三角函数的图像和性质 示范教案

4.5三角函数的图像与性质(Ⅱ)教学目标1．会用五点法画函数()sin y A x ωϕ=+在一个周期（或指定区间）上的图像. 2．掌握图像变换规律：（1）先平移后伸缩，（2）先伸缩后平移. 3．能根据函数()sin y A x ωϕ=+的图像或性质求函数的解析式.重点：1． 五点法画()sin y A x ωϕ=+的图像. 2． 图像变换规律.3． 由函数图像或性质求解析式. 难点：1. 画指定区间上函数()sin y A x ωϕ=+的图像时五点的确定.2. 图像变换中先伸缩后平移变换中平移量的确定3. 求解析式ϕ值的方法：（1）五点法，（2）代最值点法. 能力点：1. 应用化归的思想研究()sin y A x ωϕ=+的性质：研究此函数的性质有两种方法（1）通过五点法或图像变换得到图像，从而直观得到函数性质（2）通过将相位ϕ+wx 换元为t ，从而将研究函数()sin y A x ωϕ=+的性质转化为研究基本初等函数t A y sin =的性质.2. 应用方程思想求函数()sin y A x ωϕ=+解析式：（1）根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．（2）将ϕω+x 作为一个整体，找到对应的值．（3）列方程组求解．（4）写出所求的函数解析式． 教育点：1. 注重条件等价转化的意义：如若不然求量的值会有产生曾根的可能，求范围时会有扩大区域的可能；2. 化归思想解决问题的步骤与其他数学思想的关系 自主探究点：1. 图像变换方式为先伸缩后平移与变换方式为先平移后伸缩中的平移量不同的原因.2. 画函数()sin y A x ωϕ=+在指定区间上图形时关键点的确定.3. 由函数图像或性质求函数解析式中A 、ω、ϕ的方法.考试点: 围绕三角函数的图像变换、五点法作图（指定区间）求函数解析式命题,多以选择、填空的形式出现. 易错点：（1）图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. （2）研究型如()sin y A x ωϕ=+（0<ω）函数的性质时要通过诱导公式化归成()sin y A x ωϕ=+（0>ω）型函数来处理.易混点: 用五点法作图是相位取固定的五个点而非x 的取值.学法与教具1. 学法：讲练结合、启发诱导2.教具：多媒体、三角板一、【知识结构】二、【知识梳理】1. 用“五点法”画()siny A xωϕ=+一个周期的简图时，要找五个关键点.由如下表格：得到关键五点（0,1x），（Ax,2），（0,3x），（Ax-,4），（0,5x），故而知道各点横坐标分别满足：1xωϕ+=，2xωϕ+=，3xωϕ+=，4xωϕ+=，5xωϕ+= .2.三角函数图像的变化规律：3.函数()siny A xωϕ=+的物理意义：当函数)sin(ϕω+=xAy（A>0，),0[,0+∞∈>xω）表示一个振动时，A叫做，ϕω+x叫做，ϕ叫做，周期为，频率为 .4. 由函数()sin y A x ωϕ=++k 图像求函数解析式的步骤和方法: (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝ ； (2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K ＝ ； (3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝ ,来确定ω；(4) ϕ的确定：由函数()sin y A x ωϕ=++k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为ωϕ-(即令ϕω+x =0，ωϕ-=x )确定ϕ. 5.三角函数模型应用(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.三、【范例导航】例1已知函数3sin 2,.3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(3) 求它的振幅,周期,初相； (3) 作出它在]45,4[ππ-的图像；(3) 说明3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像可由sin y x =的图像经过怎样的变换而得到. 【分析】(1) 在知道振幅,周期,初相概念的前提下，很容易知道()sin ,(0,0)y A x A ωϕω=+>>振幅A ,周期2T πω=,初相ϕ；(2)画指定区间上图象的关键是确定函数在此区间上关键点,其中必选的点为端点43,4ππ-=x ，此时23x π+分别为6π-，611π；从而可知23x π+在[6π-，611π]内应选的值为, 30,,,.22πππ进而得到y x ,的值最终确定关键点.(3)图象变换法：由函数sin y x =的图象通过变换得到()sin ,(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” . 【解答】(1) 3,,3A T ππϕ===.(3)方法一：可由sin y x =的图像向左平移3π个单位得sin()3y x π=+图像,再把所得图像的横坐标变为原来的12纵坐标不变得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像, 再把所得图像的纵坐标变为原来的3倍横坐标不变得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像.方法二：由sin y x =的图像横坐标变为原来的12纵坐标不变得sin 2y x =图像,再把所得图像向左平移6π个单位得sin(2)3y x π=+图像的, 再把所得图像的纵坐标变为原来的3倍横坐标不变得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像.【点评】（1）五点法作图的关键是正确确定五个点，而后列表，描点，连线即可。

要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图像；（2）函数图象变换要注意顺序，在两种不同的变换过程中平移的单位长度不同.变式训练：设函数f (x )＝)cos(ϕω+x (ω>0，2π-<ϕ0<)的最小正周期为π，且23)4(=πf . (1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数)(x f 在],0[π上的图象(3) 若22)(>x f ，求x 的取值范围.解：(1)周期πωπ==2T ，∴2=ω，∵)4cos()4(ϕπωπ+⨯=f ＝)42cos(ϕπ+⨯＝)2cos(ϕπ+＝ϕsin -＝23， ∴ϕsin ＝23-，∵2π- <ϕ0<，∴ϕ＝3π-.列表如下：例 2 (1)如图是函数()sin (0,0)y A x K A ωϕω=++>>的图像的一部分,它的振幅,周期,初相及K 各是 .(2) 如图是函数()sin (0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像的一段，它的解析式为.(3)如图是()sin (0,0)y A x A ωϕω=+>>2πϕ< 的一段图象，则函数)(x f 的解析式为___________.【分析】由图象确定三角函数()sin ,(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式，首先确定A 的值，其次根据图象求周期T ，根据周期求ω；最后根据所给的数据通过五点法或代最值点法求ϕ. 【解答】（1）由图像知，3131521,2,,222663433,;sin ,322T A K T y x ππππωϕ-+=====-=⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭点5,36π⎛⎫⎪⎝⎭为第二个点，353,.2624πππϕϕ∴⨯+==- 故答案为431,,34A T ππϕ===-，2=K .（2）由图像知，21,,,2;322A T T ππω==∴==点2,123π⎛⎫-⎪⎝⎭为第二个点，22,1223πππϕϕ-⨯+==故答案为22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(3)由图像得2A =,把(代入解析式得sin ,23ππϕϕϕ=<∴= 点2,09π⎛⎫⎪⎝⎭为第三个点，2,3,2sin 3.933y x πππωπω⎛⎫⨯+===+ ⎪⎝⎭答案: ()2sin 3.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【点评】确定()sin (0,0)y A x b A ωϕω=++>>的步骤和方法: (1)求b A ,，确定函数的最大值M 和最小值m,则,.22M m M mA b -+== (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得2.Tπω= (3)求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时ϕω,,A 已知)或代入图象与直线b y =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时0x ωϕ+= ；“第二点”(即图象的“峰点”)时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”)时32x πωϕ+=“第五点”时2x ωϕπ+=.(4)在求ϕ时要注意已知中所给的ϕ的范围.变式训练：把本例中(3)的图象改为如图，其他不变，如何求解？答案: 由图象可得2=A ，ωπ216==T ，8πω=；因为)0,6(为关键第三点故πϕπ=+⨯68，所以4πϕ=，故.84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例3在已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图像与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图像上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1) 求()f x 的解析式； (2) 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 【分析】(1)由x 轴上相邻两个交点之间的距离求周期,从而得ω,再由图像上一个最低点求,A ϕ； (2)本题可通过令ϕω+=x t 从而将原函数求值域问题转化成求函数t A y sin =的值域问题. 【解答】(1)由题意知2A =,由()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈知图像没有上下平移, 图像与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π可得,2T πω=∴= 图像上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭即第四个点, 232,326πππϕϕ⨯+== 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(2)令62π+=x t ，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以7[,]36t ππ∈当2,,2,626t x x y πππ=+===即当72,,1662t x x y πππ=+===-即 所以()f x 的值域为[]1,2-.【点评】求函数()()sin f x A x ωϕ=+在指定区间上值域的思路为：令ϕω+=x t ，则t A y sin =；从而将原问题化归成求基本初等函数t A y sin =在相应区间上的值域；而函数t A y sin =在指定区间上的值域可通过图像来求.变式训练：已知函数()()sin ,f x A x ωϕ=+(其中0,0,2A πωϕ>><)的图像与y 轴的交点为()0,1,它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别是()0,2x 和()02,2.x π+- (1) 求()f x 的解析式及0x 的值； (2) 求()f x 在[],ππ-的增区间； (3) 求()f x 在[],ππ-的值域.答案: (1) ()0122sin ,;263f x x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭(2) 2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3) 2⎡⎤⎣⎦. 四、【解法小结】1.五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少. 2.由图象确定函数解析式由函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象确定ϕω,,A 的题型，常常以“五点法”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).五、【布置作业】必做题：1. 2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的振幅为_________,频率和初相分别为________,________. 2．将函数sin y x =的图像向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像，则ϕ=3.将函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，再向上平移2个单位所得图像对应的函数解析式 是________________________.4．将函数sin 4y x =的图像向左平移12π个单位，得到()sin 42y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图像，则____ϕ= 必做题答案：1.12,,.4ππ-；2.116π；3. sin 26y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；4. 3π. 选做题：1.(2012·三明模拟)如图是函数()sin ,(0,0)y A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图象，此函数的解析式可为 .2. 已知函数()2sin 23f x a x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的最大值为1，最大值为-5，求,a b 的值.选做题答案:1. 22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；2．1223a b =-=-+或1219a b =-+=- 六、【教后反思】1.本节的亮点是通过训练学生掌握了在求函数解析式时，用比较简便的方法即五点法求ϕ，以及针对上一节学生的薄弱环节,巩固了在限定的定义域内求单调区间和最值(例3及变式)2.本节的不足之处三角函数模型在实际中的应用没有展开,例如将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型和利用收集到的数据做散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.。