9.8 二阶电路-2学时

欠阻尼全响应波形讨论
Us=50V、uC(0+)=20V、i(0+)=2A R=10Ω、L=0.002H、C=0.00001F
二阶电路全响应电压波形 80 60 40 20 0 -20 0 -40 t/s 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025
电路理论基础
uc ur ul
u/V
u/V
欠阻尼零输入响应波形讨论
Us=0V、uC(0+)=0V、i(0+)=2A R=10Ω、L=0.002H、C=0.00001F
二阶电路零输入响应电压波形 30 20 10
电路理论基础
0 -10 0 -20 -30 t/s 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025
uc ur ul
uc(0-)=25V uc(0+)=25V iL(0-)=5A iL(0+)=5A 独立初始条件
(2) 由独立初始条件求非独立初始值
iC(0+)= -5A
+ 25V 20W
5A iC
电路理论基础
duc C dt duc
0+电路
10W 10W
t 0
ic (0 ) -5

dt
t 0
1 5 i c (0 ) C C
duC u R RC ( A2 A1 A2t )e t dt d 2 uC u L LC 2 (2A2 2 A1 2 A2t )e t dt
临界阻尼全响应波形讨论
Us=40V、uC(0+)=5V、i(0+)=2A R=5.1Ω、L=0. 2H、C=0.0308F
LCP 2 RCP 1 0
我们直接讨论us=Us、初始值uC(0+)、i(0+)非0的情况 电路理论基础
特解uC` = uC(∞)=Us 通解uC`` 的形式取决于 特征根方程 + Us 二阶全响应电路
+
uC C
-
+
uR - S(t=0) R
+ L uL i
LCP 2 RCP 1 0
9.8 二阶电路
电路理论基础
二阶电路：用二阶微分方程描述的电路。 N阶电路：用N（=M-P-Q）阶微分方程描述的电路。 M — 动态元件数 P — C-E回路数 Q — L-J割集数
本节重点研究
Ⅰ典型二阶电路动态过程的特点 Ⅱ一般二阶电路动态方程的建立 Ⅲ二阶电路的阶跃响应和冲击响应
9.8.1. 典型的RLC电路的动态过程
L R2 共轭复根 C
R2
L (临界阻尼 ) 相等的实根 非振荡放电 C
e t ( A1 A2 t )
A1e p1t A2e p2t
L R2 不等的实根 非振荡放电( 过阻尼) C
电路理论基础
3.电路是否振荡取决于特征根，特征根仅由电路的结构 和参数确定，而与初始条件和激励的大小没有关系。 4.特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能 简化而具有的独立初始值的数目。
（1） R2>4L/C时
R R2 4L / C P1, 2 2L
d 2 uC duC LC 2 RC uC u s dt dt
p1t
全解
uC U s A1e
A2e
p2t
待 定
A1 A2 uC (0 ) U s 代入初值有 1 A2 P 2 i (0 ) / C A1 P
例1 电路所示如图 t = 0 时打开开关。
电路理论基础
若开关动作前电路已达稳态，求电容电压uC , 并画波形图。
20W + + u - c 100 μF 50V -
20W 5W
+ uC
iL 0.5H
10W
+
iL
50V -
5W
10W
-
10W 10W
0-电路
解 (1) t =0-时求电容的电压uc(0+) 和电感的电流iL(0+)
u/V
电路理论基础
总结： [1] 无穷时刻，电流、电感电压归0。 [2] 动态过程中电容、电感电压、电流以指数衰减同 时以正弦振荡；电容电压的在无穷时刻的稳态值等于 直流激励，零输入电路中则归0。 称电容的这种充放电行为为 振荡放电或欠阻尼放电 称这样的电路为 欠阻尼电路
（3） R2=4L/C时
u/V
欠阻尼零输入响应波形讨论
Us=0V、uC(0+)=20V、i(0+)=0A R=10Ω、L=0.002H、C=0.00001F
二阶电路零输入响应电压波形 30 20 10
电路理论基础
0 -10 0 -20 -30 t/s 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025
uc ur ul
Us=0V、uC(0+)=0V、i(0+)=2A R=5.1Ω、L=0. 2H、C=0.0308F
二阶电路零输入响应电压波形 15 10
电路理论基础
u/V
5 0 -5 -10 t/s 0 0.2 0.4 0.6 0.8
uc ur ul
电路理论基础
总结： 类似于非振荡响应的波形
称介于振荡放电和非振荡放电之间的状态为 临界状态 称这样的电路为 临界阻尼电路
解得
K [uC (0 ) U s ]2 [i (0 ) / C K sin ]2 / 2 ar sin[uC (0 ) / K U s / K ]
还可求得
u R RC
duC KRCe t sin( t ar tan( / )) / 2 2 dt d 2 uC u L LC 2 KLCe t sin( t 2ar tan( / )) /( 2 2 ) dt
(3) 建立电路方程
duC duC d 0.5 [C ]－25C uC 0 dt dt dt
C
20W +
uC
0.5H
10W 10W
(4) 求解电路方程
特征方程为
50P2+2500P+106=0
t >0 电路
电路理论基础
uC (0 ) 25 由 duC C 5 dt
电路理论基础
P1, 2
全解
R 2L
LCP 2 RCP 1 0
t
uC U s ( A1 A2t )e
待 定
A1 uC (0 ) U s 代入初值有 A2 A1 i(0) / C
解得
还可求得
A1 uC (0 ) U s A2 iC (0 ) / C (uC (0 ) U s )
二阶电路全响应电压波形 50 40 30 20 10 0 -10 0 0.5 t/s 1 1.5
电路理论基础
uc ur ul
u/V
临界阻尼零状态响应波形讨论
Us=40V、uC(0+)=0V、i(0+)=0A R=5.1Ω、L=0. 2H、C=0.0308F
二阶电路零状态响应电压波形 50 40 30 20 10 0 -10 0 0.2 0.4 0.6 t/s 0.8 1 1.2
电路理论基础
0 -2 0 -4 -6 t/s 0.2 0.4 0.6 0.8
uc ur ul
u/V
过阻尼零输入响应波形讨论
Us=0V、uC(0+)=0V、i(0+)=2A R=5.1Ω、L=0.002H、C=0.00001F
二阶电路零输入响应电压波形 15 10 5 0 -5 0 -10 -15 t/s 0.2 0.4 0.6 0.8
（2） R2<4L/C时
电路理论基础
R 4L / C R 2 P j 1, 2 2L 2L
全解 uC U s Ke
t
LCP 2 RCP 1 0
待 定
sin( t )
K sin uC (0 ) U s 代入初值有 K sin K cos i(0) / C
电路理论基础
uc ur ul
u/V
电理论基础
总结： [1] 无穷时刻，电流、电感电压归0。 [2] 动态过程中电容电压保持非负值，全响应和零状 态响应电路中，电容电压的在无穷时刻的稳态值等于 直流激励，零输入电路中则归0。 称电容的这种充放电行为为 非振荡放电或过阻尼放电 称这样的电路为 过阻尼电路
+ + us uC + uR R i + L uL -
电路理论基础
C
换路后的RLC电路
us=Us或Umsin(ωt+θ) 初始值uC(0+)、i(0+)
d 2 uC duC LC 2 RC uC u s dt dt
电路方程
方程的解 uC = uC` + uC``，即 全解=特解+通解 ① 特解取决于激励的形式，是∞时刻的稳态解。直流激励时 特解为常数，正弦激励时特解为正弦函数。 ② 通解取决于电路的结构，是换路后的暂态解。R、L、C的 参数取值决定了特征根方程的特征根，进而决定了通解衰减的 特征。
358
25 0 uC
(5) 绘波形
t
小结
1.二阶电路中所有的响应具有相同的形式。 2.二阶电路动态响应的性质取决特征根。
电路理论基础
特征根
R 0 共轭虚根
响应性质
等幅振荡(无 阻尼) 衰减振荡(欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0 t )
Ke t sin(t )