随机网络最长路径的概率分布
运筹学_第九章_网络计划
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三、网络图分类 根据不同指标可分为： 1、确定型与概率型网络图 工作实际完成情况可按预计工时达到（即实现的概率等于或近 于1），称为确定型网络图。（由定额资料或统计资料得到） 工时用最快可能、最可能、最慢可能 完成工时来估计时，称为 概率型（非确定型）网络图。
2、总网络图与多级网络图 总网络图：以整个项目为计划对象，编制网络计划图。供 决策领导层使用； 分级网络计划图：这是按不同管理层次的需要，编制的范 围大小不同，详细程度不同的网络计划图；供不同管理部 门使用。
1 2 4 6 7 8 4 3 4 2 4 1 7 周 1 2 6 7 8 4 2 2 4 1 2 周 1 2 3 4 6 7 8 2 1 周
可以看出第四条路线所需时间最长，它表明整个任务的 总完工期（为21周）。很明显，这条线上的工作，若有 一个推迟，整个工期就要推迟；若某一工作能提前，整 个任务就可以提前完成。
通常把网络图中需时最长的路叫做关键路，关键路上的 工作称为关键工作。 要想使任务按期或提前完工，就要在关键路线的关键工 作上想办法。
网络图的关键路线可以通过时间参数的计算求得
网络图的时间参数包括： 工作所需时间、事项最早、最迟时间，工作的最早、最 迟时间及时差等。
进行时间参数计算不仅可以得到关键路线，确定和控制 整个任务在正常进度下的最早完工期，而且在掌握非关 键工作基础上可进行人、财、物等资源的合理安排，进 行网络计划的优化。
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二、实例 一般绘制网络图可分为四步。我们用一个简单例子来说明。
1、列出所有活动 一个完整的项目必须被分解为一系列独立活动（称为 工序）, 分解程度取决于项目计划的需要以及相应的管 理职能。
关键路径(自己整理,理解简单易掌握)
关键路径法CPM（CriticalPathMethod关键路径法）是项目管理中最基本也是非常关键的一个概念，它上连着WBS（工作分解结构），下连着执行进度控制与监督。
关键路径是项目计划中最长的路线。
它决定了项目的总实耗时间。
项目经理必须把注意力集中于那些优先等级最高的任务，确保它们准时完成，关键路径上的任何活动的推迟将使整个项目推迟。
向关键路径要时间，向非关键路径要资源。
所以在进行项目操作的时候确定关键路径并进行有效的管理是至关重要的。
关键路径法关键路径法 - 定义关键路径法Critical Path Method，CPM)，又称关键线路法。
一种计划管理方法。
它是通过分析项目过程中哪个活动序列进度安排的总时差最少来预测项目工期的网络分析。
它用网络图表示各项工作之间的相互关系，找出控制工期的关键路线，在一定工期、成本、资源条件下获得最佳的计划安排，以达到缩短工期、提高工效、降低成本的目的。
CPM中工序时间是确定的，这种方法多用于建筑施工和大修工程的计划安排。
它适用于有很多作业而且必须按时完成的项目。
关键路线法是一个动态系统，它会随着项目的进展不断更新，该方法采用单一时间估计法，其中时间被视为一定的或确定的。
关键路径法关键路径法 - 起源关键路径法关键路线法是一种网络图方法，最早出现于20世纪50年代，由雷明顿-兰德公司(Remington- Rand)的JE克里(JE Kelly)和杜邦公司的MR沃尔克(MR Walker)在1957年提出的，用于对化工工厂的维护项目进行日程安排。
这种方法产生的背景是，在当时出现了许多庞大而复杂的科研和工程项目，这些项目常常需要运用大量的人力、物力和财力，因此如何合理而有效地对这些项目进行组织，在有限资源下以最短的时间和最低的成本费用下完成整个项目就成为一个突出的问题，这样CPM就应运而生了。
关键路径法关键路径法 - 原理与网络图设定步骤关键路径法关键路径法（CPM）是一种网络分析技术，是确定网络图当中每一条路线从起始到结束，找出工期最长的线路，也就是说整个项目工期的决定是由最长的线路来决定的。
项目经理考试之1：CPM(关键路径)、PERT(三点估算)
PERT网络分析法PERT网络分析法(计划评估和审查技术，Program Evaluation and Review Technique)什么是PERT网络分析?PERT(Program Evaluation and Review Technique)即计划评审技术，最早是由美国海军在计划和控制北极星导弹的研制时发展起来的。
PERT技术使原先估计的、研制北极星潜艇的时间缩短了两年。
简单地说，PERT是利用网络分析制定计划以及对计划予以评价的技术。
它能协调整个计划的各道工序，合理安排人力、物力、时间、资金，加速计划的完成。
在现代计划的编制和分析手段上，PERT被广泛的使用，是现代化管理的重要手段和方法。
PERT网络是一种类似流程图的箭线图。
它描绘出项目包含的各种活动的先后次序，标明每项活动的时间或相关的成本。
对于PERT网络，项目管理者必须考虑要做哪些工作，确定时间之间的依赖关系，辨认出潜在的可能出问题的环节，借助PERT还可以方便地比较不同行动方案在进度和成本方面的效果。
构造PERT图，需要明确三个概念：事件、活动和关键路线。
1、事件（Events）表示主要活动结束的那一点；2、活动（Activities）表示从一个事件到另一个事件之间的过程；3、关键路线（Critical Path）是PERT网络中花费时间最长的事件和活动的序列。
PERT的基本要求[1]1.完成既定计划所需要的各项任务必须全部以足够清楚的形式表现在由事件与活动构成的网络中。
事件代表特定计划在特定时刻完成的进度。
活动表示从一个事件进展到下一个事件所必需的时间和资源。
应当注意的是,事件和活动的规定必须足够精确,以免在监视计划实施进度时发生困难。
2.事件和活动在网络中须必按照一组逻辑法则排序,以便把重要的关键路线确定出来。
这些法则包括后面的事件在其前面的事件全部完成之前不能认为已经完成不允许出现“循环”,就是说,后继事件不可有导回前一事件的活动联系。
沈鑫剡编著《路由和交换技术》部分习题答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载沈鑫剡编著《路由和交换技术》部分习题答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容部分习题答案第1章1.9传播时延t＝1/（200000）=5×10-6s，最短帧长M＝2t×传输速率＝2×5×10-6×109=10000bit。
1.10 基本时间是冲突域中距离最远的两个终端的往返时延，10Mbps时是51.2s，100Mbps时是5.12s，因此，当选择随机数100时，10Mbps时的等待时间＝100×51.2s，100Mbps时的等待时间＝100×5.12s。
终端A和B同时发送数据终端A和B同时检测到冲突终端A和B同时发送完干扰信号终端A发送数据终端A发送的数据到达终端B终端B开始检测总线状态225bit时间225＋48=273 bit时间273+512=785 bit时间273+225＋96=594 bit时间594+225=819 bit时间总线持续空闲前提下终端B发送数据时间7854+96=881 bit时间1.11题1.11图终端A在594bit时间，终端B在889bit时间重传数据帧。
终端A重传的数据819bit时间到达终端B。
不会，因为，终端B只有在785bit时间～881bit时间段内一直检测到总线空闲才发送数据，但819bit时间起，总线处于忙状态。
不是，要求持续96bit时间检测到总线空闲。
1.12 ①1Mbps。
②10Mbps。
③10Mbps。
1.13思路：当终端D传输完成后，由于终端A、B和C同时检测到总线空闲，第一次传输肯定发生冲突。
随机产生后退时间后，如果有两个终端选择随机数0，又立即发生冲突，如果两个终端选择随机数1，在选择0的终端传输完成后，这两个终端又将再次发生冲突，重新选择后退时间。
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：随机游走算法是一种基于概率的算法，用于模拟随机的行为和变化过程。
它可以描述在一个有限的状态空间中，通过按照一定的规则进行状态转移，从而模拟随机选择下的状态变化。
这一算法在许多领域中有着广泛的应用，包括计算机科学、物理学、生物学、金融等。
随机游走算法的核心思想是通过定义转移概率来描述状态之间的转移规则。
在一个随机游走过程中，每个状态都有一定的概率转移到其他状态，而这些概率可以根据实际情况进行确定。
通过迭代计算，随机游走算法可以模拟出状态的分布情况，进而提供对系统行为的理解和预测。
随机游走算法具有很多重要的特性和优点。
首先，它是一种非常灵活的模型，可以适用于各种不同的问题和场景。
其次，随机游走算法能够捕捉到系统中的随机变动和不确定性，从而可以更好地解释和预测实际情况。
此外，随机游走算法具有较快的收敛速度和较低的计算复杂度，使得它成为许多算法和模型的重要基础。
然而，随机游走算法也存在一些限制和缺点。
首先，它需要事先确定好状态空间和转移概率，这对于复杂系统可能是一个挑战。
其次，随机游走算法对初始状态的选择非常敏感，不同的初始状态可能会导致完全不同的结果。
此外，随机游走算法在处理长时间序列或具有周期性特征的问题时可能存在某些局限性。
综上所述，随机游走算法是一种重要且广泛应用的算法，能够在各个领域中提供对系统行为的建模和预测。
虽然它具有一些限制和缺点，但通过进一步研究和改进，随机游走算法有望在未来的发展中发挥更大的作用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍随机游走算法的基本概念、应用领域以及优缺点，并对其重要性和未来发展进行总结和展望。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和各个部分的主要内容，将读者引导到整个文章的框架。
2. 文章结构本文分为引言、正文和结论三个主要部分。
2.1 引言部分引言部分主要对随机游走算法进行了概述，介绍了其基本概念以及本文的目的。
随机游走算法
随机游走算法
随机游走算法的基本思想是：
从一个或一系列顶点开始遍历一张图。
在任意一个顶点，遍历者将以概率1-a游走到这个顶点的邻居顶点，以概率a随机跳跃到图中的任何一个顶点，称a为跳转发生概率，每次游走后得出一个概率分布，该概率分布刻画了图中每一个顶点被访问到的概率。
用这个概率分布作为下一次游走的输入并反复迭代这一过程。
当满足一定前提条件时，这个概率分布会趋于收敛。
收敛后，即可以得到一个平稳的概率分布。
拓展资料
随机游走（RandomWalk，缩写为RW），又称随机游动或随机漫步，是一种数学统计模型，它是一连串的轨迹所组成，其中每一次都是随机的。
它能用来表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程记录。
因此，它是记录随机活动的基本统计模型。
RandomWalk是随机过程（StochasticProcess）的一个重要组成部分，通常描述的是最简单的一维RandomWalk过程。
下面给出一个例子来说明：考虑在数轴原点处有一只蚂蚁，它从当前位置(记为x （t）)出发，在下一个时刻(x（t+1）)以来概率向前走一步(即x（t+1）=x（t）+1)，或者以来概率向后走一步(即x（t+1）=x（t）-1)，这样蚂蚁每个时刻到达的点序列就构成一个一维随机游走过程。
本质上RandomWalk是一种随机化的方法，在实际上生活中，例
如醉汉行走的轨迹、花粉的布朗运动、证券的涨跌等都与RandomWalk 有密不可分的关系。
RandomWalk已经被成功地应用到数学，物理，化学，经济等各种领域。
复杂网络的路径搜索算法优化研究
复杂网络的路径搜索算法优化研究随着网络技术的发展和应用场景的不断拓展，人们对网络的需求也越来越高。
在各类网络中，路径搜索算法是一种非常重要的技术，用于计算网络中的两点之间的最短路径，从而方便信息的传输和流转。
但在实际应用中，复杂网络的建模和算法优化成为了亟待解决的问题。
复杂网络模型所谓复杂网络，就是具有复杂结构和动态性质的网络。
在研究路径搜索算法的时候，我们需要首先对网络进行建模。
目前比较常见的网络模型包括小世界网络、无标度网络和随机网络。
无标度网络具有高度集中性的特点，而随机网络则具有良好的均衡性。
小世界网络则同时兼具了这两种结构，既保持了高度集中性，又具有较好的均衡性。
在复杂网络的建模中，一个重要的问题是节点度分布的模拟。
度分布是指在一个网络中，节点的度数分别为多少的个数分布。
在实际应用中，节点度分布往往对计算节点路径的性质有着重要的影响，因此需要针对不同的网络模型进行不同的度分布模拟。
路径搜索算法路径搜索算法是指从图中的某个节点出发，找到到达目标节点的最短路径的算法。
常用的路径搜索算法包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
不同的算法依赖于不同的网络结构和节点度分布，因此需要针对不同的网络类型进行算法优化和改进。
最短路径算法是针对最短路径问题设计的算法，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法等。
Dijkstra算法通过计算从源节点到所有其他节点的最短路径，可以得到最短路长度和路径信息。
Bellman-Ford算法是一种基于动态规划的算法，可以处理负权边的情况。
Floyd算法是一种基于动态规划的算法，可以处理任意两个节点之间的最短路径。
最小生成树算法是指从有边权的无向连通图生成一个无向连通树，使得该树的所有边权之和最小的算法。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，每次将生成树扩展一个节点，并选择与该节点相连的边中权值最小的边。
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题在图论中，最长路径问题和最短路径问题是两个重要且常见的问题。
最长路径问题旨在寻找图中两个顶点之间的最长路径，而最短路径问题则是寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将分别介绍这两个问题，并讨论它们的应用和解决方法。
首先，我们来讨论最长路径问题。
最长路径问题在实际应用中有着广泛的应用，例如交通规划、通信网络以及电路设计等。
在图中，路径是由一系列顶点连接而成的。
最长路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最大权值的路径。
最长路径问题可以通过深度优先搜索（DFS）算法来解决。
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法，它从一个顶点开始，沿着路径尽可能地往下搜索，直到达到无法再继续搜索的顶点为止。
在深度优先搜索的过程中，我们可以记录下每个顶点的最大路径长度，最终找到两个顶点之间的最长路径。
接下来，我们将讨论最短路径问题。
最短路径问题在实际应用中同样具有重要性，例如导航系统、网络路由以及货物运输等。
最短路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最小权值之和的路径。
最短路径问题可以通过使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来解决。
迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法。
它从一个起始顶点开始，逐步地计算到达其他顶点的最短路径长度。
通过不断更新路径长度，并选择当前路径长度最小的顶点进行下一步计算，最终可以确定出起始顶点到其他顶点的最短路径。
最长路径问题和最短路径问题在实际应用中有着广泛的应用。
最长路径问题可以帮助我们优化电路设计，提高通信网络的稳定性，也可以提供交通规划的参考。
而最短路径问题可以帮助我们制定最优的导航路线，提高货物运输的效率，也可以优化网络路由的选择。
综上所述，最长路径问题和最短路径问题是图论中两个重要的问题。
通过深度优先搜索和迪杰斯特拉算法，我们可以解决这两个问题，并在实际应用中获得丰富的应用场景。
无论是最长路径问题还是最短路径问题，它们都展示了图论在实际生活中的重要性和广泛的应用前景。
随机游走在图论和统计学中的应用
随机游走在图论和统计学中的应用随机游走是指从图或网络的一个节点开始，在不断移动中随机选择下一个节点或边，并不断更新当前节点的出现频率。
在图论和统计学中，随机游走有广泛的应用，可以用来解决一些重要的问题，比如在社交网络中找到社区结构、评估网页的价值、推荐系统中的推荐等等。
这篇文章将介绍一些随机游走在图论和统计学中的应用。
随机游走在图论中的应用1. PageRank算法PageRank算法是谷歌搜索引擎的基础，它会根据网页的链接结构来评估每个网页的重要性。
这个算法通过对网页的链接关系进行随机游走来确定网页的rank值，其中随机游走者从当前页面的链接中以等概率随机选择下一条链接，如果跳转到的页面没有链接，则以等概率随机选择其他页面。
2. 社区检测社交网络的社区结构是人类社会中的一种普遍现象，因此研究社交网络的社区结构一直是社交网络分析领域中的热门话题之一。
随机游走可以通过在网络中随机游走，统计节点的访问频率来确定节点的重要性和归属社区，进而发现网络中的社区结构。
3. 随机游走降维随机游走可以减少大型网络中的节点和边，将网络降维，同时保留网络中的重要信息。
随机游走降维可以用于网络可视化、网络分类、网络聚类等。
随机游走在统计学中的应用1. 马尔可夫链马尔可夫链是一个随机过程，每个状态的概率分布都与上一个状态有关。
随机游走可以产生一个马尔可夫链，其中节点就是状态，转移矩阵是节点之间的概率分布。
马尔可夫链的应用包括图像识别、自然语言处理、金融统计学等。
2. 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种使用随机游走来模拟不确定性和复杂性的统计学方法。
这个方法可以在没有明确解析解的情况下模拟和估计模型参数的分布和期望值。
蒙特卡罗模拟的应用包括金融风险评估，气候变化预测，粒子物理学等。
总结随机游走在图论和统计学领域中都有着广泛的应用，它可以被用来解决各种重要的问题。
在图论中，随机游走可以被用来确定网页的重要性、检测社区结构、进行降维等；而在统计学中，随机游走可以被用来产生马尔可夫链、进行蒙特卡罗模拟等。
什么是网络计划方法
什么是网络计划方法网络计划方法是一种项目管理工具，通过网络计划方法可以有效地规划、组织和控制项目的进度，从而达到高效完成项目目标的目的。
网络计划方法主要包括关键路径法（CPM）和程序评审技术（PERT）两种方法，它们在项目管理中有着广泛的应用。
首先，关键路径法（CPM）是一种用于确定项目关键路径的方法。
关键路径是指在项目中耗时最长的一条路径，它决定了整个项目的最短完成时间。
通过CPM，可以确定每项活动的最早开始时间（ES）、最迟开始时间（LS）、最早完成时间（EF）和最迟完成时间（LF），从而确定关键路径和项目的总工期。
这样，项目管理者可以根据关键路径来合理安排资源，及时发现并解决可能影响项目进度的问题，保证项目按时完成。
其次，程序评审技术（PERT）是一种用于估算项目完成时间的方法。
PERT方法将项目活动的完成时间视为随机变量，通过三次估算法来确定活动完成时间的期望值，从而确定整个项目的完成时间。
PERT方法考虑了不确定性因素对项目进度的影响，对于那些难以准确估算完成时间的活动，可以通过PERT方法来进行较为合理的估算，从而更好地控制项目进度。
网络计划方法的应用可以使项目管理者更好地了解项目的进度规划和控制，从而更好地指导和管理项目的实施。
通过网络计划方法，可以合理安排项目活动的顺序和时间，有效地控制项目的进度，保证项目按时按质完成。
在实际应用中，网络计划方法还可以与其他项目管理工具相结合，如甘特图、里程碑计划等，以更全面、更有效地进行项目管理。
同时，随着信息技术的发展，网络计划方法也可以借助项目管理软件来进行实施，提高管理效率和准确性。
综上所述，网络计划方法是一种重要的项目管理工具，通过关键路径法（CPM）和程序评审技术（PERT）等方法，可以帮助项目管理者合理规划和控制项目进度，保证项目按时高效完成。
在实际应用中，网络计划方法需要结合其他项目管理工具，借助信息技术手段来更好地实施和管理项目。
马尔可夫骨架PERT网络的最长路径
１ 引 言
一
个 大型 工程 的施工进 度可 以用一个 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ网 络图 Ｇ＝（ Ａ （ Ｖ， ） Ｖ表示 Ｇ结点集 ， Ａ表示 Ｇ
蔡海涛 教授推荐 收稿 日期 ：Ｏ７年 ｌ ２Ｏ ０月 ３ ０日
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马尔可夫骨架 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ网络的最长路径
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情况 ， 划评 审法适 用 于施 工 时间为 随机型 的情况 。 计 施 工时 间为 随机型 的情 况远 比确定 型 的情况要 复杂 的多 ， 也更具 有现实 意义 。显然 ， 总工
中弧线集 ） 示 ［］ 表 １。例 如图 １ 。
图ｌ
通过 网络分析 ， 我们 可 以预测大 型工程 的总工期和 总费用 等指标 ， 进而合理 调度工 程 的各 个项 目， 优化 资源配 置 ， 到最小化 总 工期和总 费用 的 目的。而关 键路 径法 （ Ｐ 和 计划 评审 达 Ｃ Ｍ） 法 （Ｅ Ｔ 是 网络分 析 中计算上 述 指标 的重 要方 法 。关键 路径 法适 用 于施 工时 间为 确 定 型 的 ＰＲ）
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈｉ ａ ｅ ， Ｌｅｔ ｅＭ ａｋ ｖｓ ｅｅｏ ｒｃ ｓ ｅ Ｏｓｕ ｙ ｔｅＰＥＲＴ ｅｗｏｋ ｗｈ ｒ ｅ ａ ｔ￣ｙ ｄ ｒｔ ｎ ｒ ｓｒ ｃ ｎ ｔ ｓｐ ｐ ｒ ｗｅ ｔ ｉ ｒ ｏ ｋ ｌｔｎ ｐ ｏ ｅ ｓｓｔ ｔｄ ｈ Ｓ ｌ ｎ ｔ ｒｓ， ｅｅ ｔ ｃｉｉ ｕ ａ ｏ ｓａｅ ｈ ｘｔ ｉ
马 尔可 夫骨 架 Ｐ ＲＴ网络 的 算技 术 学院 ， 沙 ，１０５ 长 ４０７ ）
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题图论是数学中研究图的理论，其中最长路径问题和最短路径问题是图论中的经典问题。
本文将介绍这两个问题的定义、求解方法以及应用领域。
一、最长路径问题最长路径问题是指在给定的图中寻找一条路径，使得该路径的长度在所有路径中最长。
路径的长度可以根据边或顶点的数量来计算。
解决最长路径问题的方法有多种，其中最常用的是动态规划算法。
动态规划是一种将问题分解为子问题并逐步解决的算法。
在最长路径问题中，动态规划算法通常通过求解顶点的最长路径长度来得到整个图的最长路径。
在应用中，最长路径问题可以用来解决实际生活中的许多问题，例如交通规划、物流路径优化等。
通过找到最长路径，可以使得交通系统更加高效，减少行程时间和成本。
二、最短路径问题最短路径问题是指在给定的图中寻找一条路径，使得该路径的长度在所有路径中最短。
路径的长度可以根据边或顶点的权重来计算。
解决最短路径问题的方法同样有多种，其中最著名的是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是一种贪婪算法，用于解决单源最短路径问题；Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有顶点对之间的最短路径问题。
最短路径问题在现实生活中有广泛应用，例如导航系统、网络路由等。
通过找到最短路径，可以计算出最佳的行进方向，使得路程更加迅捷和经济。
三、最长路径问题与最短路径问题的联系与区别最长路径问题和最短路径问题都是求解图中不同路径的问题，但两者在定义和目标上有所不同。
最长路径问题试图找到一条路径，使得其长度最大化，而最短路径问题试图找到一条路径，使得其长度最小化。
最长路径问题通常通过动态规划算法求解，而最短路径问题则可以通过Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法等多种方法解决。
最长路径问题和最短路径问题在应用中也有差异。
最长路径问题主要应用于交通规划、物流路径优化等领域，而最短路径问题则广泛应用于导航系统、网络路由等领域。
概率计算常见模型
概率计算常见模型概率计算是一项非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、金融、自然语言处理、机器学习等。
概率计算模型是用来描述和计算不确定性的工具，可以帮助我们理解和解决各种问题。
本文将介绍几种常见的概率计算模型，包括贝叶斯网络、隐马尔可夫模型、条件随机场和朴素贝叶斯分类器。
一、贝叶斯网络贝叶斯网络是一种用图表示概率模型的工具。
它由一组随机变量和他们之间的依赖关系组成的有向无环图来表示，节点表示随机变量，边表示变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以用来表示和计算概率分布，以及进行推断和预测。
通过贝叶斯网络，我们可以计算给定一些证据的情况下，某个节点的概率分布。
这使得我们可以通过观察一些已知信息来预测未知的变量。
二、隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种描述随机序列的统计模型。
它由一个随机序列和一个相对应的观察序列组成。
在隐马尔可夫模型中，随机序列是不可见的，而观察序列是可见的。
隐马尔可夫模型可以用来描述和计算两个序列之间的概率。
通过观察已有的观察序列，我们可以推断出随机序列的概率分布。
这使得我们可以通过观察一些已知的序列来预测未知的序列。
三、条件随机场条件随机场是一种判别模型，用于对给定输入随机变量的条件下，建立输出随机变量的条件概率分布模型。
条件随机场常用于序列标注、语音识别、自然语言处理等领域。
条件随机场可以通过定义特征函数和定义求和项的方式，来建立输入和输出之间的条件概率关系。
通过采用最大似然估计或其他方式，可以对模型进行参数估计，从而完成对未知序列的预测。
四、朴素贝叶斯分类器朴素贝叶斯分类器是一种简单而常用的分类模型，它基于贝叶斯定理和特征条件独立性假设。
朴素贝叶斯分类器常用于文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等任务。
朴素贝叶斯分类器可以通过训练集中已有的特征和相应的标签，来计算特征和标签之间的条件概率分布。
通过计算给定特征下每个标签的概率，可以确定最有可能的标签，从而完成对未知样本的分类。
脑网络研究中的图论指标详解_69
人脑是自然界中最复杂的系统之一, 在复杂系统研究方面，网络研究的方法在21世纪以来被深度应用在多个领域；在神经科学研究领域中，无论从微观的多个神经元、神经元集群的角度看还是从宏观的多个脑区相互连接成庞杂的结构网络和通过相互作用构建的功能网络看，网络方法都已经延伸到了神经科学研究中的方方面面。
在网络研究中，通过图论方法来表征复杂网络的拓扑关系是研究网络中不同节点、不同连边以及网络的整体特性的重要手段。
但在实际的研究中，研究者往往根据自己的研究目的特定地选择网络属性，因而导致很多研究人员无法全面的了解图论研究中多种指标的实际含义；同时，随着图论方法的发展，许多新的指标也不断出现。
全面和准确的理解图论指标对于使用图论方法研究复杂网络具有重要的意义，只有选对指标才能更好地说明你的研究问题，达到事半功倍的效果。
因此，思影科技汇总了当前网络研究中被研究者经常使用的图论指标，并结合图表示、数学公式的严格定义以及解析的方法对每个指标进行了详述，以更好的帮助各位希望使用网络方法和图论指标进行脑科学研究的研究者。
首先我们来简单的回顾下网络中的不同对象，以便在后文阅读中能够清楚不同术语所描述的网络对象。
下图是一个由11个节点组成的网络，即圆圈，它们表示了网络中的基本对象，连接不同的节点的连线被称为“边”；在脑网络研究中，节点是被按照不同分割依据所分割的脑区，连边在功能网络中往往通过对不同脑区的时间序列信号的相关计算所得，而结构网络中分为DTI连接和基于灰质变化的协变网络连边。
在这个小的网络中，我们可以看到不同节点由数量不等的连边互相连接起来，为了能够全面的分析这个网络的拓扑结构，我们需要使用不同的图论指标。
接下来我们来一起了解不同的网络指标。
（1）度（node degree）在网络研究中，最基本和最广泛使用的度量指标是“度”，对于给定节点，度就是与它连接的邻居个数。
第i个节点的度计算公式是：这里，Cij表示节点i和节点j之间的连接状态，当节点i和节点j之间有连接时，Cij=1,当节点i和节点j之间无连接时，Cij=0；此度量只适用于二值网络（加权网络应用该指标时，作为二值化网络来考虑），它只考虑连接的存在或不存在，不考虑任何权重信息。
随机网络最长路径的概率分布
２ 问题转 化
令 Ｘ（）＝（ （）Ｚ（） ， 中 Ｙ ｔ ｔ Ｙ ｔ ， ｔ ）其 （）表示 时刻 ｔ 正在 施工 的工 段 ， ｔ 表示 时刻 ｔ Ｚ（） 已经 完工 ， 但需
等待其 它工段 完工 后才 能继 续 的工段 ． 如 ， ｔ 例 Ｘ（）＝（ ， ， ， （ ）＝（ ， ） Ｚ（ ）＝（ ） 它表 示时 ４ ６３ ） Ｙ ｔ ４６ ， ｔ ３．
主要 有 串并联 简化法 、 机会约束 规 划法 、 尔可 夫 Ｐ Ｒ 马 Ｅ Ｔ网络 分 析法 等 ， 这些 方 法 都 对 网络 中弧 线 但
长 度 的分 布 函数 加 以限制 ， 其 为连续分 布或假 定其 为某种 特定 分布 ． 机会 约束 规划 法 和 马尔可 要求 如
夫 ＰＲ Ｅ Ｔ网络 分析法 均要求 网络 弧线服 从负指 数分 布 ； 机 网络弧 长 的分布 可 以是 多种 多样 的 ， 随 它可
维普资讯
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２０ ０ ８年 ８月
重 庆 文 理 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｕ ， ｏ Ｃ ｏ ｇ ｉ ｎｖｒｉ ｆ ｔ ａ ｄ Ｓ ｉ ｃ ｓ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｍ＇ ｆ ｈ ｎ ｑｎ Ｕ ｉ ｓ ｙｏ ｓ ｎ ｃｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） ｄ ｇ ｅ ｔ Ａｒ ｎ ｌ ｎ ｉ
最长路 径 问题 是随 机 网络研 究 中的 一个 经典 问题 ， 它在 工 程调 度 、 交通 、 流 等领 域 有着 广 泛应 物
用． 随机 网络 由弧 线和结 点组成 ， 中弧 线 的长度 为随机 变量 ． 其 近年来 ， 网络 分析在 工程 调度 中得到 广 泛应 用 ， 因为大 型工 程 的进 度可 以用 网络 图 （ Ｐ Ｒ 如 Ｅ Ｔ网络 ） 表示 ． 过 网络分 析 ， 通 我们 可 以预测 大 型
马尔可夫网络简介(Ⅰ)
马尔可夫网络简介马尔可夫网络（Markov Network）是一种用于建模随机过程的数学工具，它可以描述一系列状态之间的转移概率，并且可以用于分析和预测这些状态的变化。
马尔可夫网络的概念最早由俄国数学家安德烈·马尔可夫提出，他在20世纪初首次提出了马尔可夫链的概念，并且在此基础上发展出了马尔可夫网络。
马尔可夫网络是一种用图论表示的随机过程模型，它由一组状态和描述状态之间转移概率的边组成。
每个状态都代表了系统的一个特定状态，而边则表示了状态之间的转移概率。
在马尔可夫网络中，每个状态都有一个与之相关联的条件概率分布，该分布描述了在给定条件下状态的概率。
马尔可夫网络可以用于建模各种不同类型的随机过程，包括随机游走、随机场和马尔可夫决策过程等。
它在许多领域都有着广泛的应用，比如统计学、机器学习、自然语言处理和计算机视觉等。
马尔可夫网络的特点之一是其具有“马尔可夫性质”，即未来状态的概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。
这意味着在马尔可夫网络中，系统的演化过程是“无记忆”的，未来状态只受当前状态的影响，而与过去的状态无关。
这种性质使得马尔可夫网络在建模许多实际问题时具有一定的简化和逼真性。
马尔可夫网络还有一个重要的特点是其“局部性”，即系统的演化过程只受到与之直接相邻的状态的影响。
这意味着在马尔可夫网络中，系统的全局行为是由各个局部状态之间的相互作用组合而成的，而这种局部性使得马尔可夫网络的分析和建模变得更加简单和高效。
马尔可夫网络的应用非常广泛，其中最为著名的就是在自然语言处理领域的应用。
在自然语言处理中，马尔可夫网络常常被用于建模文本序列的生成过程，比如语音识别、文本生成和机器翻译等。
此外，马尔可夫网络还被广泛应用于统计学中的随机过程建模、机器学习中的概率图模型以及计算机视觉中的图像识别等领域。
总的来说，马尔可夫网络是一种强大的数学工具，它具有简洁、高效和逼真的特点，可以用于建模和分析各种不同类型的随机过程。
基于概率模型的随机游走算法
基于概率模型的随机游走算法随机游走算法作为一种基本的图论算法，被广泛应用于社交网络分析、搜索引擎排名等领域。
而基于概率模型的随机游走算法，则是将传统的随机游走算法与概率论相结合，可以更准确地模拟用户行为，获取更加精确的结果。
一、随机游走算法简介随机游走算法是一种基于图的随机漫步模型，其基本思想是：从某一个节点出发，按照某种随机规则选择下一个节点，并以相同的规则继续选择下一个节点，直到到达某个终止节点。
在这个过程中，每个节点被访问的次数就是该节点在该概率模型下的PageRank值。
在实际应用中，随机游走算法可以有效地对复杂网络结构进行分析和建模。
二、传统随机游走算法传统的随机游走算法是基于无向图的随机游走模型，具体过程如下：1. 选择一个起始节点。
2. 从当前节点出发，在所有出边中等概率选择一条。
3. 走到选择的下一个节点。
4. 重复2，3步骤，直到达到某个终止节点或者达到某个停止条件。
5. 计算每个节点的访问概率，这个概率就是该节点在该随机游走模型下的PageRank值。
三、基于概率模型的随机游走算法相比传统的随机游走算法，基于概率模型的随机游走算法则是将概率理论引入随机游走算法中进行模型的建立和分析，可以更加准确地模拟用户行为，从而获得更加精确的结果。
具体来说，基于概率模型的随机游走算法主要包括以下两个方面的优化：1. 改进随机游走模型基于无向图的随机游走模型仅考虑节点的出边连通性，在实际应用中可能不能准确地反映节点的重要性。
因此，一种基于概率模型的随机游走算法是利用马尔可夫链模型，将节点的入度和出度之比作为访问下一个节点的概率，从而将随机游走模型更加准确地反映出节点的重要性。
2. 利用用户行为特征在基于概率模型的随机游走算法中，可以利用用户的行为特征进行网络结构的建模和数据分析。
例如，对于社交网络，可以根据用户关注的人或者兴趣爱好建立用户关系网络，从而反映出用户的行为特征和兴趣爱好。
这样建立的网络结构，更能反映用户的行为特征，也更能准确地预测用户的行为。
随机游走算法原理
随机游走算法原理
随机游走算法是一种常见的基于概率的搜索算法，它可以应用于多种
领域，包括网络科学、机器学习、图像处理等。
该算法的核心思想是
在网络上随机游走，通过概率的方式探索搜索空间，最终，找到最优
解或者子集。
具体来说，随机游走算法的过程如下：首先，在算法开始时，我们随
机选取一个节点，开始随机游走。
在每一步中，我们按照一定的概率，选择当前节点的邻居节点进行转移。
这个概率一般是根据节点的度数
计算得出的，度数越大的节点，被访问的概率也越大。
通过不断地随
机游走，我们最终可以收敛到网络上的某一个节点集合，这个集合被
称为吸引子，具有很好的特征。
我们可以把吸引子看做是网络的一个
固有属性，它展示出了网络的特征、结构和复杂性等方面的信息。
随机游走算法可以采用不同的转移规则来实现概率转移。
其中，最常
用的转移规则是Metropolis-Hasting算法和PageRank算法。
Metropolis-Hasting算法可以保证在长时间下算法能够收敛到想要的分布，而PageRank算法则是一种基于链接结构的排名算法，可以用
于计算互联网中网页之间的关系，并且能够有效地对网页进行排序。
总的来说，随机游走算法可以利用随机性帮助我们探索搜索空间，同
时也可以充分考虑节点的度数，保证搜索过程中的全局性和局部性问题。
随机游走算法在实际应用中可以用于解决很多实际问题，比如网络流量优化、疾病传播模型等等。
图示评审技术GERT
• 从实际应用来看，随机网络较之PERT/CPM （当网络中各节点之间的传递函数服从β分布， 则该网络属于PERT类型，如果这些传递参数 都是肯定型的，则成为CPM网络，他们都是 随机网络的特例）已展现了巨大的潜力。从 一九六九年GERT-E成功地用于美国“阿波罗” 计划之后，相继在研究和发展性项目及生产 过程中得到应用，如科研计划管理、可靠性 分析、机械制造生产线的设计和分析、质量 控制、自动化仓库管理、排队问题等等。
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• 在GERT网络模型中，每条枝线上通常会用三 个参数表示流，如图1所示：
• 图1随机网络基本节点关系 • Fig.1 Basic relationship of random
network’s node
.
P0
• 图1中： • U---节点1到节点2的流； • P 0 --当节点1实现时，枝线将要实现的概率； •T 0 --该枝线实现所需要的时间，它是服从一定
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• 网络中活动和节点都有时间、费用 和性能三种参数。每个活动上既可 赋给弧本身所具有的三种参数，该 项活动本身所需要的时间周期、消 耗的费用及经过本活动所产生的性 能参数。同时，每项活动上还具有 累积的三种参数。
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• 根据活动在网络中的位置，从源节点开 始，时间流、费用流和性能流经过一定 的路径，到达该活动时，所有途经活动 上三项参数的累计总和。例如，在网络 中某项活动完成时，在该活动上可以得 到从软件项目开始到此活动完成时刻的 周期、累计费用和到此时已达到的性能 值。
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• 此外，以上解析法过程，不仅限于求解GERT网络由 源节点到终节点之间的传递函数和网络参数，而且， 由网络中任意一个节点到另一节点之间，也可通过引 入闭合反馈活动，求得相应的等价传递函数和其它概 率参数。对于具有多个源节点和多个终节点的GERT 网络，也同样是适用的。
最长路算法
最长路算法介绍最长路算法（Longest Path Algorithm）是一种用来寻找图中最长路径的算法。
最长路径指的是在一个有向无环图（DAG）中，从起点到终点通过最多的边所构成的路径。
最长路算法在许多领域，如网络设计、路径规划和任务调度中都有应用。
拓扑排序在介绍最长路算法之前，先了解一下拓扑排序。
拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法，它将图中的节点以线性的顺序排列，使得对于每一条有向边(u, v)，起点u总在终点v的前面。
拓扑排序可以用来解决许多和图相关的问题。
拓扑排序的步骤如下： 1. 选择一个没有前驱节点（即入度为0）的节点作为起点。
2. 从图中删除该节点，并将与之相连的边也删除。
3. 重复步骤1和步骤2，直到所有节点都被处理。
拓扑排序可以基于DFS或BFS来实现。
DFS方法会先顺着一个节点的所有路径走到底，再返回继续探索其他路径。
BFS方法则是从起点开始，一层一层地向外扩展，直到遍历完所有节点。
基于拓扑排序的最长路算法最长路算法可以基于拓扑排序来实现。
下面我们来介绍一种基于DFS的最长路算法。
1.对有向无环图进行拓扑排序。
2.初始化每个节点的距离为负无穷大，起点的距离设为0。
3.按照拓扑排序的顺序，对每个节点v进行松弛操作。
松弛操作是指对每条以节点v为起点的边(u, v)，更新终点u的距离：如果原来的距离大于新的距离，则更新距离为新的距离。
4.完成所有节点的松弛操作后，最长路算法结束。
此时，终点的距离即为最长路径的长度。
这种基于DFS的最长路算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为节点数，E为边数。
示例让我们通过一个示例来说明最长路算法的具体步骤。
考虑以下有向无环图：A ---- 2 ----> B| || -3 | 4V VC ---- 5 ----> D我们要求起点A到终点D的最长路径。
1.进行拓扑排序，得到节点的顺序为[C, A, B, D]。
2.初始化距离：A: 0, B: 负无穷大, C: 负无穷大, D: 负无穷大。
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* [收稿日期]2008-04-27[作者简介]张玄(1984-),男,河南郑州人,硕士,主要从事马尔可夫骨架过程及其应用研究.E -m ai :l polari s_zqg @163.co m 2008年8月重庆文理学院学报(自然科学版)Aug ,2008 第27卷 第4期Jou rnal of Chongq i ng Un i versit y ofA rts and S ci en ces (N at u ral Science Ed iti on)Vol 27 No 4随机网络最长路径的概率分布张 玄1,赵清贵2(1.中南大学 数学学院,湖南 长沙 410075;2.重庆文理学院 数学与计算机科学系,重庆 永川 402160)[摘 要]利用马尔可夫骨架过程理论研究随机网络的最长路径问题,给出其最长路径长度的分布函数.[关键词]随机网络;最长路径;马尔可夫骨架过程[中图分类号]O211.6 [文献标识码]A [文章编号]1673-8012(2008)04-0012-03最长路径问题是随机网络研究中的一个经典问题,它在工程调度、交通、物流等领域有着广泛应用.随机网络由弧线和结点组成,其中弧线的长度为随机变量.近年来,网络分析在工程调度中得到广泛应用,因为大型工程的进度可以用网络图(如PERT 网络)表示.通过网络分析,我们可以预测大型工程的总工期和总费用等指标,进而合理调度工程的各个项目,优化资源配置,达到最小化总工期和总费用的目的.许多学者曾经对随机网络的最长路径问题进行了研究[1-5].目前,计算随机网络最长路径的算法主要有串并联简化法、机会约束规划法、马尔可夫PERT 网络分析法等,但这些方法都对网络中弧线长度的分布函数加以限制,要求其为连续分布或假定其为某种特定分布.如机会约束规划法和马尔可夫PERT 网络分析法均要求网络弧线服从负指数分布;随机网络弧长的分布可以是多种多样的,它可以是任意分布,即可以是任意连续分布.例如伽玛分布、正态分布、贝塔分布、韦布尔分布等,也可以有间断点.显然在这种情况下,前面提到的方法都不能求解最长路径的分布函数.本文不对弧长的分布做任何限制,构造一马尔可夫骨架过程,利用其向后方程求解随机网络最长路径长度的分布函数.1 问题描述用G =(V ,A )表示一个有向随机网络图,其中V 和A 分别表示G 中结点集和弧线集.假定G 是一个有向非循环网络图,且只有一个源点和汇点,分别记为s 和t ,各弧线的长度是相互独立的随机变量,求解从源点s 到汇点t 的最长路径长度的分布函数.下面以一个工程施工图为例描述该问题(见图1).图1 工程施工网络图图中,V =(s ,b ,c ,d,t),A =(1,2,3,4,5,6).这里1,2,3,4,5,6表示各个工段,弧线长度表示其施工时间(随机变量).工段1、2首先开始平行施工,工段1完成后才能开始工段3的施工,工段2完成后才能开始工段4和6的施工,若工段3的施工比工段4的施工先完成,则需等待工段4的施工完成后,才能开始工段5的施工,依次类推[6].由于网络图中弧线的长度等于工段的施工时间,所以工程的总工期正好等于网络最长路径的长度.122 问题转化令X (t)=(Y(t),Z (t)),其中Y(t)表示时刻t 正在施工的工段,Z (t)表示时刻t 已经完工,但需等待其它工段完工后才能继续的工段.例如,X (t)=(4,6,3*),Y(t)=(4,6),Z (t)=(3).它表示时刻t 工段4,6正在施工,而工段3已经完工,但需等待工段4完成后才能开始工段5的施工,( , )表示工程已经完工.在一般情况下,{X (t),t 0}不一定是一马尔可夫过程.我们可以利用添加变量技术[7],将其马尔可夫化.对于X (t)=(Y(t),Z (t)),其中Y(t)=(a 1,a 2, ,a k ),我们引入补充变量 a k (t), a k (t)表示工段a k 已经施工了时间 a k (t).令X (t)=(Y(t),Z (t), a 1(t), a 2(t), , a k(t)),显然,{X (t),t 0}为一连续时间马尔可夫过程.我们发现{X (t),t 0}是一个马尔可夫骨架过程,它从初始状态首次转移到吸收状态的时间正好是网络最长路的长度,而且可以利用马尔可夫骨架过程的向后方程,求得网络最长路长度的概率分布.3 马尔可夫骨架过程的构建在G =(V,A )中,对任意的a !A, (a )表示弧a 的出发结点, (a)表示弧a 的终止结点.定义3.1 I (v )={a !A: (a )=v},O (v)={a !A: (a)=v},v !V .定义3.2 对X V ,s !X,t !X =V -X,(s ,t)割集定义为:(X,X )={a !A: (a )!X, (a )!X }.一个(s ,t)割集(X,X )称为一致有向割集(UDC ),若(X,X )为空集.定义3.3 设D 为网络图的一致有向割集,D =E ∀F,则(E,F )称为D 的一个容许二划分,若E #F =!,且对 a !F,I ( (a))!F .引理3.1 对于{X (t),t 0}的任意状态X (t)=(Y(t),Z (t), a 1(t), a 2(t), , a k (t)),X (t)=(Y(t),Z (t))都是网络图中一致有向割集的容许二划分.下面以图1为例,给出X (t)的状态集.图1中的所有UDC 为:(1,2),(2,3),(1,4,6),(3,4,6),(5,6).所有UDC 的容许二划分为:(1,2),(2,3),(2,3*),(1,4,6),(1,4*,6),(1,4,6*),(1,4*,6*),(3,4,6),(3*,4,6),(3,4*,6),(3,4,6*),(3*,4,6*),(3,4*,6*),(5,6),(5*,6),(5,6*),( , ).下面给出图1所示网络图的17种状态.(1,2, 1, 2),(2,3, 2, 3),(2,3*, 2),(1,4,6, 1, 4, 6),(1,4*,6, 1, 6),(1,4,6*, 1, 4),(1,4*,6*, 1),(3,4,6, 3, 4, 6),(3*,4,6, 4, 6),(3,4*,6, 3, 6),(3,4,6*, 3, 4),(3*,4,6*, 4),(3,4*,6*, 3),(5,6, 5, 6),(5*,6, 6),(5,6*, 5),(, ).记{X (t),t 0}的状态集为S ,将其中的状态依次记为S 1,S 2, ,S N ,其中S 1表示初始状态(O (s), , a 1, a 2, , a k ),其中O (s)=(a 1,a 2,,a k ),S N 表示最终状态( , ),N =S .令∀0∃0,∀n (n 1)表示X (t)的第n 个间断点,显然{X (t),t 0}是以(∀n )为骨架时序列的马尔可夫骨架过程.4 求解网络最长路长度的概率分布令T 表示网络最长路径的长度,显然有T =m in {t 0;X (t)=( , )|X (0)=S *1}.其中S *1=(O (s), , a 1=0, a 2=0, , a k =0),O (s)=(a 1,a 2, ,a k ),F (t)=P {T %t}表示T 的分布函数,即P (S *1,t ,( , )).若网络图有n 条弧线,各弧长相互独立,弧线k 的长度为随机变量X k ,其分布函数为A(k)(t),1%k %n,即A (k)(t)=P (X k %t)k =1,2, ,n.令A (k) k (t)=A (k)( k +t)-A (k)( k )1-A (k)( k ), k (t)!+,k =1,2, ,n,13即(t)=P(X k% k+t|X k> k),k=1,2,,n.A(k)k以图1所描述的工程施工网络图为例,令各工段施工时间的分布函数为任意分布,即分布函数可以是连续的,也可以有间断点.求解总工期T的分布函数F(t)=P{T%t},即求解P((1,2,0,0),t, ( , )).利用马氏骨架过程的向后方程可得从状态1转移到状态17时间的瞬时分布.F(t)=P((1,2, 1, 2),t,( , ))=&t0q((1,2, 1, 2),d s,(2,3, 2+s,0))P((2,3, 2+s,0),t-s,( , ))+&t0q((1,2, 1, 2),d s,(1,4,6, 1+s,0,0))P((1,4,6, 1+s,0,0),t-s,( , ))+∋s%t(A(1) 1(s)-A(1) 1(s-))(A(2) 2(s)-A(2) 2(s-))P((3,4,6,0,0,0),t-s,( , )).[参考文献][1]A Charnes,W C ooper,G T hompson.Critical path ana l ys i s v i a chance constra i nde and s hochastic progra mm i ng[J].Opera∀ti ons R esearch,1964,12:460-470.[2]V K u l karn,i V A d l akha.M arkov and m arkov-regenera ti ve PERT net wo rks[J].O perati ons R esearch,1986,34:769-781.[3]A A zaron,R T avakko li-M oghaddam.A mu lti-objecti ve resource a ll 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stochastic net w or k, and the distri b u ti o n functi o n of t h e longest path w as obta i n ed.K ey w ords:stochastic net w o r k;l o ngest path;M ar kov skeleton processes14。