整数奇偶性习题 (含答案)

1．选择题

(1)若n是大于1的整数，则p=n+(n2-1)1(1)

2

r

--

的值

(A)一定是偶数．(B)一定是奇数．

(C)是偶数但不是2．(D)可以是偶数也可以是奇数．

(1985年全国初中数学联赛题)

(2)设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q都是奇数那么它的根一定是

(A)奇数．(B)偶数．(C)分数．(D)无理数．

(1983年上海市初中数学竞赛题)

(3)如果n是正整数，那么1

8

[1-(-1)n](n2-1)的值

(A)一定是零．(B)一定是偶数．

(C)是整数但不一定是偶数．(D)不一定是整数．

(1984年全国高考题)

(4)满足等式1983=1982x-1981y的一组自然数是

(A)x=12785，y=12768．(B)x=12784，y=12770．

(C)x=11888，y=11893．(D)x=1947，y=1945．

(1983年福建省初中数学竞赛题)

(5)若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是

(A)286．(B)288．(C)290．(D)292．

(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)

(6)已知n是偶数，m是奇数，方程组

1988

1127

x y n

x y m

-=

⎧

⎨

+=

⎩

的解

x p

y q

=

⎧

⎨

=

⎩

是整数，

则

(A)p，q都是偶数．(B)p，q都是奇数．

(C)p是偶数，q是奇数．(D)p是奇数，q是偶数．

(1989年“祖冲之杯”初中数学邀请赛题)

(7)如果方程x2+(4n+1)x+2n=0(n为整数)有两个整数根，那么这两个根是

(A)都是奇数．(B)都是偶数．(C)一奇一偶．(D)无法判断．

(1985年成都市初中数学竞赛题)

(8)设a，b都是整数，给出四个命题：

(i)若a+5b是偶数，则a-3b也是偶数；

(ii)若a+b能被3整除，则a，b都能被3整除；

(iii)若a+b是素数，则a-b一定不是素数；

(iv)若c=a+b≠0，则

33

33

a b a b

a c a c

--

=

++

．

上述命题中是正确命题的个数是

(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．

(第二届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题) (9)六个奇数，它们的和是42，它们的平方和只可能是

(A )280． (B )368． (C )382． (D )423．

(1990年南昌市初中数学竞赛题)

(10)自然数1，2，3，…，1989之和为一个奇数，若将前t 个数添上“-”号，则这1989个数的和

(A )总是奇数． (B )总是偶数．

(C )t 为奇数时其和为整数． (D )奇偶性不能确定．

(第6届缙云杯数学邀请赛题)

(11)设u =x 2+y 2+z 2，其中x ，y 是相邻的整数，且z =xy ，则u

(A )总为奇数． (B )总为偶数．

(C )有时为偶数，有时为奇数． (D )总为无理数．

(第6届缙云杯数学邀请赛题)

(12)设a 为任一给定的正整数，则关于x 与y 的方程x 2-y 2=a 2

(A )没有正整数解． (B )只有正整数解．

(C )仅当a 为偶数时才有整数解． (D )总有整数解．

(1988年江苏省初中数学竞赛题)

(13)将正奇数1，3，5，7，…依次排成五列，如下表所示．把最左边的一列叫做第1列，从左到右依次将每列编号．这样，数“1985”出现在

(A )第1列．(B )第2列．(C )第3列．(D )第4列．(E )第5列．

(1985年第36届美国中学生数学竞赛题)

2．扑克牌中的A ，J ，Q ，K 分别表示1，11，12，13．甲取13张红桃，乙取13张黑桃，分别洗和后，甲、乙依次各出一张牌，使红、黑牌配成13对，求证：这13对的差的积必为偶数．(1987年天津市初二数学竞赛题)

3．求证：1986不能等于任何一个整数系数二次方程ax 2+bx +c=0的判别式的值．(1985年苏州市初中数学竞赛题)

4．设有n 个实数x 1，x 2，…，x n ，其中每一个不是+1就是-1，且12x x +23x x +…+1

n n

x x ＋1

n x x =0，求证：n 是4的倍数．(1985合肥市初中数学竞赛题) 5．把n 2个互不相等的实数排成下表：

a 11，a 12，…，a 1n ，

a 21，a 22，…，a 2n ，

……

a n 1，a n 2，…，a nn ．

取每行的最大数得n 个数，其中最小的一个是x ；再取每列的最小值，又得n 个数，其中最大的一个是y ，试比较x n 与y n 的大小．(1982年上海市高中数学竞赛题)

6．把1980分解成连续整数之和．(1980年长沙市高中数学竞赛题)

7．求证：当n 为自然数时，2(2n +1)形式的数不能表示为两个整数的平方差．(1990年西安市初中数学竞赛题)

8．设n 是正的偶数，试问下列诸数：

1×(n -1)，2×(n -2)，…，(n -1)×1

中哪个数最大？为什么？(1989年浙江省初二数学竞赛题)

9．有一无穷小数A =0.a 1a 2a 3…a n a n +1a n +2…，其中a k (k =1，2，…)是0，1，2，…，9中的一个数，且a 1为奇数，a 2为偶数，a 3等于a 1+a 2的个位数，a 4等于a 2+a 3的个位数，…，a n +2等于a n +a n +1的个位数．求证：A 是一个循环小数．(1991年浙江省初中数学竞赛题)

10．在99张卡片上分别写着数字1，2，3，…，99，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再在空白面上分别写上1，2，3，…，99，然后将每一张卡片两个面上的数字相加，再将这99个和数相乘，问这个乘积是奇数还是偶数？说明理由．(1991年浙江省初中数学竞赛题)

11．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中的一枚，按这样的方法翻动硬币，问能否使桌上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？说明你的理由．(1992年浙江省初中数学竞赛题)

12．求证：不存在两个连续的奇数，每个都可写成两个整数的平方和．

13．已知一个整数n ，当它减去48所得的差是一个整数的平方，当它加上41所得的和是另一个整数的平方，求n ．(1984年苏州市高中数学竞赛题)

14．给定自然数a ，b ，求证：(1)如果ab 是偶数，那么一定可以找到两个自然数c 和d ，使得a 2+b 2+c 2=d 2；(2)如果ab 是奇数，那么满足a 2+b 2+c 2=d 2的自然数c 和d 一定不存在．(1980年北京市初中数学竞赛题)

15．平面上的任意五个格点，若任何三点都不在同一条直线上，求证：以其中三点为顶点的所有三角形中，至少有一个面积为整数．

16．设数列{a n }：1，9，8，5，…，其中a i +4是a i +a i +3的个位数字(i =1，2，…)，

求证：222198519862000a a a +++是4的倍数．

17．存在多少个不同的七位数字，其数字和为偶数．

18．设a ，b 是正整数，求证：仅有有限个正整数n 存在，使得

1122n n

a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭是整数．(1992澳大利亚数学竞赛题) 19．设a ，b ，c 是奇自然数，求证：方程ax 2+bx +c =0没有形如p q 的解，其中p ，q 是整数．(1991澳大利亚数学通讯赛题)

20．求满足|12m -5n |=7的全部正整数解．(第30届加拿大IMO 训练题)

21．求证：x 2+y 2=1983没有整数解．

22．求证：方程2x 2-5y 2=7没有整数解．

23．是否有整数m ，n 使得5m 2-6mn +7n 2=1987？

24．求证：5x +2=17y 没有正整数解．