第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

课前双基巩固
对点演练
题组一
常识题
[答案] {α|α＝k· 180°＋45°， k∈Z}
1．[教材改编] 终边在直线 y＝x 上的角的集合是 ________．
[解析] 终边在直线 y＝x 上，且在[0°，360°)内 的角为 45°，225°，分 别写出与其终边相同的 角的集合，整合即得．
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3 5－10 [答案] 5
[解析] r＝ （－1） ＋2 ＝ 5， 2 2 5 所以 sin α＝ ＝ ，cos α＝ 5 5 1 5 2 － ＝－ 5 ，tan α＝ ＝－2， －1 5 所以 sin α－cos α＋tan α＝ 3 5－10 . 5
2 2
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题组二 常错题
索引：对角的范围把握不准；由值求角时没有注意角的范围；求三角函数值 没有考虑角的终边所处的象限；求弧长或者扇形面积把角化为弧度数出错．

a 1 ∴cos θ ＝ 2＝ ，∴cos 2θ ＝ 5a 5 2 3 2 2cos θ －1＝5－1＝－5. 方法二：tan θ ＝2，cos 2θ ＝
2
2
cos θ －sin θ 1－tan θ ＝ ＝ 2 2 2 cos θ ＋sin θ 1＋tan θ 3 － . 5
2
2
2
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2 [解析] 因为 r＝ x ＋5，cos α＝ 4 x，
2
2 x 所以 2 ＝ x.因为 α 是第二象限的 x ＋5 4 1 2 角，所以 x<0，所以 2 ＝ ，所以 x ＋5 4 5 5 x＝－ 3，所以 tan α＝ x ＝ ＝ － 3 15 － . 3
课堂考点探究
变式题 (1)若角 θ 的终边经过点 P(－ 5，m)
考例
考查热度
任意角的三 任意角、任意角的三角函数定义 角函数 的应用
2011课标全国卷5、 2014新课标全国卷Ⅰ6
★★☆
弧度制、三 弧度制与角度制的互化、三角函 角函数线 数线的应用 使用公式进行相关的计算
★☆☆
扇形的弧长、
面积公式
★☆☆
真题再现
■ [2016－2011]课标全国卷真题再现
[解析] C 根据三角函数的 1．[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图，圆 O 的半径为 1，A 定义， 点 M(cos x， 0)， △OPM 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 1 的面积为 |sin x cos x | ， 在直角 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足 2 为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)， 三角形 OPM 中，根据等积关 系得点 M 到直线 OP 的距离 则 y＝f(x)在[0，π ]上的图像大致为( ) 1 f(x)＝|sin xcos x|＝2|sin2x|，且 π A B 当 x＝ 时上述关系也成立， 2 故函数 f(x)的图像为选项 C 中 的图像．
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(2)公式： 角 α 的弧度的绝对值 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l |α|＝r(弧长用 l 表示) π 180 ①1°＝180 rad，②1 rad＝( π )°
|α|r 弧长 l＝________
1 1 2 S＝2lr＝2|α|r
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3.任意角的三角函数
y (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝________，
[答案] ±2
|cos α | sin α －cos α ＝ － ＝1＋1＝2. cos α sin α cos α |sin α | 当 x0>0 时，P 在第四象限，∴ － sin α |cos α | sin α cos α ＝－ － ＝－1－1＝－2. cos α sin α cos α
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[解析] 根据三角函数的定义，点 M(cos x，0)，△OPM 的面积为 1 |sin x cos x | ，在直角三角形 OPM 2 中，根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离，即 f(x)＝|sin xcos x| π 1 ＝ |sin 2x|，且当 x＝ 时上述关 2 2 系也成立．
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)
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
k [解析] (1)由于 M 中，x＝ ²180°＋45°＝k· 90°＋45°＝45°²(2k 2 k ＋1)，k∈Z，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4²180°＋45°＝k· 45°＋ 45°＝45°²(k＋1)，k∈Z，k＋1 是整数．因此必有 M⊆N. π π (2)当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ ＋ ≤α ≤2nπ ＋ ，此时 α 表示的范围 4 2 π π π 与 4 ≤α ≤ 2 表示的范围一样； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， 2nπ ＋π ＋ 4 ≤ π π π α ≤2nπ ＋π ＋ 2 ，此时 α 表示的范围与π ＋ 4 ≤α ≤π ＋ 2 表示的 范围一样．
C D
真题再现
2．[2011· 课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重 合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( 4 A．－ 5 3 B．－ 5 ) 3 C． 5 4 D． 5
[解析] B 方法一：在角 θ 终边 上任取一点 P(a，2a)(a≠0)，则 2 2 2 2 2 r ＝ OP ＝a ＋(2a) ＝5a ，
[总结反思] 把角表 示成 2kπ＋α(k∈Z， 0≤α<2π)的形式，即 可判断其所在的象 限．
课堂考点探究
π 变式题 (1)设 ， 3 ，且 17θ 的终边与 θ 的终边相同，则 tanθ 等于 ( ) A. 2－1 B. 2 C. 2＋1 D．1 (2)已知 α 是第二象限的角， 则 180°－α 是第 ________象限的角．
RJA
任意角和弧度 制及任意角的 三角函数
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第16讲 PART 16
考试说明
1.任意角、弧度制
（1）了解任意角的概念和弧度制的概念． （2）能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角三角考
考情分析
考点
考查方向
y x cos α＝________ ，tan α＝x(x≠0)． (2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：如图中的有向线段 OM，MP，AT 分别称为角 α
正切线 ． 余弦线、________ 正弦线 和________ 的________
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常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
(2)轴线角
课堂考点探究
探究点二 三角函数的定义
例 2 [2016· 广州模拟] 已知 α 是第二象限的角，其终 2 边上的一点为 P(x， 5)，且 cos α＝ 4 x，则 tan α＝ ( ) 15 15 A． B． 5 3 15 15 C．－ D．－ 5 3
[思路点拨] 根据余弦的定义 求得 x 的值，再根据正切的 定义求得 tan α.
6．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为________cm .
2
[答案] 80π
2π [解析] 72°＝ 5 rad， 1 1 2π 2 2 ∴S 扇形＝2α R ＝2³ 5 ³20 ＝ 2 80π (cm )．
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题组三 常考题
如图，圆 O 的半径为
7．[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编]
[答案] sin 2α
8．若 tan α＞0，则 sin α，cos α，sin 2α，cos 2α 中一定为正值的是________．
2sin α cos α [解析] sin 2α ＝ 2 ＝ 2 sin α ＋cos α 2tan α >0，只有 sin 2α 一定为 2 1＋tan α 正值．

5π ∪ 4
3π ， 2 .
课前双基巩固
[解析] ∵角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上， 在角 α 的终边上取一点 P(x0，－3x0)，
5．已知角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上， |sin α| |cos α| 则 sin α － cos α ＝________． |sin α | 当 x0<0 时，P 在第二象限，∴ － sin α
课堂考点探究
探究点一 角的集合表示及角所在象限的判断
例 1 (1)设集合 那么( ) A．M＝N
k k 180°＋45°，k∈Z，N=xx＝4· 180°＋45°，k∈Z， M=xx＝2·
B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ π π (2)集合α kπ ＋ ≤α ≤kπ ＋ ，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( 4 2
π θ∈ 6
[答案] (1)D (2)一
[解析] (1)根据终边相同的角的表示方法，有 kπ 17θ＝2kπ＋θ(k∈Z)，得 θ＝ 8 (k∈Z)，由于 π π π kπ π 4 8 θ∈6，3，故 < < (k∈Z)，由此得 <k< 6 8 3 3 3 π (k∈Z)，故 k＝2，所以 θ＝4，所以 tan θ＝1. (2)由 α 是第二象限的角可得 90°＋k· 360°＜ α＜180°＋k· 360°(k∈Z)， 则 180°－(180° ＋k· 360°)＜180°－α＜180°－(90°＋ k· 360°)(k∈Z)，即－k· 360°＜180°－α＜ 90°－k· 360°(k∈Z)，所以 180°－α 是第一 象限的角．
2． [教材改编] 半径为 120 mm 的圆上长为 144 mm 的弧 所对圆心角 α 的弧度数是________．
[答案] 1.2
[解析] 根据圆心角弧 度数的计算公式得，α 144 ＝120＝1.2.
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