2012年高考数学重点难点讲解七：奇偶性与单调性
函数的奇偶性与单调性word精品文档13页
函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C.D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C.D.4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是A.0B.–2 C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1 B.0 C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B.C. D.11.已知函数,若为奇函数,则.12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,.13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
2012年高考数学二轮难点透析 7 奇偶性与单调性一概要
难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45.∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x xC.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x+12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7. （中山市高三级2011—2012学年度第一学期期末统一考试）(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1) (e x－x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x xx ee e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0, ∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x－1>0.此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0()()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C 二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1] 4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ，∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0,∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++-+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.。
高中数学 函数的奇偶性与单调性复习
高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。
根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。
奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。
2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。
3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。
二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。
如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。
2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。
3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。
4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。
三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。
通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。
我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。
高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。
因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说，一个函数被称为是递增的（或非递减的），如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足f(x1) <= f(x2)；一个函数被称为是递减的（或非递增的），如果对于任意的 x1 和x2（x1 < x2）都满足 f(x1) >= f(x2)；一个函数被称为是严格递增的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) < f(x2)；一个函数被称为是严格递减的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) > f(x2)。
函数的单调性对于函数图像的形状有着重要的影响。
当一个函数递增时，其图像会从左下方向右上方倾斜；当一个函数递减时，其图像会从左上方向右下方倾斜。
严格递增和严格递减是指函数图像不会出现水平的平行线段。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
具体地说，一个函数被称为是奇函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = -f(x)；一个函数被称为是偶函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = f(x)。
此外，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则被称为是既非奇也非偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上；偶函数的图像关于 y 轴对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, y) 也在函数图像上。
既非奇也非偶函数的图像不具备对称性。
3. 函数单调性与奇偶性的关系对于一个函数而言，其单调性与奇偶性有一定的关系。
如果一个函数是奇函数，则它可能是严格递增的或严格递减的；如果一个函数是偶函数，则它可能是递增的或递减的。
但需要注意的是，一个函数的单调性并不决定它的奇偶性，也就是说，递增（或递减）函数可以是奇函数、偶函数或既非奇也非偶函数。
2012年高考数学二轮难点透析 8 奇偶性与单调性二概要
难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f［log 2(x 2+5x +4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.［例2］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.∴当2m<0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符； 当0≤2m≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22,4－22<m ≤2.当2m>1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.4. (2012届华师附中第一次月考) (★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f (x )=xx a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数， (1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x )>lgkx+1.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2). 又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0∴不等式可化为log 2(x 2+5x +4)≥2 ①或log 2(x 2+5x +4)≤－2 ②由①得x 2+5x +4≥4∴x ≤－5或x ≥0 ③由②得0＜x 2+5x +4≤41得2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+-④由③④得原不等式的解集为{x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 歼灭难点训练一、1.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0.∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A二、3.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1)三、5.解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x )(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a =1.(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1).(3)由log 2xx-+11>log 2k x +1⇒log 2(1－x )＜log 2k ,∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}.7.解：⎪⎩⎪⎨⎧++-≥++-≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214sin 222x x m m x m x m x m x m x m 即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或∴m ∈［23,3］∪{21}. 8.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1yxx y x x消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.。
高考数学难点突破_难点08__奇偶性与单调性(二)
难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0.●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.［例2］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.∴当2m<0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符； 当0≤2m≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22,∴4－22<m ≤2.当2m>1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f (x )=xx a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数，(1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x )>lgkx+1. 7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2). 又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0 ∴不等式可化为log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2+5x +4≥4 ∴x ≤－5或x ≥0 ③由②得0＜x 2+5x +4≤41得2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+-④由③④得原不等式的解集为{x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 歼灭难点训练一、1.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A二、3.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3） 4.解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1)三、5.解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x )在(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a =1.(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1).(3)由log 2xx-+11>log 2k x +1⇒log 2(1－x )＜log 2k ,∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}.7.解：⎪⎩⎪⎨⎧++-≥++-≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214sin 222x x m m x m x m x m x m x m 即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或∴m ∈［23,3］∪{21}. 8.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y xx y x x消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.Von Neumann 说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
2012届高考数学难点突破复习-函数的单调性
2012届高考数学难点突破复习:函数的单调性函数的专题复习－函数的单调性高考命题规律内容上，主要考查求函数的单调区间或应用单调性求值域，或用导数法求单调区间（选修内容），是高考命题的热点问题。
函数的单调性是与不等式直接联系的，对函数的单调性的考查与解不等式、求函数的值域、数形结合等相结合。
知识清单：1单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值时，（1）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿上是增函数。
（2）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿＿上是减函数。
2函数的单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是＿＿＿＿或＿＿＿＿，则称函数f(x)在这一区间上具有单调性，＿＿＿＿叫做f(x)的单调区间。
3判别函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义严格判断；（2）利用函数的运算性质：如若f(x),g(x)为增函数，则①f(x)+g(x)为增函数，②为减函数（f(x)>0）③为增函数（f(x)≥0）④f(x)g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0）⑤-f(x)为减函数。
4利用复合函数关系判断单调性：法则是：＿＿＿＿＿＿＿，即两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为＿＿＿＿，若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为＿＿＿。
图象法6导数法：（1）若f(x)在某个区间内可导，当f(x)’>0时，f(x)为＿＿函数，当f(x)’<0时，f(x)为＿＿＿函数；反之也真。
7函数的单调性是针对确定的区间而言的，所以要受到区间的限制。
如：8熟练掌握函数解析式的化简与转化方法，使问题转化为熟悉的简单函数的单调性问题，缩短对问题的判断过程，即转化为一次函数、二次函数、指、对数函数、三角函数等。
【2011考题精选】1北京）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。
2福建22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝271828…是自然对数的底数）。
函数的奇偶性和单调性-课件
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的基本性质，可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
本文将详细介绍函数的奇偶性、单调性和周期性，并综合讨论它们的关系及应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是对于函数的自变量取相反数，函数值是否相同的特性进行分类的。
具体定义如下：1.奇函数：对于任意实数x，函数f(-x)=-f(x)成立。
也就是说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
奇函数关于原点对称，即关于原点中心对称。
2.偶函数：对于任意实数x，函数f(-x)=f(x)成立。
也就是说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数。
偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称。
对于一个给定的函数，我们可以通过观察函数图像或者计算函数表达式来判断它的奇偶性。
例如，对于一次函数f(x)=2x+3，我们可以发现它的函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，因此它是奇函数；对于二次函数f(x)=x^2，我们可以发现它的函数图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，因此它是偶函数。
奇函数和偶函数的性质：1.两个奇函数的和仍然是奇函数，两个偶函数的和仍然是偶函数。
2.一个奇函数和一个偶函数的和是一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。
二、函数的单调性单调性是描述函数在定义域上的增减性质。
具体定义如下：1.递增函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)就是递增函数。
也就是说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
2.递减函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)就是递减函数。
也就是说，递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过求导或者观察函数图像来判断函数的单调性。
对于一次函数f(x)=kx+b，其中k为非零常数，我们可以发现它的函数图像为一条斜率为k的直线，当k>0时，它是递增函数；当k<0时，它是递减函数。
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12xx <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x xI∈，当12xx <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ))()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x x x->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()f f x x xx-<-或1212)[()()]0f f x xx x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
函数的单调性和奇偶性
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例如，考虑函数$f(x) = x^2$，我们可以看到，对于任意的$x_1 < x_2$，有$f(x_1) < f(x_2)$，因此，函数$f(x) = x^2$在其定义域内是增函数
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函数的奇偶性是函数的另一重要 特性，它描述了函数图像关于原 点的对称性。如果一个函数的图 像关于原点对称，即对于定义域 内的任意$x$，都有$f(-x) = f(x)$，则称这个函数为奇函数； 如果一个函数的图像关于y轴对 称，即对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x) = f(x)$，则称这个 函数为偶函数
判断函数奇偶性的常用方法有定 义法和图像法。定义法是通过比 较$f(-x)$和$f(x)$的关系来判 断函数的奇偶性；图像法则是通 过观察函数的图像来判断其奇偶 性
例如，考虑函数$f(x) = x^3$， 我们可以看到，对于任意的$x$， 都有$f(-x) = -x^3 = -f(x)$， 因此，函数$f(x) = x^3$是奇函
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函数的单调性和奇偶性虽然描 述的是不同的性质，但它们之 间也存在一定的关系。首先， 对于奇函数和偶函数，它们的 单调性在不同的区间上可能会 有所不同。例如，函数$f(x) = x^2$在$(-\infty, 0]$上
是增函数，在$
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函数的单调性
高考数学二轮复习专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(文)(解析版)
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。
A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(+=x x h D 、12)(+=x x w【答案】B【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(+=x x h 在]1(--∞，上是减函数，在)1[∞+-，上是增函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 在区间)10(，上单调递减的函数，选B 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。
函数的性质知识点总结与题型讲解
考点05 函数的性质（单调性、奇偶性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+ 2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．||y x x =【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D. 3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔ f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)<f (x 2) ⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 热点二 函数的奇偶性4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D ．2ln 1y x =+5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+Q 为奇函数，由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x ，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4 【答案】A【解析】y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减． 2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数f (x )＝x2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 【答案】A【解析】∵f (x )＝x2x ＋1x －a 是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1－2＋1－1－a ＝－12＋11－a ，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.6．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【答案】－2【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2.【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.，若，则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知函数.，则该函数是(A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减(C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时，0x -<，()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增函数，因此()f x 是增函数，选C.4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ． 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x Λ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17B ．1-C ．1D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A ．x y cos =B ．1--=x yC ．x x y +-=22lnD ．x x e e y -+= 答案：D解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数；又()211xxx xef x ee e-'=-=，当[]1,0x∈-时，()0f x'<，所以函数为减函数，故选D。
高考数学奇偶性参数知识点
高考数学奇偶性参数知识点数学是高考的一门重要科目，其中数学的奇偶性参数是一个非常重要的知识点。
奇偶性是数学中一个基本的性质，它与数的性质密切相关。
在高考中，掌握好奇偶性参数的相关知识点，能够帮助我们更好地解题，提高解题的准确性和速度。
一、奇数与偶数的基本性质首先，我们来看一下奇数和偶数的基本性质。
奇数是指不能被2整除的自然数，而偶数则是可以被2整除的自然数。
1. 奇数加奇数或偶数加偶数，结果为偶数。
例如，3+5=8，2+4=6。
2. 奇数加偶数，结果为奇数。
例如，3+4=7，5+6=11。
3. 奇数乘奇数，结果为奇数。
例如，3×3=9，5×5=25。
4. 奇数乘偶数，结果为偶数。
例如，3×2=6，5×4=20。
了解了奇数与偶数的基本性质，我们就能够更好地理解奇偶性参数的知识点。
二、奇偶性参数的运用奇偶性参数在数学中的运用非常广泛，它可以帮助我们简化问题，快速得出结论。
下面，我们来看一些常见的奇偶性参数的运用。
1. 奇偶性参数与加法运算在进行加法运算时，我们可以利用奇偶性参数来简化问题。
如果已知一个数是奇数，那么加上另一个数的奇偶性就能够确定结果的奇偶性。
例如，已知一个数是奇数，加上偶数，结果一定为奇数。
这个方法在解决一些复杂的加法运算时非常有用，能够节省大量的计算时间。
2. 奇偶性参数与乘法运算在进行乘法运算时，奇偶性参数也是非常有用的。
如果已知一个数是奇数，那么与另一个数相乘后，结果的奇偶性就能够确定。
例如，一个奇数与任何数相乘，结果都是奇数；两个偶数相乘，结果也是偶数。
3. 奇偶性参数与整除关系在判断一个数能否被另一个数整除时，奇偶性参数也能够发挥很大的作用。
例如，一个奇数不能被2整除，一个偶数能够被2整除。
三、奇偶性参数的应用案例接下来，我们通过一些具体的应用案例来进一步理解奇偶性参数的应用。
1. 案例一已知一个数加上9是一个偶数，那么这个数本身是奇数还是偶数？解析：设这个数为x，根据已知条件可得：x+9是偶数。
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难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增，∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1),∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45.∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x x C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx x x sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1) (e x －x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x xx ee e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0. 此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0()()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.。