只兔子被猎人开枪打伤。它惊恐地逃跑了。猎人让猎犬追赶那只逃跑的兔子。猎犬的速度飞 快，兔子没命地飞奔，根本看不出它已经受伤，最后竟把猎犬甩开了。猎人见猎犬一无所获，愤怒地骂道：“没用的东西，连一只受伤的兔子都抓不到！”猎犬感到很委屈，辩解道：“我虽然没能抓到兔子，可我已经尽力而为了呀!”那只受伤的兔子逃回窝中，伙伴们为它死里逃生而感到惊 奇。 ? 它们好奇地问：“猎犬速度这么快，你居然还能逃脱，真是太不可思议了！”惊魂未定的兔子说：“猎犬如果抓不住我，顶多被主人骂一顿，所以，它追我只是尽力而为；可我如果被它抓住，命就没有了，所以我逃跑是全力以赴呀!” 在生活中，我们常常发现一些本应该能够做好的事情 竟没有做好，而有些看来没有希望做好的事情却做成功了。这原因往往就如猎犬和兔子，取决于是尽力还是全力。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，800字以上。 [写作提示]“尽力”与“全力”的区别在于是否还留有余地，是否还有退路，其所处境遇不 同，付出也会异样，那么结果也就不一样。这不是一个关系型话题，而是同中求异的范围型话题。 我们可以从几个角度选择立意。从猎犬与兔子比较的角度立意，可以联想到生存状况影响对待工作的态度，猎犬没有生存危机，所以只需“尽力”做就行；兔子有生存危机，所以做事必须“全力以 赴”。从猎人的角度联想，可以想到形成猎犬与兔子行动结果的不同，是猎人的造成的，对兔子是把它逼向死地，对猎犬却没有很有用的利害机制促其全力以赴，人不求“全力”，只求“尽力”是机制造成的。进而可以这样联想，假如打破“铁饭碗”，摔烂“铁交椅”，砸碎“关系网”，人还 敢只“尽力”而不“全力”去做吗？看来，制度决定人的工作态度。 至于是议论还是编故事，只要能表明自己的观点或者中心意图，都是可以的。 15. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 理查·布林斯莱·谢立丹是18世纪后期英国最有成就的喜剧家。当他的第一部喜剧《情敌》初次上演时， 谢立丹应观众的要求谢幕。就在这个时候，有一个人在剧场顶层的楼座上喊道：“这个喜剧糟透了！”声音很大，全场观众都听见了，他们都想看看谢立丹有什么反应。谢�
专题30 等差数列-高考复习资料(解析版)
得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，
所以 a7＋a8＋a9＝45.
【解法小结】 1.项的性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
考点三 等差数列的性质及应用
角度 1 等差数列项的性质
【例 4－1】已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10
B．20
C．40 【答案】B
D．2＋log25
【解析】因为 2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4， 所以 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.选 B.
角度 2 等差数列和的性质
【例 4－2】 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9 等于( )
A.63
B.45
C.36
D.27
【答案】B
【解析】 由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
5×4 5a1＋ d＝－15，
2
解得 d＝－4.
2.(2019·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，a4＝
－12，若 am＝30，则 m＝( )
A.9
B.10
C.11
D.15
【答案】B
【解析】 设等差数列{an}的公差为 d，依题意得
11×（11－1）
等差数列及其前n项和-高考数学复习
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
__________,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
同一个常数
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
的_______,通常用字母d表示.定义表达式为____________________
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1尺,小寒日晷长为a2尺,以此类推芒种日晷长为a12
尺,
因此a1=13.5,a12=2.5.设相邻两个节气晷长的变化量为d,所以有
2.5=13.5+(12-1)d⇒d=-1.立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5(尺),
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b
(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且
解得
101 + 45 = 40,
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
②由已知得
(1 + )
Sn=
2
=
(13+15-2)
高考复习：等差数列含解析答案(教师版+学生版)
等差数列一、知识梳理1．数列的定义:按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________3．等差数列的定义：4、等差数列的通项公式：5．等差数列的前n项和公式：6、等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）（2）7、等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值．试一试1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ .4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .题型三 等差数列基本量的运算例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .跟踪训练 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ . (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ .(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ．题型四 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ . (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .题型五 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．课堂练习：1．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．2、已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．3、设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝.4、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝.5、已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n＋2S n S n－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n与{a n}是否为等差数列，并说明你的理由．6、在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝.7、在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝.8、已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为．9、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大．6.1等差数列作业1．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ .2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ .3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．4、在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝ 12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．5．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ .6、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是 ．7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ .8、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为 ．9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 ．10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a n ； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．试一试1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n的值为 ． 答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ . 答案 12解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 答案 20解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .答案 (1)52(2)5 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0， 故a 1＝－m －12， 因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ .(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ . (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ． 答案 (1)13 (2)48 (3)2解析 (1)由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S 6＝3＋15d ＝48.(3)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ .(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .答案 (1)45 (2)13 (3)2 016解析 (1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d . 则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ＝－2 014＋2 015＝1， ∴S 2 016＝1×2 016＝2 016.思维升华 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝ .(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 答案 (1)28 (2)60解析 (1)∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.题型三 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.思维升华 等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)， 又因为S 1＝a 1＝12， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)， 而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．等差数列的前n 项和及其最值典例：(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝ .(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ .(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为 ．(4)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－(n －212)2＋(212)2， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.(4)∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.答案 (1)45 (2)－110 (3)110 (4)8温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量.方法与技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．失误与防范1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.课堂练习：4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为 ． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， 令f (x )＝x 3－10x 23，x >0， f ′(x )＝13x (3x －20)． 令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝203. 当x >203时，f (x )是单调递增的； 当0<x <203时，f (x )是单调递减的． 故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝ . 答案 －3解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ . 答案 1021 解析 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，所以直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)，所以a 1＝1，a 2＝3，所以公差d ＝2，a n ＝2n －1，所以b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021. 3．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ . 答案 100解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．答案 5解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．答案 60解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.6．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n的值是 ．答案 6解析 依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 14解析 由已知1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， ∴a 10＝14. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1， S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为 ．答案 19解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.2．(2013·辽宁改编)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中，真命题为 ．答案 p 1，p 4解析 由于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为．答案19 41解析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.4．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1. (1)解 由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3， 得1a n ＋1＝a n ＋33a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2， ∴{1a n }是以2为首项，以13为公差的等差数列． ∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， ∴a n ＝3n ＋5. (2)证明 ∵b n ·n (3－4a n )a n＝1， 则由(1)得b n ＝1n (n ＋1)，∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1关于n单调递增，∴12≤S n<1.。
高考一轮复习 等差数列 知识点+例题+练习
自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1． 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点 等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。
等差数列公式复习题
等差数列公式复习题等差数列公式复习题等差数列是数学中常见且重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
掌握等差数列的公式和性质对于解决各类数学问题至关重要。
本文将通过一些复习题来巩固对等差数列公式的理解和运用。
1. 已知等差数列的首项是a，公差是d，第n项是an，求第m项的值am。
解析：根据等差数列的性质，我们知道第n项的值可以通过公式an = a + (n-1)d来计算。
同样地，第m项的值可以通过公式am = a + (m-1)d来计算。
因此，am = a + (m-1)d。
2. 若等差数列的首项是3，公差是5，前n项和Sn = 2n^2 + 3n，求第n项的值an。
解析：我们知道等差数列的前n项和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
根据题目给出的前n项和Sn = 2n^2 + 3n，代入公式中得到2n^2 + 3n = (n/2)(2a + (n-1)d)。
化简后得到4n^2 + 6n = 2an + nd - d。
由于首项a = 3，公差d = 5，代入公式中得到4n^2 + 6n = 6n + 5n - 5。
化简后得到4n^2 = 11n - 5。
移项后得到4n^2 - 11n + 5 = 0。
解这个二次方程可以得到n的值。
将求得的n代入Sn的公式中，即可求得第n项的值an。
3. 若等差数列的首项是2，公差是4，求前100项的和Sn。
解析：我们知道等差数列的前n项和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
根据题目给出的首项a = 2，公差d = 4，代入公式中得到Sn = (100/2)(2*2 + (100-1)*4)。
化简后得到Sn = 50(4 + 99*4)。
计算得到Sn = 50(4 + 396) = 50*400 = 20000。
因此，前100项的和Sn = 20000。
4. 若等差数列的首项是1，公差是2，前n项和Sn = 3n^2 + 2n，求第n项的值an。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习40 等差数列
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题40 等差数列考点知识1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为a n－a n－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d或Sn＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列．常用结论1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)(4)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√)教材改编题1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10等于() A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎨⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21.∴a 10＝－2×10＋21＝1.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于() A ．12 B ．8 C ．20 D ．16 答案D解析等差数列{a n }中，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8仍为等差数列，即8,20－8，a 9＋a 10＋a 11＋a 12为等差数列，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝16.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝10，S 4＝28，则S n 的最大值为________． 答案30解析由a 1＝10，S 4＝4a 1＋6d ＝28，解得d ＝－2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋11n .当n ＝5或6时，S n 最大，最大值为30.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a n }中，a 25＝a 3a 6，若该数列的前n 项和S n ＝0，则n 等于()A ．10B ．11C ．12D ．13 答案D解析由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋n(n－1)2＝0，解得a1＝－6，n＝13.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块)．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸 答案B解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{a n }，设公差为d ，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴⎩⎨⎧a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝315，S 9＝9a 1＋9×82d ＝855，解得⎩⎨⎧a 1＝135，d ＝－10，∴芒种日影长为a 12＝a 1＋11d ＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．(2)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1是等差数列，且a 1＝1，a 3＝－13，那么a 2024＝________.答案－10111012解析设等差数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1的公差为d ，因为a 1＝1，a 3＝－13，所以2a 1＋1＝1，2a 3＋1＝3.所以3＝1＋2d ，解得d ＝1.所以2a n ＋1＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝2n －1.所以a 2 024＝22 024－1＝－2 0222 024＝－1 0111 012.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n(n－1)2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列．①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列．设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n(n－1)2d＝12n2d＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d 2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d>0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{a n}是等差数列．思维升华判断数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{a n}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{a n}是等差数列，公差为d，且b n是a n和a n＋1的等比中项，设c n＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{c n}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，S n为数列{a n}的前n项和，求数列{a n}的通项公式．(1)证明由题意得b2n＝a n a n＋1，则c n＝b2n＋1－b2n＝a n＋1a n＋2－a n a n＋1＝2da n＋1，因此c n＋1－c n＝2d(a n＋2－a n＋1)＝2d2(常数)，∴{c n}是等差数列．(2)解当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.a3＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①1当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)．∵a n >0，∴a 2n ＝S n ＋S n －1＝2S n －a n ，③∵a 1＝1也符合上式，∴当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a 2n －a 2n －1＝2(S n －S n －1)－a n ＋a n －1＝2a n －a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n ＝n . 题型三等差数列的性质 命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{a n }中，若a 8＝8且log 2(1211222a a a ⋅⋅⋅…)＝22，则S 13等于() A ．40B ．65C ．80D ．40＋log 25 答案B解析log 2(1211222a a a ⋅⋅⋅…)＝log 212a ＋log 222a ＋…＋log 2112a ＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝11a 6＝22，所以a 6＝2，则S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 6＋a 8)2＝65. (2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝2，b 1＝－3，a 7－b 7＝17，则a 2024－b 2024的值为________． 答案4051解析令c n ＝a n －b n ，因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列．设数列{c n }的公差为d ，由已知，得c 1＝a 1－b 1＝5，c 7＝17，则5＋6d ＝17，解得d ＝2.故a 2024－b 2024＝c 2024＝5＋2023×2＝4051. 思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质． (2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于() A ．2B ．3C ．4D ．5 答案A解析∵S 15＝30，∴152(a 1＋a 15)＝30， ∴a 1＋a 15＝4，∴2a 8＝4，∴a 8＝2.∴2a 5－a 6－a 10＋a 14＝a 4＋a 6－a 6－a 10＋a 14＝a 4－a 10＋a 14＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝2. (2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a n }满足a 8a 5＝－2，则下列结论一定成立的是()A.a 9a 4＝－1B.a 8a 3＝－1C.a 9a 3＝－1D.a 10a 4＝－1 答案C解析由a 8a 5＝－2得a 5≠0,2a 5＋a 8＝a 4＋a 6＋a 8＝3a 6＝0， 所以a 6＝0，a 3＋a 9＝2a 6＝0， 因为a 5≠0，a 6＝0，所以a 3≠0，a 9a 3＝－1.命题点2等差数列前n 项和的性质例4(1)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为() A.2945B.1329C.919D.1930答案C解析由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.(2)已知等差数列{a n}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为()A．30B．29C．28D．27答案B解析奇数项共有(n＋1)项，其和为a1＋a2n＋12·(n＋1)＝2a n＋12·(n＋1)＝290，∴(n＋1)a n＋1＝290.偶数项共有n项，其和为a2＋a2n2·n＝2a n＋12·n＝na n＋1＝261，∴a n＋1＝290－261＝29.思维升华等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{a n}中，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；S2n－1＝(2n－1)a n.跟踪训练4(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝20，S5＝30，a m＝40，则m等于()A．6B．10C．20D．40答案C解析由S4＝20，S5＝30，得a5＝S5－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，a m＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2020，S 20202020－S 20142014＝6，则S 2023等于()A ．2023B ．－2023C ．4046D ．－4046 答案C解析∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 20202020－S 20142014＝6d ′＝6，∴d ′＝1， 首项为S 11＝－2020，∴S 20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2， ∴S 2023＝2023×2＝4046，故选C.课时精练1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d 的取值范围是() A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，72D.⎝ ⎛⎦⎥⎤3，72答案D解析a n ＝－21＋(n －1)d ，因为从第8项起为正数，所以a 7＝－21＋6d ≤0，a 8＝－21＋7d >0，解得3<d ≤72.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 50－S 47＝12，则S 97等于() A ．198B ．388C ．776D ．2023 答案B解析∵S 50－S 47＝a 48＋a 49＋a 50＝12，∴a 49＝4， ∴S 97＝97×(a 1＋a 97)2＝97a 49＝97×4＝388.3．已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为() A ．28B ．29C ．30D ．31 答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项， 则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ， 该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A．己丑年B．己酉年C．丙寅年D．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使S n<0的n的最小值为() A．30B．31C．32D．33答案B解析根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，变形可得4a1＋58d＝0，则a1＝－292 d，所以S n＝na1＋n(n－1)d2＝－292nd＋n(n－1)d2＝d2(n2－30n)，因为a1＝－292d>0，所以d<0，若S n<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使S n<0的n的最小值为31.6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1tan A ，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是() A．a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列答案ABD解析在△ABC中，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则2tan B＝1tan A＋1tan C，整理得2cos Bsin B＝cos Csin C＋cos Asin A，利用正弦定理和余弦定理得2·a2＋c2－b22abc＝a2＋b2－c22abc＋b2＋c2－a22abc，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或a，b，c或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．7．(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.答案2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.答案200解析依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝8 9，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200.9．已知{a n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S n，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得S n有最小值．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值．从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以a n＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－3，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12n(n－7)．因为n∈N*，所以当n＝3或4时，S n取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得S n有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以a n＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－7，所以S n＝n(a1＋a n)2＝n2－8n.所以当n＝4时，S n取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得S n有最小值，最小值为－16. 不可以选择③作为补充条件．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则由(1)可得，S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2，n ∈N *.由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5， ∴当n >5时，a n <0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－(9n －n 2)＝n 2－9n ＋40； 当n ≤5时，a n ≥0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2，∴T n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．(多选)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有()A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0答案AC解析根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由a n＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1＋n(n－1)d2＝－9nd＋n(n－1)d2＝d2×(n2－19n)，得S7＝S12，故C正确；S 20＝20a1＋20×192d＝－180d＋190d＝10d.因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＋2a7＋a8a3＋a6＝2011，则S11S8等于()A.37B.16C.511D.54答案D解析a2＋2a7＋a8a3＋a6＝2a5＋2a7a3＋a6＝4a6a3＋a6＝2011，所以a6a3＋a6＝511，所以S11S8＝11a64(a1＋a8)＝11a64(a3＋a6)＝54.13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S n＝n×1＋n(n－1)2×6＝3n2－2n.14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为______．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13(a1＋a13)2＝13a7<0，S12＝12(a1＋a12)2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为()A．213B．215C．217D．219答案B解析由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋ (14)14×(1＋14)2＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a 108＝1＋(108－1)×2＝215.16．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{a n }的“优值”，已知数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为() A ．－70B ．－72C ．－64D ．－68 答案B解析∵数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，∴H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n ＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1， ∴2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2)，∴a n ＝4n －2(n －1)＝2n ＋2(n ≥2)，又a 1＝4，满足上式， ∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)， ∴a n －20＝2n －18，∴{a n －20}是以－16为首项，2为公差的等差数列， 所以{a n －20}的前n 项和S n ＝n 2－17n . 由⎩⎨⎧a n －20＝2n －18≤0，a n ＋1－20＝2n －16≥0，得8≤n ≤9，∴S n 的最小值为S 8＝S 9＝－72.。
高三一轮复习 数列的复习
数列的复习【知识整理】：一 、等差数列1.等差数列的通项公式：①a n ＝a 1＋____×d②（推广公式）a n ＝a m ＋______×d注意：数列{}n a 是等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，特别地，数列{}n a 是公差不为0的等差数列的充要条件是此数列的通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，且0≠p .2、等差中项如果b A a ，，成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意：①b 是a 、c 的等差中项的充要条件是a ，b ，c 成等差数列；②若a ，b ，c 成等差数列，那么c b b a b c a b c a b ca b -=--=-+=+=；；；22都是等价的；③若数列{}n a 是等差数列，则()*-+∈≥-=-N n n a a a a n n n n ,211，整理得211+-+=n n n a a a . 3、等差数列的性质{}n a 是等差数列，d 为公差.（1）1123121,+---+=+==+=+=+k n k n n n n a a a a a a a a a a 即 （2）若m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则_________________若m, n, p ∈N*，若m ＋n ＝2p ，则__________________ （3）()mn a a d d m n a a mn m n --=⇔-+= （m, n, ∈N*，且m ≠ n ）.（4）序号成等差数列的项又组成一个等差数列，即 ,,,2m k m k k a a a ++仍成等差数列，公差为()*∈Nm k md ,.（5）若{}{}n n b a ，都是等差数列，则数列{}{}{}{}{}2121,,,,,(λλλλλλb k c b a b a b a ka c a n n n n n n n ++++，，，，均为常数)也是等差数列.（6）连续三个或三个以上k 项和依次组成一个等差数列，即)2(,,,232*∈≥--N k k S S S S S k k k k k 且 成等差数列，公差为d k 2.（7）①当项数为奇数()12+n 项时，其中有()1+n 个奇数项，n 个偶数项.1-+=n a S S 偶奇；()112++=+n a n S S 偶奇； ()nn S S na S a n S n n 1,,111+=∴=+=++偶奇偶奇. ②当项数为偶数n 2项时，()11,-,,+++=+===n n n n a a n S S nd S S na S na S 奇偶奇偶偶奇 ∴1+=n na a S S 偶奇. 能力知识清单：1、等差数列{}n a 中，若()0,,=≠==+nm n n a n m n a m a 则. 2、等差数列{}n a 中，若()()n m S n m n S m S n m m n +-=≠==+则,, 3、等差数列{}n a 中，若()0,=≠=+nm m n S n m S S 则； 4、若{}n a 与{}n b ，为等差数列，且前1-21-2m m m m n n T S b a T S n =，则与项和为二、等比数列1. 等比数列的通项公式：①a n ＝a 1q n －1 ② a n ＝a m q n －m2、若﹛a n ﹜为等比数列，m, n, p, q ∈N*，若m ＋n ＝p ＋q ，则___________ 3. 等比数列的前n 项和公式： S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q qS n ＝ _________________()1≠q4、等比数列{a n }的前n 项和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列，且公比为________ 7.等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b²=_____________________三、判断和证明数列是等差（等比）数列常有四种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
等差数列-高考数学专题复习
等差数列的通项与前n 项的和1．等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列（又叫算术数列），这个常数叫做等差数列的公差．根据公差的范围可把等差数列分为以下三种2．等差数列的性质：①定义公式：a n － a n-1（n ≥2）= a n+1－ a n = d ． ②通项公式：a n =a 1+（n －1）d=a k +（n －k ）d ．注：a n 是关于n 的一次型代数式，即可写成a n = an+b ，其中n 的系数为公差．③公差公式：p q a a d p q-=-．公差是等差数列的图象的斜率．④中项公式：a 、b 、c 成等差数列⇔b －a=c －b ⇔2b=a+c ⇔b= ⇔b 是a 与c 的等差中项；{ a n }为等差数列⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2）．（存在性与唯一性）⑤换和公式：m 、n 、p 、q ∈N +， m+n=p+q ⇒a m +a n =a p +a q （可推广）．⑥求和公式：S n = （a 1+a n ）n=na 1+ n （n －1）d=a 12n +n （n 为奇数）． 注：S n 是关于n 的 二次型 代数式，且无 常数项 ，即可写成S n =an 2+bn ，其中n 2的系数为 公差的一半 ．3通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1)(n 2)n nn S n a S S -=⎧=⎨-≥⎩ ．4．奇数项的和与偶数项的和：在有穷等差数列{a n }中，设S 奇 表示所有奇数项的和，S 偶表示所有偶数项的和： ①若项数为2k ＋1（k ∈N ＋），S 奇－S 偶=a 1k +，S 奇:S 偶= （k ＋1）:k ； ②若项数为2k （k ∈N ＋），S 偶－S 奇= kd ，S 奇:S 偶=a k :a k+1． 5．S n 的最值：①若S n =an 2+bn ，则当n 为最接近 的正整数时，S n 最大(a <0)或最小（a >0）． ②在等差数列{a n }中，若a k ＞0＞a k+1，则n= k 时，S n 最大；若a k-1＞a k =0＞a k+1，则n= k 或k －1 时，S n 最大；若a n ＜0，则n= 1 时，S n 最大． ③在等差数列{a n }中，若a k ＜0＜a k+1，则n= k 时，S n 最小；若a k-1＜a k =0＜a k-1，则n= k 或k －1 时，S n 最小；若a n ＞0，则n= 1 时，S n 最小．2b a -2a c +12126．{|a n |}的前n 项的和：若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，用T n 表示{|a n |}的前n 项和，则：①当a k ≥0＞a k+1时，()2()n n k n S n k T S S n k ≤⎧=⎨->⎩；当a n ≥0时，T n = S n ．②当a k ≤0＜a k+1时，()2()n n nk S n k T S S n k -≤⎧=⎨->⎩；当a n ≤0时，T n =－S n ．例1：（2005•湖南）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明.111112312<-++-+-+n n a a a a a a解析：（1）设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为D ．由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a（2）因为nn n n n a a a 2121111=-=-++，所以 n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+.1211211212121<-=-⨯-=n n 例2： (2005•江苏）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数.（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{a n }为等差数列；（31>对任何正整数m 、n 都成立.解析：（1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18. 由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=-20， B=-8。
人教高中数学必修5等差数列复习
例6、已知下列各数列的前n项和Sn的 公式，求通项公式 （1）Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2 例7、在等差数列中，分别按下列要求 计算 （1）若a1=5,a10=95,求S10 （2）若a1=100,d=-2,求S50 （3）若a1=20,an=54,Sn=999,求n,d （4）若d=2,S100=10000,求a1,an
5、在等差数列中，已知an-5=-11,a1=1, d=-2,求项数n和a2012 6、已知三个数成等差数列，其和为15， 首末两项的积为9，求这三个数 7、在等差数列中，若a4+a5+a6+a7=56, a4a7=187,求通项公式 在数列 a n 中，如果 a 1 2 , a 2 1, 2 a n 1 a n 1 8、
a n a n 1 1 a n a n 1 , 试判断 an 是否是等差
数列，并求出通项公式
五、等差数列的前n项和公式
1、 S n na 1 n ( a1 a n ) 2 n ( n 1) 2 d
2、倒序相加法 3、从函数角度理解和公式
2+Bn Sn=An
六、等差数列的性质 1、 d
an am n m
2、若m+n=P+q,则am+an=ap+aq 若m+n=2p,则am+an=2ap 5、“片段和”性质
七、等差数列前n项和的最值 1、存在性 （1）若a1>0,d<0,Sn存在最小值 （2）若a1<0,d>0,Sn存在最大值 2、求法 （1）根据项的正负变化决定 （2）根据二次函数的最值求法
四、等差数列的通项公式 1、an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d 2、累加法 3、从函数角度理解通项公式
高考理科数学等差数列复习资料
① ②
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23
• • •
由②得d=2a1，代入①有 解当得a1=a01=时0或 ，d=a 10(舍49 . 去).
a
2 1
4 9
a
，
1
• 因此， • 故数列{aa1n}的49，通d项公89.式为
a n 4 9 (n 1 )? 8 9 4 9 (2 n 1 )(n N * ).
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Sn,S3n-S2n成 等差数列
.
；Sn,S2n-
• 五、a,b的等差中项为
ab .
2
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• 1.等差数列{an}中，已知 an=33，则n=C( )
a1
1 3
, a2+a5=4,
• A. 48
B. 49
• C. 50
D. 51
•
由已知解得公差
• 再由通项公式得
d 2，
•
解得n=50.故选C.
• 假设存在符合题意的项，则由an=bm，
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• 可得a1+d(n-1)=a1+ d (m-1)，
• 所以 1 (m-1)=n-1，2 • 即m=22n-1. • 由m，n都是正整数可得此式成立.
• 故数列{an}中的任一项an一定在数列 {bn}中.
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• 【点评:】一个数列为等差数列的充要条件 可 以 是 ： ① an+1-an=d ； ② an=an+b ； ③ Sn=an2+bn(Sn 是 前 n 项 和 ) ； ④ an+2+an=2an+1. 判 断 一 项 a 是 否 为 某 数 列 {an}的项，就是方程an=a是否有对应的正 整数解.
等差数列复习(全面知识点+精选例题+习题附答案)精编材料pdf版
答案：4
3 | 10
[数列]
例 13
已知数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，且满足
a1
1 2
， an
2SnSn1(n
2)
．（1）求
证：数列
{
1 Sn
}
是等差数列；（2）求
S
n
和
an
．
（1）证明：由递推关系，可知 Sn 0 ，当 n 2 时， an Sn Sn1 2SnSn1
两边同除以 SnSn1 得
解析： a1 5 ， d (9) (5) 4 ，an 5 4(n 1) 4n 1 令 401 4n 1，解得 n 100 ，即 401是这个数列的第 100 项．
答案：是
{an} 是首项 a1 1，公差 d 3 的等差数列，如果 an 2005 ，则序号 n 等于（ ） 例4
A．667
24 24
8d 9d
0 0
，解得 3
d
8 3
．
答案：[3, 8) 3
4．等差数列的性质 （1）等差数列{an} 的第 m 项为 am ，则 an am (n m) d ．★ 例如： a8 a1 7d a2 6d a3 5d a10 2d ． （2）若 m n p q ，则 am an ap aq ，若 m n 2 p ，则 am an 2ap ．★ 例如： a1 a9 a2 a8 a3 a7 a4 a6 2a5 ， a1 an a2 an1 a3 an2 ． （3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , akm , ak2m , 组成公差为 md 的等差数列． 例如： a1 , a3 , a5 , a7 , , a2n1 , 组成公差为 2d 的等差数列； a5 , a10 , a15 , a20 , , a5n , 组成公差为 5d 的等差数列． （4）{an} 是公差为 d 的等差数列，则{kan b}也是等差数列，公差为 kd． （5）{an} ,{bn}都是等差数列，则{an bn},{pan qbn} 也是等差数列．
高考数学总复习考点知识专题讲解27---等差数列
最新考纲：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的 通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数 列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等 差数列与一次函数、二次函数的关系．
基础
知识回顾Βιβλιοθήκη 1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义
则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－12n＋2， ∴a5＝－12×5＋2＝－12.故选B.
2．(2019·合肥市一检)已知等差数列{an}的前n项和为
Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则m＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
项，且有A＝ 2 .
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通 项公式是 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) ．
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ __n_a_1_＋__n_n_2_－__1_d___或Sn＝ na12＋an(n∈N*) ．
a1≠0，a2＝3a1，则SS150＝___4_____.
[解析] (1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵
S4＝0， a5＝5，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得
a1＝－3， d＝2，
∴
an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋
nn－1 2
d
＝n2－4n.故选A.
[解析]
(1)由am－1－a
等差数列高考真题复习百度文库
一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．144．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．247．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．911．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2212．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15113．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．815．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10016．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10517．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．618．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．919．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1020．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．64二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！ 24．题目文件丢失！25．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 26．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．227．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.29．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列30．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．C【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 11．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 12．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
高三复习 第二节 等 差 数 列
同步精练
12.在等差数列{an}中，已知a1＝51，d＝－2，求此数列 的前n项和Sn的最大值．
解：由题意知an＝a1＋(n－1)d＝51＋(n－1)(－2)＝－2n＋53，
由
an 2n 53 0,
an1 2n 1 53 0,
解得
51 n 53
2
2
，n∈N＋，∴n＝26，
所以当n＝26时，{an}的前n项和最大
2
＝72，故选D.
同步精练
10．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝15，a4＋a7＋
a10＝60，则a3＋a6＋a9等于( D )
A．50
B．20
C．70
D．51
【提示】 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，∵a4＋
a7＋a10＝3a7，∴a7＝20，则有
aa11
d 5 即 6d 20,
(2)由(1)知数列{an}的前n项和公式为
Sn＝
n a1
2
an
n
11 4n
2
15
＝2n2－13n，
令Sn＝2n2－13n＝540，解得n＝20或
27 2
.
∵n∈N＋，∴n＝20.
②前n项和公式为关于n的一元二次函数，且无常数项，
即Sn＝An2＋Bn.
5．等差数列的性质
am an
(1)am＝an＋(m－n)d⇔d＝__m___n___(m≠n，m，n∈N＋)；
注：等差数列已知任意两项可求d.
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝ __a_p_＋__a_q_.
10 10 2
=50.
(2)设等差数列{an}中，a2和a5是方程x2－x－2＝0的两实
等差数列复习
例 2 .数 列 a n 的 通 项 公 式 是 a n 1 0 4 3 n ( n N ).
*
求 数 列 a n 的 前 n项 和 .
例 3 .两 个 等 差 数 列 a n 和 b n 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 T n . 若 Sn Tn 2n 3n 1 .求 a8 b8 和 an bn .
结 论 ： 在 等 差 数 列 an 中 ： 若 m n p q 2r , 则 am an a p aq 2ar
2
4 .a m n （ a1 a n ) Sn 2 n （ n 1) a n a1 ( n 1 ) d S n na 1 d 2
一、复习
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
a n 1 a n d ( 是与 n 无关的数或式子）
2.等差数列通项公式： a n a 1 n 1 d 3.如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y成等差数列， x y 那么A叫做x与y的等差中项 A
例 4 .设 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n ,已 知 a 3 1 2 且 S 1 2 0， S 1 3 0 . (1) 求 公 差 d 的 取 值 范 围 ； ( 2 )该 数 列 前 几 项 和 最 大 ？
6 . 数 列 a n 中 通 项 a n 和 前 n 项 和 S n的 关 系 ： S 1 ( n 1) an S n S n 1 ( n 2 )
8. 等差数列前n项和的最值问题有两种方法:
等差数列复习
ab
㈡ a与b的等差中项是 _2____ 即a、b的算术平均数.
等
差 a、b、c成等差数列,则 ___2_b_=_a_+_c__
中 三个数成等差数列，可设这三个数为： 项 a,a+d,a+2d 或 a-d, a, a+d
例5(1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d dn (a1 d )
d=0,常数列；d>0, 递增数列；d<0, 递减数 列
如果一个数列是等差数列，那么该数
列的通项公式一定能写成 an pn q
（p,q是常数）的形式。
课后思考：
如果一个数列的通项公式能写成
an pn q （p,q 是常数）的形式，
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
例3.在等差数列{an}中
a1 > 0, S14 S25,n为何 值时Sn最大。
解：方法一
解：方法二（只适合填空题） 1419.525
1.将等差数列前n项和公式
Sn
na1
n(n 1)d 2
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
等差数列的性质总结(复习知识)
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
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且奇数项之和为77，偶数项之和为
66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 S偶 中间项
得中间项为11 又由 S奇 S偶 143
得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用 例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
Sn 7n 1 别是Sn和Tn,且 Tn 4n 27
d 5
例5. 一个等差数列的前12项之和为354， 前12项中偶数项与奇数项之比为32：27， 求公差。
解二：
S 奇 S 偶 354 S 偶 192 由 S 32 偶 S 奇 162 S 奇 27
S偶 S奇 6d
d 5
等差数列的性质应用：
等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sk,S2k－Sk,S3k－S2k, …也是等差数列 ,公差为k2d 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), an 此时有:S偶－S奇= nd , S奇
a5 an 求 和 . b5 bn
a5 64 b5 63
an 14n 6 bn 8n 23
故 a6 3
例. 一个等差数列的前12项之和为354， 前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为 32：27，求公差。
解一：设首项为a1,公差为d,则
Байду номын сангаас
12 11 12a1 2 d 354 65 2d 6( a 1 d ) 32 2 17 6a 6 5 2d 1 2
S偶
an 1
性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= an ,
S奇 S偶
n n1
Sn 性质3: { } 为等差数列. n
两等差数列前n项和与通项的关系
性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n 1 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n 1
等差数列的性质应用：
例4、已知等差数列 a n 的前10项之和 为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。
解：由已知 a1 a2 a10 140
a1 a3 a5 a7 a9 125
则 a2 a4 a6 a8 a10 15
5a6 15
等差数列的性质应用：
例1、已知一个等差数列前n项和为25，
前2n项的和为100，求前3n项和。
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )
A.63
B.45
C.36
D.27
例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( A ) A.85 B.145 C.110 D.90