平稳状态的VSIPoissonEWMA控制图_丛方媛

文章编号:1001-4098(2007)08-0115-04平稳状态的VSI Poisson EWM A控制图X丛方媛,师义民,王彩玲(西北工业大学应用数学系,陕西西安　710072)摘　要:主要对计数型质量控制图的特性进行了研究,设计了单位缺陷数服从Poisso n分布的EWM A控制图,并对其进行了具有可变抽样区间的动态设计,利用M ar kov chain方法计算出了过程开始处于平稳状态时V SI Poisson EW M A控制图的AA T S,以及不平稳状态时V SI Po isson EW M A控制图的A T S,通过实例验证了不论是过程开始处于不平稳状态还是平稳状态,V SI Poisso n EW M A控制图的控制效果都优于静态Pois-son EWM A控制图。

关键词:P oisson EWM A控制图;可变抽样区间;平稳状态;M ar kov chain;A A T S中图分类号:O213 文献标识码:A1　引言目前对计数型质量特征值控制图的研究大多数停留在静态的休哈特(Shew har t)c—图和u—图上,且都假设过程均值偏移在过程开始时就发生,即过程开始处于不平稳状态[1,2]。

但是由于传统Shew har t控制图的统计变量只是由当前观测值得出的,其它观测值在经过了其所在的当前时刻就被弃置不用,因此浪费了大量的历史信息,造成了传统Shewhart控制图无法具有较高的精确度和对小波动持续上升,下降不敏感。

并且静态控制图都是假定抽样区间,样本容量以及其控制限是固定不变的,其不利于及时有效的发现过程的变化,尤其是过程均值较小的变化[3,4]。

另外,在实际的生产过程中,往往过程开始时是处于平稳状态的,即过程均值偏移不是发生在过程开始时刻[4],而是在过程开始后的某一随机时刻。

因此,静态的传统Shew hart控制图不能及时有效的发现过程均值的变化。

为了弥补静态的传统P oisson EWM A控制图上述几点不足,本文采用了统计变量是观测值加权线性组合的指数加权移动平均(EWM A)控制图,在单位缺陷数服从Po isson分布的假设下,提出了Poisson EW M A控制图模型,并在前人的研究基础上对Poisson EWM A控制图进行了可变抽样区间的动态设计,然后利用M arkov chain方法分别计算出过程开始处于不平稳状态和平稳状态平均报警时间。

通过实例计算,验证了本文提出的具有可变抽样区间的Poisso n EW M A控制图比静态的Shewhar t控制图能更快更好的发现过程均值的微小变化。

2　Poisson EWM A控制图设X表示生产过程中的单位缺陷数,通常情况下假设X服从Poisso n分布[5]。

从该过程中获得的一列质量特征观测值X1,X2,…独立同分布于参数为L的Po isson分布,当过程处于受控状态时L=L0.要对这个过程进行控制,定义P oisson EWM A统计量为:Z0=L0Z t=rX t+(1-r)Z t-1(1)根据Z t的定义可以得出:E(Z t)=L0V ar(Z t)=r2-r[1-(1-r)2t]L0当t充分大时,可以得到Z t的方差渐近形式:V ar(Z t)≈r2-rL0=V ar(Z∞)(2)其中,r为平滑参数,且0<r≤1。

为方便计算,本文仅考虑基于渐近形式(2)式所生成控制限的控制图。

因此,当Z t>hU或Z t<h L时,过程失控。

其中h U=L0+A U V ar(Z∞)=L0+A Ur L02-r第25卷第8期(总第164期) 系　统　工　程V ol.25,N o.8 2007年8月 Systems Engineering A ug.,2007X收稿日期:2007-04-24基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471057);陕西省教育厅资助项目(03JK063)作者简介:丛方媛(1983-),女,山东威海人,西北工业大学应用数学系研究生。

h L=L0-A L V ar(Z∞)=L0-A Lr L0 2-rA U和A L可根据特定的受控时的平均运行长度(A verag e Run L eng th,A RL)的大小来确定,可以取A=A L=A U.但需要注意的是,由于X1,X2,…独立同分布于参数为L的Po isson分布,则由式(1)定义的Po isson EW M A统计量Z t 是一个非负数,那么当控制下限小于或等于零时,控制图对过程均值的向下偏移就不会发出报警信号,即不能检测出过程的向下偏移,所以这时取A L≠A U是很有必要的。

3　不平稳状态时的VSI Poisson EWM A控制图3.1　可变抽样区间控制图可变抽样区间(var iable sampling interv als,V SI)控制图是指抽样区间大小依赖于现时样本统计量的控制图。

其基本思想是:在控制图的中心限和控制限之间加上警戒限,中心限与警戒限之间的区域称为中心域,警戒限与控制限之间的区域称为警戒域。

若现时样本统计量观测值位于警戒域,则其后的统计量观测值超出控制限的可能性比较大,为了能较快的发现过程的变化,应提前抽取下一个样本;反之,若现时的样本统计量观测值位于中心域,则可等待较长时间抽取下一个样本。

也就是说,抽样区间的长短取决于现时样本点统计量观测值。

3.2　可变抽样区间的比较法则在应用中,一般选用两个抽样区间长度d1和d2,d1> d2.当现时样本统计量观测值位于中心域时,则选用抽样区间d1;当统计量观测值位于警戒域时,则选用抽样区间d2;若统计量观测值超出控制限,即落在行动域时,表示过程失控,发出警报。

通常情况下,用检测过程均值偏移的速度来评价控制图的有效性。

对于静态控制图,一般采用平均运行长度的大小来进行比较。

即在过程处于受控状态的A RL一定时,其失控状态的A R L越小,表明该控制图对过程偏移检测的效果越好。

但V SI控制图的抽样区间长度是变化的,故无法采用A RL来进行比较。

这时将采用另外一种比较法则:平均报警时间(averag e t ime to signal,A T S)来比较[3]。

平均报警时间(A T S)是指不平稳状态时从过程开始检测到控制图发出报警信号所需要的平均时间。

假设过程偏移在零时刻发生,即过程开始就处于不平稳状态。

令U i表示报警前采用抽样区间d i的样本数(i= 1,2),d0表示从过程开始到抽得第一个样本之间的时间间隔,可取d0=d1或d2.根据A T S的定义可知:A T S=d0+U1d1+U2d23.3　不平稳状态的VSI Poisson EWMA控制图ATS的计算这里只考虑偏移L′>L0的情况。

假设过程失控从零时刻开始,过程均值从L0偏移到L0+D L0,为了能用M ar ko v chain方法来计算失控过程的平均报警时间,将控制图的受控区域分成N个长度相同的小区间,每个区间的长度为(h U-h L)/N,第j个子区间是(L j,U j),其中L j=h L+(j-1)(hU-hL)NU j=hL+j(hU-hL)N第j个子区间的中点m j=h L+(2j-1)(h U-h L)2N。

这样就对应于N个M ar ko v chain状态,从下到上分别记为E1, E2,…,E N,第N+1个状态是吸收状态,表示大于h U或小于hL的失控区域。

定义b=(b1,b2,…,bN)T,若状态E i(i= 1,2,…,N)的中心点位于中心域,则b i=d1;若状态E i的中心点位于警戒域,则取b i=d2.状态E i(i=1,2,…,N)到状态E j(j=1,2,…,N)的转移概率记为p i,j,则　p i,j=P(L j<Z t<U jûZ t-1=m i)=P(L j<rX t+(1-r)Z t-1<U jûZ t-1=m i)=P(L j<rX t+(1-r)m i<U j)=P(hL+(j-1)(hU-hL)N<rX t+(1-r)(h L+(2j-1)(h U-h L)2N)<hL+j(hU-hL)N)=P(h L+hU-hL2N r[2(j-1)-(1-r)(2i-1)]<X t<hL+h U-h L2N r[2j-(1-r)(2i-1)])该M arkov chain对于这N个状态的转移矩阵为P= [p i,j]N×N,令Q=(I-P)-1=(m ij)N×N其中,I为N×N的单位矩阵。

根据文献[4]推广可得到V SI P oisson EWM A控制图的平均报警时间A T S为:A T S=∑Ni=1m k0,ib i(3)其中,k0表示中心限L0处于状态E k.则根据A T S的计算公式(3)即可求出过程处于不平稳状态时质量特性对于不同偏移量D的平均报警时间,当过程的质量特性X的偏移量D=0时,由式(2)求出的平均报警时间即为过程受控时平均报警时间。

4平稳状态时VSI Poisson EWM A控制图4.1　平稳状态时可变抽样区间Poisson EWMA控制图AATS的计算假设过程在开始时处于平稳状态,过程均值偏移发生在过程开始后的某一随机时刻,这里可以假设从过程开始116系　统　工　程 2007年到过程均值发生偏移之间的时间间隔服从参数为K的指数分布,即从过程开始到过程均值发生偏移之间的平均时间为1/K.对于平稳状态的控制图有A AT S(the adjusted averag e time to signal)和A T C(the averag e times o f the cycle)两个比较法则。

其中A A T S表示从过程均值发生偏移到控制图发出警报之间的平均时间间隔;A T C表示平稳状态时从过程开始到控制图发出警报之间的平均时间。

根据上面的假设可以得出A A T S和AT C之间的关系为:A A T S=A T C-1 K 由于指数分布具有无记忆性,因此可以利用M arkov chain方法来计算平稳状态下的AT C。

此时对于每一次抽样,根据过程的状态(失控或者受控)和抽样区间的大小,可以得到四个瞬时状态[4],即状态1:过程处于受控状态且抽样区间大;状态2:过程处于受控状态且抽样区间小;状态3:过程处于失控状态且抽样区间大;状态4:过程处于失控状态且抽样区间小。

因此,当取得第i+1样本时,M arkov chain的瞬时状态由过程均值的状态(受控或者失控)和第i个样本点在控制图中的位置决定的,见表1。

表1　M ar kov chain的状态第i个样本第i+1个样本样本点的位置过程均值的状态(受控还是失控)M arkov chain的状态警戒域警戒域中心域中心域受控失控受控失控2413 当样本点落在行动域时,控制图发出报警信号。