正余弦定理教案
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
正弦定理教案优秀5篇
正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。
数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。
2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
正弦定理和余弦定理的运用教案
正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。
三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。
四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。
五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。
Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。
Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。
Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
正弦定理和余弦定理教案设计
正弦定理和余弦定理知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC 中，sin A ＞sin B 的充分不必要条件是A ＞B . (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则A ＝60°或120°. (√)2．解三角形(3)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝59.(√) (4)(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝6.(√) 3．三角形形状的判断(5)在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．(√) (6)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则此三角形是锐角三角形． (×)[感悟·提升]1．一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，如(1)．2．判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝______.解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin B b ＝42×225＝45.答案(1)A(2)4 5规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析(1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C，解得：sin C＝22，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案(1)B(2)A考点二判断三角形的形状【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝ 3.∴32sin B＋32cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°. ∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．【训练2】 (1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是 ( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 (2)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形． (2)由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ， 即sin 2 B sin A cos B ＝sin 2 A cos A sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ，由于A ，B 是三角形的内角， 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案 (1)A (2)D考点三 与三角形面积有关的问题【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．审题路线 (1)a ＝b cos C ＋c sin B ――→正弦定理边化角sin A ＝…⇒sin(B ＋C )＝…⇒求出角B .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12ac sin B ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B⇒得出a 2与c 2的关系式⇒利用基本不等式求ac 的最大值即可．解 (1)由已知及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【训练3】 (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12 bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21， 故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 解三角形问题【典例】 (12分)(2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．[规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (6分)(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， (7分) 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223.(9分)因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.(10分)因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. (12分) 【自主体验】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0， 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.基础巩固题组 一、选择题1．(2013·绍兴模拟)在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°解析由a2－c2＋b2＝3ab，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝3ab2ab＝32，所以C＝30°.答案 A2．(2014·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()．A.32 B.3 C．2 3 D．2解析S＝12×AB·AC sin 60°＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝ 3. 答案 B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()．A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1解析由正弦定理bsin B＝csin C及已知条件得c＝22，又sin A＝sin(B＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案 B4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()．A．2 3 B．2 C. 2 D．1解析由asin A＝bsin B，得asin A＝bsin 2A，所以1sin A＝32sin A cos A，故cos A＝32，又A∈(0，π)，所以A＝π6，B＝π3，C＝π2，c＝a2＋b2＝12＋(3)2＝2.答案 B5．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析由正弦定理及已知条件可知sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A ＝π2. 答案 A 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π38．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)． 答案154三、解答题9．(2014·宜山质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ， 又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A ＝5. 能力提升题组 一、选择题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )． A.13 B.45 C ．1 D ．3解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1. 答案 C2．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能 解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大， 所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形． 答案 A 二、填空题3．(2013·浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析 如图，令∠BAM ＝β，∠BAC ＝α，故|CM |＝|AM |sin(α－β)，∵M 为BC 的中点，∴|BM |＝|AM |sin(α－β)．在△AMB 中，由正弦定理知，|AM |sin B ＝|BM |sin β，即|AM |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝|AM |·sin (α－β)sin β，∵sin β＝13，∴cos β＝223， ∴13＝cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫223sin α－13cos α＝223sin αcos α－13cos 2α， 整理得1＝22sin αcos α－cos 2α，标准文档实用文案 所以22tan α－1tan 2 α＋1＝1， 解得tan α＝2，故sin α＝63.答案 63三、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， 故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.① 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎨⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎨⎧ a ＝6，c ＝2.。
正弦定理和余弦定理教案
1. 定理：2sin sin sin a b c R ABC===.（R 为三角形外接圆半径）2. 例题：例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，2a =，求b .例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.3. 练习：1、060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.2、060,ABC a A b B ∆===中，求3. 已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b c A B C++++.4、∆ABC 中，若::1:2:3A B C =则::a b c =5、∆ABC 中，若2sin b a B =则A =★6. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B=，求a b b+的值★7、002,30,135,ABC b B C a ∆===中，求1. 定理：2222cos b a c ac B =+- 推论222cos 2+-=b c aA bc2222cos a b c bc A =+- 222c o s 2+-=a c bBac2222cos c a b ab C =+- 222c o s 2+-=b a cCba2. 例题：例1. 在∆ABC 中，已知3a =，4b =，060C =，求c .练习：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .（答案：b =，060A =）例2：在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ＝6，求cosC .小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 3、巩固练习：1. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，求a2. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）变式：在△ABC 中，()()3a b c b c a bc +++-=，则A =3. 三角形ABC 中，3,2,AB AC BC ===AB AC1.3正弦定理和余弦定理的综合问题 例1三角形ABC 中，cos C ＝1314，a ＝7，b ＝8，求最大角的余弦变式：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.例2：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC 练习：1. 在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7，判断三角形的类型.★2. 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形★3. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.★4. 三角形ABC 中，C ＝60°，a ＝3，c ＝7，求b5. 在△ABC 中，已知12,3,cos 4a c B ===，求（1）b 的值（2）求sin C★★6. 已知A B C △三个顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值． (2) 若A 是钝角，求c 的取值范围★★★7. 在△ABC 中，已知54cos ,sin 135A B ==，求cos C .1.4应用问题 一、面积问题 公式：S=21ab sin C ，S=21bc sin A , S=21ac sin B例1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S练习：1.已知在∆ABC 中，∠B=30︒,AB=求∆ABC 的面积2. 三角形ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8求A B C S★3. 在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，若2a =，ABC S =△b 的值。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
正弦定理和余弦定理教案(启发式)
正弦定理、余弦定理教案 ●教学目标(一)知识目标1.三角形形状的判断依据；2.利用正、余弦定理进行边角互换.(二)能力目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.(三)德育目标通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. ●教学重点利用正、余弦定理进行边角互换. ●教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. ●教学方法 启发引导式1.启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用. ●教具准备 投影仪、幻灯片 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=abc b a C cab ac B bca cb A Cab b a c B ca a c b 2cos 2cos 2cos cos 2,cos 2222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=第二张：例题1、2(记作§5.9.3 B) ［例1］已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C第三张：例3、例4(记作§5.9.3 C)［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B ）2－sin 2C＝3sin A sin B 求证：A ＋B ＝120°［例4］在△ABC 中，b cos A ＝a cos B 试判断三角形的形状●教学过程Ⅰ.复习回顾师：前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.3 A ).从投影片大家可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课师：下面，我们来看投影片上的例题.(给出投影片§5.9.3 B).［例1］分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDC BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即 在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDC DC BC DBC DC BDC BC ==即 ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCAD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一： (化为三角函数)a 2sin2B ＋b 2sin2A＝（2Ｒsin A ）2·2sin B ·cos B ＋（2Ｒsin B ）2·2sin A ·cos A＝8Ｒ2sin A ·sin B （sin A cos B ＋cos A sin B )＝8Ｒ2sin A sin B sin C＝2·2Ｒsin A ·2Ｒsin B ·sin C＝2ab sin C所以原式得证.证明二： (化为边的式子)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A ＝a 2·bc a c b R a b ac b c a R b 2222222222222-+⋅⋅+-+⋅ ＝)(2222222a c b b c a Rcab -++-+ ＝C ab Rc ab c RC ab sin 222222=⋅=⋅ 评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2Ｒsin A ，b ＝2Ｒsin B ，c ＝2Ｒsin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin （A ＋B ）＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.（给出幻灯片§5.9.3 C ）［例3］分析：要证A ＋B ＝120°，由于A ＋B ＋C ＝180°，只要证明C ＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角惟一，故可证明cos C ＝21，而由余弦定理cos C ＝ab c b a 2222-+，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.证明：由(sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B又∵sin A ＝R a 2，sin B ＝R b 2，sin C ＝Rc 2， ∴R b R a R c R b R a 22444222222⋅=-+ 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab∴cos C ＝212222=-+ab c b a 又0°＜C ＜180° ∴C ＝60°∴A ＋B ＝180°－C ＝120°评述： (1)有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围； (2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R ·sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.［例4］分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵b cos A ＝a cos B∴b ·acb c a a bc a c b 22222222-+⋅=-+ ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2∴a 2＝b 2∴a ＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵b cos A ＝a cos B又b ＝2Ｒsin B ，a ＝2Ｒsin A∴2Ｒsin B cos A ＝2Ｒsin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴A －B ＝0 即A ＝B故此三角形是等腰三角形.评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B .师：为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0 (2) .112cos 2cos 2222b a b B a A -=- 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2）BB c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabc b c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证.右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR B A R A b a b B a A 故原命题得证.评述：（1）在(1)题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；（2）(2)题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.2.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A ，试判断此三角形的类型. 解：∵sinB ·sinC ＝cos 22A ∴sinB ·sinC ＝2cos 1A + ∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π∴B －C ＝0 ∴B ＝C故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 22A －1的逆用，要求学生注意.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.Ⅴ.课后作业(一)补充作业1.在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列. 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅ ∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2即a 2，b 2，c 2成等差数列.2.在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C . (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值. 答案：（1）略 （2）1∶3(二)1.预习内容课本5.9 正弦定理、余弦定理2.预习提纲(1)复习正、余弦定理内容(2)总结正、余弦定理适用题型●板书设计§5.9.3 正弦定理、余弦定理(三)一、三角形问题证明思路 二、三角形形状判定依据三、学生练习1.向边转化 1.等腰三角形：a ＝b 或A ＝B四、补充作业利用正、余弦定理 2.直角三角形：a 2＋b 2＝c 22.向角转化 或C ＝90°利用正弦定理 3.钝角三角形：C ＞90°●备课资料1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.［例1］已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且32sin sin =B A ，求B B A +的值. 解：∵23sin sin ,sin sin ,sin sin ==∴=B A b a B A B b A a 又(这是角的关系)，∴23=b a (这是边的关系).于是，由合比定理得.25223=+=+b b a ［例2］已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差数列.求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b (这是边的关系)①又BA b a C cB b A a sin sin ,sin sin sin =∴==② BC b c sin sin =③ 将②、③代入①，得b BC b B A b 2sin sin sin sin =+整理得sin A ＋sin C ＝2sin B (这是角的关系).2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：［例3］求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值.解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（※）而由正弦定理知：a ＝2Ｒsin20°，b ＝2Ｒsin10°，c ＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝41 ∴原式＝41. ●教学后记。
正弦定理和余弦定理教案
正弦定理和余弦定理一、教学重点正弦定理、余弦定理的证明及其基本应用。
二、教学难点(1) 正弦定理和余弦定理的证明过程。
(1) 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
(2) 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
(一) 探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A =，sin b B =，又sin 1cC ==,A则sin sin sin abcc === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A D B(图1.1-3)从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R=k例1、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若A+C=2B,则sinC= .练习1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．余弦定理证明：如图1．1-5，设CB a →=，CA b →=，AB c →=，那么c=a-b ，2||c =c ∙c=(a-b) ∙(a-b)A=a ∙a + b ∙b -2a ∙b b c从而 2222cos c a b ab C =+- C a B 同理可证 2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
正弦定理与余弦定理 教案
正弦定理与余弦定理(第1课时)目标：1、梳理本节知识点，使学生有整体观念，并了解高考动向；2、体会正弦定理在解三角形与边角转化过程中的作用；3、体会方程、化归、数形结合等数学思想方法。
重点：正弦定理的灵活运用。
难点：正弦定理在解三角形时，解的个数的讨论问题。
过程：一、 考情分析1、 利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；2、 常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断；3、 在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。
二、 知识点回顾1．基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +； （2）面积公式：S=21ah a , S=21absinC=21bcsinA=21casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为内切圆半径) 2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===外 解决两类基本问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 解决两类基本问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
（一）经典回顾1.在△ABC 中， A=60°, B=450,， 则边a=_；2.在△ABC 中,A=60°，则B 的大小是450______;3.在△ABC 中,,b=1,c=2, 则角A=__600_______;4.在△ABC 中,,则边（二）更上一层楼1.1.在△ABC 中，b=5, B=450, tanA=2,求边1.2.在△ABC 中,边 , 求边a 的大小. 52.1.在△ABC 中, B=45°, 判断三角形△ABC 的个数; A=600或12002.2.在△ABC 中, B=75°, 判断三角形△ABC 的个数; 无解2.3在△ABC 中, a=2, 角B ＝600 ,且三角形两解,求边b 的取值范围；b =a b ==a =015a b C ===cos ,105A B ==c =a b ==a b ==2.4在△ABC 中, a=2,,且三角形有解,求sin2A +cos2A 的取值范围.总结：给出两边和一边的对角,如何判断此三角形的个数? 一、若已知角是直角或钝角，则三角形最多一解；二、若已知角是锐角，先利用大边对大角初步判断,再根据正弦定理及正弦函数的值域作出判断！也可以运用余弦定理结合方程作出判断或求解。
正弦定理和余弦定理(教案)
《正弦定理和余弦定理》（一）创设情境提出课题如图1，某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）（二）复习回顾、知识梳理1．正弦定理： .利用正弦定理，可以解决哪些有关三角形的问题.？2．余弦定理： .利用余弦定理，可以解决哪些有关三角形的问题：3．三角形面积公式： .（三）典例导航、知识拓展【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.思考讨论该题根据命题特征，你能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?【例2】已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，（1）若△ABC 的面积23=∆ABC S ，c=2,A=600,求边a,b 的值； （2）若a =c cos B ,且b =c sin A ,试判断△ABC 的形状。
（四） 变式训练、归纳整理【例3】已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若b cosC=(2a -c )cosB(1) 求角B ；(2) 2,2=∙=,求a+c 的值。
（五） 应用实践，解决问题通过复习整理，你能通过对正余弦定理的理解，最后解决本节课开始时留下的实际问题。
课时小结1. 解三角形时，已知“角角边、角边角、边边角”关系常用正弦定理；“边边边、边角边”关系常用正弦定理。
2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。
5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。
《余弦定理》教案(含答案)
《余弦定理》教案（含答案）第一章：余弦定理的定义与基本概念教学目标：1. 了解余弦定理的定义及其在几何中的应用。
2. 掌握余弦定理的表达式。
3. 能够运用余弦定理解决简单的问题。
教学内容：1. 余弦定理的定义：在一个三角形中，任意一边的长度平方等于其他两边长度平方的和减去这两边长度与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。
2. 余弦定理的表达式：c²= a²+ b²2ab cos(C)，其中c为斜边，a和b为其他两边，C为斜边与a边的夹角。
教学活动：1. 引入三角形的基本概念，引导学生思考三角形中边与角之间的关系。
2. 给出余弦定理的定义，通过示例解释余弦定理的含义和应用。
3. 推导余弦定理的表达式，并解释各符号的含义。
4. 引导学生进行实际例题的计算，巩固余弦定理的应用。
作业：a. ∠A = 30°, a = 5, b = 12b. ∠B = 45°, b = 8, c = 10第二章：余弦定理在直角三角形中的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在直角三角形中的应用。
2. 能够解决直角三角形中涉及边长和角度的问题。
教学内容：1. 直角三角形的特殊性质：在一个直角三角形中，余弦定理可以简化为c²= a ²+ b²（其中c为斜边，a和b为直角边）。
2. 利用余弦定理解决直角三角形中的问题：通过已知的边长和角度，求解其他边长和角度。
教学活动：1. 回顾直角三角形的基本概念，引导学生思考直角三角形中边与角之间的关系。
2. 给出余弦定理在直角三角形中的应用，通过示例解释余弦定理在直角三角形中的简化形式。
3. 引导学生进行实际例题的计算，巩固余弦定理在直角三角形中的应用。
作业：a. ∠A = 30°, a = 3, 求解b和c的值。
b. ∠B = 45°, b = 5, 求解a和c的值。
第三章：余弦定理在非直角三角形中的应用教学目标：1. 掌握余弦定理在非直角三角形中的应用。
正余弦定理教案
正余弦定理教案一、知识目标1. 了解正弦、余弦和正切的概念及其应用。
2. 掌握正弦定理和余弦定理的公式及其推导。
3. 能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
二、能力目标1. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
三、情感目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱。
2. 在思考问题、解决问题的过程中增强学生的自信心。
四、教学重点六、教学方法讲解、举例、演算。
七、教学过程1. 引入小学六年级学过三角形的周长，初中学生已掌握了三角形的面积，本节课将学习正弦定理和余弦定理，结合三角形的周长、面积来解决实际问题。
2. 概念讲解正弦、余弦和正切是三角函数中的基本概念。
以直角三角形ABC为例，假设∠B为直角边，AB为临边，BC为对边，AC为斜边，如图所示：图1 直角三角形ABC定义：(1)在直角三角形ABC中，正弦是对边BC与斜边AC的比值，即sin A=BC/AC。
（2）正弦定理正弦定理是在任意三角形中，由三边之间的对应关系发现出来的。
定理表述：在任意三角形ABC中，设三角形的三边的长度分别为a，b，c，三个内角的对角分别为∠A，∠B，∠C，则有：sin A/a=sin B/b=sin C/c余弦定理是在任意三角形中，由余弦的定义及勾股定理得到的。
a²=b²+c²-2bc cos A3. 案例分析例1：三角形的周长已知一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边长为4cm，求其周长。
解：由勾股定理得知，另一条直角边长为3cm。
故三角形的周长为4+3+5=12cm。
解：根据海伦公式，设三角形的半周长为s，则有：s=(a+b+c)/2S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]例3：角度的求解已知三角形ABC中，∠A=30度，边长a=4，b=6，求∠B和边长c。
解：根据正弦定理可得：即6/sin B=4/sin 30sin B=0.6667B=41.8度（保留一位小数）c²=28例4：解决倾斜问题在斜坡上，草草的倾斜角度为36.87度，坡长为10m，求草草的高度。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。
1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。
1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。
章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。
2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。
2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。
3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。
3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。
4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。
4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。
5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。
5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。
正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。
6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。
6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。
章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
正余弦定理教案
正余弦定理教案【篇一：余弦定理教学设计】1.2 余弦定理南京师范大学附属中学张跃红教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧a，b两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点c，然后量出ac，bc的长度，再测出∠acb．△abc是确定的，就可以计算出ab的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点a作垂线交bc于点d，则｜ad｜＝｜ac｜sinc，｜cd｜＝｜ac｜cosc，｜bd｜＝｜bc｜－｜cd｜＝｜bc｜－｜ac｜cosc，所以， |ab|=ad|2+|bd|2=ac|2+|bc|2-2|ac|?|bc|?cosc．c法2：（向量方法）如图3，因为ab=ac+cb，2 2 所以，ab=(ac+cb)即 |ab|=ac|2+|bc|2-2|ac|?|bc|?cosc．法3：（建立直角坐标系） c建立如图4所示的直角坐标系，则a （｜ac｜cosc, ｜ac｜sinc），b （｜bc｜, 0），根据两点间的距离公式，可得|ab|=(|ac|cosc-|bc|)2+(|ac|sinc-0)2，所以，|ab|=ac|2+|bc|2-2|ac|?|bc|?cosc．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△abc中，a，b，c是角a，b，c的对边长，则有c2=a2+b2-2abcosc成立．类似的还有其他等式， a2=c2+b2-2cbcosa，b2=c2+a2-2cacosb．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角c进行分类讨论，即分角c为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例．反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角c为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2+b2c2，a2+b2c2；c2=a2+b2-2abcosc是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2cosa=,cosb=,cosc=． 2bc2ac2ab5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△abc中，若a＝3，b＝5，c＝7，求角c．2．（1）在△abc中，若b=3+1,c=,a=450，解这个三角形．（2）在△abc中，b=,b=600,c=1，求a．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2+b2-c2式cosc=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．【篇二：余弦定理教学设计】1.1．2余弦定理教学设计一、教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
正余弦定理完美教案
正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。
(完整版)正余弦定理教案
正弦定理和余弦定理安勤辉一。
教学目标:1知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观:通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美,学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点:正弦、余弦定理应用以及公式的变形2。
难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b,c,则(1)S＝错误!ah(h表示边a上的高)．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B。
(3)S＝错误!r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径）问题1:在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!，A＝60°求c及B C问题2在△ABC中，c=6 A=30° B=120°求a b及C问题3在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝错误!，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决（1）已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b。
若2a sin B＝错误! b，则角A等于 ( ）．A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!(2)（2014·杭州模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,若a＝1，c＝4错误!，B ＝45°,则sin C＝______.解析(1）在△ABC中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
(1)S＝1
2ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝1
2bc sin A＝
1
2ab sin C＝
1
2ac sin B.
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)
问题1：在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°求c及B C 问题2在△ABC中,c=6 A=30°B=120°求a b及C
问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝9
16，则b＝
通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
余弦定理可以解决
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”
知三中必须要有一边
应用举例 【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π12
(2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝______.
解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝
3
2
.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.
(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×2
2＝25，即b ＝5. 所以sin C ＝c ·sin B b ＝42×2
2
5＝
4
5. 答案 (1)A (2)4
5
【训练1】 (1)在△ABC 中，a ＝23，c ＝22，A ＝60°，则C ＝
( )．
A ．30°
B ．45°
C ．45°或135°
D ．60°
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23
sin B ，则A ＝
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析 (1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ， 解得：sin C ＝
2
2
，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. (2)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝3
2，
又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 答案 (1)B (2)A
规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的
对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．
解(1)由2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
1
2，∴A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝ 3.
∴3
2sin B＋
3
2cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.
∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.
∴B＋30°＝90°，B＝60°.
∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．
规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
课堂小结
1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bc cos A可以转化为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明。