12-7热点专题——概率与统计中的热点问题

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高考数学考前查缺补漏系列热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗？

概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率；（2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组频数频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。

高考概率与统计常考点解析

高考概率与统计常考点解析概率、统计是每年高考的重点考查内容之一，在近几年新课标各省市的高考试卷中，一般命制1～2道题，在整套试卷中占12～17分左右，一般有一道选择题或填空题和一道解答题，在选择题或填空题中往往单独考查古典概型和几何概型，在解答题中往往是概率与统计综合考查．命题特点是：(1)强化应用意识．试题一般以应用题的形式呈现，例如2011年山东高考题以我们的日常生活和社会热点为背景，重在考查应用数学的能力．(2)注重综合能力，尤其加强对数学符号使用能力的考查．下面简要分析了近年来高考中概率与统计的常考点：考向一：抽样方法：考查抽样方法及抽样中的计算．应抓住各种抽样方法及各自特点．对于分层抽样，与其有关计算在高考试题中较常见，难度较低，关键抓住按怎样的比例分层．【示例1】►(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析: 本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题，分层抽样是随机抽样常用的方法之一，其特点是样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等．抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.反思：本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用，注重考查了考生的实际应用能力．考向二：频率分布直方图的考查：考查频率分布直方图的识图与计算．重点考查看图、识图的能力，对频率分布直方图中各参数的认识，以及在统计学中样本对总体的估计作用．延伸(1)频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．注意频率分布直方图中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1.(3)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．(4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容．【示例2】►(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)， [130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析: 根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，解得a＝0.030；身高在[120,150]内的频率为0.6，人数为60人，抽取比例是1860，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×1860＝3人．反思：本题主要考查频率分布直方图的应用、考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．考向三：有关茎叶图的考查考查：茎叶图的识图与计算．高考常借助样本的数字特征，频率分布直方图、茎叶图来考查考生的绘图、识图和计算能力．延伸(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示；(2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据，对位数多的数据不太容易操作；而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、清晰；(3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．【示例3】►(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.解析: 由茎叶图可知甲的平均数为乙的平均数为反思：本题考查茎叶图和平均数的基本知识，考查观察能力和计算能力，属于基本题．茎叶图是近几年考查的热点之一，常与平均数、方差、中位数和众数联合考查．考向四：有关样本的数字特征的考查考查样本的数字特征的计算．中位数、众数、平均数、标准差(方差)是进行统计分析的重要数字特征，是高考的常考点．我们不但要熟练掌握公式进行计算，还要理解公式的本质及联系．【示例4】►(2011·南京模拟)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解析: 根据统计知识可知，需要计算两组数据的x与s2，然后加以比较，最后作出判断．∵x甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523， s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223. ∴x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙.由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．反思：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定．考向五：变量的相关性：虽然任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到具有实际价值的回归直线方程；线性相关系数可以为正、为负或为零，线性相关系数为正时是正相关，为负时是负相关，反之也成立．【示例5】►(2011·江西)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )． A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1 D ．r 2＝r 1解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以有r 2＜0＜r 1.故选C.反思：本题主要考查两个变量间的线性相关性、线性相关系数以及正相关、负相关等概念．利用正相关、负相关求解是问题得到解决的关键所在．考向六：回归分析：对于回归分析，要理解其基本思想方法，建立回归直线方程的基本思想是使通过建立的方程得到的估计值和真实值之差的平方和最小，无论建立的是什么样的回归方程(直线的和曲线的)，由这个回归方程得到的预报变量的值只能是估计值，或者说是在大量的重复情况下得到的数值的平均值，这个值不是精确值，这就是回归分析中建立的函数模型与通常意义下的函数模型的不同之处，也是统计思维和确定性思维的差异所在．【示例6】►(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：均支出有________线性相关关系．解析：由表可以得到中位数为13，画出散点图，可知成正相关关系．反思：本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．考向七：独立性检验：独立性检验中统计量K2的计算公式中分母是列联表中除了总合计的四个合计量的乘积，分子是总合计量与样本频数中四个数交叉乘积之差的平方的乘积．解题时要对照公式正确使用列联表中的数据．【示例7】►(2011·湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，K2＝260×50×60×50≈7.8.附表：A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运运与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析: 据独立性检验的思想方法，可知正确选项为A.反思：本题考查独立性检验的定义，考查学生分析数据的能力，属容易题．考向八：古典概型：古典概型是一种最基本的概率模型，在概率部分占有相当重要的地位．从近年各省市的概率考题来看，古典概型是高考的一个热点．在解答题中常与统计综合，考查基本概念和基本运算，解答时对数学符号的运用要加以重视．对于较为复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．【示例8】►(2011·江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种.令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D)＝1 10；(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝710.反思：本题型主要弄清题干中的事件的基本事件个数，一般可以列举出每个事件，从而得到结果．考向九：互斥事件的概率加法公式：概率加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些较为复杂的事件的概率，运用该公式的关键是分清事件之间是否为互斥的关系，高考题中涉及的事件一般都不复杂，容易辨别，属于中低档题．另外，此类试题往往与统计综合考查，例如2011年陕西高考题．认真审题是正确解决该类问题的前提条件．【示例9】►国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解析：记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.反思：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．考向十：几何概型：几何概型也是一种基本的概率模型，几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有：长度、面积、体积等，解决该类问题的关键是找准几何度量．例如2011年福建高考题涉及的几何度量就是面积．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【示例10】►(2009·山东)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx2的值介于0到12之间的概率为( )． A.13 B.2π C.12 D.23解析在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cosπx2的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根据几何概型的计算公式可知P ＝2×132＝13. 反思：解答本题要抓住它的本质特征，即与长度有关．考向十一：概率统计初步综合问题：概率统计是高中数学中与实际生活联系最紧密的部分，因此，高考越来越重视对概率统计的考查，把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向．概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．【示例11】►(2011·天津)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解析：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.反思：本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．。

文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。

高三数学一轮复习：热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

热点探究课(六)概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：【导学号：01772430】(1)人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：(参考公式K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：4分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人).6分 (2)根据2×2列联表，则K 2的观测值 k ＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879.10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1] 柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y ^－b ^x － [解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，6分则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ^＝y －b ^x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．【导学号：01772431】[解](1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P(A)求解．[对点训练2]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.2分设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .4分(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.6分 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分 (3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥．则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.10分所以ξ的分布列是12分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2017·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． [规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5，5分 P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，7分 P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，8分 P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081，10分 P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为11分E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求第一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．(2)第(2)问中利用对立事件求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．图1[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列、均值与方差．【导学号：01772432】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，2分所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3.6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.8分X 的分布列为10分E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或E (X )＝np ＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·济南调研)2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(2)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满意指数＝满意程度的平均分100 【导学号：01772433】图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.2分又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256.4分 (2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C 315，由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X 分布列为所以E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1.8分 (3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7. 因此市民满意度指数为80.7100＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收.12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙．考查学生的识图能力和数据处理能力．2．求解时注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12.2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024.5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分11。

专题概率与统计热点问题-2024年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍

概率与统计是高考数学中的一个重要的知识点，也是考察学生分析问题、统计数据以及进行概率计算的能力。

下面是2024年高考数学中概率与统计方面的热点问题解题指导，希望能对你备考有所帮助。

1.求二项式分布的期望和方差二项式分布可以描述在n次独立重复试验中，出现其中一事件的次数的概率分布。

求二项式分布的期望和方差是常见的题型。

对于n次独立重复试验中，事件A出现的次数X，其期望和方差分别为E(x) = np，Var(x) = np(1-p)，其中p为单次试验中事件A发生的概率。

2.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中的基本题型。

根据题目给出的条件，利用概率公式进行计算即可。

常见的题型有求交、并、互斥事件的概率，以及条件概率等。

3.求样本的点估计和区间估计在统计学中，样本是用来推断总体特征的重要依据。

对于样本中一些统计量，如平均值、比例等，可以利用它们作为总体特征的点估计。

而对于总体特征的区间估计，可以利用样本统计量的分布特性，计算出一个区间，该区间包含了总体特征的真值。

4.利用正态分布进行计算正态分布是概率与统计中最重要的概率分布之一，也是高考数学中的重点内容。

在许多情况下，可以使用正态分布来近似计算一些事件的概率或样本统计量的分布。

利用标准正态分布的概率表或计算器，可以方便地计算出正态分布的概率或分布的特征。

5.判断两个事件是否独立判断两个事件是否独立，可以利用概率的定义和条件概率的性质进行推导。

如果两个事件相互独立，则它们的联合概率等于事件的概率的乘积。

反之，如果联合概率不等于概率的乘积，则说明两个事件不独立。

6.利用抽样方法进行调查在概率与统计中，抽样是一种重要的数据收集方法。

通过合理地设计抽样方法和调查问卷，可以获得可靠的调查数据。

在解题时，需要注意抽样误差和样本的代表性等问题，以确保所得到的调查结果具有较高的可靠性。

以上是2024年高考数学概率与统计方面的热点问题解题指导。

在备考过程中，要牢固掌握概率与统计的基本概念和常用方法，多做相关的题目，提高解题能力。

数学小升初重要知识总结概率与统计的常见问题解答

数学小升初重要知识总结概率与统计的常见问题解答数学小升初重要知识总结：概率与统计的常见问题解答一、概率相关问题解答1. 什么是概率？概率是描述事件发生可能性大小的数值。

它可以用一个范围在0到1之间的数来表示，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。

2. 什么是样本空间和事件？样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合，通常用S表示。

事件是样本空间的子集，表示我们关注的部分结果。

3. 什么是基本事件和复合事件？基本事件是样本空间S中的一个单独结果。

复合事件是由基本事件组成的若干事件的组合。

4. 如何计算事件的概率？事件发生的概率可以通过计算相应事件包含的基本事件数目与样本空间总事件数目的比值来得到。

5. 什么是互斥事件和相容事件？互斥事件指的是两个事件不可能同时发生；相容事件指的是两个事件可以同时发生。

6. 如何计算互斥事件的概率？互斥事件的概率可以通过将各个事件发生的概率相加来得到。

7. 什么是独立事件？独立事件指的是一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，两个事件之间的概率关系相互独立。

8. 如何计算独立事件的概率？独立事件的概率可以通过将各个事件发生的概率相乘来得到。

二、统计相关问题解答1. 什么是统计学？统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。

2. 什么是总体和样本？总体是指我们希望了解的整个对象或现象的集合；样本是从总体中选择的一部分对象或现象。

3. 什么是抽样方法？抽样方法是从总体中选择样本的方法，主要包括随机抽样、系统抽样、分层抽样等。

4. 什么是参数和统计量？参数是用来描述总体特征的数值，统计量是样本特征的数值，通常用来作为估计总体参数的依据。

5. 什么是频数和频率？频数指的是某个数值在样本或总体中出现的次数，频率指的是频数与样本或总体的容量之比。

6. 什么是均值、中位数和众数？均值是一组数据的平均值；中位数是将一组数据按大小顺序排列后的中间值；众数是一组数据中出现次数最多的数值。

高考全国卷中概率与统计问题的考向分析

ʏ湖南省郴州市第一中学李强概率是高考必考内容,着重考查同学们的阅读能力与获取信息能力,考查热点问题主要有古典概型,互斥事件,对立事件,相互独立事件的概率求法,条件概率,离散型随机变量的分布列,二项分布,超几何分布,正态分布等㊂近几年的概率与统计试题,大多以现实生活为背景,注重知识的综合应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集㊁整理㊁分析数据,能从大量数据中提取有用的信息,建立数学模型,从而利用数学原理与数学工具解决实际问题㊂考查同学们的逻辑推理㊁数据分析㊁数学运算㊁数学建模等核心素养㊂考向一㊁古典概型的概率计算与相关概念例1 (多选题)如图1所示,是一个3ˑ3九宫格,现从这9个数字中随机挑出3个图1不同的数字,记事件A 1:恰好挑出的是1,2,3;记事件A 2:恰好挑出的是1,4,7;记事件A 3:挑出的数字里含有数字1㊂下列说法正确的是( )㊂A.事件A 1,A 2是互斥事件B .事件A 1,A 2是独立事件C .P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3)D .P (A 3)=P (A 1)+P (A 2)解析:对于选项A :挑出的是1㊁2㊁3和挑出的是1㊁4㊁7两个事件不可能同时发生,故A 正确;对于选项B :事件A 1,A 2不是独立事件,故B 错误;对于选项C :P (A 1|A 3)=P (A 1A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),P (A 2|A 3)=P (A 2A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),所以P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3),故C 正确;对于选项D :因为P (A 3)=C 11C 28C 39,P (A 1)=1C 39,P (A 2)=1C 39,所以P (A 3)ʂP (A 1)+P (A 2),故D 错误㊂故选A C ㊂评注:本题以古典概型概率的计算,以及概率中互斥事件㊁独立事件的概念为载体,结合排列组合有关知识,解答的关键是对概念的清晰理解和条件概率公式的掌握,主要考查同学们的运算求解与推理论证能力㊂考向二㊁条件概率公式㊁全概率公式例2 (多选题)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒内装有两个1号球,一个3号球;3号盒内装有三个1号球,两个2号球㊂若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是( )㊂A.如果将10个相同的小球放入这三个盒子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种B .第二次抽到3号球的概率为1148C .如果第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大D .在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为13解析:对于选项A :把10个小球和三个盒子排成一列有12个空(不含两端),再用2根棍插入其中两个空,所以不同的放法有C 212=66(种),故A 错误;对于选项B :设A 1表示第一次抽取到1号球,A 2表示第一次抽取到2号球,A 3表示第一次抽取到3号球,所以P (A 1)=12,P (A 2)=P (A 3)=14,设B 3表示第二次抽到3号球,则P (B 3)=P (A 1B 3)+P (A 2B 3)+P (A 3B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)+P (B 3|A 2)P (A 2)+P (B 3|A 3)P (A 3),而P (B 3|A 1)=P (B 3|A 2)=14,P (B 3|A 3)=16,所以P (B 3)=14ˑ12+14ˑ14+16ˑ14=1148,故B 正确;对于选项C :第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率为P (A 1|B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)P (B 3)=611,第二次抽到的是3号球来自2号盒子的概率为P (A 2|B 3)=P (B 3|A 2)P (A 2)P (B 3)=311,第二次抽到的是3号球来自3号盒子的概率为P (A 3|B 3)=P (B 3|A 3)P (A 3)P (B 3)=211,所以第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率最大,故C 正确;对于选项D :设B 2表示第二次抽到2号球,则在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为P (B 2|A 3)=13,故D 正确㊂故选B C D ㊂评注:本题以最常见的取球游戏为出发点,重点考查条件概率的计算,结合排列组合知识进行求解,具有很强的综合性㊂解答的关键是重点理解取球的游戏规则,分情况讨论,求出对应的条件概率,主要考查同学们的逻辑推理与数学运算等核心素养㊂考向三、离散型随机变量的分布列例3 (江西省南昌市2024届高三摸底测试)迎七一党建知识竞赛,竞赛有两关,某学校代表队有四名队员,这四名队员若有机会参加这两关比赛,通过的概率如表1所示:表1队员第一关第二关甲3423乙3423丙2312丁2312比赛规则是:从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛,每个队员通过第一关可以得60分,且有资格参加第二关比赛,若没有通过,得0分且没有资格参加第二关比赛;若通过第二关可以再得40分;若没有通过,不再加分㊂两名参赛队员所得总分为该代表队的得分,代表队得分不低于160分,可以获得党建优秀代表队称号㊂假设两名参赛队员不相互影响㊂(1)求这次比赛中,该校获得党建优秀代表队称号的概率;(2)若这次比赛中,选中了甲乙两名队员参赛,记该代表队的得分为X ,求随机变量X 的分布列和期望㊂解析:(1)记选出甲乙两名队员参赛为事件A 1,选出甲乙㊁丙丁各一人参赛为事件A 2,选出丙丁两名队员参赛为事件A 3,获得党建优秀代表队称号为事件B ㊂所以P (A 1)=C 22C 24=16;P (A 2)=C 12C 12C 24=23;P (A 3)=C 22C 24=16㊂所以P (B )=P (A 1B +A 2B +A 3B )=16ˑ342ˑ232+2ˑ23ˑ13+23ˑ34ˑ23ˑ23ˑ12+13ˑ12+23ˑ12+16ˑ23 2ˑ12 2+2ˑ12ˑ12 =112+518+118=512㊂(2)由题意知X 的所有可能取值为0,60,100,120,160,200㊂则P (X =0)=142=116;P (X =60)=2ˑ34ˑ13ˑ14=18;P (X =100)=2ˑ34ˑ23ˑ14=14;P (X =120)=342ˑ132=116;P (X =160)=34 2ˑ2ˑ23ˑ13=14;P (X =200)=342ˑ232=14㊂所以随机变量X 的分布列为表2:表2X 060100120160200P11618141161414所以E (X )=0ˑ116+60ˑ18+100ˑ14+120ˑ116+160ˑ14+200ˑ14=130㊂评注:本题以离散型随机变量的分布列为载体,以现实生活中知识竞赛为素材,提出概率的实际应用问题,具有较强的综合性,需要同学们具有较强的逻辑推理和数学运算能力㊂本题解答的关键是合理的分类讨论,并能准确运算㊂考向四、二项分布与正态分布例4 (山东省临沂市2024届高三开学摸底联考)在飞彩镌流年文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴㊂现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得样本平均数μ=45.75㊂(1)若所有参赛者的年龄X 服从正态分布N (μ,15.752),请估计参赛者的年龄在30岁以上的人数㊂(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者的作品有a %(0<a <100)的概率被评为A 类,(1-a %)的概率被评为B 类,每位参赛者作品的评级结果相互独立㊂记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A 类作品的概率为p (a ),求p (a )的极大值点a 0㊂(3)以(2)中确定的a 0作为a 的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A 类作品数为Y ,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A 类作品参赛者获得1000元现金,B 类作品参赛者获得100元现金;乙:A 类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励㊂根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低㊂附:若X ~N (μ,σ2),则P {|X -μ|<σ}=0.6827㊂解析:(1)因为X ~N (45.75,15.752),所以P (X >30)=0.5+12P (|X -μ|<σ)=0.84135㊂所以参赛者的年龄在30岁以上的人数约为2000ˑ0.84135ʈ1683(人)㊂(2)记x =a %,0<x <1,p (a )=f (x ),设a 0=100x 0,其中x 0为f (x )的极大值点㊂依题意可得f (x )=C 240x 2(1-x )38,则f '(x )=C 240[2x (1-x )38-38x 2(1-x )37]=2C 240x (1-x )37(1-20x )㊂令f '(x )=0,又0<x <1,得x 0=120㊂所以当0<x <120时,f'(x )>0;当120<x <1时,f'(x )<0㊂所以f (x )在0,120上单调递增,在120,1上单调递减㊂所以p (a )在(0,5)上单调递增,在(5,100)上单调递减㊂故p (a )的极大值点a 0=5㊂(3)由题意知Y ~B 40,120,E (Y )=40ˑ120=2㊂记Z 1㊁Z 2分别为甲㊁乙两种颁奖方式各自所发奖金总额㊂因为Z 1=1000ˑY +100ˑ(40-Y )=4000+900Y ,Z 2=3000Y ,所以E (Z 1)=4000+900E (Y )=4000+900ˑ2=5800,E (Z 2)=3000E (Y )=6000,所以E (Z 1)<E (Z 2)㊂故选择甲种颁奖方式成本更低㊂评注:本题以正态分布与二项分布为载体,综合函数与导数知识,结合生活中的具体事例,具有较强的综合性㊂第一问是已知具体的正态分布,求指定区间的概率,结合正态曲线图像,数形结合,考查同学们的直观想象能力;第二问求二项分布中概率的极大值点,关键是弄清楚概率分布类型,借助导数这一重要工具,考查同学们的逻辑推理与数学运算能力;第三问结合实例,作出决策,借助二项分布,求出两种颁奖方式的成本期望值,为后面的决策提供数据支撑与依据,考查同学们的数学运算能力㊂考向五、超几何分布例5 (湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三月考)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,通过对数据的收集㊁整理㊁分析㊁描述及对事件发生的可能性进行刻画,来帮助人们作出合理的决策㊂(1)现有池塘甲,已知池塘甲里有50条鱼,其中A 种鱼7条,若从池塘甲中捉了2条鱼㊂用ξ表示其中A 种鱼的条数,请写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望E (ξ)㊂(2)另有池塘乙,为估计池塘乙中的鱼数,某同学先从中捉了50条鱼,做好记号后放回池塘,再从中捉了20条鱼,发现有记号的有5条㊂①请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数㊂②统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法最大似然估计,其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树,即在什么情况下最有可能发生已知的事件㊂请从条件概率的角度,采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数N (X 表示捞出的20条鱼中有记号的鱼的数目,即使得P (X =5)最大的N 的值)㊂解析:(1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2㊂则P (ξ=0)=C 243C 250=129175;P (ξ=1)=C 143㊃C 17C 250=43175;P (ξ=2)=C 27C 250=3175㊂故ξ的分布列为表3:表3ξ012P129175431753175所以E (ξ)=0ˑ129175+1ˑ43175+2ˑ3175=725㊂(2)①设池塘乙中的鱼数为m ,则50m=520,解得m =200,所以可以估计池塘乙中的鱼数为200条㊂②设池塘乙中的鱼数为n ,令事件B = 再捉20条鱼,5条有记号 ,事件C = 池塘乙中的鱼数为n ,则P n =P (B |C )=C 550㊃C 15n -50C 20n㊂由最大似然估计法,即求p n 最大时n 的值,其中n ȡ65,所以p n +1p n=(n -49)(n -19)(n -64)(n +1)㊂当n =65, ,198时,p n +1p n >1;当n =199时,p n +1p n=1;当n =200,201, 时,p n +1p n<1㊂所以池塘乙中的鱼数为199或200条㊂评注:本题以超几何分布与试验观察法为载体,结合函数的性质,以科学研究统计实例为背景,体现数学的基础性㊂第一问考查具体的超几何分布,理清概率分布借助组合知识即可解决;第二问的第一小问考查分层等比例抽样,第二小问考查条件概率,巧用相邻两项概率的大小,得出函数的单调性,综合性较强㊂本题着重考查同学们的逻辑推理与数学运算等能力㊂最后,建议同学们在复习时,理清概念,结合具体案例,注意对比记忆,性质和公式需要理解性记忆,在平时的练习中重视错题,善于积累,勤于思考,不断提升数学解题能力,从而提高高考竞争力,最终实现自己的目标㊂(责任编辑王福华)。

高中数学概率与统计中的常见问题与解题技巧总结

高中数学概率与统计中的常见问题与解题技巧总结概率与统计是高中数学中重要的一部分，它涉及到我们日常生活中许多实际问题的分析与解决。

本文将总结高中数学概率与统计中的常见问题，并提供解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。

一、概率与统计中的常见问题1. 抽样问题抽样是统计中常用的一种方法，用于研究大量事物中的一部分。

在实际问题中，有时我们需要从一个样本中了解整体的情况。

抽样问题涉及如何选择样本以及如何通过样本推断总体的特征等。

2. 事件与概率在概率问题中，我们常常需要计算事件发生的概率。

事件是指对某个随机试验的结果的描述，而概率则是该事件发生的可能性大小。

常见的问题有计算单个事件的概率、计算多个事件的联合概率、计算事件的互斥与独立等。

3. 随机变量与概率分布随机变量是指取值不确定的变量，概率分布则描述了这些变量可能取得各个值的概率情况。

在概率与统计中，我们通过研究随机变量的概率分布，来了解其特征和规律。

常见问题有计算随机变量的期望和方差、找到随机变量的概率分布等。

4. 样本空间与事件样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，事件是对样本空间中的某些结果的描述。

在概率问题中，我们常常需要确定样本空间和事件，并通过它们来计算概率。

常见问题有确定样本空间的大小、确定事件发生的概率等。

二、解题技巧1. 画图辅助分析在解决概率与统计问题时，画图是一种常用的辅助分析工具。

通过画图，可以更直观地理解问题，并找到解题的思路。

比如，在计算事件的概率时，可以通过画出样本空间和事件的关系图来计算。

2. 分类讨论许多概率与统计问题是复杂的，需要进行分类讨论，才能找到解题的方法。

将问题进行分解，将复杂的情况分成几种简单情况，然后逐一解决。

通过分类讨论，可以将问题变得更简单，容易理解和解决。

3. 利用性质和公式在解概率与统计问题时，我们常常可以利用一些性质和公式来简化计算或推导过程。

比如，利用事件的互斥性和独立性，可以简化计算多个事件的联合概率；利用随机变量的线性性质，可以计算期望和方差等。

概率与统计热点问题(文科)-最新高考数学复习资料

专题07 概率与统计热点问题【最新命题动向】概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力；概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透，背景新颖【热点一】概率与统计的综合应用【典例1】（2019·仙桃模拟）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【审题示例】①看到表格，想到表中最高气温与天数的对应关系②看到估计概率，想到频率与概率的关系可得估计值③看到酸奶的利润，想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理【规范解答】【知识点归类点拔】解决概率与统计综合问题的一般步骤【跟踪训练1】(2019·桂林、贺州、崇左联考)在某大学的自主招生考试中，所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．(1)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分；(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数；(3)如果参加本次考试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率．【热点二】统计案例【典例2】(2019·广州质检)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【审题示例】①看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势②看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数③看到预报值，想到代入回归方程④看到利润最大，想到利润＝收益－成本，列出利润表达式，利用函数性质求最值．【规范解答】【知识点归类点拔】求解线性回归方程的3步骤【跟踪训练2】(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【思维导引】根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．。

热点概率与统计相结合问题（一）

设农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验. （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日与 12 月 4 日的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
【解析】（1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P 1 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2
4 1 ； 200 50
16 2 . 200 25
②由题知随机变量的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35．
1 1 2 0.1 ， P( 30) 0.1, P( 31) 0.2 ， 10 10 10 2 2 1 1 P( 32) 0.2, P( 33) 0.2, P( 34) 0.1, P( 35) 0.1 10 10 10 10 P( 29)
4 1 16 2 6 3 ；（2）① P ( A) ， P2 ；② 的分布列为 200 50 200 25 10 5
31 0．2 32 0．2 33 0．2 34 0．1 35 0．1

P
29 0．1
30 0．1
E ( ) 29 0.1 30 0.1 31 0.2 32 0.2 33 0.2 34 0.1 35 0.1 32 .
热点概率与统计相结合问题（一）

探讨概率与统计中的常见问题

探讨概率与统计中的常见问题概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在现代社会中扮演着不可或缺的角色。

无论是在科学研究、商业决策还是社会调查中，概率与统计都扮演着重要的角色。

然而，这两个领域中存在着一些常见的问题，我们将在本文中探讨这些问题，并试图给出一些解答和解决方案。

首先，让我们来探讨概率中的一个常见问题：概率的定义和计算方法。

概率是描述随机事件发生可能性的数值。

在概率的计算中，我们通常会用到两种方法：经典概率和统计概率。

经典概率是指在所有可能结果都是等可能发生的情况下，某个事件发生的概率。

例如，掷一枚均匀的骰子，出现任意一个数字的概率都是1/6。

而统计概率则是通过实验或观察数据来估计事件发生的概率。

例如，通过对一组数据进行分析，我们可以估计某种疾病的发病率。

然而，在实际应用中，我们常常遇到的是复杂的概率问题。

例如，一个骰子掷出两次，求两次都是奇数的概率是多少？这种情况下，我们可以使用乘法原理来计算概率。

首先，第一次掷出奇数的概率是1/2，因为一共有6个数字中的3个是奇数。

然后，第二次掷出奇数的概率也是1/2，因为每个数字都是等可能出现的。

所以，两次都是奇数的概率是1/2 * 1/2 = 1/4。

概率的计算方法还包括加法原理和条件概率等。

加法原理用于计算多个事件同时发生的概率。

例如，一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，分别有4个、3个、2个，从中随机取出一个球，求取出的球是红色或蓝色的概率是多少？这种情况下，我们可以使用加法原理来计算概率。

首先，红色球的概率是4/9，因为一共有9个球中的4个是红色的。

然后，蓝色球的概率是3/9，因为剩下的球中有3个是蓝色的。

所以，取出的球是红色或蓝色的概率是4/9 + 3/9 = 7/9。

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，分别有4个、3个、2个，从中随机取出一个球，已知取出的球是红色，求袋子里还有红色球的概率是多少？这种情况下，我们可以使用条件概率来计算概率。

高考数学重点解析概率与统计中的高考热点问题

(六)概率与统计中的高考热点问题(对应学生用书第193页)[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题，解决问题的能力．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：k g)，其频率分布直方图如图1所示：图1(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 k g，新养殖法的箱产量不低于50 k g”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量＜50 k g箱产量≥50 k g旧养殖法新养殖法(精确到0.01)．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828，K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).[解](1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 k g”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 k g”．由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )．旧养殖法的箱产量低于50 k g 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 k g 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 k g 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 k g 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35(k g)． [规律方法] 1.独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测，并能较为准确地给出这种判断的可信度；具体做法是根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，计算随机变量的观测值K 2，K 2值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大. 2.频率分布直方图中的众数、中位数与平均数. (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.[跟踪训练] (2018·成都二诊)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当特征量x 为570时，特征量y 的值．(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －b ^x ) [解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ．∴P (A )＝1－C 23C 25＝710.(2)x ＝555＋559＋551＋563＋5525＝556，y ＝601＋605＋597＋599＋5985＝600.∴b ^＝－1×1＋3×5＋(－5)×(－3)＋7×(－1)＋(－4)×(－2)(－1)2＋32＋(－5)2＋72＋(－4)2＝30100＝0.3. ∵a ^＝y －b ^x ＝600－0.3×556＝433.2， ∴线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2. 当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. ∴当x ＝570时，特征量y 的估计值为604.2.常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及均值； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． [解] (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，P (X ＝k )＝C k 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫136－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6)．所以X 的分布列为故E (X )＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B 6，23，所以E (X )＝6×23＝4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[规律方法] 首先判断随机变量X 服从二项分布是问题解决的突破口，对于实际问题中的随机变量X ，如果能够断定它服从二项分布B (n ，p )，则其概率、均值与方差可直接利用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求得，因此，利用二项分布的相关公式，可以避免烦琐的运算过程，提高运算速度和准确度.[跟踪训练] 甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． [解] (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B ．设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14， P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29， P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49， P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， ∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×827＋1124×49＋14×29＝13，P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11813＝16.离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图2所示的柱状图：②图2以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？[审题指导]题眼挖掘关键信息①看到这种条件，想到解题时可能要分类求解．看到柱状图想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含②义.③看到自变量X想到柱状图，想到X的所有可能取值．④看到P(X≤n)≥0.5想到X和n的含义，想到(1)中的分布列.[规范解答](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分由题意可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22.⑤从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分所以X的分布列为6分(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，⑥故n的最小值为19. 7分(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，⑦E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；9分当n＝20时，⑧E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 11分可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 12分[阅卷者说]易错点防范措施⑤忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义．⑥忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求解.结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.⑦、⑧忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.[规律方法]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3)根据分布列和均值、方差公式求解.易错警示：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.[跟踪训练]某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图3茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．图3(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列、均值与方差.【导学号：97190386】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140. (2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k ，k ＝0,1,2,3. 所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. X 的分布列为X 01 2 3 P 2764 2764 964 164E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.或E (X )＝np ＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑16i ＝1x i ＝9.97，s ＝116∑16i ＝1 (x i －x )2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫∑16i ＝1x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.信息提取与突破策略(1)由P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974，得P (Z ≤μ－3σ或Z ≥μ＋3σ)＝0.0026，可知X ～B (16,0.0026)，利用对立事件的概率公式求出P (X ≥1)的值，再利用二项分布的期望公式求解．(2)根据第(1)问的结果，利用独立性检验的思想说明监控生产过程方法的合理性；确定μ^－3σ^，μ^＋3σ^的值，以剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，再利用剩下的数据估计μ和σ.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.[规律方法] 统计与概率的综合应用.(1)正态分布：若变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x ＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性.(2)二项分布：若变量X ～B (n ，p )，则X 的期望E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p ).[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图4频率分布直方图：图4(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；(3)设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系y ＝⎩⎨⎧ 0.4x ， x ≤205，0.8x －80， x >205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．参考数据：若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ<Z <μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ<Z <μ＋2δ)＝0.954 4.[解] (1)由10×(0.002＋0.009＋0.022＋a ＋0.024＋0.008＋0.002)＝1，得a ＝0.033.(2)由(1)知，Z ～N (200,12.22)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.(3)由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号1 2 3 4 5 6 7 分组 [66,70] (70,74] (74,78] (78,82] (82,92] (92,100] (100,108]根据题意，生产该食品的平均成本为70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.。

概率统计中的热点问题

概率图模型及其在深度学习中的应用
定义
概率图模型是一种用图的形式来表达变量间概率依赖关系的模型，它提供了一种直观的方式来理解和分析复杂系统中的不确定性。
应用
在深度学习中，概率图模型被用来引入结构化的概率分布，提高模型的表达能力和泛化性能。例如，在深度生成模型中，利用概率图模型可以实现对复杂数据分布的建模和生成。
当前热点问题的挑战与未来趋势
高维数据分析
随着互联网和大数据技术的飞速发展，高维数据分析成为概率统计领域的研究热点。如何有效处理高维数据中的稀疏性、相关性等问题，实现降维与特征提取，是当前面临的主要挑战。
非参数与半参数方法
传统的参数方法往往对数据分布有严格的假定，而非参数与半参数方法则更具灵活性。如何进一步提高这些方法的计算效率与稳健性，是未来的重要研究方向。
不确定性量化与贝叶斯深度学习
不确定性量化
在深度学习中，模型的预测结果往往存在一定的不确定性。不确定性量化是对这种不确定性进行度量和评估的过程，它有助于我们更全面地理解模型的性能和局限性。
贝叶斯深度学习
贝叶斯深度学习是将贝叶斯推理引入深度学习的一种方法，它通过在模型的训练和使用过程中考虑参数的不确定性，从而提高模型的鲁棒性和泛化性能。在贝叶斯深度学习中，模型的参数被视为随机变量，其不确定性可以通过概率分布来表示和推理。
统计推断
通过对样本数据的分析，我们学习了参数的点估计、区间估计以及假设检验等方法，以实现对总体特征的推断。
回归分析
回归分析是探讨变量间关系的有力工具，我们学习了线性回归、逻辑回归等多种回归模型，并掌握了模型参数的估计与检验方法。
时间序列分析
针对具有时序特性的数据，我们学习了平稳性检验、季节性分析、ARIMA模型等时间序列分析方法，以揭示数据背后的动态规律。

数学复习检测：热点专题六概率与统计中的热点问题

1．为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为错误!，第二轮检测不合格的概率为错误!，两轮检测是否合格相互没有影响．（1)求该产品不能销售的概率；(2）如果产品可以销售,则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利－80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列及均值E(X）．【解析】（1）记“该产品不能销售”为事件A,则P(A）＝1－错误!×错误!＝错误!，故该产品不能销售的概率为1 4。

(2）由已知，可知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40,160.P(X＝－320)＝错误!错误!＝错误!,P(X＝－200）＝C错误!×错误!错误!×错误!＝错误!，P(X＝－80)＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!＝错误!，P(X＝40）＝C错误!×错误!×错误!错误!＝错误!，P（X＝160）＝错误!错误!＝错误!.所以X的分布列为X －320－200－8040160P错误!错误!错误!错误!81 256E(X）＝－320×错误!－200×错误!－80×错误!＋40×错误!＋160×错误!＝40.2．（2017·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是．(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及均值．【解析】(1）∵小矩形的面积等于频率，∴除［35，40）外的频率和为0。

““统计和概率”课堂教学普遍关注的热点问题

““统计和概率”课堂教学普遍关注的热点问题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢“统计和概率”课堂教学普遍关注的热点问题——情感态度徐加玲有效地数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与度与学生的情感态度密切相关.心理研究表明，学生学习的动机、兴趣、情感、意志、科学的态度和良好的习惯对学习数学有直接影响。

特别是统计与概率领域，学习过程充满了观察、试验、猜想、推断、决策及交流等丰富的数学活动，其内容在现实生活中的应用普及而广泛，对学生充满趣味和吸引力，他们自己收集与呈现数据是一个活动性强且富有挑战的过程，动手试验、做游戏等也是训练思维增加乐趣的活动，这些更有利于学习数学的科学态度养成和良好情感体验。

.因而，在“统计与概率”的教学中，可从下面体现：一、强调数学与生活的联系，我们应从学生所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、概括等，得出数学概念和规律，引导学生在丰富直观的显示材料的基础上建立起数学知识，自觉的运用数学知识和方法寻求解决实际问题的策略。

二、从激发学生的内在需要入手唤起学生的求知欲，只有让学生对学习对象产生“需要”，激发其认知动因，才能使他们处于积极学习的状态之中。

三、磨练学生坚强的意志，良好的意志不是先天就有的，他始终是在与困难作斗争中产生和发展的。

在教学中，根据学生的心理特点及学习基础，或巧设阶梯帮助学生突破难点战胜困难，或故设路障训练学生勇于探索刻苦攻关，以磨练学生坚强德意志。

四、设置探究情景，再现只是发生过程，培养学生创新精神和科学态度，在教学中，需要在知识的发生阶段和认识的整理阶段，让学生参与到概念形成、法则的获取和数学方法的选择中，循序渐进的对学生施加影响和熏陶，从而实现培养他们勇于创新的精神和科学严谨的态度。

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高考数学一轮总复习第十一章概率与统计教材高考审题答题(六)概率与统计热点问题课件

1
P(η＝3)＝C33233＝287，
＝118＝16.
3
热点二概率统计与函数的交汇问题(教材VS高考)
高考数学试题中对概率统计的考查有这样一类试题，题目非常新颖，又非常符合生活实际，这就是概率统计与函数的交汇问题，一般是以统计图表为载体，离散型随机变量的期望是某一变量的函数，利用函数的性质求期望的最值.
K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）
＝40（201×5×201×5－205××250）2＝10>6.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
热点二概率统计与函数的交汇问题(教材VS高考)
探究提高
1.解第(1)题的关键是认清随机变量 X 服从二项分布，并能够应用 E(X)＝np 求解，易出现的失误是由于题干较长，不能正确理解题意. 2.解第(2)题的关键是理解正态分布的意义，能够利用 3σ 原则求解，易出现的失误有两个方面，一是不清楚正态分布 N(μ，σ2)中 μ 和 σ 的意义及其计算公式，二是计算失误.
件 A，甲队比乙队得分高为事件 B. 设乙队得分为 η，则 η～B3，23.
热点一常见概率模型的概率
P(ξ＝1)＝43×1－23×1－12＋1－34×23×
∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋ P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)
热点一常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.

七年级概率统计知识点

七年级概率统计知识点概率统计是数学中非常实用的一门学科，也是我们生活中必须掌握的基本常识之一。

在初中阶段，七年级的概率统计知识点是我们需要掌握的基础知识，下面让我们来一探究竟。

第一、概率基础概率是概率统计中最基础也是最重要的概念之一。

我们需要学会如何计算概率，也需要了解和掌握概率的计算公式和概率的本质。

在学习概率时，我们还需要了解试验、样本空间、随机事件等相关概念，这些概念是我们计算概率的基础。

第二、事件与概率在学习概率时，我们需要深入了解随机事件和其对应的概率，掌握如何计算概率。

除此之外，我们还需要掌握概率的加法准则、乘法准则等计算方法，了解条件概率、独立事件、互不独立事件等概念。

只有了解这些知识点，我们才能顺利地计算随机事件发生的概率。

第三、抽样调查在学习概率统计时，我们还需要掌握如何进行抽样调查。

学习抽样调查时，我们需要了解抽样方法、抽样误差、样本量等相关知识。

这些知识点能够帮助我们进行有效的抽样，从而得到真实可靠的数据，使得我们的决策更加科学合理。

第四、统计数据分析在学习概率统计时，我们还需要掌握统计数据分析。

学习统计数据分析时，我们需要了解数据的收集方法、数据的分类、数据的表达方式、数据的描述方法等知识点，从而使得我们能够更加准确地分析数据，判断数据的可靠性和有效性，为我们的决策提供依据。

总之，在七年级的学习中，概率统计是我们必须掌握的基本知识之一。

只有掌握了这些基础知识，我们才能在以后的学习中更加深入地学习概率统计，使得我们的理解和应用更加准确、可靠。

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第十二章概率、随机变量及其分布
【例1】 (2015· 安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起，
现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100元，设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用 ( 单位：元 ) ，求 X 的分布列和均值(数学期望)．
高考总复习· 数学理科（RJ）
第十二章概率、随机变量及其分布
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率； (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40＜X＜80
80≤X≤120
X＞120
发电机最多可运行台数
1
2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 P(X＝2)＝2×3×1－5＋2×1－3×5＋1－2×3×5＝10；

1 1 2 1 P(X＝3)＝2×3×5＝15，
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第十二章概率、随机变量及其分布
高考总复习· 数学理科（RJ）
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第十二章概率、随机变量及其分布
由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 0.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)． ①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
概率间的对应．
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第十二章概率、随机变量及其分布
变式训练 1．某自助银行有 A，B，C 三台 ATM 机，在某一时刻这三台 1 1 2 ATM 机被占用的概率分别为2，3，5，且这三台 ATM 机是否被占用互不影响． (1)如果某客户只能使用 A 或 B 这两台 ATM 机，求该客户不需要等待的概率； (2)若 X 表示在该时刻这三台 ATM 机被占用的数量，求随机变量 X 的分布列和均值．
1 1 2 1 1 － 1 － 1 － P(X＝0)＝ 2× 3× 5＝5；
1 2 1 1 2 1 1 P(X ＝ 1)＝2 × 1－3 × 1－5 ＋ 1－2 ×3 × 1－5 ＋1－2 ×
1 2 13 1－ × ＝理科（RJ）
第十二章概率、随机变量及其分布
若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000万元；若某
台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元．欲使水电站年
总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
10 【解析】 (1)依题意，p1＝P(40＜X＜80)＝50＝0.2， 35 p2＝P(80≤x≤120)＝50＝0.7， 5 p3＝P(X＞120)＝50＝0.1.
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第十二章概率、随机变量及其分布
【解析】 (1)该客户不需要等待，即 A 或 B 这两台 ATM 机至少有一台不被占用，设事件 M 为“该客户不需要等待”．方法一由题意知
1 5 1－＝ . 3 6 1 1 1 1 1 P(M) ＝ 1－2 × 3 ＋ 2 × 1－3 ＋ 1－2 ×
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) 1 3 6 ＝1－10－10＝10.
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第十二章概率、随机变量及其分布
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第十二章概率、随机变量及其分布
【方法规律】离散型随机变量的均值和方差的求解，
一般分两步：
(1) 定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； (2) 定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与
第十二章概率、随机变量及其分布
热点二
均值与方差的应用
利用离散型随机变量的均值与方差，对现实生活中的问
题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合，以解答题的形式出现．
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第十二章概率、随机变量及其分布
方法二考虑用对立事件的概率求解．设事件 N 为“该客户需要等待”，则 P(M)＝1－P(N)，又 P(N) 1 1 1 ＝2×3＝6，
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第十二章概率、随机变量及其分布
5 所以 P(M)＝1－P(N)＝6. (2)由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
第十二章概率、随机变量及其分布
§12.7
热点专题——概率与统计中的热点问题
热点一
求离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的均值与方差是每年高考的热点，常与古典概型、互斥事件、对立事件、事件的相互独立等相结
合考查，弄清随机变量的取值及其对应的概率是解决此类
问题的关键．
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第十二章概率、随机变量及其分布
【解析】 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的
1 A1 3 2A3 是正品”为事件 A，P(A)＝ A2 ＝10. 5
(2)X 的可能取值为 200，300，400. A2 1 2 P(X＝200)＝A2＝10， 5
1 1 2 A3 3 3＋C2C3A2 P(X＝300)＝＝ A3 10， 5
【例2】计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X( 年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于 80
且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年
入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．