高考数学专题练习--函数奇偶性

高考数学专题练习--函数奇偶性

1. (·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52的值为 【答案】1

2

【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 2. (·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25

.

3. (·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2

，则f (7)＝________. 【答案】－2

【解析】因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12

＝－2.

4. (·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________. 【答案】2

【解析】设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2

5. (·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2

|a －1|

)＞f (－2)，则a 的取值范围是________.

【答案】⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，32 【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝

f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a

－1|

＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜3

2.

6. (·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3

－1；当－1≤x ≤1时，

f (－x )＝－f (x )；当x ＞1

2

时，f ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋12＝f ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x －12

，则f (6)＝________.

【答案】2

【解析】由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)

＝2.

7. (·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则

f ⎝

⎛⎭

⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.

【答案】1

8.设函数f (x )＝x 3

cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 【答案】－9

【解析】观察可知，y ＝x 3

cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3

cos a ＋1＝11，故a 3

cos a ＝10.则f (－

a )＝－a 3·co s a ＋1＝－10＋1＝－9.

9.设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．

【答案】－8

10. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3

－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 7

【解析】因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3

－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7. 11. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧－x 2

＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.

(1)求实数m 的值；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. [答案] (1，3].

[解析] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2

＋2(－x )＝－x 2

－2x .又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，

f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.

(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数， 要使f (x )在[－1， a －2]上单调递增.

结合f (x )的图象知⎩

⎪⎨⎪⎧a －2>－1，

a －2≤1，